δ(q, x) = (q, y, d) x = y = B d =
|
|
- Émilie Savard
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 ÆÓØ Ù ÓÙÖ ÐÙÐ Ð Ø Ø ÄÓ ÕÙ ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ ¾¼¼ ¹ ¾¼¼ Àº ÓÑÓÒ¹ÄÙÒ ¼ ¹¼ µ Ⱥ¹ º Ê ÝÒ Ö ¼ ¹¼ µ Ⱥ Ë ÒÓ Ð Ò ¼ ¹¼ µ º¹Êº Ë ÒÓØ ¼ ¹¼ µ ˺ À ¼ ¹¼ µ º Ë Ö Ò ÐÓ ¼ ¹¼ µ
2 Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ ¾ Å Ò ÌÙÖ Ò Ø Ö ÙÖ Ú Ø ¾º½ Å Ò ÌÙÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ú Ñ Ò ÌÙÖ Ò LWHILEµ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÓÒØ ÓÒ ÐÙÐ Ð Ð Ò Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÙÐ º º º º º º º º º º º ¾º ÕÙ Ú Ð Ò ØÝÔ Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Å Ò ÌÙÖ Ò ÙÒ Ú Ö ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Ê ÙØ ÓÒ ÕÙ ÐÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð ½¾ º½ Ê ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ Ì ÓÖ Ñ Ê º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÈÖÓ Ð Ñ Ô Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÈÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ½ º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÑÔ Ö Ø Ú LFORµ ½ º¾º¾ À Ö Ö ÖÞ ÓÖÞÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º¾º Ä ÓÒØ ÓÒ ³ ÖÑ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ô ÖØ ÐÐ ØÓØ Ð µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ð ÖÓÒØ Ö Ð Ð Ø ¾ º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ú Ô ÖØ ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ Ú ÖÓÒÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½
3 Ô ØÖ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ P(d) ÕÙ Ô Ò ³ÙÒ ÓÒÒ d Ô Ö Ü ÑÔРع ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö d Ø ÔÖ Ñ Ö Ø¹ ÕÙ Ð Ö Ô d Ø ÔÐ Ò Ö Ø¹ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ d Ò Ø ØÓÙ ÓÙÖ Ô Ö ³ ÖÖ Ø Ö ÕÙ Ð ÕÙ Ó Ø Ð ÒÓÑ Ö n ÕÙ³ÓÒ ÐÙ ÓÙÑ Ø Ò ÒÔÙØ Øºµº ³ÙÒ ÔÓ ÒØ ÚÙ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ö ÓÙ Ö P(d) ÙÔÔÓ ³ÙÒ Ô ÖØ ÙÒ ÑÓ Ð ÐÙÐ M Ø ³ ÙØÖ Ô ÖØ ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓ Ð ÓÒØ Ð³ ÒÔÙØ Ø d Ø ÕÙ ³ ÖÖ Ø Ò Ö ÔÓÒ ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒº Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÙØ ØÖ Ö ÓÐÙ ÓÒ Ø ÕÙ³ Ð Ø Ð µ гÓÒ Ô ÙØ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÑÓ Ð ÐÙÐ Ø ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ ÕÙ Ö ÔÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒÒ dµº Ä Ø ÙÖ Ø ÔÙÐ ÕÙ ØØ ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ø Ø Ò Ô Ò ÒØ Ù ÑÓ Ð ÐÙÐ Ø Ù ÕÙ³ Ö ÑÑ ÒØ ÙÙÒ ÑÓ Ð ÐÙÐ Ò³ Ø Ú ÒÙ ÒÚ Ð Ö ØØ Ø º ÙÖ ÒØ Ð ÓÙÖ ÒÓÙ Ö ÒÓÒØÖ ÖÓÒ ÔÐÙ ÙÖ ÑÓ Ð ÐÙÐ Ø ÑÓÒØÖ ÖÓÒØ ÕÙ³ Ð ÓÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÑÙÐ Ð Ð ÙÒ Ô Ö Ð ÙØÖ Ò ÙÒ Ò ÕÙ Ö ÔÖ µº Ò Ð ÒÓØ ÓÒ Ð Ø Ö Ò ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓ Ð ÐÙÐ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò µ Ñ ÐÐ ÙÒ ÔÓÖØ ÙÒ Ú Ö ÐÐ º ÍÒ ÙØÖ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ø Ð Ñ ÙÖ Ð ÙÐØ ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ P ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ø Ð º Ä ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÙÖ Ò Ø ÖÑ Ö ÓÙÖ ÙØ Ð Ô Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ÓÐÚ ÒØ P ÒÓÑ Ö ³ Ø Ô ÐÙÐ ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ø ÑÔ µ Ô ØÓ Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ô µ Ø ÐÐ Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ ººº ÔÓ ÒØ ÚÙ Ð ÑÓ Ð ÐÙÐ Ò ÓÒØ Ô ÕÙ Ú Ð ÒØ º ÇÒ Ñ Ö Ø Ò Ö Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÒØÖ Ò ÕÙ ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÑÔ Ô Ö Ü ÑÔÐ µ Ò ÙÒ ÑÓ Ð M ÓÑÑ Ð Ñ Ò ÑÙÑ Ø ÑÔ ³ Ü ÙØ ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ÓÐÚ ÒØ Mº Å Ð Ø ÑÔ ÐÙÐ ³ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ ÕÙ Ö ÓÙØ P Ô Ò Ð Ú Ð ÙÖ Ð ÓÒÒ dº ÁÐ ÙØ ÓÒ ÓÑÔ Ö Ö ÓÒØ ÓÒ Ñ Ð³ÓÖ Ö ÒÓÒ ÕÙ Ò Ô Ö f g def d.f(d) g(d) Ò³ Ø Ò ØÓØ Ð Ò Ò ÓÒ º ¾
4 Ô ØÖ ¾ Å Ò ÌÙÖ Ò Ø Ö ÙÖ Ú Ø ÆÓØ Ø ÓÒ ÍÒ ÑÓØ ÙÖ Ð³ ÐÔ Ø Σ Ø ÙÒ Ù Ø Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ Ú µ ³ Ð Ñ ÒØ Σº Ë Ù ÔÖ ÓÒ ÓÒØÖ Ö ÓÒ Ò ÓÒ Ö ÕÙ ÑÓØ Ò º Ë A, B Σ ÓÒØ Ò Ñ Ð ÑÓØ ÙÖ Ð³ ÐÔ Ø Σ A + B Ø Ð³ Ò Ñ Ð A B a Ó a Σµ Ø Ð³ Ò Ñ Ð Ö Ù Ø Ù ÑÓØ a ǫ Ø Ð ÑÓØ Ú A B Ø Ð³ Ò Ñ Ð {w 1 w 2 w 1 A, w 2 B} A Ø Ð³ Ò Ñ Ð ÑÓØ w Ø Ð ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ Ö k N Ø k ÑÓØ w 1,...,w k A Ø Ð ÕÙ w = w 1 w k k = 0 Ø ÔÓ Ð µº ¾º½ Å Ò ÌÙÖ Ò ÁÐ Ü Ø ØÖ ÒÓÑ Ö ÙÜ ÑÓ Ð ÐÙÐ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ ÔÐÙ ÓÙ ÑÓ Ò Ò Ö Ø ØÙÖ Ñ Ø Ö ÐÐ ÖÙ Ø ÓÙ Ð Ò º Ä Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÓÒ Ø ØÙ ÒØ Ò ÒÑÓ Ò Ð ÑÓ Ð Ö Ö Ò ÒÓÒØÓÙÖÒ Ð ÔÓÙÖ Ö ÓÒ ØÓÖ ÕÙ º ÁÐ ³ Ø ³ÙÒ ÑÓ Ð ØÖ Ò Ú Ù Ò Ð ÕÙ Ð ÓÒ Ò ÔÓ ÕÙ ³ÙÒ ØÖÙØÙÖ ÓÒÒ Ð ÑÓØ µ Ø ³ÙÒ ÙÐ Ò ØÖÙØ ÓÒ ÇÌǵ Ò ÓÖ Ð ØÙÖ Ø Ö ØÙÖ º ÁÐ Ü Ø ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö ÒØ Ñ Ò ÌÙÖ Ò º ÐÐ ÓÒØ ØÓÙØ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò ÓÖ Ú Ð Ø ÙÖ µ Ù ÔÓ ÒØ Ú٠г ÜÔÖ Ú Ø º Å ÐÐ Ò ÓÒØ Ô ÕÙ Ú Ð ÒØ Ù ÔÓ ÒØ ÚÙ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø º Ä Ò Ø ÓÒ ¾º½º½ ÕÙ Ù Ø Ö ÑÓ ÔÐÙ Ø Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ò Ö Ð Ð ÓÑÔÐ Ü Ø º Ò Ø ÓÒ ¾º½º½ ÍÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Å̵ Ø ÙÒ ØÙÔÐ (Q, q 0, Σ, δ, {B, $}, q B ) Ó Q Ø ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ³ Ø Ø q 0 Q Ø Ð³ Ø Ø Ò Ø Ð Σ Ø ÙÒ ÐÔ Ø Ò B, $ Σ ÓÒØ ÙÜ ÝÑ ÓÐ Ô ÙÜ Ø ÒØ B Ð Ò $ Ñ ÖÕÙ ÙÖ ÙØ µ Q B Ø ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ³ Ø Ø ÕÙ ÙØÓÖ Ð³ Ö ØÙÖ Ð Ò δ : Q Σ ( Q { ÔØ, Ö Ø} ) Σ {,, } Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ú Ö ÒØ Ð ÓÒØÖ ÒØ Ù Ú ÒØ ½º ÈÓÙÖ ØÓÙØ q Q Ð Ü Ø q Q Ø Ð ÕÙ δ(q, $) = (q, $, ) ¾º ÈÓÙÖ ØÓÙØ q, q Q x Σ d {,, } δ(q, x) = (q, $, d) x = $ d = º ÈÓÙÖ ØÓÙØ x $ Ð Ü Ø q Ø Ð ÕÙ δ(q B, x) = (q, B, ) º ÈÓÙÖ ØÓÙØ q, q Q, x Σ d {,, } δ(q, x) = (q, B, d) q Q B d = º ÈÓÙÖ ØÓÙØ q Q, q Q B, x, y Σ d {,, } δ(q, x) = (q, y, d) x = y = B d =
5 º ÈÓÙÖ ØÓÙØ q, q Q, x Σ δ(q, B) = (q, x, ) x B ÉÙ ÐÕÙ Ö Ñ ÖÕÙ Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ò ÚÖ ½º ÇÒ ÒÓØ Ö Ù ÔØ Ö Ôº Ö Øµ q Y Ö Ôº q N µº ÇÒ ÒÓØ Ö Ù q 0 q I º ¾º δ Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ø Ô ÓÖ Ñ ÒØ ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒº ËÓÒ ÓÑ Ò Ò Ø ÓÒ Ô ÙØ Ò³ ØÖ ÕÙ³ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ØÖ Ø Q Σº Ò Ð Ù Ø ÓÒ Ö ÓÑÑ δ Ø Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÐ Ø ÒØ Ð Ò Ø ÓÒ δ Ô Ö δ(q, a) def = (Ö Ø, a, ) ÙÖ Ð ÓÙÔÐ (q, a) Ó ÐÐ Ø Ò Ò º º Ä Ö ØÖ Ø ÓÒ ÙÖ δ ÑÔÐ ÕÙ ÒØ ÕÙ³ÓÒ Ò ÔÐ Ñ Ù Ù Ñ ÖÕÙ ÙÖ ÙØ Ø ÕÙ³ÓÒ Ò Ô ÙØ Ô Ð³ Öº ÐÐ ÑÔÐ ÕÙ ÒØ Ù ÕÙ Ð ÓÒØ ÒÙ Ð Ò ØÓÙ ÓÙÖ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ Ù Ú Ð ØØÖ Σ \ {B, $} Ø Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ð Ò º º ØØ Ò Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÜ Ñ Ò ÙÒ ÙÐ ÖÙ Ò ÔÔ Ð ÒÓÖ Ò Ð Ñ Ò ÔÐÙ ÙÖ ÖÙ Ò ÖÓÒØ ÓÖ ¹ ÓÙ º º ÁÐ Ò³Ý Ô ³ Ø Ø Ò Ð Ò ØØ Ò Ø ÓÒº ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ø Ù ÓÒ Ö Ö ÔØ ÓÑÑ ÙÒ ÕÙ Ø Ø Ò Ð Ð Ò³Ý Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÙ ÙÒ Ø Ø Ò Ðº º ØØ Ò Ø ÓÒ ÙØÓÖ Ò Ô Ö ÑÓÙÚ Ñ ÒØ º¹¹ º ÕÙ³ ÐÐ ÙØÓÖ δ(q, a) = (...,..., ) ÕÙ Ò³ Ø Ô ØÓÙ ÓÙÖ Ô ÖÑ Ô Ö ³ ÙØÖ ÙØ ÙÖ º º ÇÒ ØÖÓÙÚ Ô Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ó ÙÖ ÒØ ÙÜ ÐÔ Ø ÙÒ ÐÔ Ø ØÖ Ú Ð Ø ÙÒ ÐÔ Ø ³ ÒØÖ º ÈÓÙÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ ÒÓÙ ÓÖ ÓÒ ØØ Ø ÒØ ÓÒ Ò³ Ø Ô Ô ÖØ Ò ÒØ º º ÆÓ Ñ Ò ÓÒØ Ø ÖÑ Ò Ø δ Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ø ÒÓÒ ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒº ÈÓÙÖ Ð³ ÙÖ Ð ÒÓ٠٠غ Ä Ñ Ò ÒÓÒ¹ Ø ÖÑ Ò Ø ÖÓÒØ ÒØÖÓ Ù Ø ÕÙ Ò Ð Ö Ò Ö º Ä Ò Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒÒ Ð Ñ ÒØ ÕÙ ³ÙÒ ÐÙÐ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ó Ð Ò Ø ÚÙ ÓÑÑ ÙÜ ÑÓØ Ò ÓÒØ Ð ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ø Ð ÓÒØ ÒÙ Ò Ø Ð Ò ÓÑÔÐ Ø Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ Ô Ö ÙÒ ÓÙ ÔÐÙ ÙÖ Ð Ò º Ä ÓÒ ÑÓØ Ø ÒÓÒ Ú Ø Ð Ø Ø Ð ØÙÖ ÔÓ ÒØ ÙÖ ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ º Ä ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø ÐÓÖ ÙÒ ØÖ ÔÐ Ø ÓÑÔÓ ÙÜ ÑÓØ Ø ³ÙÒ Ø Øº Ò Ø ÓÒ ¾º½º¾ ½º ÍÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò M = (Q, q 0, Σ, δ, {B, $}) Ø ÙÒ ØÖ ÔÐ Ø γ = (w, q, w ) Ó w, w Σ, q Q { ÔØ, Ö Ø} Ø w ǫº ¾º Ø ÒØ ÓÒÒ w 0 Σ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÙÖ Ð³ ÒØÖ ÓÙ Ð ÓÒÒ µ w 0 Ø (ǫ, q 0, $w 0 )º º Ä ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð ÓÒØ ÐÐ Ð ÓÖÑ (w, q, w ) Ø ÐÐ ÕÙ q { ÔØ, Ö Ø}º º M Ô ÙØ Ö ÙÒ ÑÓÙÚ Ñ ÒØ (w, q, aw ) Ú Ö (w 1, q 1, w 1) Õ٠гÓÒ ÒÓØ (w, q, aw ) (w 1, q 1, w 1) ÓÒ Ø Ò Ð³ÙÒ Ù Ú ÒØ w 1 = wb, w 1 = w B δ(q, a) = (q 1, b, ) w 1 = w, w 1 = bw δ(q, a) = (q 1, b, ) w = w 1 c w 1 = cbw δ(q, a) = (q 1, b, )º Ä ÑÓÙÚ Ñ ÒØ Ù Ø ÖÓ Ø ÓÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÖ ¾º½º Ò Ø ÓÒ ¾º½º ÍÒ ÐÙÐ ³ÙÒ Ñ Ò M ÙÖ ÙÒ ÑÓØ w Ø ÙÒ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ γ 0, γ i,..., γ n,... Ø ÐÐ ÕÙ γ 0 = (ǫ, q 0, $w) Ø i > 0. γ i 1 γ i º ÔÐÙ ØØ Ù Ø Ò Ô ÙØ ØÖ Ò ÕÙ ÐÐ ³ Ú ÙÖ ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð º Ü ÑÔÐ ¾º½º½ ËÓ Ø M Ð Ñ Ò ÓÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð Ø Ð $ 0 1 B q 0 q 0, $, q 0, 0, q 1, 0, ÔØ, 0, q 1 q 0, 1, q 1, 1, ÔØ, 1, ÇÒ ÖÓÙÐ Ö ÙÒ ÐÙÐ Ð Ñ Ò ÙÖ Ð ÑÓØ ³ ÒØÖ 0110º Ò Ø ÓÒ ¾º½º ÍÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò k ÖÙ Ò Ø ÙÒ ØÙÔÐ (Q, q 0, Σ, δ, {B, $}) Ó
