Commande des systèmes dynamiques 4. Entrée / Sortie

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1 Commande des systèmes dynamiques 4. Entrée / Sortie Dr. Ph. Mullhaupt Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL) SIE Baccelor IV Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 1 / 4

2 Contenu 1 Principe de superposition 2 Système linéaire 3 Réponse indicielle 4 Réponse impulsionnelle 5 Produit de convolution 6 Calcul opérationnel 7 Exemple Structure anti-sismique Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 2 / 4

3 Fonctions du temps Fonction définie pour t = [; [ (valeur nulle pour t < ) Notation : {f(t)} Graphique : f t Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 3 / 4

4 Principe de superposition Principe de superposition Soit un système avec une entrée et une sortie : u y Principe de superposition : pour tout {u 1 (t)} {y 1 (t)} {u 2 (t)} {y 2 (t)} il est vrai que {u(t)} := {u 1 (t) + u 2 (t)} {y(t)} = {y 1 (t)} + {y 2 (t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 4 / 4

5 Système linéaire Système linéaire Système linéaire entrée-sortie C est un système qui obéit au principe de superposition Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 5 / 4

6 Réponse indicielle Réponse indicielle Block de base Grâce au principe de superposition, on peut construire tous les signaux de sortie connaissant la réponse à un signal élémentaire. Considérons le signal élémentaire saut unité, ou saut indiciel que l on note {ɛ(t)} ɛ Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 6 / 4 t

7 Réponse indicielle Réponse indicielle La réponse indicielle {r(t)} La réponse indicielle {r(t)} est la sortie {y(t)} lorsque l entrée est un saut indiciel, c.-à-d. lorsque {u(t)} = {ɛ(t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 7 / 4

8 Réponse indicielle Réponse indicielle r t Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 8 / 4

9 Réponse indicielle Fonction constante par morceaux Elément de base C est la somme de deux sauts unité, mais un est décalé sur la droite {u(t)} = {ɛ(t) ɛ(t h)} u t Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 9 / 4

10 Réponse indicielle Fonction constante par morceaux La sortie... est obtenue par le principe de superposition {y(t)} = {r(t) r(t h)} y t Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 1 / 4

11 Réponse indicielle Fonction constante par morceaux { 3 } {u(t)} = u i (ɛ(t ih) ɛ(t (i + 1)h)) i= (h = 1) u t Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 11 / 4

12 Réponse indicielle On applique le principe de superposition... { 3 } {y(t)} = u i (r(t ih) r(t (i + 1)h) i= y t 6 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 12 / 4

13 Réponse indicielle Somme des réponses élémentaires Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 13 / 4

14 Réponse indicielle Réponses élémentaires y t 6 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 14 / 4

15 Réponse indicielle Somme des réponses élémentaires y t 6 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 15 / 4

16 Réponse indicielle Produit de convolution Faisons une somme jusqu à la partie entière de t/h (notée [t/h]) [t/h] {u(t)} = u i (ɛ(t ih) ɛ(t (i + 1)h)) i= Divisons et multiplions par h ( h h = 1, cela ne change rien...) [t/h] ɛ(t ih) ɛ(t (i + 1)h) {u(t)} = u i h h i= Passons à la limite lim h, ce qui induit, ih τ,u i u(τ) et h (à droite) devient dτ { t ( ) } ɛ(t τ) ɛ(t τ + h) {u(t)} = u(τ) lim dτ h h Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 16 / 4

17 Réponse indicielle Impulsion de Dirac Définition {δ(t)} := lim h {ɛ(t)} {ɛ(t h)} h Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 17 / 4

18 Réponse indicielle Impulsion de Dirac Ci-dessous, ɛ(t) ɛ(t h) h, pour h h = 5 h = 2 h = h =.5 h =.25 h =.1 h >, t >, t ɛ(τ) ɛ(τ h) dτ = 1 h t δ(τ)dτ = 1 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 18 / 4

19 Réponse indicielle Identité neutre En partant de la dernière identité { t ( ) } ɛ(t τ) ɛ(t τ + h) {u(t)} = u(τ) lim dτ h h on aboutit à l identité neutre { t {u(t)} = } u(τ)δ(t τ)dτ Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 19 / 4

20 Réponse impulsionnelle Réponse impulsionnelle Définition Lorsque {u(t)} = {δ(t)}, la réponse impulsionnelle {g(t)} est la sortie {g(t)} := {y(t)} 1..5 {δ(t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 2 / 4

21 Réponse impulsionnelle Construction progressive de la réponse impulsionnelle Ci-dessous, r(t) r(t h) h, pour h h = 5 h = 2 h = h =.5 h =.25 h =.1 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 21 / 4

22 Produit de convolution Produit de convolution On reprend l identité neutre... { t {u(t)} = } u(τ)δ(t τ)dτ...et on applique le principe de superposition { t } {y(t)} = u(τ)g(t τ)dτ Définition du produit de convolution (valable {u(t)}) { t } {y(t)} = {u(t)} {g(t)} := u(τ)g(t τ)dτ Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 22 / 4

23 Produit de convolution Propriétés du produit de convolution Commutatif {a(t)} {b(t)} = {b(t)} {a(t)} Associatif {a(t)} ({b(t)} {c(t)}) = ({a(t)} {b(t)}) {c(t)} Distributif par rapport à l addition {a(t)} ({b(t)} + {c(t)}) = {a(t)} {b(t)} + {a(t)} {c(t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 23 / 4

