Communication graphique

Transcription

1 Introduction générale Partie I. La projection parallèle 1. Le dessin multivue 2. La méthode de Monge 3. L axonométrie 4. Courbes de Bézier 1

2 Axonométrie Perspective = vue réaliste Axonométrie = "vue de l'esprit" Vue en perspective de l'objet Source proche Rayons divergents t n t n Fausse perspective de l'objet Rayons parallèles Source à l' 2

3 Axonométrie La versatilité et l universalité de l axonométrie tendent à produire chez les dessinateurs qui privilégient son emploi une véritable vision axonométrique du monde, qui a singulièrement marqué l histoire de la peinture et de l architecture, où elle a souvent été opposée à cette vision perspective du monde que la découverte des lois de la perspective centrale avait fait naître à l aube de la Renaissance. t Direction de projection Projection oblique 3

4 Projection orthogonale Direction de projection t Projection orthogonale 4

5 Perspective cavalière Perspective cavalière : étymologie d'origine militaire Un cavalier est une butte située derrière les fortifications et permettant de voir un champ de bataille en hauteur (anglais high point) 5

6 Perspective cavalière Projection oblique (perspective cavalière) Face vue en vraie grandeur Projection orthogonale 6

7 Perspective cavalière 1 m m = 1/tan 7

8 Perspective cavalière m = 1/tan 8

9 Perspective cavalière m=1 m = 0.6 m = 0.5 Cavalière «américaine» «Perspective cabinet» Cavalière «européenne» Fortifications militaires Mobilier, etc. 9

10 Perspective cavalière Dessin ambigu Cf. Mortenson Geometric Modeling 3rd ed. Industrial Press,

11 Perspective cavalière 11

12 Projection orthogonale cos a, cos, cos g sont les cosinus directeurs de OE dans le repère lié à OM,ON et OP. On a alors : cos² a+cos² +cos² g=1 Or, cos²x+sin²x=1 et m=sin a, n=sin, p=sin g Donc m²+n²+p²=2. m C B n A Normales p à (t) Le plan (t) est parallèle au plan tangent à la sphère 12 en E

13 «Loi des cosinus» Loi des cosinus en trigonométrie sphérique cos c=cos a cos b+sin a sin b cos C Démonstration cos a=u v cos b=u w cos c=v w soient ta et tb les vecteurs tangents en u le long de a et b respectivement. Ceux ci s'expriment : v u u v v u cos a ta= = v u u v sin a Or, cos C =t a t b u tb b w C a ta c v O Sphère unité w u cos b tb= sin b v u cos a w ucos b cos c cos a cos b cos C = = sin a sin b sin a sin b 13

14 Projection orthogonale Dans le triangle sphérique NPE, on a donc les relations suivantes : cos NOP=cos NOE cos EOP+ sin NOE sin EOP cos NEP soit cos p/2 = cos cos g + sin sin g cos A Donc, 0= 1 n m 2 1 p2 np cos A C B n A p 1 n2 1 p 2 cos A= np 14

15 Projection orthogonale Par permutation cyclique de A,B,C etc., on peut établir toutes les relations 1 n2 1 p 2 cos A= np 1 p 2 1 m 2 cos B= pm 1 m2 1 n 2 cos C = mn m C B n A p 15

16 Projection orthogonale Il est aisé d'obtenir les formules inverses. On remarque que 2 m 1 cos B cos C= cos A 2 m cos A m2 = cos A cos B cos C m Par permutation cyclique, cos B 2 n= cos B cos C cos A cos C p= cos C cos A cos B C B n A p 2 16

17 Coefficients de réduction Comme les 3 directions principales de l objet, ici les arêtes d un cube, ne sont ni parallèles ni perpendiculaires au tableau et qu il s agit d une projection orthogonale, leurs images sont toutes trois affectées de coefficients réducteurs m, n et p, compris entre zéro et un. Aucune face, ni aucun angle, ni aucune arête du cube fondamental ne sont vus en vraie grandeur. 17

18 Isométrie: m=n=p Dimétrie m=n ou m=p ou n=p Trimétrie m, n, p distincts 18

19 L'isométrie A = 120 B = 120 C = 120 m = m = 1 n = n = 1 p = p = 1 19

20 L'isométrie 20

21 La dimétrie A = 105 m = B = 150 n = m = m = On choisit plutôt : m = C = 105 p = n = n = 1 n = 1 Dessin dimétrique p = p = p =

22 La dimétrie Norme ISO :1 1:1 1:2 22

23 La trimétrie A = 105 m = B = 120 n = m = m = On choisit plutôt m = C = 135 p = n = n = n = 1 Dessin trimétrique p = p = 1.06 p = 1 23

24 Exemples d axonométries, l isométrie en est la plus ambigue 24

25 Projection orthogonale Ambiguïté de l'axonométrie M.C. Escher 25

26 Théorème de Pohlke Théorème de Pohlke : 3 segments de droites distincts, issus du même point constituent toujours une certaine projection oblique d un système orthogonal unitaire de l espace. Moyen simple et efficace de représentation, spécialement pour les dessins à main levée. Tracer 3 droites concourantes de manière arbitraire. Reproduire l objet en prenant soin de : mesurer les longueurs selon les directions principales les reproduire sur le dessin, chacune à son échelle. 26

27 Image d'un cercle Construction point par point : Utilisation de la propriété d'invariance des milieux par la projection parallèle 27

28 Tracé des ovales Tracé des ovales, le cas classique. 28

29 Tracé des ovales Condition : l image du carré circonscrit doit être un losange 29

30 Tracé d'un cercle Dans toute axonométrie orthogonale, le grand axe de l ellipse est perpendiculaire à la 3ème arête du cube. Le petit axe est parallèle à celle ci. 30

31 En résumé : au départ, totale liberté pour le dessin des objets, mais : il est conseillé d utiliser soit : les axonométries orthogonales, soit les perspectives cavalières (une face de l objet parallèle au plan de projection. Le calcul des coupes est simple quel que soit le système utilisé, si on respecte la règle de ne mesurer que selon les projections des directions principales de l objet. 31

32 Nous avons examiné 2 cas particuliers importants : la perspective cavalière et l axonométrie orthogonale. Dans cette dernière, l objet est placé dans une position telle qu aucune de ses directions principales ne soit ni parallèle ni perpendiculaire au tableau. Si la projection est orthogonale, les orientations des projections des directions principales dépendent des métriques ou vice versa. 32

33 Isométrie 33

34 Isométrie 34

35 Isométrie 35

36 Tracé des projections des arcs de cercles. Isométrie On remplace les arcs d ellipses par des combinaisons d arcs de cercles (max. 4). 36

37 Dessin isométrique, ne pas confondre avec l isométrie (transformation conservant les mesures de distance...) 37

38 Calcul d'une coupe 38

39 Calcul d'une coupe 39

40 Calcul d'une coupe 40

41 Calcul d'une coupe 41

42 Calcul d'une coupe 42

43 Calcul d'une coupe 43

44 Calcul d'une coupe 44

45 Calcul d'une coupe 45

46 Orientation des axes z z y x y x y z x 46

47 Courbes Représentation de courbes Arcs de cercles compas Projection d'arcs de cercles ovales arcs de cercles Autres courbes? Splines la courbe passe par une série de points et est «lisse» Construction navale et aéronautique (cambrure d'une aile d'avion p. ex. ) Profil d'aile NACA 47

48 Courbes 48

49 Courbes Courbes interpolantes Courbes approximantes 49

50 Courbes de Bézier Éléments d'une courbe de Bézier : n=d+1 points de contrôle u=1 Polygone de contrôle à d=n-1 cotés (ou polygone caractéristique) u 0= 1 3 La tangence aux extrémités est donnée par le premier/dernier segment du polygone de contrôle u0=0 Courbe de Bézier 50

51 Courbes de Bézier Construction d'un point de la courbe de Bézier pour u=1/2 (Algorithme de De Casteljau) 51

52 Courbes de Bézier Sur les segments du polygone, positionner les points milieu 52

53 Courbes de Bézier Relier les points milieu et positionner les nouveaux points milieu 53

54 Courbes de Bézier Ceci, autant de fois que nécessaire... 54

55 Courbes de Bézier Le dernier point milieu donne un point de la courbe (correspondant à u=1/2) 1 u= 2 55

56 Courbes de Bézier La construction précédente est valable pour u quelconque Plutôt que de prendre le point milieu, on prend le point i i tel que : P i 1 = 1 u P u P j j j 1 Mais c'est un peu plus compliqué à construire... 2 u= 3 56

57 Courbes de Bézier En balayant u entre 0 et 1, on décrit la courbe au complet 57

58 Courbes de Bézier Construction récursive d'autres points de la courbe de Bézier avec le polygone de contrôle 1 u= 4 u= 1 3 u=

59 Courbes de Bézier Courbes tridimensionnelles? La projection parallèle conserve les rapports de longueurs La projection de la courbe peut être construite dans l'épure sur chacun des plans V et H indépendamment V H 59

60 Courbes de Bézier Représentation du profil d'aile Deux courbes de Bézier raboutées en tangence 60

61 Courbes de Bézier Surfaces de Bézier/ B-Splines / Nurbs Cours de Master (ingénieur civil aérospatial ou mécanique) Bases de ce que l'on trouve dans les logiciels de CAO 61