Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD

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1 Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD I. Ensembles de nombres 1/ Les nombres entiers Les nombres entiers naturels sont les nombres positifs qui peuvent s'écrire sans virgule ; 3,1 102 ; 7,00 ; 121 ; 124. Les nombres entiers relatifs sont les nombres positifs et négatifs qui peuvent s'écrire sans virgule ; 87 ; / Les nombres décimaux Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec une partie décimale finie. 5, =0,05124 ; sont des nombres décimaux. Attention! 1 n'est pas un nombre décimal car 1 3=0, De même : 1 7 ; 2 11 ; 7 13.

2 3/ Les nombres rationnels a et b sont deux nombres entiers ; b étant différent de 0. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme a b. 12,548= ; 1 3 ; ; 45= 45 1 ; 7= ; Remarque Il existe des nombres dits irrationnels qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme a b : 2 ; 4 3 ; Rappels Périmètre d'un cercle de rayon r : 2 r. Aire d'un disque de rayon r : r 2. II. Diviseurs Rappel Lorsqu'on pose la division euclidienne de deux nombres, on a : D=d q r et r d. Dividende (D) Diviseur (d) Quotient (q) Reste (r) 1/ Diviseurs d'un nombre entier a et b représentent deux nombres entiers non nuls. b divise a si le reste de la division euclidienne de a par b est nul. Est-ce que 3 divise 111? Oui car 3 37=111 (donc le reste de la division euclidienne de 111 par 3 est 0 ). Est-ce que 17 divise 54? Non, car 54= (le reste est égal à 3 ).

3 S'exprimer On peut dire que : 3 divise est divisible par 3 3 est un diviseur de 111. Rappels : critères de divisibilité Un nombre est divisible par 2 s'il est pair (le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8). Divisible par 3 : la somme des chiffres est dans la table de 3. Par 5 : évident! Par 9 : la somme des chiffres est dans la table de 9. Par 10 : évident! 2/ Recherche des diviseurs d'un nombre Exemple 1 Trouve tous les diviseurs de 84, sans en oublier! On trouve toutes les décompositions possibles de façon systématique : 84= = = = = =7 12 Les diviseurs sont les nombres qui interviennent dans les décompositions : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 et 84 Exemple 2 Même question avec ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56 3/ Diviseurs communs à deux nombres Exemple 1 D'après le paragraphe précédent, les diviseurs communs à 84 et 56 sont 1, 2, 4, 7, 14 et 28. Le plus grand d'entre eux est 28. Exemple 2 Trouve les diviseurs communs à 27 et 42. Diviseurs de 27 : 1, 3, 9, 27. Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 Diviseurs communs : 1 et 3 Plus grand diviseur commun : 3.

4 Application à la simplification de fraction Simplifie On sait que 28 est le plus grand des diviseurs communs à 84 et 56. On se sert donc de 28 pour simplifier : = = 3 2 On obtient directement une fraction irréductible. 4/ Nombres premiers entre eux Deux nombres sont premiers si le seul diviseur commun est 1. Remarque On pourrait dire aussi que ces deux nombres ne sont pas dans une même table de multiplication. 3 et 7 18 et 25 Interprétation 3 18 et sont irréductibles III. PGCD 1/ /Notation Le PGCD de deux nombres est le Plus Grand Commun Diviseur. Exemple/Méthode Quel est le PGCD de 24 et 36? Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24. Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36 Le PGCD est 12. Notation PGCD( 24, 36 )= 12

5 2/ Méthode par soustractions successives (avec calculatrice) a. Activité Comparer le PGCD de deux nombres ainsi que celui du plus petit et de leur différence. On pourra prendre 36 et 48. On trouve PGCD(36,48)=12 Plus petit : 36 Différence : 48-36=12 PGCD(12,36)=12 On remarque que PGCD(36,48)=PGCD(36,48-36). On continue sur le même principe : Plus petit entre 36 et 12 : 12 Différence : 36-12=24 PGCD(12,24)=12 Encore... Plus petit entre 12 et 24 : 12 Différence : 24-12=12 PGCD(12,12)=12 b. Méthode sur un exemple Quel est le PGCD de 1035 et 322? Plus petit Différence

6 Puisque PGCD(1035,322)=PGCD(322,713)=...=PGCD(23,23) alors PGCD(1035,322)=23. Par ailleurs, on a : =45 et = = = Autre exemple Même question avec 2886 et Plus petit Différence Donc PGCD(2886,1258)=74 Et encore un Calcule le PGCD de 2170 et Plus petit Différence Plus petit Différence Donc PGCD(2170,4433)=31. C'est un peu long!

7 3/ Méthode d'euclide (avec calculatrice) a. Activité On considère 36 et 48. Comparer le PGCD de ces deux nombres avec le PGCD du diviseur et du reste. On trouve assez facilement que PGCD(36,48)=12 Posons la division euclidienne de 48 par 36. Dividende (D) Diviseur (d) Quotient (q) Reste (r) PGCD(36,12)=12 On remarque PGCD(nombre1,nombre2)=PGCD(diviseur, reste) b. Méthode sur un exemple Calcule PGCD(1035,322) Dividende diviseur reste quotient PGCD(1035,322)=PGCD(46,23)=23. On remarque que c'est le dernier reste non nul.

8 Autre exemple Calcule le PGCD de 2170 et 4433 par la méthode d'euclide, et retrouve plus rapidement le résultat précédent. Dividende diviseur reste quotient Le dernier reste non nul est 31, c'est donc le PGCD recherché. 4/ Méthode par décomposition (cas simples) On a 210= et 84= On trouve le PGCD en prenant les nombres en commun dans les décompositions : PGCD 210,84 =2 3 7=42.