I - 1 Statique des milieux déformables

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1 I - 1 Statique des milieu déformables Philippe.Bouillard@ulb.ac.be version 10 août 2007 Statique des milieu déformables Efforts dans les milieu déformables Notion d efforts internes Définition des contraintes et interprétation Équations d équilibre de translation et de rotation Cercle de Mohr Changement d aes d un tenseur [Fre, 1998, Vol. 3, Chap. 2] ou [Warzée, 2003] [Studer, 1997, Chap. 8 & 11] Statique des milieu déformables I - 1-2

2 Efforts eternes EQUILIBRE Pont de Sclan, Andenne, Credits: Roland Nizet, Structurae, 2006 Statique des milieu déformables I Principe de la coupe Efforts internes PAS EQUILIBRE Statique des milieu déformables I - 1-4

3 Efforts internes EQUILIBRE R C Les efforts internes R et C sollicitations Sollicitations = efforts internes + convention de signe Sollicitations dans les poutres 2D : N (effort normal), T (effort tranchant) et M (moment fléchissant) Statique des milieu déformables I Notion de contraintes Les efforts internes sont des résultantes dans le plan de coupe Ils ne rendent pas compte de la variation éventuelle des efforts dans ce plan de coupe Nécessité d introduire une notion à une échelle de représentation plus fine (sans descendre à l échelle des liaisons interatomiques!) Statique des milieu déformables I - 1-6

4 Définition du vecteur contraintes Considérons un solide à l équilibre r r ( n) df A T = lim da 0 da da n df (n) ( n) Statique des milieu déformables I Grandeur scalaire Un plongeur subit Rappel : la pression p = F A p p Statique des milieu déformables I - 1-8

5 Analogie de la pression Un «plongeur» dans un solide subirait ( n) T r Le vecteur contraintes dépend de l orientation Le vecteur contraintes a 2 composantes Statique des milieu déformables I Lien efforts internes/contraintes EQUIVALENT R ( n) T r C les efforts internes sont les résultantes des contraintes Statique des milieu déformables I

6 Illustration : traction simple État de traction uniiale (simple) F F n n F σ 0 σ = F A F A = section transversale (m 2 ) F Statique des milieu déformables I Illustration : traction simple État de traction uniiale (simple) n F F Τ (n) n Τ (n) σ F σ : contrainte normale : contrainte tangentielle Statique des milieu déformables I

7 Définition du tenseur des contraintes Le vecteur contraintes dépend de la direction d observation = la normale etérieure au plan de coupe Les contraintes forment donc un tenseur d ordre 2 Mêmes propriétés que le tenseur d inertie Le vecteur contraintes est la projection du tenseur des contraintes sur la normale T ( n) i = n ij j Statique des milieu déformables I Les contraintes dans un milieu 2D À chaque facette élémentaire, définie par sa normale etérieure, est associée un vecteur contraintes (défini par ses composantes) σ ij : contrainte associée à une facette de normale i pointant dans la direction j nn = σ n = σ = contrainte normale nt = = contrainte tangentielle (ou de cisaillement) σ Statique des milieu déformables I

8 Les contraintes dans un milieu 3D Idem en 3D (Warzée, 2003) Statique des milieu déformables I Interprétation phsique Le vecteur contraintes est une force par unité de surface (unités : le Pa) La pression est un cas particulier de vecteur contraintes = ij pδ ij La pression est un tenseur isotrope (en fait, un scalaire) La pression agit toujours en sens opposé à la normale Importance des contraintes normales et tangentielles Eemple de la rupture d une feuille de papier Statique des milieu déformables I

9 Équilibre dans un milieu déformable (Warzée, 2003) équilibre de translation suivant (à 2D) : σ σ d + σ + d d d + + d d + fdd = 0 Statique des milieu déformables I Équations d équilibre de translation 2D après simplifications de même, σ + σ + + f + f = 0 = 0 en général, on ne peut pas résoudre ces équations approimations numériques (éléments finis) approimations de la résistance des matériau Statique des milieu déformables I