6 ÅÓÙÚ Ñ ÒØ ÖÓ Ø w w w 1 w 1 a q b q ÅÓÙÚ Ñ ÒØ Ù w w w 1 w 1 c a c b q q º ¾º½ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø ÑÓÙÚ Ñ ÒØ ³ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Q Ø ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ³ Ø Ø q 0 Q Ø Ð³ Ø Ø Ò Ø Ð Σ Ø ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ÝÑ ÓÐ B, $ Σ ÈÓÙÖ ØÓÙØ i k Q B,i Ø ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ³ Ø Ø ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ð³ Ö ØÙÖ B ÙÖ Ð ÖÙ Ò i δ Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Q Σ k Ò (Q { ÔØ, Ö Ø}) (Σ {,, }) k Ú Ö ÒØ ÓÒØÖ ÒØ Ñ Ð Ö ÐÐ ³ÙÒ Ñ Ò ÙÒ ÖÙ Òº Ä Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ³ Ø Ò k ÖÙ Ò Ð Ù Ø ÓÒ Ö Ö ØØ Ó Ð k ÓÒØ ÒÙ ÖÙ Ò Ø Ð k ÔÓ Ø ÓÒ Ø Ø Ð ØÙÖ º Ä ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ò ÓÒØ ÒØ ÝÑ ÓÐ ÒÓÒ Ð Ò ÓÙ ÕÙ ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙ Òº Ä Ò Ø ÓÒ ÑÓØ ÔØ Ö Ø Øº ³ Ø Ò º ÈÓÙÖ Ð ÐÙÐ ÓÒØ ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ù ÙÒ ÖÙ Ò ³ ÒØÖ ÓÒØ Ò ÒØ Ð ÓÒÒ Ø ÙÒ ÖÙ Ò ÓÖØ ÓÒØ Ò ÒØ Ð Ö ÙÐØ Øº Ü ÑÔÐ ¾º½º¾ ÆÓÙ ÓÒÒÓÒ ÓÙ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ Ø Ð Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ ³ÙÒ Ñ Ò ÙÜ ÖÙ Ò ÕÙ Ø ÓÒÒ ÙÜ ÒÓÑ Ö Ö Ø Ò Ò Ö ÖÓ Ø Ù º q $, $ 0, $ 1, $ B, $ 0, B 1, B B, B 0, 0 0, 1 1, 0 1, 1 B, 0 B, 1 $, 0, 1, B, B, B, B, q 0 q 0 q 0 q 1 q 0 q 0 q 1 0 $, $, $, $, 0, 1, B, q 1 $, $, $, 0, 0, 1, 1, B, B, q 2 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 $, $, $, 0, 1, 0, 1, 0, 1, q 2 q 2 0, B, q 3 q 2 1, B, q 2 1, B, q 3 0, B, q 2 0, 0, q 2 1, 0, q 2 0, 1, q 3 0, 1, q 2 1, 0, q 3 0, 0, q 3 0, 0, q 3 1, 0, q 2 0, B, q 2 1, B, q 2 1, B, q 3 0, B, ÆÓÙ ÒØ ÔÓÒ Ð ÒÓØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø ÔÓÙÖ Ò ÕÙ Ö ÕÙ Ð ÔÖ Ò ÓÑÔØ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ô Ø Ð Ò Ø Ø Ò Ù Ö Ð ÒØÖ Ø Ð ÓÖØ ÓÒÒ ØÖ Ú Ðº Ò Ø ÓÒ ¾º½º ÍÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Á»Ç Ø ÙÒ Ñ Ò k + 2 ÖÙ Ò ÓÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙ Ò Ø ÔÔ ÐÐ Ð ÖÙ Ò ³ ÒØÖ Ø Ð ÖÒ Ö ÖÙ Ò Ø ÔÔ Ð Ð ÖÙ Ò ÓÖØ ÕÙ Ú Ö ÓÒ Ò³ Ö Ø Ñ ½ ÙÖ Ð ÖÙ Ò Ð ØÙÖ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ Ñ Ù ÓÒØ ÒÙ Ù ÖÙ Ò ³ Ö ØÙÖ º ½ ÁÐ ³ Ø ³ÙÒ Ù Ð Ò ÔÙ ÕÙ ÙÒ ÅÌ Ö Ø ØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ ÝÑ ÓÐ ÙÖ Ð ÖÙ Ò ÐÓÖ ÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒº Ë ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ú ÙØ Ö ÕÙ³ ÐÐ Ö Ø Ð ÝÑ ÓÐ ÕÙ³ ÐÐ Ú ÒØ Ð Ö Ø ÕÙ Ð ÓÒØ ÒÙ Ù ÖÙ Ò Ò³ Ø Ñ ÑÓ º
7 ØØ ÓÒ ÓÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö Ñ Ò ÌÙÖ Ò ØÖ Ú ÐÐ ÒØ Ú ÙÒ Ø ÐÐ ³ Ô ÓÒØ ÓÒ ÐÓ Ö Ø Ñ ÕÙ Ð Ø ÐРг ÒØÖ º Ö ÓÖÑ Ð ÒØغ ¾º¾ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ú Ñ Ò ÌÙÖ Ò LWHILEµ Ä Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÓÒ Ø ØÙ ÒØ ÙÒ ÑÓ Ð Ò Ú Ùº Ô Ò ÒØ Ñ Ñ Ú ÙÒ ÑÓ Ð Ò Ú Ù Ð Ø ÔÓ Ð Ö ÕÙ Ö Ö Ô Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÒØ Ö º ÌÓÙØ ³ ÓÖ ÕÙ ÖÙ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ö ÙÒ Ú Ö Ð ÒØ Ö Ó Ò Ò Ö ÓÒØ Ð Ø ÔÓ Ð ÔÐÙ ÓÖØ Ø ØÙ ÖÓ Ø Ù º ÓÒ ÙÒ ÑÓØ Ò Ò ÙÖ Ð ÖÙ Ò Ö ÔÖ ÒØ ÒØ ÙÒ ÒØ Ö ³ Ö Ø $(0 + 1(0 + 1) )B Ò ³Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ð Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ð ÒÓÙ ÙØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð Ò ØÖÙØ ÓÒ Ð ¹ Ñ ÒØ Ö ÓÔ ÒÖ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒµ Ø Ð ØÖÙØÙÖ ÓÒØÖÐ if while Ø Ð ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒº ÆÓÙ ÔÔ ÐÓÒ Ð Ò LWHILEº ÈÓÙÖ Ð ØÖÙØÙÖ ÓÒØÖÐ ÓÒ ÙÔÔÓ Õ٠гÓÒ ØÖ Ù Ø Ð ÐÓ Ð ØÖÙØÙÖ Ô Ö Ñ Ò ÌÙÖ Ò ØÓÙØ ØÖ Ú ÐÐ ÒØ ÙÖ Ð Ñ Ñ Ò º ÕÙ Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÐÓÖ ÕÙ³ ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ö ÒÚÓ ÚÖ ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ò Ð³ Ø Ø q Y Ø ÙÜ Ò Ð³ Ø Ø q N º ÆÓÙ ÒÓÙ ÓÖÒ ÖÓÒ Ú ÐÓÔÔ Ö ÙÜ Ð³ Ò ØÖÙØ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö x := x 1 ÕÙ x = 0 Ö ÒÚÓ ÚÖ Ø ÒÓÒ Ö Ñ ÒØ x Ø Ö ÒÚÓ Ùܺ Ð ÓÙÐ while MT 1 do MT 2 ÕÙ Ü ÙØ Ð Ñ Ò MT 2 Ø ÒØ ÕÙ Ð Ñ Ò MT 1 Ö ÒÚÓ ÚÖ º Ä Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ x := x 1 ÓÑÑ Ò Ô Ö Ø Ø Ö x = 0 δ(q I, 0) = (q Y, 0, ), δ(q I, 1) = (q s, 1, ) Ò Ð ÓÒØÖ Ö ÐÐ Ú Ù ÓÙØ Ð³ ÒØ Ö x {0, 1} δ(q s, x) = (q s, x, ), δ(q s, B) = (q d, B, ) ÈÙ ÐÐ Ö Ñ ÒØ Ú Ö Ø ÒÙ δ(q d, 1) = (q e, 0, ), δ(q d, 0) = (q d, 1, ) ÐÐ ³ ÖÖ Ø Ù ººº x {0, 1} δ(q e, x) = (q e, x, ), δ(q d, $) = (q t, $, ) Ø Ö Ô ÖØ ÖÓ Ø ÔÓÙÖ ÚÓ Ö ³ Ð ÙØ ÒÐ Ú Ö Ð ¼ Ø Ø x {0, 1} δ(q t, 1) = (q N, 1, ), δ(q t, 0) = (q s, 0, ) Ò Ð ³ÙÒ ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÒÓÑ Ö µ ÐÐ Ú Ù ÓÙØ Ð³ ÒØ Ö x {0, 1} δ(q s, x) = (q s, x, ), δ(q s, B) = (q d, B, ) ÈÙ Ö ÓÔ Ð ½ ÙÖ ÖÓ Ø δ(q d, 1) = (q 1, B, ) δ(q 1, 0) = (q 1, 1, ), δ(q 1, 1) = (q 1, 1, ), δ(q 1, $) = (q N, $, ) Ä Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒØ Ð while ÓÒØ ÓÒÒ Ò º ÐÐ ÒÐÙØ ÓÔ Ñ Ò MT 1 Ø MT 2 Ø ÐÐ ÓÒ ÕÙ Ð Ò Ñ Ð ³ Ø Ø Ó ÒØ Ó ÒØ º ËÓÒ Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ð³ Ø Ø Ò Ø Ð MT 1 º Ä ØÖ Ò Ø ÓÒ Ú Ö q Y MT 1 ÓÒØ Ö Ö Ú Ö Ð³ Ø Ø Ò Ø Ð MT 2 º Ä ØÖ Ò Ø ÓÒ Ú Ö q Y, q N MT 2 ÓÒØ Ö Ö Ú Ö Ð³ Ø Ø Ò Ø Ð MT 1 º Ò Ð Ø Ñ ÒØ Ò ÒØ ÑÑ Ø ³ ØÙ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ ÑÙØ ÔÐ Ø ÓÒ Ø ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ô ÖØ Ö Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ø ³ ÒÖ Ñ ÒØ Ø ÓÒ º ÓÙÖØ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ø ÙÒ ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ð Ø ÙÖ º ¾º ÓÒØ ÓÒ ÐÙÐ Ð Ð Ò Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÙÐ Ë Ð Ñ Ò M ³ ÖÖ Ø ÙÖ Ð ÓÒÒ x Ó Ø (w 1, q, w 2 ) Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð q { ÔØ, Ö Ø}µº ÇÒ ÒÓØ M(x) Ð ÑÓØ Ó Ø ÒÙ Ò Ö Ø Ö ÒØ w 1 w 2 Ð $ Ø Ø Ø Ð Ð Ò Ò ÑÓغ Ë M Ò
8 ³ ÖÖ Ø Ô ÙÖ Ð ÓÒÒ x Ô Ö ÓÒÚ ÒØ ÓÒ M(x) = º Ò Ø ÓÒ ¾º º½ Ë f Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ D (Σ \ {B, $}) Ò Σ M ÐÙÐ f ÔÓÙÖ ØÓÙØ w D M(w) = f(w)º Ë ÙÒ Ø ÐÐ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ü Ø f Ø Ø ÐÙÐ Ð º Ç ÖÚÓÒ ÕÙ³ÙÒ Ø ÐÐ Ñ Ò ÌÙÖ Ò ³ ÖÖ Ø ØÓÙ ÓÙÖ Ù ÑÓ Ò ÔÓÙÖ Ð ÒØÖ Ð Ø µº Ä ÒÓØ ÓÒ ÓÒØ ÓÒ ÐÙÐ Ð ³ Ø Ò ÙÜ ÒØ Ö º Ä ÒØ Ö ÓÒØ Ó Ò ¾ Ô Ö ÑÓØ 0 + 1(0 + 1) ÓÒ ÒÓØ n Ð Ó n Nº ÍÒ ÓÒØ ÓÒ f N Ò N Ø ÐÙÐ Ð Ð ÓÒØ ÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Ò Ð ÓÑ Ò Ò Ø ÓÒ f Ó n Ð ÑÓØ f(n) Ø ÐÙÐ Ð º ÈÓÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ ÙÜ Ö ÙÑ ÒØ Σ Σ Ò Σ µ ÓÒ Ö Ñ Ò ÙÜ ÓÒØ ÓÒ (Σ {#}) Ò (Σ {#}) Ò ÙÐ Ñ ÒØ ÔÓÙÖ Ð ÑÓØ w#w º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º½ ÉÙ Ò ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ð ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð Ô Ö ÑÓØ Ù Ð Ò 0+1(0+1) Ð ÓÒØ ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ù Ú ÒØ ÓÒØ ÐÙÐ Ð (n, m) n + m (n, m) n m (n, m) n m ÓÒØ ÓÒ ÒÓÒ Ò ÔÓÙÖ n = m = 0µº Ä ÔÖ ÙÚ Ø ÑÑ Ø ³ ÔÖ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÒÓØÖ Ñ Ò ¹Ð Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ ¾º º¾ ËÓ Ø ÙÒ Ð Ò L (Σ \ {B, $}) Ø ÙÒ ÅÌ Mº M L ÔÓÙÖ ØÓÙØ w (Σ \ {B}) Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ µ ÐÙÐ M Ð ÓÖÑ γ 0 γ i Ô ÖØ ÒØ γ 0 = (ǫ, q 0, $w) Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò γ n = (w 1, ÔØ, w 2 ) w L Ø γ n = (w 1, Ö Ø, w 2 ) w / L ÔÓÙÖ ÖØ Ò n w 1 Ø w 2 º M ÔØ L ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÑÓØ w (Σ \ {B}) ÓÙ Ò w L Ø Ð Ü Ø ÙÒ ÐÙÐ M Ô ÖØ ÒØ γ 0 Ø ³ ÖÖ Ø ÒØ ÙÖ ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÔØ ÓÙ Ò w / L Ø Ó Ø M ³ ÖÖ Ø Ò Ó Ø M Ò ³ ÖÖ Ø Ô ÙÖ wº L Ø Ö ÙÖ ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÅÌ ÕÙ Lº L Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÅÌ ÕÙ ÔØ Lº L Ø Ó¹Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð º ÇÒ ÒÓØ Ö L(M) г Ò Ñ Ð ÑÓØ ÔØ Ô Ö ÙÒ Ñ Ò Mº Ê Ñ ÖÕÙ ½º L Ö ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÕÙ L Ø ÐÙÐ Ð ¾º Ë L Ø Ö ÙÖ ÐÓÖ L Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð º Ì ÓÖ Ñ ¾º º¾ ÁÐ Ü Ø Ð Ò ÒÓÒ Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÇÒ Ô ÙØ ÙØ Ð Ö ÙÒ Ö ÙÑ ÒØ Ö Ò Ð Ø º Å Ù ÙÒ Ð Ò ÜÔÐ Ø w i Ø ÙÒ ÒÙÑ ¹ Ö Ø ÓÒ ÑÓØ M i ÙÒ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ò Ñ Ð Ø ÒØ ÒÓÑ Ö Ð ÓÒ Ñ Ø ÓÒÒÙ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓØ Ø ÓÒµ L = {w i w i / L(M i )} Ò³ Ø Ô Öº º Ò Ø ³ Ð Ü Ø Ø ÙÒ Ñ Ò M L Ø ÐÐ ÕÙ w L M L ³ ÖÖ Ø ÙÖ w Ú Ù ÐÓÖ Ó Ø M i = M L ÕÙ Ø ÙÖ º w i / L(M i ) w i L w i L(M i ) ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º Ë f : (Σ \ {B, $}) (Σ \ {B, $}) Ø ÐÙÐ Ð ÐÓÖ ½º ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ g ÐÙÐ Ð g f Ø ÐÙÐ Ð º
9 ¾º Ë L Ø Ö ÙÖ ÐÓÖ f 1 (L) Ø Ö ÙÖ º º Ë L Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÐÓÖ f 1 (L) Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð º ËÓ ÒØ M f = (Q f, q 0,f, Σ, δ f, {B, $}) ÙÒ Ñ Ò ÕÙ ÐÙÐ f Ø M g = (Q g, q 0,g, Σ, δ g, {B, $}) ÕÙ ÐÙÐ g Ö Ôº L Ö Ôº ÔØ Lµº ÇÒ Ü ÙÒ Ñ Ò M g f ÕÙ ÐÙÐ g f ÓÑÑ Ù Ø def Q g f = Q g Q f {q + } ÓÒØ ÒØ ØÓÙ Ð Ø Ø M f M g Ò ÕÙ³ÙÒ Ø Ø ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö q + def г Ø Ø Ò Ø Ð q 0,g f = q 0,f Ø Ö Ø M f Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ δ g f ÓÑ Ò δ f Ø δ g ÓÑÑ Ù Ø q Q f Ø δ f (q, a) = (q, b, d) Ú q Q f ÐÓÖ δ g f (q, a) def = (q, b, d) q Q f Ø δ f (q, a) = (q, b, d) Ú q { ÔØ, Ö Ø} ÐÓÖ δ g f (q, a) def = (q +, b, d) a $ ÐÓÖ δ g f (q +, a) def = (q +, a, ) δ g (q 0,g, $) = (q, b, d) ÐÓÖ δ(q +, $) def = (q, b, d) q Q g Ø δ g (q, a) = (q, b, d) ÐÓÖ δ g f (q, a) def = (q, b, d)º Ë w (Σ \ {B, $}) ÐÓÖ Ô Ö ÝÔÓØ M f ³ ÖÖ Ø ÔÖ n w Ø Ô Ø M f (w) = f(w)º Ä Ñ Ò M g f ÖÖ Ú ÔÖ n w Ø Ô Ò ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (w 1, q i, w 2 ) Ø ÐÐ ÕÙ w 1 w 2 = f(w)º ÔÖ Ù ÔÐÙ M f (w) Ø Ô Ð Ñ Ò M g f Ø Ò Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð M g ÙÖ f(w)º Ì ÓÖ Ñ ¾º º ÍÒ Ð Ò Ø Ö ÙÖ Ð Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð Ø Ó¹Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð º Ë ÙÒ Ð Ò Ø Ö ÙÖ ÐÓÖ ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð³ Ø Ù º ÍÒ Ò Ð³ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÑÑ Øº Ë Ñ ÒØ Ò ÒØ L Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð Ø Ó¹Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð Ó ÒØ M L Ø M L Ð Ñ Ò ÕÙ ÔØ ÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ L Ø Lº ÇÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÐÓÖ ÙÒ Ñ Ò M ÙÜ ÖÙ Ò ÕÙ ÓÑÑ Ò Ô Ö Ö ÓÔ Ö ÓÒÒ ÙÖ Ð ÓÒ ÖÙ Ò ÔÙ ØÙ ÐØ ÖÒ Ø ¹ Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÑÓÙÚ Ñ ÒØ M L ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙ Ò Ø ÙÒ ÑÓÙÚ Ñ ÒØ M L ÙÖ Ð ÓÒ ÖÙ Òº Õ٠гÙÒ Ñ Ò Ú ÒØÖ Ö Ò ÔØ Ð Ñ Ò M ³ ÖÖ Ø Ò ÔØ ³ Ø M L ÕÙ ÔØ Ø Ò Ö Ø ³ Ø M L ÕÙ ÔØ º ÇÒ Ò Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ Ñ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÐÓÖ Õ٠гÙÒ Ñ Ò M L ÓÙ M L Ø ÙÖ Ð ÔÓ ÒØ Ö Ø Öº ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ w ÓÙ Ò w L Ø M L ³ ÖÖ Ø Ò ÔØ Ø M L ÓÙ Ò Ò ³ ÖÖ Ø Ô ÓÙ Ò ³ ÖÖ Ø Ò Ö Øµº Ò M ³ ÖÖ Ø ÓÙ Ò ÕÙ Ò M Ú ÔØ Ö ÓÙ Ò ÕÙ Ò M L Ú Ö Ø Öº Ò Ð ÙÜ M ÔØ wº ÇÙ Ò w / L Ø Ò M L ³ ÖÖ Ø Ò ÔØ ÙÖ w Ø M L ÔÙ Ò Ò ³ ÖÖ Ø Ô ÓÙ Ò ³ ÖÖ Ø Ò Ö Øµº Ò ÓÑÑ ¹ Ù M ³ ÖÖ Ø Ò Ö Øº ÓÒ ÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ w M ³ ÖÖ Ø º ÔÐÙ w L M ÔØ wº Ò Ø ÓÒ ¾º º Ä Ø ÑÔ ÐÙÐ ³ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò k ÖÙ Ò ÙÖ Ð ÓÒÒ w Ø Ð ÒÓÑ Ö ÑÓÙÚ Ñ ÒØ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÔÙ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð (ǫ, q 0, $w) Ù ÕÙ³ г ÖÖ Ø Ð Ñ Ò º ÇÒ Ø ÕÙ M ÐÙÐ Ò Ø ÑÔ f(n) ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒÒ w Ø ÐÐ ÒÓÑ Ö ÝÑ ÓÐ µ Ò Ö ÙÖ ÓÙ Ð n Ð Ø ÑÔ ÐÙÐ M ÙÖ w Ø Ò Ö ÙÖ ÓÙ Ð f(n)º ij Ô ÐÙÐ ³ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Á»Ç ÙÖ Ð ÓÒÒ w Ø Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ Ñ Ü Ñ Ð ³ÙÒ ÑÓØ ÔÖ Ú Ð Ò Ò Ùܵ Ò Ö Ø ÙÖ Ð ÖÙ Ò ØÖ Ú Ð Ù ÓÙÖ Ù ÐÙÐ Ð Ñ Ò ÙÖ wº ÇÒ Ø ÕÙ M ÐÙÐ Ò Ô f(n) ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒÒ w Ø ÐÐ Ò Ö ÙÖ ÓÙ Ð n г Ô ÐÙÐ M ÙÖ w Ø Ò Ö ÙÖ ÓÙ Ð f(n)º ÇÒ Ô ÙØ ÐÓÖ Ò Ö Ð Ð ÓÑÔÐ Ü Ø
10 Ò Ø ÓÒ ¾º º Ë Ð Ð Ò L Ö Ôº Ð ÓÒØ ÓÒ fµ Ø Ö Ôº ÐÙÐ µ Ô Ö ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò k ÖÙ Ò Ò Ø ÑÔ g(n) ÓÒ Ø ÕÙ L Ì Ñ (g(n)) Ö Ôº f Ì Ñ (g(n))µº Ë Ð Ð Ò L Ö Ôº Ð ÓÒØ ÓÒ fµ Ø Ö Ôº ÐÙÐ µ Ô Ö ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Á»Ç Ò Ô g(n) ÓÒ Ø ÕÙ L ËÔ (g(n)) Ö Ôº f ËÔ (g(n))µº ¾º ÕÙ Ú Ð Ò ØÝÔ Ñ Ò ÁÐ Ý Ò ÙÓÙÔº È Ö Ü ÑÔÐ Ì ÓÖ Ñ ¾º º½ ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ñ Ò ÌÙÖ Ò M ÓÒ Ô ÙØ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò M ÕÙ Ò³ ÕÙ ÙÜ Ø Ø Ø Ø ÐÐ ÕÙ L(M) = L(M ) ij Ø Ð Ù Ú ÒØ ÓÒ ÙÔÔÓ Ð Ø Ø M ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÓÖ ÓÒÒ Ó ÒØ q 1,...,q n Ø Ø º ü ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ a 1 a n, q i, a n+1 a m M ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q 0, a 1, ) (q 0, a n, )Q 0 (q i, a n+1, α)(q 0, a n+2, ) Ó α { d, d, i, i }º ÍÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ q i, a q j, a, ÓÖÖ ÔÓÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÙÜ ØÖ Ò Ø ÓÒ Q 0, (q i, a, α) Q 1, (q j 1, a, d ), Q 1, (q k, b, ) Q 1 (q k+1, b, i ), Q 1, (q k, b, i ) Q 1 (q k+1, b, i ), Q 1, (q k, b, d ) Q 1 (q k 1, b, d ), Ë k 1 Q 1, (q 0, b, d ) Q 0, (q 0, b, ), ÍÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ q i, a q j, a, ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÜ ØÖ Ò Ø ÓÒ Q 0, (q i, a, α) Q 1, (q j 1, a, d ), Q 1, (q k, b, ) Q 1 (q k+1, b, i ), Q 1, (q k, b, i ) Q 1 (q k+1, b, i ), Q 1, (q k, b, d ) Q 1 (q k 1, b, d ), Ë k 1 Q 1, (q 0, b, d ) Q 0, (q 0, b, ), ÜÔÐ ÕÙÓÒ ÓÑÑ ÒØ ÓÒØ ÓÒÒ Ð Ñ Ò ÐÓÖ ÕÙ³ ÐÐ Ú Ô Ö Ü ÑÔÐ ÖÓ Ø º ÐÐ Ö ÑÔÐ ÙÖ Ð Ö Ø Ö ÓÙÖ ÒØ q i Ô Ö q j 1 ÔÙ Ô Ö ÙÒ Ù Ø ³ ÐÐ Ö¹Ö ØÓÙÖ Ö Ñ ÒØ q j ÙÖ Ð Ö Ø Ö ÓÙÖ ÒØ Ø ÒÖ Ñ ÒØ q 0 ÙÖ Ð Ö Ø Ö Ù Ú Òغ ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÐÓÖ ÕÙ Ð Ö Ø Ö ÓÙÖ ÒØ ÔÓÖØ q 0 º ÎÓ ÙÒ Ü ÑÔÐ ÖÓÙÐ Ñ ÒØ Ú Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ q 5, a q 2, a, Q 0 (q 5, a, α)(q 0, b, ) (q 1, a, d )Q 1 (q 0, b, ) Q 1 (q 1, a, d )(q 1, b, i ) (q 0, a, d )Q 1 (q 1, b, i ) Q 1 (q 0, a, d )(q 2, b, i ) (q 0, a, )Q 0 (q 2, b, i ) ÁÐ ÙØ Ò ÔÐÙ ÙÒ Ô ³ Ò Ø Ð Ø ÓÒ ÕÙ Ò³ÙØ Ð ÕÙ Q 0 µ Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ð Ò ÓÑÑ (q 0, B, ) Ò Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ¹ Ù º Ù ØÓØ Ð ÓÒ ÙØ Ð Ö ÙÒ ÐÔ Ø Σ = Σ Q {q 0 } Σ {,, d, d, i, i }º Ì ÓÖ Ñ ¾º º¾ Ë M Ø ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò k ÖÙ Ò ÐÙÐ ÒØ Ò Ø ÑÔ f(n) n ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò M ½ ÖÙ Ò ÐÙÐ ÒØ Ò Ø ÑÔ O(f(n) 2 ) Ø Ø ÐÐ ÕÙ M(x) = M (x) ÔÓÙÖ ØÓÙØ xº ÎÓ Ö Ð Ì
11 ÓÖÓÐÐ Ö ¾º º Ä ÓÒØ ÓÒ ÐÙÐ Ð Ö Ôº Ð Ð Ò Öº ºµ ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ Ò k ÖÙ Ò ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ Ò ÙÒ ÖÙ Òº ¾º Å Ò ÌÙÖ Ò ÙÒ Ú Ö ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ ÅÌ ÙÒ Ú Ö ÐÐ U ÕÙ Ø ÒØ ÓÒÒ <M, w> Ü ÙØ M ÙÖ w U(<M, w>) = M(w)º Ä Ó <M, w> Ø Ò Ô Ö <M, w> = <M>; <w> <(Q, q 0, Σ, δ, {B, $})> = <Q>d Σ <Σ>d δ <δ>f δ 1+ log 2 Q {}}{ <Q> = 0 0 Ð Ý ÙØ ÒØ Þ ÖÓ ÕÙ Ò Ð³ Ö ØÙÖ Ò Ò Ö Ù ÒÓÑ Ö ³ Ð Ñ ÒØ Qº ÇÒ ÙÔÔÓ Ð Ø Ø Ó Ô Ö ÒØ Ö 1,..., Q Ø q 0 = 1 Ú ¼ Ú ÒØ ÓÒ ÚÓ Ö ØÓÙ Ñ Ñ ÐÓÒ Ù ÙÖº log 2 Σ {}}{ <Σ> = 0 0 ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ B Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ ÒØ Ö ½ Ø ½¼ Ò Ò Ö º ÌÓÙ Ð ÝÑ ÓÐ Σ ÓÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö ÒØ Ö Ò Ò Ö ÓÑÔÐ Ø Ð ÒØ Ô Ö ¼ Ù Ñ Ò Ö ÕÙ³ Ð ÒØ ØÓÙ Ñ Ñ ÐÓÒ Ù ÙÖº <δ> Ø Ó ÓÑÑ Ù Ø ³ Ø ÙÒ ÕÙ Ò Ö Ð Ö Ø ÓÙ Ð ÓÖÑ c(q), c(a) c(q ), c(b), m; Ó Ð Ó Ø Ø Ø ÝÑ ÓÐ Ø Ô Ö Ð ÙÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö <aw> = c(a)<w>º Ä Ó <M, w> Ô ÙØ Ù Ò³ÙØ Ð Ö ÕÙ³ÙÒ ÐÔ Ø ÙÜ ÝÑ ÓÐ Ð Ù Ø Ö Ó Ö Ð³ Ò Ñ Ð ÝÑ ÓÐ ÙØ Ð Ò Ò Ö ÕÙ ÒÓÙ Ò ÓÒ Ô ÔÓÙÖ Ö ÓÒ Ð Ð Ø º Ì ÓÖ Ñ ¾º º½ Ä Ð Ò ÙÒ Ú Ö Ð L U = {<M, w> w L(M)} Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ ¹ Ö Ð º ÇÒ ÙØ Ð ÙÜ ÖÙ Ò Ò Ô Ö Ö Ò Ö Ð Ø ³ ÔÖ Ð Ø ÓÖ Ñ ¾º º¾º ÇÒ ÙØ Ð Ö Ð³ ÐÔ Ø Σ U = { ;, d Σ d δ f δ B $}º ÇÒ Ô ÙØ Ò ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ø ÐÔ Ø ¾ ÝÑ ÓÐ Ò ÔÐÙ B Ø $µ ÓÑÑ ÚÙ Ò Ü Ö º Ä Ñ Ò ÙÒ Ú Ö ÐÐ ÓÑÑ Ò Ô Ö Ö Ö Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÙÖ Ð ÙÜ Ñ ÖÙ Òº ÈÙ γ M γ ÐÓÖ ÓÒ Ô ÙØ Ô Ö Ù Ó γ Ù Ó γ ÙÖ Ð ÙÜ Ñ ÖÙ Òµ Ô Ö M º ÉÙ Ò M ÔØ M Ù º ÈÓÙÖ Ð ÙÜ Ñ Ô ÑÙÐ Ø ÓÒ ÑÓÙÚ Ñ ÒØ Mµ ÓÒ ÔÖÓ ÓÑÑ Ù Ø ½º Ë ÔÐ Ö Ù ÙØ Ð ÔÖ Ñ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙ Ò Ø Ù ÙØ Ð³ Ø Ø ÙÖ Ð ÓÒ ÖÙ Òº ¾º ÇÒ ÔÖÓ Ö ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ ÙÖ Ð ÙÜ ÖÙ Ò Ø ÒØ ÕÙ Ð ÝÑ ÓÐ ÓÒØ ÒØ ÕÙ ØÓÙØ Ò Ñ ÖÕÙ ÒØ Ð ÝÑ ÓÐ Ù ÓÒ ÖÙ Òº º Ò ³ Ñ Ñ Ø µ ÓÒ ÔÖÓ Ö Ù ÕÙ³ Ù ÙØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙ Ò Ø ÙÖ Ð ÙÜ Ñ ÓÒ Ö Ú ÒØ Ù ÙØ Ù Ó Ð³ Ø Ø Ò Ñ ÖÕÙ Òص º Ò Ù ÓÒ Ô Ð Ð ØÙÖ ÝÑ ÓÐ ³ÙÒ Ô ÖØ ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙ Ò Ø ³ ÙØÖ Ô ÖØ ÙÖ Ð ÓÒ º Ò ³ ÓÒ ÔÖÓ ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ Ð Ø Ø º Ò Ù ÓÒ ÖÖ Ú Ò ÙÒ Ô Ö ÓÒÒ Ò Ù ÝÑ ÓÐ µ Ô Ö Ð³ Ø Ô Ù Ú ÒØ º Ë Ð Ö ÙÐØ Ø Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ M Ø, a, q ÓÒ Ö ÑÔÐ ÑÔÐ Ñ ÒØ, q, a Ô Ö a, q, º º ÓÒ ÔÐ Ù Ø Ú ÒØ Ð ÙØ Ð³ Ø Ø ÔÙ ÓÒ Ö ÓÔ Ð Ò Ð ØÖ Ò Ø ÓÒµº ÁÐ ÙØ Ò Ù Ø Ö ÑÔÐ Ö Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ Ð ÝÑ ÓÐ Ð Ò ÕÙ Ù Ø Ð³ Ø Ø Ô Ö ÓÒ Ó º º Ë Ð Ö ÙÐØ Ø Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ M Ø, a, q ³ Ø ÙÒ Ô Ù ÔÐÙ Ð Ø ÔÙ ÕÙ³ Ð ÙØ ØÖ Ò Ð Ø Ö Ð ÝÑ ÓÐ ÔÖ ÒØ, q, <Q> + 2 Ú Ö Ð ÖÓ Ø ÓÒ ÙØ Ð ÕÙ Ð Ó Ø Ø ÓÒØ ØÓÙ Ñ Ñ ÐÓÒ Ù ÙÖº ½¼
12 Ò Ø ÖÑ ÑÓ Ò Ø Ò ÕÙ ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÙÒ Ú Ö ÐÐ Ø ÙÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ÙÖ Ñ ¹ Ò ÌÙÖ Ò Ø ÔÓÙÖÖ Ø ØÖ Ó Ø ÒÙ Ò Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ ÒØ Ò ÙÒ Ð Ò ÕÙ ÐÓÒÕÙ ÔÙ ÓÑÔ Ð Ò Ñ Ò ÌÙÖ Ò º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ Ð Ó ÓÒØ ÐÙÐ Ð º È Ö Ü ÑÔÐ Ä ÑÑ ¾º º¾ Ä ÓÒØ ÓÒ ÕÙ <M> Ó <M, <M>> Ø ÐÙÐ Ð º Ò Ø Ð Ù Ø Ö Ó Ö <M> ÙÒ ÙÜ Ñ Ó Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ó ÝÑ ÓÐ ¼ Ø ½º Ì ÓÖ Ñ ¾º º L U Ò³ Ø Ô Ó¹Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ö ÙÖ µº L U = {<M, w> w / L(M)}º Ë Ð Ò Ø Ø Öº Ó Ø M N ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ø ÐÐ ÕÙ L(M N ) = L U º ÇÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÐÓÖ ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò D Ø ÐÐ ÕÙ L(D) = {<M> <M> / L(M)} ÙÖ Ð ÓÒÒ <M> D ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÓÔ Ð Ó M ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö <M, <M>> ÔÙ ÔÔÐ ÕÙ M N º Å ÐÓÖ <D> L(D) <D> / L(D) ÕÙ Ø ÙÖ º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ÓÒØ Ð³ ÒØ Ö Ø ÔÖ Ø ÕÙ Ø Ú ÒØ Ø Ñ Ð ÙÖ Ù Ñ ÒØ Ò Ð º Ì ÓÖ Ñ ¾º º L ÖÖ Ø = {<M, x> M(x) } Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð Ø Ô Ó¹Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÓÒ Ò Ð µº ÌÓÙØ ³ ÓÖ L ÖÖ Ø Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÓÒ ÖÓÒ Ð Ñ Ò M ÖÖ Ø ÕÙ Ø ÒØ ÓÒÒ <M, x> ÑÙÐ Ð Ñ Ò ÙÒ Ú Ö ÐÐ Ø ÕÙ Ò ÐÐ ¹ Ø ÙÖ Ð ÔÓ ÒØ ³ ÔØ Ö ÓÙ Ö Ø Ö ÔØ º M ÖÖ Ø ÔØ L ÖÖ Ø º Ë L ÖÖ Ø Ø Ø Ó¹Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð Ó Ø M ÖÖ Ø ÙÒ Ñ Ò ÕÙ ÔØ L ÖÖ Ø º ÇÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÐÓÖ Ð Ñ Ò H ÕÙ ÔØ {<M> M(<M>) = } ÓÑÑ Ù Ø H ÓÑÑ Ò Ô Ö ÙÔÐ ÕÙ Ö <M> Ö Ú ÒØ <M, <M>> ÔÙ ÔÔÐ ÕÙ M ÖÖ Ø º Ë M ÖÖ Ø Ø ÙÖ Ð ÔÓ ÒØ ³ ÖÖ Ø Ö Ò Ö Ø H ÒØÖ Ò ÙÒ Ø Ø Ô Ð Ó H ÔÐ Ò Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð ÖÓ Ø Ò Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ò ³ ÖÖ Ø Ô µº <H> L(H) Ø ÙÐ Ñ ÒØ H(<H>) = º Å ÓÑÑ H Ò Ö ØØ ÙÙÒ ÑÓØ H(x) = Ø ÙÐ Ñ ÒØ x / L(H)º ÓÒ H(<H>) = Ø ÙÐ Ñ ÒØ <H> / L(H)º ÙÖ º ÁÐ Ò³ Ü Ø ÓÒ ÙÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÕÙ ÔØ L ÖÖ Ø º ½½
