Collège Pablo Picasso BREVET BLANC. Mathématiques

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1 ollège Pablo Picasso REVET LN Mathématiques La calculatrice est autorisée. Les trois parties sont indépendantes. 4 points sont consacrés à la présentation, la rédaction et la rigueur.

2 TIVITES NUMERIQUES : 1 POINTS Exercice 1 : Trouver la bonne réponse parmi les trois proposées. (On indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse.) ttention, une réponse fausse enlève un demi-point est égal à (10 3 ) est égal à Pour tout nombre x, (3x )² est égal à Dans une ferme, il y a des vaches et des poules. Le fermier a compté 36 têtes et 100 pattes. Il y a donc : 3x² 1x + 4 9x² 1x + 4 9x² 4 5 vaches 0 vaches 14 vaches Exercice : On donne le programme de calcul suivant : - hoisir un nombre. - Multiplier ce nombre par 3. - jouter le carré du nombre choisi. - Multiplier par. - Ecrire le résultat. 1) Montrer que, si on choisit le nombre 10, le résultat obtenu est 60. ) alculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque le nombre choisi est 5 et lorsque le nombre choisi est 3. 3) Quels nombres peut-on choisir pour que le résultat obtenu soit 0? Exercice 3 : 1) En précisant la méthode utilisée, calculer le PGD de 378 et 70. ) Pour une kermesse, un comité des fêtes dispose de 378 billes et 70 calots. Il veut faire le plus grand nombre de lots identiques en utilisant toutes les billes et tous les calots. a. ombien de lots identiques pourra-t-il faire? b. Quelle sera la composition de chacun de ces lots? Exercice 4 : Résoudre l inéquation 3(x 6) 7x + 9 et représenter graphiquement les solutions sur une droite graduée.

3 TIVITES GEOMETRIQUES : 1 POINTS Exercice 1 : L'unité de longueur est le mètre. On donne un triangle tel que 7,8 ; 7, et 3. La figure n est pas en vraie grandeur. M N 1) Démontrer que le triangle est rectangle en. ) a. alculer la tangente de l angle. On donnera le résultat au millième près. b. En déduire une valeur approchée de l angle au degré près. 3) On place sur le segment [] un point N tel que N,5 et sur le segment [] un point M tel que M 5,4. Les droites () et (MN) sont-elles parallèles? 4) alculer MN. Exercice : DHGFE est un cube d arête 6 cm. D 1) a. onstruire en vraie grandeur le carré D avec sa diagonale []. b. onstruire le triangle F en vraie grandeur. ) alculer. H G 3) La pyramide F a pour base F et pour hauteur le segment []. alculer son volume. E F 4) Est-il vrai que le volume de la pyramide F est égal à 18% de celui du cube? (Justifier la réponse.) Rappel : Le volume d une pyramide se calcule avec la formule : 3 1 (aire de la base) hauteur.

4 PROLEME :1 points Première partie 1. a) onstruire un triangle EFG, de base [FG] et tel que : EF 5,4 cm, EG 7, cm et FG 9 cm. b) Soit M le point du segment [EF] tel que EM 3 EF. alculer la longueur EM, puis placer le point M. c) Par M on mène la parallèle à la base [FG] ; elle coupe le côté [EG] en N. ompléter la figure et calculer EN.. a) Démontrer que le triangle EFG est rectangle en E. b) En déduire l aire du triangle EMN. Deuxième partie : Dans cette partie, le point M n est plus fixe mais mobile sur le segment [EF]. On pose EM x et ce nombre x représente alors une longueur variable. (Il n est pas demandé de nouvelle figure.) 1. a) Entre quelles valeurs extrêmes peut varier le nombre x? b) Soit N le point de [EG] défini comme dans la première partie. Exprimer la longueur EN en fonction de x. c) Montrer que l aire (x) du triangle EMN est : (x) 3 x. Sur le graphique ci-après, on a porté la longueur x en abscisse et l aire (x) du triangle EMN en ordonnée. e graphique est à compléter et à rendre avec la copie.. près avoir effectué les tracés nécessaires sur le graphique : a) Lire une valeur approchée de l aire du triangle EMN lorsque x 3,5 cm. b) Déterminer la valeur approximative de x pour laquelle l aire du triangle EMN est égale à 1 cm².

5 orrection du brevet blanc de Mathématiques TIVITES NUMERIQUES Exercice 1 : est égal à. (réponse ) (10 3 ) est égal à (réponse ) 3. Pour tout nombre x, (3x )² est égal à 9x² 1x + 4. (réponse ) 4. Dans une ferme, il y a des vaches et des poules. Le fermier a compté 36 têtes et 100 pattes. Il y a donc 14 vaches (réponse ). En effet, il y a alors poules ( têtes). e qui fait bien 100 pattes ( pattes de vaches et 44 pattes de poules). Exercice : 1) ; ² 130 ; Donc si on choisit le nombre 10, le résultat obtenu est bien 60. ) ; 15 + ( 5)² ; vec 5, on obtient (par simplification) ; ; vec 3, on obtient ) Soit x le nombre choisi au départ. Le résultat est alors donné par l expression (x 3 + x²) c est-à-dire (x² + 3x). Pour obtenir 0, il faut donc que x soit une solution de l équation (x² + 3x) 0 que nous allons résoudre. (x² + 3x) 0 x(x + 3) 0 (on factorise avec x comme facteur commun.) Si un produit est nul alors un des facteurs est nul donc : Soit x 0 Soit x x 0 x 3. Les solutions de l équation sont 0 et 3 donc, pour obtenir 0 comme résultat du programme de calcul, il faut choisir le nombre 0 ou le nombre 3. Exercice 3 : 1) On utilise par exemple l algorithme d Euclide pour calculer le PGD de 378 et 70 : On a donc : PGD(378 ; 70) ) a. Pour que toutes les billes et tous les calots soient utilisés et comme les lots doivent être identiques, le nombre de lot doit être un diviseur commun de 378 et de 70. omme le comité des fêtes veut faire le plus grand nombre de lots possible, le nombre de lots doit être égal au PGD de 378 et 70. Le nombre de lots est donc de 54. (voir question 1.) b. Il y aura 7 billes (378 54) et 5 calots (70 54) dans chaque lot.

6 Exercice 4 : 3(x 6) 7x + 9 Les solutions de l inéquation sont tous les nombres inférieurs ou 3x 18 7x + 9 égaux à 6,75. (* le sens de l inéquation a changé car on a 3x 7x divisé chacun de ses membres par le nombre négatif 4.) 4x 7 x 7 * Représentation graphique : 4 x 6,75 Solutions 6,75 0 TIVITES GEOMETRIQUES Exercice 1 : 7,8 m 7, m 3 m. N,5 M 5,4 N M 1) ² 7,8² 60,84 ² + ² 7,² + 3² 51, ,84 omme ² ² + ², le triangle est bien rectangle en (d après la propriété réciproque de Pythagore). ) a. est un triangle rectangle en donc tan 3 7, 0,417. b. On en déduit que 3 grâce à la touche tan 1 de la calculatrice. 3) Dans le triangle, les points, N et sont alignés dans le même ordre que les points, M et. N,5 3 0,75 M 5,4 7, 0,75 On en déduit que N M et donc que les droites (MN) et () sont parallèles d après la réciproque de la propriété de Thalès. 4) Sachant maintenant que les droites (MN) et () sont parallèles, on peut utiliser la propriété de Thalès dans le triangle avec les points N et M qui appartiennent respectivement aux droites () et (). On a donc : N M MN,5 3 5,4 7, MN 7,8. On a donc MN 5,4 7,8 7, 5,85 m.

7 6 cm Exercice : DHGFE est un cube d arête 6 cm. 1) a. arré D en vraie grandeur avec sa diagonale [] : (On se sert de l équerre et de la règle par exemple.) D D H G E F b. Triangle équilatéral F en vraie grandeur : (On utilise le compas pour reproduire la longueur obtenue à la question précédente.) ) est un triangle rectangle en donc on peut utiliser la propriété de Pythagore : ² ² + ² 6² + 6² (valeur exacte) 8,5 cm (valeur arrondie au mm) 3) V 1 3 (aire de la base) hauteur 1 3 F F cm 3. 4) Le volume du cube est égal à 16 cm 3 (6 6 6) et 18 % de 16 est égal à ,88. Le 100 volume de la pyramide F n est donc pas égal à 18% de celui du cube. e n est pas vrai.

8 PROLEME Première partie 1. a) EF 5,4 cm EG 7, cm FG 9 cm. b) EM 3 EF 3 5,4 3,6 cm c) EFG est un triangle tel que : - M appartient à (EF) - N appartient à (EG) - (MN) et (FG) sont parallèles Donc, d après le théorème de Thalès : EM EF EN EG MN FG 3,6 5,4 EN 7, MN 9 3,6 7, Donc EN 4,8 cm. 5,4. a) [FG] est le plus long côté du triangle EFG. FG² 9² 81 EF² + EG² 5,4² + 7,² 9, ,84 81 On constate que FG² EF² + EG² donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle, d hypoténuse [FG]. b) EFG étant rectangle en E, EMN l est aussi et on a donc : EMN Deuxième partie : base hauteur EM EN 3,6 4,8 8,64 cm². x 1. a) omme M appartient à [EF], x est compris entre 0 et 5,4 cm. b) On sait d après le théorème de Thalès que EM EN. (voir question 1c de la partie I) donc x 5,4 EN 7, MN 9 EF MN EG FG et on en déduit par un produit en croix que EN x 7, 5,4 7,x 5,4 7x 54 4x 3

9 base hauteur c) (x) EMN EM EN x 4x 3 x 4x 3 1 x x 3 3 x.. a) Lorsque x 3,5 cm l aire du triangle EMN vaut environ 8 cm². (pointillés rouges) b) Pour que l aire du triangle EMN soit égale à 1 cm², x doit être environ égal à 4,5 cm. (pointillés verts) 1 8 3,5 4,5