10 Équations d équilibre de translation 3D Généralisation Notations abrégées σ z f z σ z f z z σ z f z z = 0 = 0 = 0 3 j= 1 ji j + f i = 0 ou j ji + f i = 0 notations indicielles d Einstein Statique des milieu déformables I Équilibre de rotation (Warzée, 2003) équilibre de rotation autour de C : σ d σ d dd dd + dd + 2 dd 2 après simplifications = d 2 d 2 ( f dd) ( f dd) = 0 Statique des milieu déformables I

11 Réciprocité des contraintes tangentielles Résultat universel pour tous les milieu sous les hpothèses de milieu continus Le tenseur des contraintes est smétrique «réciprocité des contraintes tangentielles» = Statique des milieu déformables I Équilibre de rotation Interprétation phsique Pas équilibre! Équilibre! Statique des milieu déformables I

12 Changement d aes d un tenseur d ordre 2 Passage de (, ) vers (u, v) σ + σ σ σ σ u = + cos2ϕ σ + σ σ σ σ v = cos 2ϕ 2 2 σ σ uv = sin 2ϕ + cos 2ϕ 2 sin 2ϕ sin 2ϕ centre du cercle σ + σ 2,0 rotation d un angle -2ϕ Statique des milieu déformables I Cercle de Mohr Représentation géométrique des contraintes abscisse σ (contraintes normales) ordonnée (contraintes tangentielles) angle ϕ dans le plan phsique = 2ϕ dans le cercle de Mohr un point N représente un vecteur contraintes associé la direction n pour un état de contraintes donné en un point phsique du milieu continu Statique des milieu déformables I

13 Tracé du cercle de Mohr soit un état σ > 0, σ > 0 et > 0 ( σ ), figures etraites de [Warzée, 2003] ( σ, ) Statique des milieu déformables I Changement d aes figures etraites de [Warzée, 2003] Statique des milieu déformables I

14 Directions principales Dans le plan, il eiste 2 directions telles que la contrainte normale est etrémale (ma ou min) les contraintes tangentielles sont nulles figures etraites de [Warzée, 2003] Statique des milieu déformables I Relations analtiques directions principales 2 tan 2θ = σ σ valeurs principales Directions principales σ1 σ = σ 2 + σ 2 ± 2 σ σ Statique des milieu déformables I

15 Directions principales Propriété : les contraintes tangentielles pointent vers I figures etraites de [Warzée, 2003] Statique des milieu déformables I Traction pure q q Cercle de Mohr : eemples Compression pure État isotrope q q P P P ij q = q 0 ij = 0 0 q q ij = 0 q 0 q σ 1 =q σ σ 2 =q σ σ=q σ Statique des milieu déformables I

16 «Trajectoires» des contraintes [Fre, 1998, Vol. 3] Statique des milieu déformables I «Trajectoires» des contraintes Poutre en fleion [Fre, 1998, Vol. 3] Statique des milieu déformables I

17 Étude de cas : le Berlamont Contete : rénovation du Berlamont Bureau de la commission européenne But de l étude ( SMC-ULB, 2001) vérifier la reprise de la poussée des terres par les noau suite au modifications des parkings Statique des milieu déformables I Berlamont : maillages noau ( SMC-ULB, 2001) Statique des milieu déformables I

18 Berlamont : résultats Efforts dans les passerelles Contraintes principales ( SMC-ULB, 2001) Statique des milieu déformables I Structure osseuse du fémur direction principale mineure (II) : compression direction principale majeure (I) : traction figure etraite de [Fung, 1990] reproduisant un article de Wolff (1870) Statique des milieu déformables I

19 Autres définitions Lorsque le problème est géométriquement non linéaire grands déplacements grandes déformations il eiste de nombreuses autres définitions du tenseur des contraintes, parfois plus pratiques [Criesfield, 1997] Statique des milieu déformables I