Lois de comportement

Transcription

1 Lois de comportement. Introduction Dans un essai de traction simple (Figure ), tant que la contrainte est inférieure au seuil de plasticité, on observe un comportement linéaire. Lorsqu on dépasse le seuil de plasticité (point A) le comportement n est plus linéaire et lorsqu on décharge l éprouvette on a une déformation irréversible dite anélastique ou plastique. Si à partir du point C, on charge l éprouvette en compression, le comportement est linéaire jusqu au point D. On note donc une évolution du seuil de plasticité avec la déformation plastique. On parle d écrouissage. Si CDBC on parle d écrouissage isotrope (la taille du domaine élastique augmente mais celui-ci reste centré sur ). Si BDOA on parle d écrouissage cinématique (la taille du domaine élastique reste constante mais celui-ci n est plus centré sur ). Dans la pratique, on observe un écrouissage mixte CDBC et BDOA (la taille du domaine élastique augmente et son centre se déplace). La courbe de traction de la figure fait apparaître un comportement élastoplastique caractéristique d un matériau ductile. F r e A B s L O C p e F r Figure D A des degrés différents, les matériaux sont sensibles à la vitesse de déformation. D une manière générale, on observe une augmentation de la limite d élasticité avec la vitesse de déformations (Figure 2). La prise en compte de ce phénomène est importante pour les applications de crash et d impact. e & Figure 2 Le comportement peut également avoir un caractère visqueux et dépendre ainsi du temps. Un tel comportement peut être mis en évidence à l aide d essais de fluage (Figure ) ou de relaxation (Figure 4)

2 t t t t Figure Figure4 Les comportements décrits précédemment sont approchés par des modèles appropriés. La complexité du modèle de comportement dépend de l application à l étude et des prédictions souhaitées. Dans le cadre de ce cours, on se limite au comportement élastique linéaire. Dans le cas de la traction simple de la figure, la loi de Hooke s écrit sous la forme : () la contrainte, la déformation et le module de Young. Sauf mention contraire, on s intéresse à des alliages métalliques. Par conséquent, on suppose être dans le cadres des petites perturbations tant qu on est dans le domaine élastique. La contrainte et la déformation sont définies par : F (2) S ΔL () L Il est à noter qu on ne fait aucune distinction entre S et S d une part et entre L et L d autre part en raison de l hypothèse de petites perturbations. Dans ce chapitre, on généralise cette loi de Hooke au cas tridimensionnel et on examinera des états particuliers tels que l état de contraintes planes et l état de déformations planes. 2. Comportement élastique linéaire (le cas général) Dans le cas général d un état de contraintes et un état de déformations quelconque, la loi de Hooke prend la forme suivante : ij C ijkl kl (4) C est un tenseur constitutif d ordre 4 qui possède 8 composantes indépendantes. Pour des raisons de symétrie qu on ne détaille pas ici, on peut montrer que dans le cas général d un comportement anisotrope (comportement différent dans chaque direction) C peut être défini à

3 l aide de 2 constantes indépendantes. Pour illustrer cela, on utilise la notation dite de Voigt pour représenter [ ] et[ ] sous forme vectorielle : [ ] 2 2 (5). [ ] γ γ γ (6) n adoptant la notation décrite précédemment, la loi de comportement (4) peut s écrire sous la forme matricielle suivante : [ ] C (7) 2 La matrice[ C ] est définie à l aide de 6 coefficients mais comme elle doit être symétrique, elle ne compte que coefficients. Comportement élastique linéaire isotrope Le comportement d un milieu est dit isotrope lorsqu il est identique dans toutes les directions. On peut montrer que dans ce cas le tenseur constitutif C est invariant dans un changement de repère. Par conséquent, il est de la forme : ( ) Cijkl δijδkl + 2 μ δik δil + δijδjk (8) et μ sont les coefficients de Lamé qui s expriment en fonction de et respectivement module de Young et coefficient de Poisson. Avec l expression (8) du tenseur constitutif, la loi de comportement peut s écrire sous le forme : ij kk δij + 2 μ ij ou [ ] tr ([ ] )[ I] + 2μ[ ] (9) ou sous forme matricielle :

4 + 2μ + 2μ + 2μ μ μ μ ().. Relation entre, μ, et On considère le cas de la traction simple avec x pour axe de traction. Dans ce cas, [ ] ont les formes suivantes : et[ ] [ ], [] () De plus, on sait grâce à la loi de Hooke en unidirectionnelle que :, () Les trois premières relations de l équation () en tenant compte de () et () s écrivent sous la forme : ( + 2μ) + + ( + 2μ) + + ( + 2μ) + + () De ces relations, on peut déduire : 2 + μ μ + μ ( ) ( + 2μ) (4) On établit ainsi des relations qui permettent de relier etμ à et. μ 2( + ) ( + )( 2), ( + 2μ) μ + μ 2( + μ) (5)