24 Calcul opérationnel L opérateur neutre 1 Il représente un système qui ne modifie pas le signal d entrée {u(t)}. {u(t)} 1 {u(t)} En comparant la formule générale { t } {y(t)} = u(τ)g(t τ)dτ = {u(t)} {g(t)} à l identité neutre { t {u(t)} = on obtient l expression } u(τ)δ(t τ)dτ = {u(t)} {δ(t)} 1 = {g(t)} = {δ(t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 24 / 4

25 Calcul opérationnel L opérateur intégral i Il représente l intégrale du signal d entrée {u(t)}. {u(t)} i { t u(τ)dτ} En comparant la formule générale { t } {y(t)} = u(τ)g(t τ)dτ = {u(t)} {g(t)} à la sortie intégrale du signal d entrée { t } {y(t)} = u(τ)dτ = {u(t)} {ɛ(t)} on obtient l expression i = {g(t)} = {ɛ(t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 25 / 4

26 Calcul opérationnel L opérateur d (inverse de i) Définition Théorème d i = i d = 1 d {f(t)} := {f (t)} + f() Démonstration {f(t)} {f()} = { t {f(t)} i f() = i {f (t)} } f (τ)dτ {f(t)} = i {f( (t)} + i f() d {f(t)} = {f (t)} + f() (on a utilisé {f()} = i f() et d i = 1) Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 26 / 4

27 Calcul opérationnel Notation abrégée Attention! On a plongé les nombres dans l espace des opérateurs. Ainsi on ne distingue pas 1 de 1{δ(t)} = 1. 1 := 1{δ(t)} = {δ(t)} = 1 De même, on ne distingue pas le nombre 3 de 3{δ(t)} 3 := 3{δ(t)} A ne pas confondre... 3 = 3{δ(t)} {3} = {3ɛ(t)} = 3{ɛ(t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 27 / 4

28 Calcul opérationnel Discontinuité due à la condition initiale n est pas l inverse de d d dt dt ( 1 1 sin(t) + 2 ) = 1 1 cos(t) car 1 1 cos(τ)dτ = 1 1 sin(t) 1 1 sin(t) + 2 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 28 / 4

29 Calcul opérationnel Discontinuité due à la condition initiale d est l inverse de i pour { } { } { } d 1 sin(t) + 2 = 1 cos(t) + 2 = 1 cos(t) + 2{δ(t)} = = = ({ 1 i 1 cos(t) { } 1 1 sin(t) { } 1 1 sin(t) { 1 1 sin(t) + 2 } + 2 i + 2{ɛ(t)} } ) + 2{δ(t)} On retrouve la condition initiale de manière correcte! Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 29 / 4

30 Calcul opérationnel Pas de diviseur de zéro (anneau intègre) Th. de Titchmarsh Si {a(t)} {b(t)} = {} alors nécessairement {a(t)} = {} ou/et {b(t)} = {} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 3 / 4

31 Calcul opérationnel Construction du corps de fraction S il n y a pas de diviseur de zéro (anneau intègre) on peut construire un corps de fraction associé. Il suffit d écrire par convention une barre de fraction et de s accorder sur les règles suivantes : {a(t)} {b(t)} + {c(t)} {d(t)} {a(t)} 1 := {a(t)} {d(t)} + {c(t)} {b(t)} {b(t)} {d(t)} := {a(t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 31 / 4

32 Calcul opérationnel Utilité pour la résolution des équations différentielles d {e αt } = {αe αt } + 1 = α{e αt } + 1 {e αt } = 1 d α Correspondance entre la fonction {e αt } et l opérateur 1 d α Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 32 / 4

33 Calcul opérationnel Table de correspondances (égalité) opérateur fonction graphique a d α α < {ae αt } a d α α > {ae αt } ad d 2 +ω 2 {a cos(ωt)} aω d 2 +ω 2 {a sin(ωt)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 33 / 4

34 Calcul opérationnel Table de correspondances (égalité) opérateur fonction graphique a(d α) (d α) 2 +ω 2 α > {ae αt cos(ωt)} a(d α) (d α) 2 +ω 2 α < {ae αt cos(ωt)} aω (d α) 2 +ω 2 α > {ae αt sin(ωt)} aω (d α) 2 +ω 2 α < {ae αt sin(ωt)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 34 / 4

35 Exemple Structure anti-sismique Immeuble : réponse impulsionnelle d t 2 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 35 / 4

36 Exemple Structure anti-sismique Modèle (rappel) m d 1 = k(d d 1 ) + k(d 2 d 1 ) bd 1 m d 2 = k(d 1 d 2 ) + k(d 3 d 2 ) bd 2 m d 3 = k(d 2 d 3 ) + k(d 4 d 3 ) bd 3 m d 4 = k(d 3 d 4 ) bd 4 Valeurs numériques {d (t)} = {δ(t)}, k = 1, b = 2 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 36 / 4

37 Exemple Structure anti-sismique Réponse impulsionnelle 16 {d 4 (t)} = d 8 + 2d d d d d d d + 16 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 37 / 4

38 Exemple Structure anti-sismique Immeuble : 4 composantes (modes) {d 4 (t)} = (d +.25) (d +.25) (d +.25) (d +.25) Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 38 / 4

39 Exemple Structure anti-sismique Immeuble : 4 composantes (modes) t 2 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 39 / 4

40 Exemple Structure anti-sismique Immeuble : 4 composantes (modes) opérateur fonction graphique (d+.25) {1.953e.25t sin(1.523t)} (d+.25) { 1.493e.25t sin(4.465t)} (d+.25) {.822e.25t sin(6.847t) (d+.25) {.233e.25t sin(8.41t)} 1 2 Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 4 / 4