COMPARAISON LOCALE DES FONCTIONS

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1 COMPARAISON LOCALE DES FONCTIONS ) Fonction négligeable et sont deux fonctions définies sur un intervalle. Soit un élément de ou une borne de. On dit que est négligeable devant au voisinage de si et seulement si il existe 0 et une fonction :, tels que :,,avec0 Dans ces conditions on note : ou et lorsqu'aucune confusion n'est possible, En pratique si la fonction ne s'annule pas au voisinage de, on dit que est négligeable devant pour signifier que: 0 Montrer que la fonction est négligeable devant la fonction au voisinage de 0. Remarquons dire que ne s'annule pas au voisinage de ne signifie pas que 0 comme le montre l'exemple précédent. et sont deux fonctions définies sur un intervalle,. On dit que est négligeable devant au voisinage de si et seulement si il existe 0 et une fonction :, dans tels que :,, 0 Dans ces conditions on notera ou, ou encore si aucune confusion n'est possible,. En pratique cela revient à montrer que 0 Justifier que la fonction est négligeable devant au voisinage de.

2 On aura une définition de même type pour la négligeabilité en -. 2) Opérations sur les fonctions négligeables Propriétés et étant deux fonctions définies sur un même intervalle, un élément de ou une borne de ou ou -. ng Si et si alors ng2 Si et si alors ng3 Soit, si alors et ng4 Si ₁₁ et si ₂₂ alors ₁₂₁₂ Démontrer ces quatre propriétés. 2 Démontrer la propriété suivante : Soit une famille de fonctions telles que,, alors 3 On considère les fonctions :, : et :. Montrer que et sont négligeables devant en. En est-il de même pour le produit? Que peut-on en conclure pour le produit de fonctions négligeables? 4 Soit et deux familles de fonctions telles que,, Montrer que 5 On considère les fonctions :, :, : et :. Montrer que et que. A-t-on? Conclure. 3) Les théorèmes de croissance comparée Ces théorèmes qui ont été vus en classe terminale constituent un véritable constructeur de fonctions négligeables. Nous les donnerons ici sans démonstration. Ces théorèmes ont été revus et démontrés dans le TD sur les ites usuelles.

3 conditions ites fonctions négligeables ln 0 ln 0 ln 0 ln 0,0 ln 0 ln ln0 ln 0, ln 0 ln 0 0, ,0 0 3) Fonctions équivalentes et deux fonctions définies sur un intervalle et un élément de ou une borne de. On dit que et sont équivalentes au voisinage de si et seulement si : il existe 0 et une fonction :, dans tels que,, avec 0 Dans ces conditions, on notera ~ ou plus simplement s'il n'y a pas d'ambiguïté : ~ En pratique si 0 lorsque est proche de, dire que est équivalent à au voisinage de revient à dire que

4 Exemple On considère la fonction définie sur,00, par : 2 2 Montrer que l on a 2 En déduire que ~ 2 On a des équivalents classiques en 0 : ln~ ~ On a une définition du même type en l'infini : et sont deux fonctions définies sur un intervalle,. On dit que est équivalente à au voisinage de si et seulement si : il existe 0 et une fonction :, dans tels que,, avec 0 Dans ces conditions on notera ~, ou encore si aucune confusion n'est possible, ~. En pratique dire que est équivalent à au voisinage de revient à dire que On définit de la même façon l'équivalence au voisinage de. Montrer que 32~ Montrer queln ~ ~ 4) Propriétés de l'équivalence l étant un réel ou ou -. On a les propriétés suivantes qui sont des conséquences des théorèmes sur les ites :

5 Propriétés Si ~ alors ~ symétrie de la relation d'équivalence 2 Si ~ et si ~ alors ~ transitivité de la relation d'équivalence. 3 Si ₁~₁ et si ₂~₂ alors ₁₂~₁₂ compatibilité avec le produit. 4 Si ₁~₁ et si ₂~₂ alors ~ compatibilité avec le quotient, sous réserve d'existence des deux membres. 5 Si ~ et alors ~ compatibilité avec l'élévation à une puissance, sous réserve d'existence. 6 Si ~ alors ~ compatibilité avec la valeur absolue 7 Deux fonctions équivalentes ont même ite si cette ite existe. 8 Si l et si l0 alors ~l. attention au cas l0 9 Si ~ et si 0 alors ~ en général il n'y a pas compatibilité avec la composition d'où l'intérêt de cette situation particulière. 0 Si alors ~ Montrer que si 0, ~ 2 De façon générale démontrer que tout polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré en ou en. 3 Déterminer un équivalent de 2 3 en. 4 Calculer la ite de quand tend vers. 5 Montrer que 2,, est négligeable devant quand vers 0. En déduire un équivalent de 2 5 au voisinage de 0 Les pièges les plus fréquents : Remplacer des équivalents dans une somme : Par exemple et. On a ~ et ~ Or 2 qui n'est pas équivalent à 0. Utiliser des fonctions composées avec des équivalents On a Donc donc ~

6 A-t'on ~. Nous allons voir que non. On a Or