13 Ô ØÖ Ê ÙØ ÓÒ ÕÙ ÐÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð º½ Ê ÙØ ÓÒ ³ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ö Ð ÓÒ ÔÓ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒÒ D S ÉÙ Ø ÓÒ Q Ó S Ø ÙÒ Ò Ñ Ð Ö ÙÖ Ø Q Sº ÁÐ ³ Ø ³ÙÒ ÓÒ ³ Ö Ö Ð³ Ò Ñ Ð {D S Q} Ó Q Ø ØØ Ó ÚÙ ÓÑÑ ÙÒ ÔÖ Øº ÇÒ Ô Ð ÔÐÙ ÓÙÚ ÒØ Ô ÖÐ Ö Ù Ó Ð ÓÒÒ º È Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ Ö Ø ÓÒÒ M, w Ó M Ø ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ø w {0, 1} ÉÙ Ø ÓÒ M ³ ÖÖ Ø ¹Ø¹ ÐÐ ÙÖ w Ø Ò Ð º Ø ÒÓÒ Ø ÙÒ ÓÒ Ö ÕÙ {<M, w> M(w) } Ò³ Ø Ô Ö ÙÖ º ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒÒ ÓÙ ØØ ÓÖÑ Ø Ò Ð ÓÒ ÔÖÓ ÓÙÚ ÒØ Ô Ö Ö ÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒÒÙ ÔÓÙÖ ØÖ Ò Ð Ë P 1 Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒÒ D 1 S 1 ÉÙ Ø ÓÒ Q 1 Ø Ò Ð Ø P 2 Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒÒ D 2 S 2 ÉÙ Ø ÓÒ Q 2 ÈÓÙÖ ÔÖÓÙÚ Ö ÕÙ P 2 Ø Ò Ð Ð Ù Ø ³ Ü Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú f : S 1 S 2 Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒÒ D 1 S 1 D 1 Q 1 f(d 1 ) Q 2 º ÎÓ ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ü ÑÔÐ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½º½ ij ÖÖ Ø ÙÒ Ú Ö Ðµ Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ú ÒØ Ø Ò Ð ÓÒÒ ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò M ÉÙ Ø ÓÒ M ³ ÖÖ Ø ¹Ø¹ ÐÐ ÙÖ ØÓÙØ Ð ÓÒÒ ÇÒ Ö Ù Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f ÕÙ <M, x> Ó <M x > Ó M x Ø Ð Ñ Ò ÕÙ Ö Ø x ÔÙ ÑÙÐ M ÙÖ x Ò Ø Ò Ö ÓÑÔØ Ð³ ÒØÖ µº f Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÐÙÐ Ð Ð Ù Ø Ò Ø ³ ÓÙØ Ö x +2 Ø Ø M ÕÙ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ³ Ö Ð ÖÙ Ò Ø ³ Ö Ö xº ÔÐÙ M x ³ ÖÖ Ø ÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ Ø ÙÐ Ñ ÒØ M ³ ÖÖ Ø ÙÖ xº ½¾
14 º¾ Ì ÓÖ Ñ Ê Ì ÓÖ Ñ º¾º½ Ë P Ø ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø ÒÓÒ ØÖ Ú Ð Ð Ò Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÐÓÖ P Ø Ò Ð º ÆÓÙ ÓÒÒÓÒ ¹ ٠г ÒÓÒ Ð ÕÙ Ñ Ò ÚÓ ÙÒ Ú Ö ÓÒ ÔÐÙ ÔÖ ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ò Ñ Ð P Ó µ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ø Ð ÕÙ ½º ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ñ Ò M, M <M> P Ø L(M) = L(M ) ÐÓÖ <M > P ¾º ÓÒ Ô ÙØ Ü Ö Ñ Ò M 1, M 2 Ø ÐÐ ÕÙ <M 1 > P Ø <M 2 > / P ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ú ÒØ Ø Ò Ð ÓÒÒ <M> ÉÙ Ø ÓÒ <M> P ÈÓÙÖ ÔÖÓÙÚ Ö Ö ÙÐØ Ø ÒÓÙ ÙØ Ð ÖÓÒ ÙÒ Ö ÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ÙÒ ØÝÔ Ö Ù¹ Ø ÓÒ ÕÙ Ö ØÖ Ö ÕÙ ÑÑ ÒØ ÙØ Ð Ô Ö Ð Ù Ø º ËÓ Ø P ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð Ð Ò Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð º P Ø Ö ÙÖ P Ø Ö ÙÖ º ÆÓØÓÒ M ÙÒ Ñ Ò ÓÒØ Ð Ð Ò Ø Ú º Ò Ô ÒØ Ù ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ö ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÓ Ö Ò Ô ÖØ Ò Ö Ð Ø ÕÙ <M > / Pº ³ ÔÖ ÒÓ ÝÔÓØ Ð Ü Ø ÙÒ Ñ Ò M L ØºÕ <M L > Pº ÇÒ ÒÓØ L = L(M L ) º ÇÒ Ö Ù Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÔÔ ÖØ Ò Ò P Ò ÓÒ ØÖÙ ÒØ Ô ÖØ Ö Ð ÓÒÒ <M, x> Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ÙÒ ÓÒÒ <M <M,x> > Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÔÔ ÖØ Ò Ò P Ø ÐÐ ÕÙ <M <M,x> > P M ³ ÖÖ Ø ÙÖ xº Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ ÒØÖ y M <M,x> ÑÙРг Ü ÙØ ÓÒ M ÙÖ x ÔÙ Ò Ù ÑÙРг Ü ÙØ ÓÒ M L ÙÖ yº ÇÒ Ó ÖÚ ÕÙ L(M <M,x> ) {L, } Ø ÕÙ <M <M,x> > P M ³ ÖÖ Ø ÙÖ xº Ä ÔÔÐ Ø ÓÒ Ù Ø ÓÖ Ñ Ê ÓÒØ ÒÓÑ Ö Ù º Ò ÚÓ ÕÙ ÐÕÙ ÙÒ ËÓ Ø ÙÒ ÑÓØ w Ü Ð ÕÙ Ø ÓÒ w L(M) Ø Ò Ð º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ ε L(M) Ø Ò Ð º Ä ÕÙ Ø ÓÒ L(M) = Ø Ò Ð º Ä ÕÙ Ø ÓÒ L(M) Ø Ò Ø Ò Ð º Ä ÕÙ Ø ÓÒ L(M) Ø ÙÒ Ð Ò Ö ÙÐ Ö Ø Ò Ð º ÅÓÒØÖÓÒ Ð³ Ù Ø ÓÖ Ñ Ê ÕÙ Ð ÕÙ Ø ÓÒ M ³ ÖÖ Ø ¹Ø¹ ÐÐ ÙÖ Ð ÑÓØ Ú Ø Ò Ð º Ë ³ Ø Ø Ð ÐÓÖ ÓÒ ÙÖ Ø Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ε L(M)º Ò Ø ÓÒ Ö ÔÓÒ ³ ÓÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ M ³ ÖÖ Ø ¹Ø¹ ÐÐ ÙÖ Ð ÑÓØ Ú º Ë M Ò ³ ÖÖ Ø Ô ÐÓÖ ε / L(M)º Ë ÒÓÒ ÓÒ Ü ÙØ Ð Ñ Ò M ÙÖ Ð ÑÓØ Ú ÔÓÙÖ ÚÓ Ö Ð Ö ÔÓÒ º º ÈÖÓ Ð Ñ Ô Ú Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ú N N Ð Ò Ø ÓÒ ÓÒØ Ñ Ð Ð ÔÓÙÖ ³ ÙØÖ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð Z Zµ Ø Ò Ô Ö ÓÒÒ ÙÒ Ò Ñ Ð Ò T = {t 0,...,t k } ØÙ Ð ÓÒØ t 0 Ø ÙÒ ØÙ Ð Ø Ò Ù Ø ÙÜ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð H, V T T º Ä Ö Ð Ø ÓÒ ÓÑÔ Ø Ð Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ú ÖØ Ð µº ÉÙ Ø ÓÒ Ü Ø ¹Ø¹ Ð ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ô Ú f : N N T Ø ÐÐ ÕÙ f(1, 1) = t 0 Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ i, j N (f(i, j), f(i + 1, j)) H (f(i, j), f(i, j + 1)) V º Ì ÓÖ Ñ º º½ Ä ÔÖÓ Ð Ñ ÚÓ Ö Ø ÒØ ÓÒÒ T, t 0, V, H N N Ø Ô Ú Ð Ø Ò ¹ Ð º ½
15 ÇÒ Ö Ù Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ³ÙÒ Ñ Ò ÙÖ Ð ÑÓØ Ú º ËÓ Ø M ÙÒ Ñ Ò º ÇÒ Ó Ø ÔÓÙÖ T = (Σ Q) 4 Σ (Q + ǫ)σ ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð ÑÓØ ÐÓÒ Ù ÙÖ 4 ÓÒØ Ò ÒØ Ù ÔÐÙ ÙÒ ÝÑ ÓÐ Qµº H = {(atc, tcb) atc, tcb T, a, c, b, t Σ Q, c = B b = B} V = { (αqaβ, αa q β) αβ Σ a Σ q Q δ(q, a) = (q, a, ) } { (αq, αa ) α Σ 2 a Σ q Q δ(q, a) = (q, a, ) } { (aα, q α) α Σ 2 q Q δ(q, a) = (q, a, ) } { (bqa, qba ) a, b Σ q Q δ(q, a) = (q, a, ) } { (qaβ, ba β) β Σ a, b Σ q Q δ(q, a) = (q, a, ) } { (βa, βq ) β Σ 2 a Σ δ(q, a) = (q, a, ) } { (αqaβ, αq a β) αβ Σ a Σ q Q δ(q, a) = (q, a, ) } { (αq, αq ) α Σ 2 q Q δ(q, a) = (q, a, ) } { (α, α) α Σ 3 } Ò Ò ÓÒ Ñ Ò ÕÙ Ð Ô Ú Ø f(1, 1) = q 0 $Bº ÍÒ Ô Ú n ÔÖ Ñ Ö Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ù ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò ÙÔ Ö ÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÐÓÖ ÙÒ Ù ÓÒ n ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ô ÖØ Ö Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð º ÈÐÙ ÔÖ Ñ ÒØ Ð³ÓÒ Ò Ö Ø ÒØ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ ÕÙ ØÙ Ð Ð Ð Ò n ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð n Ñ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Mº ÇÒ ÑÓÒØÖ Ö ÙÐØ Ø Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ n ÔÓÙÖ n = 1 Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ò ÓÒØ ÒØ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð f(1, 1) = q 0 $B Ø ÓÒ f(1, 2) = $BB Ø ÔÓÙÖ m 3 f(1, m) = BBBº Ë Ð Ù Ø ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ ØÙ Ð Ð Ð Ò n Ø ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ γ = w 1 qaw 2 Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÐÓÖ Ð Ù Ø ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ ØÙ Ð Ð Ð Ò n + 1 Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ Ð Ñ Ò Ó Ø m Ð ÔÓ Ø ÓÒ q Ò γº ËÙÔÔÓ ÓÒ ³ ÓÖ ÕÙ m > 1º ÈÓÙÖ m 1 p max(1, m 2) f(n, p) = w 1bqaw 2 Ó w 1b Ø Ð Ù Ü ÐÓÒ Ù ÙÖ m p w 1 Ø w 2 Ø Ð ÔÖ Ü ÐÓÒ Ù ÙÖ p + 2 m w 2 Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø Ð Ò º f(n + 1, p) Ø ÐÓÖ ÓÒÒ Ô Ö w 1qba w 2 δ(q, a) = (q, a, ) w 1 bqa w 2 δ(q, a) = (q, a, ) w 1ba q w 2 δ(q, a) = (q, a, )º ÇÒ ÓÒÐÙØ Ö ÙÜ ÓÑÔ Ø Ð Ø Ú ÖØ Ð º È Ö Ü ÑÔÐ p m + 2 ÐÓÖ f(n, p) Σ 4 Ø f(n + 1, p) = f(n, p)º Ò Ø Ð ÙÐ ØÙ Ð Ú ÖØ Ð ÓÑÔ Ø Ð ÓÒØ (α, α) Ø (αb, αq ) Ú δ(q, a) = (q, a, )µº Å ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ ÖÒ Ö Ò³ Ø Ô ÔÓ Ð Ò ÓÒ Ö ÒØ f(n, p + 1) ÓÑÑ p > m + 1 f(n, p + 1) Σ 4 Ø ÓÒ Ô Ö ÓÑÔ Ø Ð Ø Ú ÖØ Ð f(n + 1, p + 1) Σ 4 Q Σ 3 º Ë Ð³ÓÒ Ú Ø f(n + 1, p) = αq ÓÒ ÙÖ Ø ÙÒ ØÙ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð ÓÖÑ (αq, βq ) ÓÙ (αq, β) ÕÙ Ò³ Ø Ô Ð º Ñ Ñ ÔÓÙÖ p < m 3 f(n+1, p) = f(n, p)º Ê Ø ÒØ Ð p = m 3 p = m p = m+1 ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð ÓÒ ÑÓÒØÖ Ô Ö ÓÑÔ Ø Ð Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ú ÖØ Ð Õ٠гÓÒ Ó Ø ÒØ Ð Ð ØØÖ ÚÓÙÐÙ º Ò Ò m = 1 Ð ÙÐ ÑÓÙÚ Ñ ÒØ ÔÓ Ð Ø ÖÓ Ø Ø Ð ÙÐ ØÙ Ð Ú ÖØ Ð ÔÓ Ð ÑÔÓ f(n + 1, 1) = $q w δ(q, $) = (q, $, )º ÈÙ ÔÓÙÖ p > 2 f(n + 1, p) = f(n, p) ÓÑÑ ¹ Ù Ø f(n + 1, 2) = q w b Ô Ö ÓÑÔ Ø Ð Ø Ú ÖØ Ð Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð º ÆÓÙ ÒÓÒÓÒ Ò ÔÖ ÙÚ Ö ÐÐ Ø ØÖ Ð µ г Ò Ð Ø Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÙ Ð Ø Ò Ù º Ì ÓÖ Ñ º º¾ Ä ÔÖÓ Ð Ñ ÚÓ Ö Ø ÒØ ÓÒÒ T, V, H Z Z Ø Ô Ú Ð Ø Ò Ð º ½
16 Ä ÔÖ ÙÚ Ô ÙØ ØÖ ÓÒ ÙÐØ Ò ÔÔ Ò Ü µº Ô ÖØ Ö Ö ÙÐØ Ø ÓÒ Ô ÙØ Ù Ù Ö ÙÒ Ö ÙÐØ Ø ÙÖ N Nº Ù ÔÖ Ð Ð ÒÓÙ ÒØÖÓ Ù ÓÒ Ð Ð ÑÑ Ã Ò ÕÙ³ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ Ò ÒÓÑ Ö Ù ÔÖ ÙÚ º Ä ÑÑ º º Ä ÑÑ ÃÓ Ò µ ËÓ Ø A ÙÒ Ö Ö Ö Ò º º ØÓÙØ ÒÓ Ù Ñ Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò Ù ÙÖ µ Ø ÓÑÔÓÖØ ÒØ ÙÒ ÒÓÑ Ö ÒÓ Ù Ò Ò ÐÓÖ A Ñ Ø ÙÒ Ö Ò Ò Ò º ÆÓÙ Ü ÓÒ Ð Ö Ò Ò Ò Ð Ñ Ò Ö Ù Ú ÒØ º È ÖØ ÒØ Ð Ö Ò ÓÒ Ó Ø Ð³ÙÒ Ù ÙÖ ÐÐ ¹ ÓÒØ Ð ÓÙ ¹ Ö Ö ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò Ò ÒÓ Ù º ÁÐ Ò Ü Ø Ù ÑÓ Ò ÙÒ Ö Ð ÒÓÑ Ö Ù ÙÖ Ø Ò º Ò Ø Ö ÒØ ÔÖÓ Ù Ò Ú Ù ÕÙ ÒÓÙÚ Ù ÓÙ ¹ Ö Ö Ó ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ð Ö Ò Ò Ò º Ì ÓÖ Ñ º º Ä ÔÖÓ Ð Ñ ÚÓ Ö Ø ÒØ ÓÒÒ T, V, H N N Ø Ô Ú Ð Ø Ò Ð º ÆÓÙ ÖÑÓÒ Õ٠г Ü Ø Ò ³ÙÒ Ô Ú Ò N N Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ Ô Ú Ò Z Zº Ë ÓÒ ÔÓ ³ÙÒ Ô Ú Ò Z Z ÐÓÖ Ô Ö ØÖÓÒ ØÙÖ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ Ô Ú N Nº ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ³ÓÒ ÔÓ ³ÙÒ Ô Ú N Nº ÇÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÙÒ Ö Ö Ô Ú Ò º Ä Ö Ò Ø Ð³ÙÒ ÕÙ Ô Ú Ð ÙÖ Ú º ÙÒ ÙØ ÙÖ i ØÖÓÙÚ ÒØ Ð Ö ÒØ Ô Ú Ù ÖÖ [ i, i] [ i, i]º ÍÒ Ô Ú [ i 1, i+1] [ i 1, i+1] ÔÓÙÖ Ô Ö Ð³ÙÒ ÕÙ Ô Ú [ i, i] [ i, i] ÓÒØ Ð Ø Ð³ ÜØ Ò ÓÒº Ò Ö ÓÒ Ð³ Ü Ø Ò Ù Ô Ú N N Ð Ý ÒÓ Ù ØÓÙØ Ð ÙØ ÙÖ º Ä Ð ÑÑ Ã Ò ÙÖ Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ ÕÙ Ò Ò Ò Ô Ú {P i } i N º i N P i Ø Ð Ô Ú Ö Ö º º ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÈÓ Ø Ä ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÈÓ Ø È Èµ ÓÒÒ ÙÜ Ù Ø ÑÓØ Ò (u 1,...,u n ) Ø (v 1,...,v n ) Ñ Ñ ÐÓÒ Ù ÙÖ ÉÙ Ø ÓÒ Ü Ø ¹Ø¹ Ð ÙÒ ÒØ Ö k > 0 Ø ÙÒ Ù Ø ³ Ò i 1,...,i k Ø Ð ÕÙ È Ö Ü ÑÔÐ Ó ÒØ (u i, v i ) i=1,...,4 ÓÒÒ Ô Ö u i1 u ik = v i1 v ik i u i a b ca abc v i ab ca a c ØØ Ò Ø Ò È È ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ (12314)º ÍÒ Ú Ö ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð È È ÓÒØÖ ÒØ ÓÒÒ ÙÜ Ù Ø ÑÓØ Ò (u 1,...,u n ) Ø (v 1,...,v n ) Ñ Ñ ÐÓÒ Ù ÙÖ ÉÙ Ø ÓÒ Ü Ø ¹Ø¹ Ð ÙÒ ÒØ Ö k > 0 Ø ÙÒ Ù Ø ³ Ò i 1 = 1,...,i k Ø Ð ÕÙ u i1 u ik = v i1 v ik ½
17 Ì ÓÖ Ñ º º½ Ä È È ÓÒØÖ ÒØ Ø Ò Ð º ÇÒ Ö Ù Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ÙÖ Ð ÑÓØ Ú º ËÓ Ø M ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò º ÇÒ ÒÓØ q f Ð ÙÐ Ø Ø ³ ÖÖ Ø Mº Ä Ô Ö ÑÓØ È È ÓÒØÖ ÒØ ÓÒØ ÑÓØ v i Ò Ð³ÓÖ Ö µ ÑÓØ u i ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ 1. q 0 $ 2. a a ÔÓÙÖ a Σ 3. qa a q Ë δ(q, a) = q, a, 4. aqb q ab δ(q, b) = q, b, 5. qa q a δ(q, a) = q, a, 6. q aq δ(q, B) = q, a, 7. bq q ba δ(q, B) = q, a, 8. q q a δ(q, B) = q, a, q f a aq f 11. q f q e 12. aq e q e 13. $q e ÜÔÐ ÕÙÓÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ö ÙØ ÓÒº г ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ½ ½¼ ÓÒ Ò Ô ÙØ Ö ÕÙ Ö Ò ÐÓ ÙÐØ Ö ÙÖµ ÕÙ³ÙÒ Ô Ö Ô Ö u = u i1...u in Ø v = v i1...v in ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ È È ÓÒØÖ ÒØ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ M ³ ÖÖ Ø ÙÖ Ð ÑÓØ Ú Ë M ³ ÖÖ Ø ÙÖ Ð ÑÓØ Ú ËÓ Ø s 1 = q 0 $ w k q f w k = s k Ð ÐÙÐ M ÙÖ Ð ÑÓØ Ú Ð Ð Ò Ò Ò ÖÙ Ò Ò³ ÔÔ Ö ÒØ Ô Ò Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ µº ÈÓÙÖ ØÓÙØ i < k s i, s i+1 ÓÒØ Ð³ÙÒ ÓÖÑ Ù Ú ÒØ s i = t i qaw i Ø s i+1 = t i a q w i Ú δ(q, a) = q, a, s i = t i aqbw i Ø s i+1 = t i q ab w i Ú δ(q, b) = q, b, s i = t i qaw i Ø s i+1 = t i q a w i Ú δ(q, a) = q, a, ijÙÒ ¹ Ù Ò Ö Ø Ö ÒØ Ð Ô ÖØ ÖÓ Ø q Ø Ø Ð ØÙÖ ÖÓ Ø Ù ÖÙ Òµººº Ò ÕÙ ÓÒ Ö Ñ ÖÕÙ ÕÙ s i Ô ÙØ ³ Ö Ö ÓÑÑ Ð ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ v m1 v mi Ø s i+1 ³ Ö Ø ÓÑÑ Ð ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ u m1 u mi º È Ö Ü ÑÔÐ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÇÒ ÙØ Ð t i Ó Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ¾ ÔÙ ÙÒ Ó Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÔÙ w i Ó Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ¾ ÔÙ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò º ÇÒ Ó Ø ÒØ ÐÓÖ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ È È ÓÒØÖ ÒØ ÓÑÑ Ù Ø q 0 $w s 1 s k w k aq f w k w nq e w n 1 q e s 0 s k 1 w k q f aw k w nq f w n 1 aq e $q e Ê ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ È È ÓÒØÖ ÒØ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÐÓÖ ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ M ³ ÖÖ Ø ÙÖ Ð ÑÓØ Ú º ËÓ Ø u i1 u im = v i1 v im º ÇÒ ÑÓÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ k ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ p Ø ÑÓØ t, t Ø Ð ÕÙ u i1 u ik = s 1 s p t v i1 v ik = s 1 s p 1 t Ø ÓÙ Ò s p Ø ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð Ð Ñ Ò ÓÙ Ò t Ø ÙÒ ÔÖ Ü s p Ø t Ø ÙÒ ÔÖ Ü s p+1 Ë t Ò ÓÒØ ÒØ Ô ÝÑ ÓÐ ³ Ø Ø Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ô Ô Ö ÐÓÖ t = t ÒÓÒ t M tº ÈÓÙÖ k = 1 u i1 = u 1 = q 0 $w Ø v i1 = v 1 = º ÇÒ Ò ÔÓÙÖ p = 1 u i1 = s 1 t = t = ǫº Ë Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ø ÚÖ ÔÓÙÖ k ÓÒ ÖÓÒ Ð Ô Ö Ù Ú ÒØ u ik+1, v ik+1 º Ë s p Ø Ø ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð Ð Ò³Ý Ö Ò Ö º Ë ÒÓÒ s p = t t p Ø s p+1 = t t p º ÔÐÙ ÓÑÑ ÓÒ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ È È ÓÒØÖ ÒØ v ik+1 Ø ÙÒ ÔÖ Ü t p tu ik+1 º ÓÒ ÖÓÒ Ù Ú Ñ ÒØ ØÓÙ Ð v ik+1 ÔÓ Ð ½
18 ½ ÑÔÓ Ð Ö Ò³ ÔÔ Ö Ø Ô Ò t p tu ik+1 ¾ Ò t p = v ik+1 t p Ø ÓÒ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÚÓÙÐÙ t p = v ik+1 t p t Ò ÓÒØ ÒØ Ô ÝÑ ÓÐ ³ Ø Ø Ø ÓÒ t = t Ø t v ik+1 M t u ik+1 ÓÑÑ t p Ò ÓÒØ ÒØ Ô t p = v ik+1 º ÓÒ s p = t v ik+1 º ÔÐÙ t = t Ø t u ik+1 = s p+1 º ÁÐ Ù Ø ÐÓÖ Ó Ö ÑÓØ Ú ÔÓÙÖ Ð ÒÓÙÚ ÙÜ t, t t p Ø Ú Ø Ð Ù Ø Ó Ö ÑÓØ Ú ÔÓÙÖ Ð ÒÓÙÚ ÙÜ t, t ½¼ ½½ г Ø Ø Ò Ð Ø ØØ Òغ ½¾ ÑÔÓ Ð ÔÓÙÖ Ö ÓÒ ÒØ ÕÙ º ½ t Ó Ø ØÖ Ú ÔÙ ÕÙ v ik+1 Ø ÙÒ ÔÖ Ü t p tu ik+1 º ÔÐÙ ÓÒ Ó Ø ÚÓ Ö t p = $q e ÕÙ Ò³ Ø Ô ÔÓ Ð º Ò³ Ô Ð Ù Ì ÓÖ Ñ º º¾ Ä È È Ø Ò Ð º ÇÒ Ö Ù Ø È È ÓÒØÖ ÒØ È È ÓÑÑ Ù Ø Ò ÙÔÔÓ ÒØ Ò Ô ÖØ Ò Ö Ð Ø µ ÕÙ³ Ð Ò³Ý Ô Ô Ö (ǫ, ǫ)º Ë (u 1,...,u n ) (v 1,...,v n ) Ø ÙÒ Ò Ø Ò È È ÓÒØÖ ÒØ ÓÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÐÔ Ø Ù ¹ Ñ ÒØ Ð ØØÖ,, Ø Ð³ Ò Ø Ò È È ( u 1, u 1,...,u n, ), ( ṽ 1, ṽ 1,..., ṽ n, ) Ó ǫ = ǫ = ǫ Ø a w = aw Ø a w = a wº Ë È È ÓÒØÖ ÒØ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ u i1 u im = v i1 v im ÐÓÖ u i1 u im = ṽ i1 ṽ im Ø ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ È Èº Ê ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ È È Ñ Ø ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÒÓØÓÒ (u 0,...,u n, u n+1) Ø (v 0,..., v n+1) г Ò ¹ Ø Ò Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ü Ø ÙÒ Ù Ø ³ Ò Ø ÐÐ ÕÙ u i 1 u i m = v i 1 v i m º ÆÓØÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ i u i = ǫ ÓÙ Ò u i ÓÑÑ Ò Ô Ö ÓÙ Ò i = 1º Ë u i 1 = ǫ ÐÓÖ Ó Ø k Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ò Ø Ð ÕÙ u i k ǫº È Ö ÝÔÓØ Ø Ô Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ v i 1 ǫ Ø ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ Ø a / {, }º ü г ÒÚ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ u i k Ø Ò {, }º ÕÙ Ø ÙÖ º ÁÐ Ò Ö ÙÐØ ÕÙ u i 1 ǫº Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ u i 1 Ø Ò {, } Ø ÓÒ Ù Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ Ù ÔÖ Ñ Ö v ik ÒÓÒ Ú º Ò³ Ø ÔÓ Ð ÕÙ i 1 = 1 Ø ØØ ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ Ø º ËÓ Ø Ñ ÒØ Ò ÒØ φ Ð ÑÓÖÔ Ñ Ò ÙÖ (Σ {,, }) Ô Ö φ( ) = φ( ) = φ( ) = ǫ Ø φ(a) = a ÒÓÒº ÇÒ ÑÓÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ k ÕÙ φ(u i 1 u i k ) = u 1 u i2 u ik Ø φ(v i1 v ik ) = v 1 v i2 v ik 1 k < mº ÁÐ Ò Ö ÙÐØ ÕÙ È È ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÐÓÖ È È ÓÒØÖ ÒØ Ù Ò ÔÖ Ò ÒØ Ð³ Ñ Ô Ö φº Ë ØÓÙ Ð ÑÓØ ÔÔ Ö ÒØ Ò Ð Ô Ö ÓÒØ Ö ÒØ ε ÐÓÖ ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÖ Ñ Ö Ð ÝÑ ÓÐ Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ö º ³ Ø Ð Ù È È ÓÒØÖ ÒØ Ó Ø ÒÙ Ô Ö Ð Ö ÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Øº È Ö ÓÒØÖ Ð Ø Ò Ô Ò Ð ØØ ÓÒØÖ ÒØ Ò³ Ø Ô Ú Ö Ò ÕÙ Ð ÑÓÒØÖ Ð³ Ü ÑÔÐ Ù Ú Òغ u 1 = b, v 1 = ab, u 2 = a, v 2 = ε ÁÐ Ò³ Ü Ø Ô ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒØÖ ÒØ Ø Ð È È Ó Ø ÒÙ Ñ Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ú ÒØ u = ( a)( b)( ) Ø v = (ε)( a b )( ) ½
19 Ô ØÖ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ä³Ó Ø ØØ Ô ÖØ Ø ³ Ü Ñ Ò Ö ÙÒ ÙØÖ ÑÓ Ð ÐÙÐ ÕÙ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ð Ñ Ñ ÔÓÙÚÓ Ö ÜÔÖ ÕÙ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÓÒ ³ ÔÔÓÖØ Ö ÙÒ Ø ÑÓ Ò Ð Ø ÙÖ µº ij ÒØ Ö Ø ÑÓ Ð Ø ÓÙ Ð º ³ÙÒ Ô ÖØ Ð Ø ÓÒØ ÓÒÒ Ð Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÙØÖ ÔÔÖÓ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒº ³ ÙØÖ Ô ÖØ Ð Ø ØÖÙØÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÙÖ µ Ô ÖÑ Ø Ð Ó ÔÖ ÙÚ Ô Ö Ò ÙØ ÓÒ ÙÖ Ð ØÖÙØÙÖ Ø ³ ÙØÖ Ô ÖØ ³ ÒØÖÓ Ù Ö ÓÙ ¹Ð ÓÒØ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÓÒ Ö ÒØ º º¾ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú f Ò Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ N k Ò Nº Ä ÓÒØ ÓÒ ØÓØ Ð ÓÒØ Ù ÔÔÐ Ø ÓÒ º f(n 1,...,n k ) = f Ò³ Ø Ô Ò Ò n 1,...,n k º Ä ÓÒØ ÓÒ Ò Ø Ð ÓÒØ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ Pk i : Nk Nº Pk i(n 1,...,n k ) = n i Ð Ù ÙÖ S(n) = n + 1 Ð ÓÒØ ÓÒ ÒÙÐÐ Z(n) = 0 Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ 0 ¼ Ö ÙÑ ÒØ µº ÍÒ Ò Ñ Ð ³ ÔÔÐ Ø ÓÒ F Ø ÖÑ Ô Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ ξ : N m N Ø ψ 1,...,ψ m : N n N Ð ÓÒØ ÓÒ φ : N n N Ò Ô Ö φ( n) = ξ(ψ 1 ( n),...,ψ m ( n)) Ø Ò F º ÇÒ ÒÓØ ÓÑÔ m (ξ, ψ 1,...,ψ m ) Ð ÓÒØ ÓÒ φ Ò Ó Ø ÒÙ º ÍÒ Ò Ñ Ð ³ ÔÔÐ Ø ÓÒ F Ø ÖÑ Ô Ö Ö ÙÖ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ ξ, ψ F Ð ÓÒØ ÓÒ φ Ò Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ô Ö { ξ( n) m = 0 φ(m, n) = ψ(φ(m 1, n), m 1, n) m > 0 Ø Ò F º ÇÒ ÒÓØ ÈÖ Ñ(ξ, ψ) Ð ÓÒØ ÓÒ φ Ò Ó Ø ÒÙ º Ò Ø ÓÒ º¾º½ ij Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ò Ñ Ð ÓÒØ ¹ Ò ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ø Ð ÐÓ Ô Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ø Ö ÙÖ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú º ÌÓÙØ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ³Ó Ø ÒÒ ÒØ Ò Ô ÖØ Ö ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÈÖ Ñ Ø ÓÑÔ n º Ü ÑÔÐ º¾º½ ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÓÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú º Ä Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ð ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú n = Si n = 0 Alors 0 Sinon n 1 Finsi ½
20 Ä ÓÙ ØÖ Ø ÓÒ Ò Ð ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú m n = Si n = 0 Alors m Sinon (m (n 1)) Finsi ij Ø ÓÒ f(n, m) def = n + m Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú f = ÈÖ Ñ(P1 1, ÓÑÔ 1 (S, P3 1 ))º ÕÙ Ô ÙØ ³ Ö Ö Ñ Ò Ö ÔÐÙ ÒØÙ Ø Ú n + m = Si n = 0 Alors m Sinon ((n 1) + m) + 1 Finsi Ä ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ g(n, m) = n m Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú g = ÈÖ Ñ(Z, ÓÑÔ 2 (+, P3 1, P3 3 )) ÕÙ Ô ÙØ ³ Ö Ö Ñ Ò Ö ÔÐÙ ÒØÙ Ø Ú n m = Si n = 0 Alors 0 Sinon ((n 1) m) + m Finsi Ä Ø Ø Þ ÖÓ Ø ÔÖ Ñ Ø Ö ÙÖ n? = Si n = 0 Alors 0 Sinon 1 Finsi ÆÓÙ Ú ÐÓÔÔÓÒ ³ ÙØÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ÙØ Ð ÓÑÑ Ð ÓÑÑ ÓÖÒ g(x 1,...,x n, y) = t y f(x 1,...,x n, t) Ò Ø g(x 1,...,x n, y) = Si y = 0 Alors f(x 1,...,x n, 0) Sinon g(x 1,...,x n, y 1) + f(x 1,...,x n, y) Finsi ËÓ Ø R ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ n¹ Ö ÓÒ ÒÓØ χ R Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ØÖ n¹ Ö Ò ØÖ Rº ÇÒ Ø ÕÙ R Ø Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ÓÒØ ÓÒ Ò ØÖ Ð³ غ Ø ØÖ ³ Ü Ö Ð Ð Ø ÙÖ Ô ÙØ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ x = y x < y غ ÓÒØ Ö Ð Ø ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú º Ò ÓÒØ ÓÒ Ò Ô Ö h(x 1,...,x n ) = Si R(x 1,..., x n ) Alors f(x 1,...,x n )Sinon g(x 1,...,x n ) Finsi ÓÒØ Ò Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú º Ò Ø h(x 1,...,x n ) = χ R (x 1,...,x n )f(x 1,...,x n ) + (1 χ R (x 1,...,x n ))g(x 1,...,x n ) ÍÒ ÙØÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú Ø Ð Ñ Ü Ø ÒØ Ð ÓÖÒ ÒÓØ f(x 1,...,x n, z) = t z R(x 1,...,x n, t) Ø Ò Ô Ö f(x 1,...,x n, z) = 1 t z ÕÙ Ú Ö R(x 1,...,x n, t) Ø ¼ ÒÓÒº Ñ Ø Ò Ö ÙÖ ÔÖ Ñ Ø Ö f(x 1,..., x n, z) Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÕÙ ( y z χ R(x 1,..., x n, y) 1) ÍÒ ÙØÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú Ø Ð Ñ Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ ÓÖÒ ÒÓØ f(x 1,...,x n, z) = µt z R(x 1,...,x n, t) Ø Ò Ô Ö f(x 1,...,x n, z) = t t Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÒØ Ö ÓÑÔÖ ÒØÖ ¼ Ø z ÕÙ Ú Ö R(x 1,...,x n, t) Ø ¼ ÒÓÒº Ñ Ø Ò Ö ÙÖ ÔÖ Ñ Ø Ö Ð ³ Ö Ø f(x 1,...,x n, z) = Si z = 0 Alors 0 Sinon f(x 1,...,x n, z 1)( y z 1 χ R(x 1,..., x n, y) 1) +z( y z 1 χ R(x 1,...,x n, y) = 0)(χ R (x 1,...,x n, z) = 1) Finsi ÍÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÑÔÐ Ñ Ø Ð Ú ÓÒ x/y = µt x y (t + 1) > x º¾º½ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÑÔ Ö ¹ Ø Ú LFORµ ÆÓÙ ÐÐÓÒ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ÓÒØ Ð ÙÖ Ô Ò ÒØ Ò ÔÖÓ Ö Ñ¹ Ñ Ø ÓÒ ÑÔ Ö Ø Ú º ÆÓÙ ÓÒ ÖÓÒ LFOR ÙÒ Ð Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÒØ Ö ÓÑÔÓ Ò ØÖÙØ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÔ ÒÖ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒµ Ø ØÖÙØÙÖ ÓÒØÖÐ if Ø for Ø Ð ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒº Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ Ð Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ð³ Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ ØÓÙØ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÖÑ Ò ÓÒ Ò Ò Ø Ô Ø Ø ³ ÖÖ Øµº Ò ÓÑÔ Ö Ö Ð Ò ½
21 ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ÒÓÙ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ ÔÓ ³ÙÒ Ò ØÖÙØ ÓÒ return x i Ó x i Ø ÙÒ Ú Ö Ð Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ º Ò ³ ÖÖ Ú Ö Ù Ö ÙÐØ Ø ÔÖ Ò Ô Ð Ô Ö Ö Ô ÒÓÙ ÒØÖÓ Ù ÓÒ ÙÒ Ó Ö ÙÖ ÔÖ Ñ Ø ³ÙÒ Ù Ø k ÒØ Ö x 1,...,x k Ô Ö ÙÒ ÒØ Ö ÕÙ ÒÓÙ ÒÓØ ÖÓÒ x 1,...,x k º Ä Ó ³ÙÒ ÒØ Ö Ø Ð³ ÒØ Ø º Ä Ó ÙÜ ÒØ Ö x 1, x 2 Ø Ò Ô Ö x 1, x 2 = (x 1 + x 2 )(x 1 + x 2 + 1)/2 + x 1 ÕÙ ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö Ö Ð Ô Ö Ô Ö ÓÒ Ð x 1 + x 2 ÖÓ ÒØ Ò Ô ÖÓÙÖ ÒØ Ð ÓÒ Ð Ô Ö x 1 ÖÓ Òغ ÈÙ Ð Ó k ÒØ Ö Ø Ó Ø ÒÙ Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ø Ö Ø Ú x 1,...,x k = x 1, x 2,...,x k Ó Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ú ÒØ ÕÙ³ Ð Ø ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð ÙÒ ÓÑÔÓ ÒØ Ó º ÇÒ Ô ÙØ Ô Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð Ñ Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ Ø Ü Ø ÒØ Ð ÓÖÒ ÔÓÙÖ ÜØÖ Ö Ð ÓÑÔÓ ÒØ º ÆÓÙ ÖÑÓÒ ÕÙ π i k(z) = µx i z x 1,...,x i 1, x i+1,..., x k z z = x 1,...,x k Ì ÓÖ Ñ º¾º¾ Ä ÓÒØ ÓÒ ÐÙÐ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ LFOR ÓÒØ Ü Ø Ñ ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú º ÆÓÙ Ð ÓÒ Ð Ó Ò Ù Ð Ø ÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú Ø ÐÙÐ Ð Ô Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ LFOR Ø ÒÓÙ ÒÓÙ ÓÒ ÖÓÒ Ð ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ð Ö ÔÖÓÕÙ º ÆÓÙ ÐÐÓÒ ÑÓÒØÖ Ö ÓÑÑ ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ð ÓÙÐ for Ù Ú ÒØ º Ä ÙØÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒØ ÑÑ Ø º for x n+1 from 1 to x 1 do x 2 := f 2 (x 1,...,x n+1 )... x n := f n (x 1,...,x n+1 ) endf or Ä ÓÒØ ÓÒ Ñ Ò ÔÙÐ ÖÓÒØ ÒØ Ö Ó ÒØ Ù Ø Ú Ð ÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ Ú Ö Ð Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ º ÆÓÙ ÒØÖÓ Ù ÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ f i º f i (σ, x) = f i (π 1 n(σ),...,π n n(σ), x) ÈÙ Ð ÓÒØ ÓÒ f ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð³ Ø ³ÙÒ ØÓÙÖ ÓÙÐ ÙÖ Ð Ú Ö Ð x 1,...,x n ÐÓÖ ÕÙ Ð Ú Ö Ð x n+1 Ø Ð xº Ä ÕÙ Ò σ Ø Ð Ó Ð Ù Ø Ú Ö Ð x 1,...,x n º f(σ, x) = π 1 n(σ), f 2 (σ, x),..., f n (σ, x) Ä ÓÒØ ÓÒ g ØÖ Ù Ø Ð³ Ø x ØÓÙÖ ÓÙÐ ÙÖ Ð Ú Ö Ð x 1,...,x n º g(σ, x) = si x = 0 alors σsinon f(g(σ, x 1), x) finsi Ä ÓÒØ ÓÒ h ØÖ Ù Ø Ð³ Ø Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ ÙÖ ØÓÙØ Ð Ú Ö Ð º h(σ) = π 1 n+1(σ), π 2 n(g( π 1 n+1(σ),..., π n n+1(σ), π 1 n+1(σ))),..., π n n(g( π 1 n+1(σ),..., π n n+1(σ), π 1 n+1(σ))), π 1 n+1(σ) ¾¼
22 ÇÒ Ò Ö Ð Ð Ó ÕÙ Ò Ø ÐÐ Ü Ù Ó ÕÙ Ò Ø ÐÐ Ú Ö Ð º Ò Ó ÒØ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ ÓÑÑ ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ù Ø º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð Ó x 1,...,x m Ø m, x 1,...,x m º Ä ÔÖÓ Ø ÓÒ π(i, σ) ³ Ö Ø ÐÓÖ Ð³ Ù Ð Ò LFOR ÙØ Ð Ø ÓÒ ÔÓ Ð ³ Ô Ð Ø ÓÖ Ñ º¾º¾µ x := π 1 2(σ) if x < i then return 0 for y from 1 to i do σ := π 2 2(σ) endf or if x = i then return σ else return π 1 2 (σ) Ä ÐÓÒ Ù ÙÖ ³ÙÒ ÕÙ Ò Ø Ù ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú π 1 2(σ)µº Ä ÔÖÓ Ö ÑÑ Ù Ú ÒØ Ô ÖÑ Ø ³ Ö Ö ÙÒ Ú Ð ÙÖ v Ð ÔÓ Ø ÓÒ i Ð ÕÙ Ò σº ÆÓÙ ÒÓØ ÖÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ Ó w(i, v, σ)º ÆÓÙ ÚÓÒ Ð Ö Ñ ÒØ ØÖ Ò ÙØ Ð ÒØ ÙÒ for ÖÓ ÒØ º ÆÓÙ Ð ÓÒ Ù Ð Ø ÙÖ Ð Ó Ò Ð³ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ô Ö ÙÒ for ÖÓ ÒØ º x := π 1 2 (σ) if x < i then return σ for y from 1 to i do σ := π 2 2(σ ) endf or if x = i then σ := v else σ := v, π 2 2(σ ) for y from i downto 1 do σ := π(y, σ), σ endf or return x, σ Ò Ò Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ ¹ ÓÙ ÓÒ Ø Ò ÙÒ Ú Ð ÙÖ v Ð ÕÙ Ò σº ÆÓÙ ÒÓØ ÖÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ Ó conc(v, σ)º x := π 1 2(σ) σ := v for y from x downto 1 do σ := π(y, σ), σ endf or return x + 1, σ º¾º¾ À Ö Ö ÖÞ ÓÖÞÝ ÇÒ Ò Ø Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ n Ð Ù Ø ÓÒØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú ÓÑÑ Ù Ø ψ 0 (m) = m + 1 ψ n+1 (0) = ψ n (1) ψ n+1 (m + 1) = ψ n (ψ n+1 (m)) ÇÒ ÑÓÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ n ÕÙ³ Ð ³ Ø Ò ³ÙÒ Ù Ø ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú º È Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ m ÓÒ ÑÓÒØÖ Ù Ú Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ø Ù Ú ÒØ ÔÓÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ¹ Ø ÓÒ Ð Ö Ö ψ 1 (m) = m + 2 Ö ψ 1 (m + 1) = ψ 0 (ψ 1 (m)) = (m + 2) + 1 = (m + 1) + 2 ψ 2 (m) = 2m + 3 Ö ψ 2 (m + 1) = ψ 1 (ψ 2 (m)) = (2m + 3) + 2 = 2(m + 1) + 3 ψ 3 (m) = 2 m+3 3 Ö ψ 3 (m + 1) = ψ 2 (ψ 3 (m)) = 2(2 m+3 3) + 3 = 2 (m+1) ψ 4 (m) = m Ä ÑÑ º¾º ÈÖÓÔÖ Ø ÑÓÒÓØÓÒ ψµ ¾½
23 ½º ÔÓÙÖ ØÓÙ n, m ψ n (m) > n + m ¾º Ð ÓÒØ ÓÒ ψ n ÓÒØ ØÖ Ø Ñ Òص ÖÓ ÒØ ψ n (m + 1) > ψ n (m) º ÔÓÙÖ ØÓÙ n, m ψ n+1 (m) > ψ n (m) ³Ó ÔÓÙÖ ØÓÙØ k ψ n+k (m) ψ n (m) + kº º ÔÓÙÖ ØÓÙ n, m, k ψ m k (n) ψ k+1(n + m) Ó ψ m k Ò Ð ÓÒØ ÓÒ ψ k ÓÑÔÓ m Ó º ½º ÇÒ ÑÓÒØÖ ψ n (m) > n + m º¾º º µ Ô Ö Ò ÙØ ÓÒ ÙÖ n ÔÙ ÙÖ mº Ä n = 0 Ö Ù Ø ψ 0 (m) = m+1 > mº ÈÓÙÖ n > 0 ÓÒ ÓÒ Ö ³ ÓÖ Ð m = 0 ψ n (m) = ψ n (0) = ψ n 1 (1) > n 1+1 Ô Ö ÝÔº Ò º º¹¹ º ψ n (m) > n = n + mº ÈÓÙÖ m > 0 ÓÒ ψ n (m) = ψ n 1 (ψ n (m 1)) º¹¹ º = ψ n 1 (x) ÔÓÙÖ x = ψ n (m 1) n + m Ô Ö ÝÔº Ò º Ò ÙØ Ð ÒØ ÒÓÖ ÙÒ Ó Ð³ ÝÔÓØ ³ Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ Ù Ø ψ n 1 (x) x + n Ó Ø ψ n (m) 2n + m > n + m ÔÙ ÕÙ n > 0º ¾º ÇÒ ÑÓÒØÖ ψ n (m + 1) > ψ n (m), º¾º º µ ÕÙ ÕÙ Ú ÙØ ψ n (m + k) ψ n (m) + k Ô Ö Ò ÙØ ÓÒ ÙÖ n Ø Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ º ÈÓÙÖ n = 0 ÓÒ ψ n (m+1) = m+1+1 > m+1 = ψ n (m)º ËÙÔÔÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ n > 0º ÐÓÖ º ÇÒ ÑÓÒØÖ ψ n (m + 1) = ψ n 1 (ψ n (m)) > n 1 + ψ n (m) Ô Ö º¾º º µ ψ n (m). ψ n+1 (m) > ψ n (m), º¾º ºµ ÕÙ ÕÙ Ú ÙØ ψ n+k (m) ψ n (m) + k Ô Ö Ò ÙØ ÓÒ ÙÖ m Ø Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ º ÈÓÙÖ m = 0 ÓÒ ψ n+1 (m) = ψ n (1) > ψ n (0) = ψ n (m) Ö Ø Ñ ÒØ Ö º¾º º µº ÈÓÙÖ m > 0 ÓÒ ψ n+1 (m) = ψ n (ψ n+1 (m 1)) = ψ n (x) ÔÓÙÖ x = ψ n+1 (m 1) º¹¹ º ÔÓÙÖ x > n + m Ô Ö º¾º º µº ÇÒ Ù Ø ψ n (x) > ψ n (m) Ô Ö º¾º º µº Ò ÓÒ Ò ψ n+1 (m) > ψ n (m)º º ÇÒ ÑÓÒØÖ ψk m(n) ψ k+1(n+m) Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ mº Ä m = 0 ³ ÜÔÖ Ñ n ψ k+1 (n) Ø Ù Ø Ù Ø ÕÙ ψ k+1 (n) ψ 1 (n) = n + 2º ÑÓÒØÖÓÒ Ð Ô Ð Ö ÙÖÖ Ò º ψ m+1 k (n) ψ k (ψ k+1 (n+m)) = ψ k+1 (n+m+1) Ô Ö ÝÔÓØ Ö ÙÖÖ Ò Ø Ô Ö ÖÓ Ò ψ k º Ä ÑÑ º¾º ÈÓÙÖ ØÓÙ k, m, n ψ k (ψ m (n)) ψ 2+max(k,m) (n)º ÇÒ ³ ÔÔÙ ÙÖ Ð Ð ÑÑ º¾º º ËÓ Ø M = max(k, m)º ψ k (ψ m (n)) < ψ M (ψ M+1 (n)) Ô Ö Ð ÑÓÒÓØÓÒ ψ = ψ M+1 (n + 1) = ψ M+1 (ψ 1 (n 1)) n > 0 ψ M+1 (ψ M+2 (n 1)) ÒÓÖ Ô Ö ÑÓÒÓØÓÒ = ψ M+2 (n). ³ ÙØÖ Ô ÖØ n = 0 ÐÓÖ ψ M+1 (n + 1) = ψ M+2 (0) Ø ÓÒ ÒÓÖ Ð³ Ò Ð Ø º ¾¾
24 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ö ÙÑ ÒØ ξ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ð Ö Ö ÖÞ ÓÖÞÝ ψ n Ø ÐÐ ÕÙ m ξ(m) ψ n (m) ÇÒ ÔÖÓÙÚ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙØ Ð Ò Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÓÒ¹ Ø ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú ÕÙ φ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ k φ Ø Ð ÕÙ φ( n) ψ kφ (max n)º ³ Ø ÚÖ ÔÓÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ø Ð P i k ( n) ψ 0(max n) S(n) ψ 0 (n) Z(n) ψ 0 (n)º Ë φ Ø Ó Ø ÒÙ Ô Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ξ, φ 1,...,φ m Ð Ù Ø Ó Ö k φ = 2 + max(k ξ, k φ1,...,k φn ), Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ð ÑÑ º¾º º Ë φ Ø Ó Ø ÒÙ Ô Ö Ö ÙÖ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú { ξ( n) m = 0 φ(m, n) = ψ(φ(m 1, n), m 1, n) m > 0 ÇÒ ÑÓÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ m ÕÙ φ(m, n) ψ m k ψ (ψ kξ (max( n)))º Ë m = 0 ÐÓÖ φ(0, n) = ξ( n) ψ kξ (max( n)) Ô Ö ÝÔÓØ Ö ÙÖÖ Ò º Ë m > 0 Ô Ö ÝÔÓØ Ö ÙÖÖ Ò φ(m 1, n) ψ m 1 k ψ (ψ kξ (max( n))). È Ö ÖÓ Ò ψ kψ Ø ÓÑÑ ψ m k ψ (n) n + m ÓÒ Ù φ(m, n) ψ kψ (max(ψ m 1 k ψ (ψ kξ (max( n))), m 1, n)) ψ kψ (ψ m 1 k ψ (ψ kξ (max( n)))) º¾º È Ö ÐÐ ÙÖ ψ m k (n) ψ k+1(n + m) Ð ÑÑ º¾º µ ÓÒ φ(m, n) ψ 1+kψ (m + ψ kξ (max( n))) ψ 1+kψ (2ψ kξ (max(m, n))) ψ 1+kψ (ψ 2 (ψ kξ (max(m, n)))) ψ max(1+kψ,max(2,k ξ )+2)+2(max(m, n)) Ä ÓÒØ ÓÒ ³ ÖÑ ÒÒ Ä ÓÒØ ÓÒ ³ ÖÑ ÒÒ ÙÜ Ö ÙÑ ÒØ Ø Ð ÓÒØ ÓÒ A(n, m) = ψ n (m)º Ä ÓÒØ ÓÒ ³ ÖÑ ÒÒ ÙÒ Ö ÙÑ ÒØ Ø Ð ÓÒØ ÓÒ A(n) = ψ n (n)º Ì ÓÖ Ñ º¾º Ä ÓÒØ ÓÒ ³ ÖÑ ÒÒ ÙÒ Ø ÙÜ Ö ÙÑ ÒØ Ò ÓÒØ Ô Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú º Ë Ð ÓÒØ ÓÒ ÙÜ Ö ÙÑ ÒØ Ø Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ÐÓÖ Ð ÓÒØ ÓÒ ÙÒ Ö ÙÑ ÒØ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú º Ë Ð ÓÒØ ÓÒ ÙÒ Ö ÙÑ ÒØ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú ÐÓÖ ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º Ð Ü Ø Ö Ø ÙÒ ÒØ Ö k Ø Ð ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n A(n, n) ψ k (n)º Å Ò Ó ÒØ n = k + 1 ÓÒ Ó Ø ÒØ ψ k+1 (k + 1) ψ k (k + 1) ÕÙ ÓÒØÖ Ø Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÑÓÒÓØÓÒ ÓÒØ ÓÒ ψ m ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º µº ¾
25 º ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ô ÖØ ÐÐ ØÓØ Ð µ ÍÒ Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ F Ø ÖÑ Ô Ö Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ Ö Ôº ÖÑ Ô Ö Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ ØÓØ Ð µ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ Ö Ôº ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÔÐ Ø ÓÒ ξ F Ø ÐÐ ÕÙ n m ξ( n, m) = 0 k < m ξ( n, k)µ Ð ÓÒØ ÓÒ φ Ò Ô Ö φ( n) = min{m (ξ( n, m) = 0) k < m ξ( n, k) } Ø Ò F º Ä ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ ØÓØ Ð Ø Ø Ò Ù ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ô ÖØ ÐÐ Ð ÓÑÔÓ Ò³ Ø Ò ÕÙ ÐÓÖ ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÑÔÓ ÒØ Ð ÓÒغ Ñ Ñ Ð Ö ÙÖ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÔÔÐ ÕÙ ÓÒØ ÓÒ Ô ÖØ ÐÐ φ = ÈÖ Ñ(ξ, ψ) Ø Ò Ò (m, n) m = 0 Ø ξ( n) ÓÙ Ò m > 0 φ(m 1, n) Ø ψ(φ(m 1, n), m 1, n) º Ò Ø ÓÒ º º½ ij Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ô ÖØ ÐÐ Ö Ôº ØÓØ Ð µ Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ ÕÙ ÓÒØ ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ø Ð Ø ÕÙ Ø ÖÑ Ô Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ö ÙÖ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ø Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ Ö Ôº ØÓØ Ð µº ÆÓÙ ÖÑÓÒ ÕÙ Ð ÑÓ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ù ÑÓ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò º ÈÐÙ ÔÖ Ñ ÒØ Ì ÓÖ Ñ º º½ Ä ÓÒØ ÓÒ Ö Ôº ÔÔÐ Ø ÓÒ µ ÐÙÐ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ LWHILE ÓÒØ Ü Ø Ñ ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ô ÖØ ÐÐ Ö Ôº ØÓØ Ð µº ÆÓÙ Ð ÓÒ Ð Ó Ò Ù Ð Ø ÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÓÑÑ ÒØ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö Ôº ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒµ Ö ÙÖ Ú Ô ÙØ ØÖ ÐÙÐ Ô Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ù Ð Ò LWHILE Ö Ôº ÕÙ Ø ÖÑ Ò µ Ø ÒÓÙ ÒÓÙ ÓÒ ÒØÖÓÒ ÙÖ Ð Ö ÔÖÓÕÙ º ³ ÔÖ ÒÓ Ö ÙÐØ Ø ÙÖ Ð Ó Ð ÒÓÙ Ù Ø ÑÓÒØÖ Ö ÓÑÑ ÒØ ÑÙÐ Ö Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ù Ú ÒØ while f(x) 0 do x := g(x) endwhile return x Ó f Ø g ÓÒØ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ø f Ø Ú Ð ÙÖ Ò {0, 1}º ÆÓÙ Ò ÓÒ h(x, n) = if x = 0 then x else g(h(x, n 1)) ØØ ÓÒØ ÓÒ ÐÙРг Ø n ØÓÙÖ ÓÙÐ º ÈÙ ÒÓÙ Ò ÓÒ tour(x, n) = min({n f(h(x, n)) = 0 n < n f(h(x, n)) }) ØØ ÓÒØ ÓÒ Ö ÒÚÓ ³ Ð Ü Ø Ð ØÓÙÖ ÓÖØ µº Ä ÓÒØ ÓÒ Ö Ö Ø ÐÓÖ h(x, tour(x))º ÁÐ Ø ÑÑ Ø ÕÙ Ð Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ØÓØ Ð Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ ÓÒØ Ò ÒØ Ð ÓÙÐ while Ø ÖÑ Ò ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ð Ú Ð ÙÖ xº Ì ÓÖ Ñ º º¾ Ä ÓÒØ ÓÒ ³ ÖÑ ÒÒ Ø Ö ÙÖ Ú ØÓØ Ð º ÆÓÙ Ö ÚÓÒ ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ LWHILE ÕÙ ÐÙÐ A(m, n)º while π 1 2(σ) < 2m + 1 π(2m + 1, σ) n do σ := w(1, π(1, σ) + 1, σ) σ := w(2, π(1, σ) + 1, σ) for x from 2 to m + 1 do ¾
26 if π2 1 (σ) = 2(x 1) π(2x 3, σ) = 1 then σ := conc(0, σ) σ := conc(π(2x 2, σ), σ) elseif π2(σ) 1 2x π(2x 3, σ) = π(2x, σ) then σ := w(2x 1, π(2x 1, σ) + 1, σ) σ := w(2x, π(2x 2, σ), σ) endif endf or endwhile return π(2m + 2, σ) ÔÖÓ Ö ÑÑ Ñ ÒØ ÒØ Ò σ ÙÒ Ù Ø 2k Ú Ð ÙÖ v 1,...,v 2k Ú 1 k m + 1 ÕÙ Ú Ö ÒØ Ð ÖØ ÓÒ Ù Ú ÒØ Ù ÙØ ÕÙ ØÓÙÖ ÓÙÐ µ ÈÓÙÖ ØÓÙØ i k v 2i = A(i 1, v 2i 1 )º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð Ù Ø Ú Ð ÙÖ Ô ÙØ ØÖ Ö Ø v 1, A(0, v 1 ), v 3, A(1, v 3 ),...,v 2i 1, A(i 1, 2i 1)º ÈÓÙÖ ØÓÙØ i < k v 2i 1 < v 2i+2 º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð Ú Ð ÙÖ ÓÙÖ ÒØ v 2i 1 Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ö ÙÖ A(i, v 2i+1 )º Ë k < m + 1 ÐÓÖ v 2k+1 = 0º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò³ Ô ÒÓÖ Ð ÑÓÝ Ò ÐÙÐ Ö A(k, 0)º ÁÒ Ø Ð Ñ ÒØ Ð Ù Ø Ú Ð ÙÖ Ø Ð 0, 1 = A(0, 0)º ÕÙ ØÓÙÖ ÓÙÐ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ ÐÙÐ Ð Ô Ö Ù Ú ÒØ x, A(0, x) Ø Ð Ú Ð ÙÖ x ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ú Ð ÙÖ A(1, y) ØÓ Ò Ð Ô Ö Ù Ú ÒØ y, A(1, y) Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ð ÑÓÝ Ò ÐÙÐ Ö Ð Ô Ö y + 1, A(1, y + 1) = A(0, A(1, y))º ij ÜØ Ò ÓÒ Ð Ù Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ù Ó v 2k 1 = 1 ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÐÙÐ Ö Ð Ô Ö 0, A(k, 0) = v 2k = A(k 1, 1)º ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ô º ÐÓÖ ÓÒ ÑÓÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ i ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ v 2i+1 ÖÓ ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ô Ö Ô 1 Ú ÒØÖ ÕÙ ÒÖ Ñ ÒØ ØÓÙÖ Ó Ð Ú Ð ÙÖ Ø Ø Ø ÓÒÒ Ö µ Ò Ñ ÖÖ ÒØ 0º È Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ v 2m+1 Ó Ø ØØ Ò Ö nº ÕÙ ÓÒØÖ Ø Ð ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò ÓÒº Ì ÓÖ Ñ º º ÃÐ Ò µ ÌÓÙØ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ô ÖØ ÐÐ ³Ó Ø ÒØ Ð³ ³ÙÒ ÙÐ Ñ ¹ Ò Ñ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú º ËÓ Ø f ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ô ÖØ ÐÐ f Ø ÐÙÐ Ô Ö ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÓÒ Mº г ÒÓØÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú ÕÙ Ò ÓÒ Ô ÙØ Ó Ö Ô Ö ÙÒ ÒØ Ö ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ Mº È Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ Ô ÙØ Ó Ö conf 1, conf 2,...,conf n Ú conf i ÙÒ ÒØ Ö Ó ÒØ ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ö c($), c(a 1 ),...,c(a i 1 ), c(q), c(a i ),...,c(a m ) º Á c Ó ÕÙ Ö Ø Ö Ø Ø Ø ÙÒ ÒØ Ö Ø Òغ ÁÐ Ø Ð ³ Ö Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ LFOR ÕÙ Ø Ø ÙÒ ÒØ Ö Ó ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ ÓÒØ Ð ÖÒ Ö Ø Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ðº Ä ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ö Ø ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ LWHILE ÓÑÔÓÖØ ÒØ ÙÒ ÓÙÐ while ÜØ ÖÒ ÕÙ ÒÙÑ Ö Ð ÒØ Ö Ø Ü ÙØ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ LFOR ÔÓÙÖ Ø Ø Ö Ð³ ÒØ Öº Ä ÓÒ Ø ÓÒ ³ ÖÖ Ø Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÙÒ Ø Ø ÔÓ Ø º Ä ØÖ ÙØ ÓÒ Ð ÓÙÐ while ÚÙ ÔÐÙ ÙØ ÓÙÖÒ Ø Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ö Ö º ¾
27 Ô ØÖ Ð ÖÓÒØ Ö Ð Ð Ø º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ä³Ó Ø ÖÒ Ö Ô ØÖ Ø ÑÓÒØÖ Ö ÙÜ Ü ÑÔÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÒØ ÔÔ Ö ÑÑ ÒØ Ñ Ò ÙÖ Ð³ ÒÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ð Ø ØÙØ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ò Ð Ø Ú Ú Ö µº ÆÓÙ ÚÓÒ Ó ÔÖ Ò Ö Ü ÑÔÐ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÙÖ ÑÓ Ð Ø Ò ÒØ Ð ÙØÓÑ Ø Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ³ Ð Ø ÕÙ ÓÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ó ³ÙÒ ÔÓ ÒØ ÚÙ Ø ÓÖ ÕÙ Ñ Ù ÔÖ Ø ÕÙ º º¾ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð ÍÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ø ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÓØ ³ÙÒ Ð ÓÒØ Ò ÒØ ÙÒ ÑÓØ wº Ä ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø ÓÒ Ø ÒÚÓÝ Ö ÙÒ Ñ a ÙÖ Ð Ð º º ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ð ÑÓØ Ò wa ÓÙ Ö ÚÓ Ö ÙÒ Ñ a ÙÖ Ð Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÕÙ a Ó Ø Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ Ù ÑÓØ º º ØÖ Ò ÓÖÑ Ö w = aw Ò w º ÇÒ ÒÓØ!a Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø?a Ð ÙÜ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒº IO(Σ) Ò Ð³ Ò Ñ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙÖ Ð³ ÐÔ Ø Σ IO(Σ) = { a {!,?} a Σ}º Ò Ø ÓÒ º¾º½ ÍÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð A = (Σ, Q, q 0, F, ) Ú Σ ÙÒ ÐÔ Ø Ò Q ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ³ Ø Ø ÒÐÙ ÒØ q 0 г Ø Ø Ò Ø Ð Ø F г Ò Ñ Ð Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ùܺ X ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ³ ÓÖÐÓ º Q IO(Σ) Q Ð Ö Ð Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒº ÇÒ ÒÓØ (q, io, q ) Ô Ö q io q ÍÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ø ÙÒ Ô Ö (q, w) Ú q Q Ø w Σ º Ò Ø ÓÒ º¾º¾ ÍÒ Ü ÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ø ÙÒ ÕÙ Ò (q 0, w 0 ) io 1 (q 1, w 1 )... io n (q n, w n ) Ú w 0 = ε Ð ÑÓØ Ú 1 i n q i 1 io i, q i Ø Ë io i =!a ÐÓÖ w i = aw i 1 Ë io i =?a ÐÓÖ w i 1 = aw i º ÇÒ Ò Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø Ò ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ò º Ü Ø ¹Ø¹ Ð ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ ÕÙ Ö ÒÓÒØÖ ÙÒ Ø Ø F Ì ÓÖ Ñ º¾º½ Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ø Ò Ð º ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ö Ù Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ³ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò M ÙÖ Ð ÑÓØ Ú ÔÖÓ Ð Ñ º ÈÓÙÖ Ð Ð³ ÙØÓÑ Ø Ó A ÑÙРг Ü ÙØ ÓÒ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ò ¾
28 ij ÐÔ Ø A Ø Ð³ ÐÔ Ø M ÒÖ ³ÙÒ Ñ ÖÕÙ ÙÖ º Ä Ø Ø A ÒÓØ Q A µ ÓÒØ Ó Ø Ø Ø M ÒÓØ Q M µ Ó Ø Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö ÒÓØ Q µº ÍÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, w) Ø Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÑÙÐ Ø ÓÒ q Q M Ø w Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ø Ø M º º w = w 1 w 2 Ó Ð ÔÖ Ñ Ö Ñ ÖÕÙ Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ð Ø Ø Ð ØÙÖ Ø Ð ÙÜ Ñ Ñ ÖÕÙ Ð Ò Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒµº Ä ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, w) Ø ÐÐ ÕÙ q Q ÓÒØ ÔÔ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÒØ ÖÑ Ö º ÍÒ Ü ÙØ ÓÒ A ÓÒ Ø Ò ÙÒ Ù Ø ÕÙ Ò ³ Ü ÙØ ÓÒ ÔÖ ³ÙÒ ÕÙ Ò Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÒØ Ö Ö ÙÖ Ð Ð $ B Ø ÔÓ Ø ÓÒÒ Ö ÙÖ Ð³ Ø Ø Ò Ø Ð Mº ÕÙ ÕÙ Ò ÓÒ Ù Ø ³ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ Ú Ú Mµ ØÖ Ú Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÒØ ÖÑ Ö º Ä ÑÙÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ô M ÔÖÓ Ò ½º A Ñ ÒØ ÒØ Ò Ñ ÑÓ Ö q Ø Ð ØÖÓ ÖÒ Ö Ð ØØÖ ÐÙ w ÓÒ xyzº Ë y Ø Ö ÒØ ÐÓÖ A Ö Ø x Ø Ð Ø ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ð ØØÖ t Ñ ÑÓÖ ÒØ yztº ¾º Ë y Ø Ð ÐÓÖ z Ø Ð Ð ØØÖ ÓÙ Ð Ø Ø Ð ØÙÖ º Ò ÓÒØ ÓÒ δ(q, z) = (q, $, d) A Ö Ø Ð Ö Ø Ö x y z ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ù ÒÓÙÚ Ð Ø Ø Ð Ò M Ú Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÙØ ³ÙÒ Ð Òµº º A Ö ÓÔ Ò Ù Ø Ð Ö Ø Ö Ù ÕÙ³ Ù ÙÜ Ñ ÕÙ ÔÖ Ô Ð³ Ø Ø q ÓÒ Ù Ø Ð ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÑÙÐ Ø ÓÒº È Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ A ØØ ÒØ ÔØ ÓÙ Ö Ø M ³ ÖÖ Ø º º ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ú Ô ÖØ ½ ÍÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ú Ô ÖØ Ð Ñ Ñ ÝÒØ Ü Ø Ð Ñ Ñ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÕÙ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð º Ë ÙÐ Ð ÒÓØ ÓÒ ÕÙ Ò ³ Ü ÙØ ÓÒ Ö º Ò Ø ÓÒ º º½ ÍÒ Ü ÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ú Ô ÖØ Ø ÙÒ ÕÙ Ò (q 0, w 0 ) io 1 (q 1, w 1 )... io n (q n, w n ) Ú w 0 = ε Ð ÑÓØ Ú Ø 1 i n!a ËÓ Ø Ð Ü Ø q i 1 q i Ø w i = aw i 1?a ËÓ Ø Ð Ü Ø q i 1 q i Ø w i 1 = aw i º ËÓ Ø q i = q i 1 w i 1 = w 1 aw 2 Ø w i 1 = w 1 w 2 ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð³ ÙØÓÑ Ø Ú Ô ÖØ Ô ÙØ Ô Ö Ö ÙÒ Ð ØØÖ ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ù ÑÓØ Ð Ð º ÇÒ Ò Ø Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÒØÖ ÑÓØ w w ÒÓØ ÒØ w = a 1...a n Ð Ü Ø ÙÒ ¹ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ w w = w 0 a 1 w 1... w n 1 a n w n º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð ÑÓØ w ÔÐÓÒ Ò w º Ä ÑÑ º º½ À Ñ Òµ ËÓ Ø ÙÒ Ù Ø Ò Ò ÑÓØ (w 0, w 1,...)º ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÜ Ò i < j Ø Ð ÕÙ w i w j º ÓÒ ÖÓÒ Ð³ Ò Ñ Ð S Ù Ø Ò Ò ÕÙ Ò Ú Ö ÒØ Ô Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ð ÑÑ Ø ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ S º ÇÒ Ö ÕÙ ÙÒ Ð Ñ ÒØ w = (w 0, w 1,...) S Ð ÓÒ Ù Ú ÒØ º ÇÒ Ó Ø ÔÓÙÖ w 0 ÙÒ ÑÓØ Ø ÐÐ Ñ Ò Ñ Ð Ô ÖÑ Ð ÔÖ Ñ Ö ÑÓØ Ð Ñ ÒØ Sº ÍÒ Ó Ó w 0, w 1,...,w i ÓÒ Ó Ø ÔÓÙÖ w i+1 ÙÒ ÑÓØ Ø ÐÐ Ñ Ò Ñ Ð Ô ÖÑ Ð w i+1 Ø Ð ÕÙ w 0, w 1,...,w i+1 ÓÒ Ø ØÙ ÙÒ ÔÖ Ü Ò ³ÙÒ Ð Ñ ÒØ Sº È Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÙÒ Ø Ð Ó Ü Ø ØÓÙ ÓÙÖ ÔÓ Ð º ¾
29 È Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ w Sº Ò Ð Ù Ø w = (w 0, w 1,...) ÙÒ Ð ØØÖ ÓÒ aµ ÔÔ Ö Ø Ò Ò ¹ Ñ ÒØ ÓÙÚ ÒØ Ò ÔÖ Ñ Ö ÔÓ Ø ÓÒ w i º ËÓ Ø w α(0), w α(1),... Ð ÓÙ ¹ Ù Ø ÜØÖ Ø Ú w α(i) = aw α(i) º ÆÓÙ Ð ÓÒ Ð Ó Ò Ù Ð Ø ÙÖ Ú Ö Ö ÕÙ w = w 0,..., w α(0) 1, w α(0), w α(1),... Ô¹ Ô ÖØ ÒØ Sº ³ ÙØÖ Ô ÖØ w α(0) < w α(0) ÓÒØÖ ÒØ Ð Ò Ø ÓÒ wº È Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ S Ø Ú ÕÙ Ø Ð Ø Ð Ð ÑÑ º ÆÓÙ ÚÓÙÐÓÒ Ø Ð Ö Ð Ð Ø Ð³ Ð Ø ÔÓÙÖ Ð ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ú Ô ÖØ º ÆÓÙ Ø Ò ÓÒ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ö (q, w) (q w ) q = q Ø w w º Ñ Ò Ö Ú ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ð ÑÑ À Ñ Ò Ø Ú Ö ÔÓÙÖ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ Ù Ø Ò Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ((q 0, w 0 ), (q 1, w 1 ),...)º ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÜ Ò i < j Ø Ð ÕÙ (q i, w i ) (q j, w j )º Ò Ø ÒØ ÕÙ³ Ù ÑÓ Ò ÙÒ Ø Ø ÔÔ Ö Ø Ò Ò Ñ ÒØ ÓÙÚ ÒØ Ð Ù Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ù Ø ÜØÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º ÈÓÙÖ ÚÓ Ö ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, w) Ø Ð ÔÙ ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, w ) ÒÓÙ ÐÐÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò BAcc(q, w) г Ò Ñ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô ÖØ Ö ÕÙ ÐÐ (q, w) Ø Ð º ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ó Ø Ô ÖÑ ØØÖ Ø Ø Ö Ð³ ÔÔ ÖØ Ò Ò ³ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ò Ñ Ð º ÈÓÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ E ÒÓØÓÒ E г Ò Ñ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Eº Ä Ò Ñ Ð ÐÓ ÙÔ Ö ÙÖ Ñ ÒØ ÓÒØ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø E = E º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ BAcc(q, w ) Ø ÐÓ ÙÔ Ö ÙÖ Ñ Òغ Ò Ø Ó Ø (q, w ) ÕÙ Ô ÖÑ Ø ³ ØØ Ò Ö (q, w) Ø Ó Ø (q, w ) Ú w w ÐÓÖ Ò Ô Ö ÒØ Ð Ñ Ò Ü w ÓÒ ØØ ÒØ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, w )º ÈÓÙÖ Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ³ÙÒ Ò Ñ Ð ÐÓ ÙÔ Ö ÙÖ Ñ ÒØ Ð Ù Ø ÔÖ Ò Ö Ð Ð Ñ ÒØ Ñ Ò Ñ ÙÜ Ø Ò Ñ Ð º Ò Ø ÔÙ ÕÙ³ Ð ÓÒØ ØÓÙ ÒÓÑÔ Ö Ð Ð Ò Ô ÙÚ ÒØ ØÖ Ò ÒÓÑ Ö Ò Ò Ö ÒÓÙÚ Ù Ð ÓÒØÖ Ö Ø Ð Ð ÑÑ À Ñ Òº ÔÔ ÐÓÒ Min(E) г Ò Ñ Ð Ð Ñ ÒØ Ñ Ò Ñ ÙÜ º ÈÙ ÕÙ Ø ÐÓ ÙÔ Ö ÙÖ Ñ ÒØ E = Min(E) ÕÙ ÑÓÒØÖ ÕÙ³ÙÒ Ò Ñ Ð ÐÓ ÙÔ Ö ÙÖ Ñ ÒØ Ø Ø ÖÑ Ò Ñ Ò Ö ÙÒ ÚÓÕÙ Ô Ö Ð Ñ ÒØ Ñ Ò Ñ Ùܺ ÔÐÙ Ð Ø Ø ³ ÔÔ ÖØ Ò Ò Ø Ø Ö Ð Ù Ø ÓÑÔ Ö Ö Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ú Ð Ð Ñ ÒØ Ñ Ò Ñ Ùܺ Ä Ð ÑÑ Ù Ú ÒØ Ø Ð Ð Ð Ð Ø Ð³ Ð Ø º Ä ÑÑ º º¾ ËÓ Ø {E n } n N ÙÒ Ù Ø ³ Ò Ñ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÙÔ Ö ÙÖ Ñ ÒØ Ø ÖÓ ¹ ÒØ ØØ Ù Ø Ø Ð º Ò Ð ÓÒØÖ Ö ÕÙ Ó ÕÙ³ÙÒ Ò Ñ Ð Ò³ Ø Ô Ð Ù ÔÖ ÒØ Ò ÕÙ³ Ð Ý ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ò Ñ Ð ÕÙ Ò³ Ø ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð ÙÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ñ Ð ÔÖ ÒØ º ÆÓÙ Ð Ø ÓÒÒÓÒ Ð³ÙÒ Ð Ñ ÒØ º Ò Ø Ö ÒØ Ð ÔÖÓ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ Ù Ø Ò Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ò ÓÒØ Ô ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð ÙÜ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ð Ù Ø º Å ÓÒØÖ Ø Ð Ð ÑÑ À Ñ Òº Ì ÓÖ Ñ º º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø (q, w) Ô ÖØ Ö (q 0, w 0 ) Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ú Ô ÖØ Ø Ð º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ BAcc(q, w) = n N BAcc n(q, w) Ú BAcc n (q, w) г Ò Ñ Ð ÓÒ ÙÖ ¹ Ø ÓÒ Ô ÖØ Ö ÕÙ ÐÐ (q, w) Ø Ð Ò Ù ÔÐÙ n Ô º Ò Ö BAcc 0 (q, w) = {(q, w)}º ÆÓÙ ÖÓÒ Ó Ø Ò Ö Bacc(q, w) Ò ÐÙÐ ÒØ Ô Ö Ø Ö Ø ÓÒ Ù Ú Min(E n ) ÔÓÙÖ Ò¹ Ñ Ð E n ÖÓ ÒØ Ø Ð ÕÙ Bacc n (q, w) E n Bacc(q, w) Ø E 0 = BAcc 0 (q, w)º ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ ÒÓÙ ÝÓÒ ÐÙÐ Min(E n )º ÈÓÙÖ ØØ Ò Ö Ò ÙÒ Ô Ô ÖØ Ö ³ÙÒ (q, w ) / E n ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, w ) ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, w min ) Min(E n ) Ð ÙØ ¾
Ê ÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ö Ø ØÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ï ÙØ Ð Ø ÙÐØ ÆÓØÖ ¹ Ñ Ä È Ü Æ ÑÙÖ Ð ÕÙ Û ÙØ Ð Ò Óº ÙÒ Ôº º Ê ÙÑ º ij ÑÔÓÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ò³ Ø ÔÐÙ ÑÓÒØÖ Öº Ò Ø Ð Ó Ü ³ÙÒ ØÝÔ
Plus en détailÎ ÐÙ Ø Ê Ñ ÙÖ Ô Ø Ð ÓÒÓÑ ÕÙ µ Ð Ê ÓÙÐ Ø ² Ì ÖÖÝ ÊÓÒ ÐÐ ÖÓÙÔ Ê Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ö Ø ÄÝÓÒÒ Ñ Ð ÐºÖ ÓÙÐ ØÖ ØÐÝÓÒÒ º Ö Ø ÖÖݺÖÓÒ ÐÐ Ö ØÐÝÓÒÒ º Ö ÈÐ Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÒØ ÓÒ ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ø Î ÐÙ ¹ Ø¹Ê Ä Ü
Plus en détailÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÙÐØ Ë Ò ÓÒÓÑ ÕÙ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ÅÈÁÊÁÉÍ Ë Å ÆÁËÅ Ë ÌÊ ÆËÅÁËËÁÇÆ Ë ÀÇ Ë ÇÆ Å ÆÌ Í Ì ÆÇÆ ÇÆ Å ÆÌ Í Î ÊË Ä Ë Å Ê À Ë ÇÍÊËÁ ÊË Ì ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ø ØÖ ÓØ ÙÖ Ä³ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÈÖ ÒØ
Plus en détailÏ Í Å Ò Ò ÁÒØ Ö¹Ë Ø Ò ÐÝ Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ÍØ Ð Ø ÙÖ ÁÑÔ Ø ÁÑÑ Ø ÁÒØ Ö Ø Ï Í Å Ò Ò Í Ö Ú ÓÙÖ Ò ÐÝ Û Ø ÁÑÑ Ø ÁÑÔ Ø º Å Ð ½ ¾µ ź Ì Ö ½µ Ⱥ ÈÓÒ Ð Ø ½µ ½µ ÄÁÊÅÅ ÍÅÊ ÆÊË ¼ ½ ½ ÊÙ ¾ ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö Ü Ö Ò ¾µ Ä ÓÖ ØÓ
Plus en détailÊ ÔÔÓÖØ Ø Ù ÐÐ ÙÑ Î Ð ÓÒ ¾ Ù Ò ¾¼¼¼ Ì Ð Ñ Ø Ö Á ÓÖ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ½ ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ¾ Ä ÓÑ Ò ³ Ø Ú Ø ¾º½ Ñ Ò ØÖ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ö Ø ØÙÖ Ö ÙÜ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º
Plus en détailÓÐ ÓØÓÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÕÙ Ë Ò Ø Ì ÒÓÐÓ Ð³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Í Ê ÁÅ ÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÓÒÒ Ò ÓÙÑ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ò ÓÒ ÔØÙ ÐРг ³ÓÒØÓÐÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ö ÔØ ÓÒ ÓÙÑ ÒØ Ù ÓÚ Ù Ð ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ð Å Ö ¾¼¼ ÔÓÙÖ
Plus en détailÍÒ Ú Ö Ø ