Systèmes de communications numériques 2

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1 Systèmes de Communications Numériques Philippe Ciuciu, Christophe Vignat Laboratoire des Signaux et Systèmes cnrs supélec ups supélec, Plateau de oulon, Gif-sur-Yvette Université de arne la Vallée, Équipe syst Lmes de communications esiea, 18 octobre 1999 Systèmes de communications numériques 2 Plan du cours Chapitre I : Introduction aux communications numériques. Chapitre II : Codes en lignes Chapitre III : ransmission, réception et détection en bande de base. Chapitre IV : odélisation des signaux passe bande. Chapitre V : odulations sur onde porteuse. Chapitre VI : ransmission sur onde porteuse (bande transposée).

2 Chapitre VI : ransmission sur onde porteuse (bande transposée) ransmission en bande transposée 4 odélisation du canal de transmission Rappel e(t) à l entrée du canal suit la forme donnée en (??) et son enveloppe complexe x E (t) celle en (??). Canal : filtre linéaire de RI h c (t) à bruit additif gaussien n(t). Sortie du canal ou entrée du démodulateur : z(t) = A k a k h(t k ) cos (j2πf 0 t) A k b k h(t k ) sin (j2πf 0 t) + n(t) (1) où h(t) = (h e h c )(t). L enveloppe complexe correspondante vaut : [ z E (t) = A ] [ a k h(t k ) + i n (t) + j A ] b k h(t k ) + q n (t) k k (2)

3 ransmission en bande transposée 5 odélisation de la démodulation (cohérente) But : restituer les composantes i z et q z du signal z(t) à une constante de gain K d près (mise égale à 1 pour calcul RSB). rôle du filtrage passe bas 2 filtres passe-bas (G(f)) dans le démodulateur sur les composantes en phase et en quadrature. Objectif : Éliminer les termes spectraux situés au voisinage de 2f 0. Hyp : G(f) supposé neutre dans la bande utile, à un retard pur près (causalité). Démodulation cohérente = synthèse d une porteuse locale en synchronisme et en phase avec la porteuse reçue. Intérêt : procédé optimal vis à vis de la probabilité d erreur. ransmission en bande transposée 6 Enveloppe complexe vue en sortie du filtre de réception : y E (t) = résultat du filtrage de z E (t) : y E (t) = i y (t) + jq y (t) = (z E g) (t) ou de façon équivalente : [ y E (t) = A ] [ a k p(t k ) + i w (t) + j A k k b k p(t k ) + q w (t) ] (3) où w E (t) = i w (t) + jq w (t) = enveloppe complexe du bruit w(t) en sortie du filtre adapté.

4 ransmission en bande transposée 7 odèle global ransmission équivalente en bande de base Gain complexe du filtre global : P (f) = H e (f).h ceq (f).g(f) P (f) doit vérifier le critère de Nyquist pour annuler l IES. Pas d interférence entre i y et q y si P (f) = P ( f). Condition vérifiée par un filtre de Nyquist. Filtre adapté Filtre de réception adapté si son gain complexe G(f) vérifie : G(f) = k ( H e (f).h ceq (f) ) = kh(f) donc : P (f) = H(f) 2 (4) ransmission en bande transposée 8 RSB maximum à l instant de décision pour chacune des voies I et Q. Compte tenu de (2) et (3) et de la dsp de i w (t) et q w (t), égale à dans la bande utile, on a : Ap(0) A 2 E h (5) σ w P b(min) (e) pour chacune des voies I et Q supposées indépendantes, soit d après (??) : P b(min) (e) = 2 1 log 2 Q A 2 E h (6)

5 ransmission en bande transposée 9 Performances des modulations numériques AQ et DP But du calcul de performances : exprimer P b(min) (e), en fonction de paramètres comme la dsp du bruit et l énergie moyenne par symbole E s ou par bit E b. Si P (f) de Nyquist, absence d IES : 1 Pour la AQ, 2 décisions effectuées séparément concernant les symboles a k et b k, à l aide de 2 détecteurs à seuils. En effet, var. de décision concernant a k et b k s écrivent : R (r k ) = p(0)a k + R (w k ) I (r k ) = p(0)b k + I (w k ) où les PR et PI de w k sont indépendantes, centrées de dsp p(0). 2 Pour la DP, 1 un seul détecteur à seuils décide en faveur du symbole complexe le plus proche de r k /p(0). Comparaison de la phase de r k à celle du symbole candidat (symb. circulaires). ransmission en bande transposée 10 Rappelons que : et : soit : E s = log 2 E b E s = E [ R (Ad k h(t k ) exp (j2πf 0 t) 2] E s = 1 2 E[ Ad k h(t k ) exp (j2πf 0 t) 2] E s = 1 2 E[ Ad k h(t k ) 2] E s = 1 2 A2 p(0)e [ d k 2] en utilisant (4) et l égalité de Plancherel Parseval. d où : E b p(0) = 2 log 2 A 2 E [ 2] (7) d k Utilité du modèle en bande de base, puisqu on peut calculer en une fois les performances des modulations binaires monodimensionnelles.

6 ransmission en bande transposée 11 Performances des modulations binaires monodimensionnelles Rappel : composante en quadrature nulle. Calcul concerne aussi bien la DP2 que la IA en bande de base. En sortie, on produit 1 variable de décision : R (r k ) = p(0)a k + R (w k ) où a k = ±1 sont équiprobables et de variance : E [ a k 2] = 1. et 1 bruit w(t) d énergie : σw 2 = E [ R (w k ) 2] = p(0). Calcul de la proba. d erreur de symbole identique au cas de la transmission en bande de base : [ ] P s (e) = Q A p(0) [ σ R(w) ] P s (e) = Q A p(0) [ p(0)n0 P s (e) = Q A ] p(0) ransmission en bande transposée 12 En remplaçant p(0) par son expression pour = 2 issue de (7) et E [ dk] 2 = 1, on obtient le resultat : [ ] 2Eb P s (e) = Q A c est-à-dire la même chose que dans le cas de la transmission en bande de base. Pas de détérioration ni d amélioration des performances en modulant sur porteuse par ce type de modulation. cas -aire...

7 ransmission en bande transposée 13 Performances des modulations monodimensionnelles -aires Valable aussi pour les IA -aires. En sortie, on produit 1 variable de décision : R (r k ) = p(0)a k + R (w k ) où les symboles sont équiprobables régulièrement espacés, et appartiennent à l alphabet {±1, ±3,..., ±( 1)}. Expression de la proba d erreur en fonction de p(0) rappel : P s = 2 1 Q p(0) A Soit, en fonction de l énergie par bit : E [ d 2 ] 2 k = 2 (2m 1) 2 = m=1 ransmission en bande transposée 14 d où compte tenu de (7) : p(0) = 6 log E b (8) En reportant (8) dans l expression de la probabilité d erreur, on obtient : [ P s (e) = 2 1 ] 3 Q log2 A 2 1.2E b À E b donnée, P s (e) rapidement avec. Resultat identique à celui obtenu au Chap. III. Pour comparer les performances des différentes modulations, il faut ramener les proba. d erreur à un dénominateur commun : la proba. d erreur par bit.

8 ransmission en bande transposée 15 Probabilité d erreur sur le bits Calcul complet délicat dans le cas général car fonction du codage de symboles. 2 Hyps supplémentaires : 1 Probabilité d erreur entre 2 symboles non voisins négligée. 2 Corrspondance entre symboles et bits par codage de Gray. P b (e) = 1 log 2 P s(e) car pour 1 symbole faux (représentant log 2 bits), un seul bit est faux. La prise en compte de P b (e) ne modifie pas la conclusion sur la dégradation des performances lorsque, pour les modulations monodim. ransmission en bande transposée 16 Performances de la modulation DP-4 et AQ-4 DP-4 AQ-4 avec des symboles d k de module constant, appartenant à l alphabet A = {±1, ±j}. Hyp : aitements sur les parties réelle et imaginaire sont indépendants!! 2 décision à prendre sur a k et b k, tous 2 binaires P b (e) = celle d une modulation binaire monodimensionnelle, soit : [ ] 2Eb P b (e) = Q A (9) Par rapport au cas binaire (monodim. ou DP2), avec les mêmes performances et sans de la bande passante, on double la quantité d information transmise et donc la consommation énergétique par symbole 2E b. Extension des resultats de la modulation monodimensionnelle -aire au cas AQ-...

9 ransmission en bande transposée 17 Performances de la modulation AQ- Limitation aux constellations telles que : { a k, b k ±1, ±3,..., ±( } 1) pour = 2 2m et m = 1, 2, 3,.... ex : constellation carrée. 2 axes 2 décisions indépendantes les proba d erreur relative à chaque axe, notées P i (e) et P q (e) se déduisent du cas monodimensionnel : P i (e) = P q (e) = 2(1 1 3 log )Q A 2 1.2E b P s (e) approximativement double : P s (e) = 1 {1 P i (e)}. {1 P q (e)} P i (e) + P q (e) ransmission en bande transposée 18 Remarque : Cette approximation suppose que E b / 1, de telle sorte que P i (e).p q (e) 1, d où le résulat cherché : P s (e) = 4(1 1 3 log )Q A 2 1.2E b (10) = 2 2m et m = 1, 2,... Dernier cas qui n est pas une simple extension du cas monodimensionnel, et qui est important en pratique : la DP-.

10 ransmission en bande transposée 19 Performances de la modulation DP- d min = distance minimale entre 2 symboles voisins d une modulation DP-. ( π ) d min = 2d k sin Hyp : Comme dans le cas monodim. -aire, on néglige la probabilité des erreurs qui donnent un symbole autre que l un des 2 voisins du symbole émis. Application du résultat obtenu dans le cas d une modulation binaire monodimensionnelle (car 1 décision parmi 2 symboles voisins), où les 2 symboles sont distants de d min : P s (e) = 2Q A d min 2 p(0) Facteur 2 dû à la présence de 2 symboles voisins!! ransmission en bande transposée 20 En utilisant p(0), on trouve : p(0) = 2 log 2 [ E b ] E d 2 k = 2 log 2 E b d 2 k avec : d k = d où : d min 2 sin ( ) π p(0) = 8 log 2 E b [ ( π P s (e) = 2Q sin d 2 min sin 2 ( π ) log 2 2E b Comparaison des performances de la AQ- et de la DP- : Comment? Comparer les arguments respectifs de la fonction Q : modulation AQ meilleure que DP. ) ]

11 ransmission en bande transposée 21 Pour obtenir la même probabilité d erreur, il faut approximativement : E b (DP ) E b (AQ) = 1.5 ( 1) sin 2 ( ) 1.5 π π La supériorité de la AQ est d autant meilleure que est grand. Conclusion : Ces différents exemples ont été choisis de façon à illustrer l importance du choix de la disposition des signaux pour la performance de la transmission. E b / paramètre important et dégradation rapide de la transmission lorsque ce rapport diminue trop. ransmission en bande transposée 22 Réception du signal DF binaire à phase discontinue Pour simplifier on se place dans le cas d un canal idéal sur [f 0 B, f 0 + B]. Émission d un signal modulé en fréquence : e(t) = k h e (t k )s k (t) où dans notre cas : 2Eb s k (t) = cos(2πf 0t + πa k f(t k )f + θ k ), pour k = 1, 2.

12 ransmission en bande transposée 23 où f 0, f ont déja été définis, θ k la valeur de la phase à l instant k. Indice de modulation m : m = f 2 f 1. e(t) = x 1 (t) x 2 (t) x 1 (t) = x 2 (t) = 2E b 2E b k h e(t k ) cos(π f(t k )) cos(2πf 0 t + θ k ) k a kh e (t k ) sin(π f(t k )) sin(2πf 0 t + θ k ) ransmission en bande transposée 24 x 1 (t) indépendant de la séquence a k l information transmise. (cos : fonction paire) c est-à-dire de x 2 (t) peut s écrire : x 2 (t) = Hyp. sur le récepteur : 2E b g(t) = h e (t) sin(π ft) k a kg(t k ) sin(2πf 0 t + θ k ) capable de connaître la suite des phases {θ k } grâce à un circuit de récupération de porteuse, c est-à-dire supposons la réception cohérente ; dispose d un oscillateur local délivrant le signal de référence : x i (t) = A 0 h e (t k ) cos(2πf 0 t + θ k ) (11) k c est-à-dire une porteuse à la fréquence f 0, de phase constante égale à θ k sur l intervalle ]k, (k + 1) [.

13 ransmission en bande transposée 25 Démodulateur de type AQ, dans les 2 voies duquel le signal reçu, perturbé par le bruit gaussien n(t) est multiplié par x i (t) donné par (11), et x q (t) défini par : x q (t) = A 0 h e (t k ) sin(2πf 0 t + θ k ) (12) k Compte tenu de la décomposition de e(t), on obtient sur les 2 sorties en bande de base du démodulateur AQ des signaux proportionnels à : r i (t) = r q (t) = 2E b 2E b cos(π ft) + n i(t) k a kg(t k ) + n q (t) où n i (t) et n q (t) sont des bruits blancs gaussiens passe-bande de DSP bilatérale. r i (t) : indépendant des symboles tranmis, donc inutile à la démodulation cette branche du démodulateur AQ peut être omise. r q (t) permet la détection des symboles : signal en bande de base utilisant des signaux antipodaux ± 2E b / g(t). filtre adapté à l impulsion g(t) sur cette voie, suivi d un échantil. et d un comparateur à seuil pour détecterles symboles a k. (13) ransmission en bande transposée 26 Compte tenu des résultats établis précédemment sur la probabilité d erreur en AQ-, on a : ) P s (e) = Q ( Eg avec E g énergie des 2 signaux antipodaux égale à : E g = 2 E b 0 g 2 (t)dt = 2 E b 0 sin 2 (π ft)dt soit : E g = E b (1 β) avec : β = sin(2π f ) 2π f = sin(2πm) 2πm = sinc (2πm) la probabilité d erreur est alors donnée par : P s (e) = Q E b (1 β) = Q P (1 β) (14)

14 ransmission en bande transposée 27 Comparaison de (14) avec celle obtenue en DP-2 : Pour avoir 1 même probabilité d erreur, il faut en modulation de fréquence une puissance (donc une énergie par bit) supérieure à celle nécessaire en DP-2, car β < 1. Écart en décibels mesurant la dégradation s exprime par : Explications et remarques diverses = 10 log 2 1 β Dégradation due au fait qu une partie de la puissance est utilisée pour transmettre le signal x 1 (t) qui ne transporte pas d information. est fonction de l indice de modulation m :toujours non nul car β 1. β(m) admet un minimum absolu en m = 0, 715 ; Dégradation la plus faible vaut alors = 2, 2dB. (15) ransmission en bande transposée 28 Valeur optimale de m, qui minimise β, est bien celle qui minimise la puissance moyenne de x 1 (t) et maximise celle de x 2 (t), car : P moy (x 1 ) = E b P moy (x 2 ) = E b (1 + β) (1 β) Lorsque m entier ou demi-entier, (15) montre que β = 0, la dégradation par rapport à la modulation DP-2 est alors de 3 db. Une modulation à «fort indice» m 1, entraîne β très petit et la dégradation est alors proche de 3 db. En utilisant la théorie de la détection, on peut montrer que le récepteur que nous avons introduit de manière assez intuitive est celui qui donne la probabilité d erreur la plus faible en présence de bruit blanc gaussien.

15 ransmission en bande transposée 29 Autres schémas de démodulation Pour une modulation donnée il n existe pas un unique schéma de démodulation ; On a examiné des démodulateurs cohérents pour différents types de démodulations, qui ont besoin de connaître totalement l onde porteuse utilisée en émission. on envisage ici d autres structures qui n ont pas besoin de cette connaissance, à travers deux exemples : 1 la détection d enveloppe d une modulation d amplitude ; 2 démodulation différentielle de la modulation DP-2 ; ransmission en bande transposée 30 Démodulation non cohérente d un signal modulé en amplitude Signal modulé en amplitude par tout ou rien : e(t) = A k a k h e (t k ) cos(2πf 0 t + θ 0 ) où les symboles prennent les valeurs 0 ou 1. Récepteur cohérent ultiplication du signal reçu par la porteuse issue d un oscillateur local, ce qui donne un signal en bande de base, auquel il suffit d appliquer un filtre adapté et une comparaison à un seuil. Réception non cohérente par détection d enveloppe En l absence de bruit, si on élève au carré le signal e(t) alors on obtient un terme à la fréquence 2f 0, qui peut être éliminé par filtrage, et un terme en bande de base proportionnnel à : ak h e (t k )

16 ransmission en bande transposée 31 Comme a k = 0 ou 1, ce signal en bande de base porte l information. En présence de bruit, l analyse est plus compliquée. on peut retenir qu une détection quadratique, suivie d un filtrage passe-bas permet de détecter les symboles : ce type de démodulation n exige pas la connaissance de l onde porteuse de référence : démodulateur non cohérent. Récepteur plus simple car n exploite pas toute l information présente dans le signal reçu, donne en contrepartie des performances moins bonnes que celles du démodulateur cohérent. ransmission en bande transposée 32 Récupération différentiellement cohérente Système séduisant quand la récupération de la phase de la porteuse est difficile ou coûteuse : réception possible sans cette phase!! Signal au niveau du récepteur dans l intervalle ]k, (k + 1) [ : z(t) = a k 2Eb cos (2πf 0t + θ) + n(t) dans le même intervalle et avec l hypothèse f 0 t = entier, la sortie d un élément de retard est : z(t ) = a k 1 2Eb cos (2πf 0t + θ) + n(t ) où θ : phase inconnue du récepteur, mais considérée commme constante sur un intervalle de durée 2. Vérification que le schéma de la figure V-9 est capable, dans ces conditions de

17 ransmission en bande transposée 33 démoduler une modulation DP-2 précédée d un codage approprié. Utilisation en réception d une référence bruitée pour effectuer la multiplication par la fréquence porteuse, qui n est autre que l observation de l intervalle précédent. Entrée de l intégrateur : z(t)z(t ) = a k a k 1 E b [1 + cos (4πf 0t + 2θ)] + Avec l hypothèse f 0 = entier, sa sortie s écrit r k = a k a k 1 E b + bruit termes de bruit Si les symboles a k appartenant à {+1, 1} sont obtenus à partir des informations binaires à transmettre α k appartenant aussi à l alphabet {+1, 1}, grâce à un codage différentiel, la démodulation est possible. Codage différentiel Selon la règle suivante : a k = a k 1 α k Facile de vérifier que la phase (0 ou π) du symbole α k est égale à la phase du symbole ransmission en bande transposée 34 a k moins celle de a k 1, d où le terme équivalent «codage par transition». L observation s écrit : r k = a 2 k 1α k E b + bruit = α k E b + bruit La décision sur le bit peut alors se faire facilement à l aide d un détecteur à seuil, bit par bit. Calcul de performances Fastidieux : on aboutit à : P s (e) = 1 ( 2 exp E ) b Un telle technique illustrée en DP-2 s applique aussi en DP- où la transition de phase entre 2 symboles consécutifs émis est égal à la phase du symbole d information -aire à transmettre.