5 .2. Autre forme de la loi de comportement La relation () est biunivoque. On peut l inverser pour exprimer les déformations en fonction des contraintes. Si de plus on remplace etμ par leurs expressions en fonction de et on obtient la loi de comportement sous la forme suivante : ij kk δij + + ou sous forme matricielle : ij + ou [] tr( [ ] )[] I + [ ] (6) 2 ( + ) 2 ( + ) 2 ( ) + 2 (7) Cette dernière relation combinée à la relation () permet d exprimer la loi de comportement dans les deux sens. De plus, les deux équations combinées permettent de déduire facilement les relations entre etμ d une part et et d autre part... Relations entre sphériques (variation de volume, module de compressibilité) A partir des relations (9) ou (6), on peut relier la partie sphérique du tenseur de contrainte à la partie sphérique du tenseur de déformations par : tr tr ([ ] ) ( + 2μ) tr( [] ) 2 ([] ) tr( [ ] ) ou kk kk ( + 2μ) 2 kk kk (8) Nous avons vu par ailleurs que tr( [] ) représente la variation relative de volume. Nous avons également établi que la déformation peut être décomposée en un changement de volume à forme constante et un changement de forme à volume constant. On peut maintenant examiner comment se traduit cette partition en terme de comportement. Les relations de l équation (8) sont toutes équivalentes et on peut les résumer sous la forme : ([ ] ) Ktr( [] ) tr avec K + 2μ (9) 2 K est le module de compressibilité qui permet de relier la variation relative de volume à la partie sphérique des contraintes. Lorsque la variation relative de volume est nulle on a : 2 tr ([] ) (2) tr( [ ] ) On constate qu on a une conservation de volume dans deux cas :

6 Lorsque le milieu est incompressible ce qui se traduit par. 5 Lorsque la partie sphérique des contraintes est nulle (l état de contraintes est un déviateur).4. Relations entre déviateurs (module de cisaillement) A l instar des parties sphériques, on peut relier les déviateurs de contraintes et de déformations. Pour cela, on rappelle l expression du déviateur de contraintes [S] et celle du déviateur de déformations [e] : [] S [] tr( [ ] )[] I, [] e [] tr( [] )[] I Pour établir une relation entre [S] et [e], on part de la définition de [S] et on remplace [ ] et tr ([ ] ) par leurs expressions tirées de la loi de comportement : (2.) [] S 2 μ[] tr( [] )[] I (2.2) S 2 μ e (2.) [] S [] tr( [ ] )[] I tr( [] )[] I + 2μ[] ( + 2μ) tr( [] )[] I [] [] La relation (2.) montre qu une déformation qui se fait à volume constant (changement de forme à volume constant) ne fait intervenir que le déviateur des contraintes. Réciproquement, un état de contraintes qui est un déviateur n induit pas de changement de volume. [S] et [e] sont reliés par le module de cisaillement μ qu on note souvent G : G () 2 + ( ).5. tats de contraintes planes et état de déformations planes Dans ce paragraphe, on examine les cas particuliers de contraintes planes et de déformations planes qui sont souvent utilisés en première approximation pour simplifier les problèmes..5. tat de contraintes planes On rencontre des états de contraintes planes lorsqu on s intéresse aux structures minces (plaques, coques). p r (2) x X X 2 x 2 x x x x X x Figure5

7 On considère la structure de la figure 5. Si on se place dans le repère local (x,x 2,x ) et on exprime la condition d équilibre : r r () [ ] n F La surface étant libre, est nulle sur les peaux et comme l épaisseur est petite, on suppose qu elle est nulle partout. De même pour les contraintes et sont nulles. On a donc un état de contraintes planes de la forme : [ ] les autres composantes sont nulles (24) On exprime la contrainte à l aide de la loi de comportement : ( ) + ( + μ) + 2 (24) + 2μ ( ) ( ) + + (25) La loi de comportement dans le cas particulier des contraintes planes peut être exprimée en replaçant par son expression (25) dans l équation (9) : 2 ou + (26) Aux équations précédentes, il faut ajouter ( + )..5.2 tat de déformations planes On rencontre des états de déformations planes, lorsqu on traite des structures massives de grandes longueurs chargées dans le plan de la section droite (Figure 6). A titre d exemple, on considère le cas d un barrage pesant. La déformation dans le sens x peut être considérée nulle ce qui permet de se ramener à un problème plan (on examine ce qui se passe dans une section) x 2 x O ρ f α ρ L x 2 A B x x Figure6

8 Le tenseur de déformations est de la forme : [] les autres composantes sont nulles. On exprime la contrainte à l aide de la loi de comportement : ( ( + ) + ) (27) ( ) + (28) La loi de comportement dans le cas particulier des déformations planes peut être exprimée sous la forme : ( )( ) Aux équations précédentes, il faut ajouter ( ) +. (29)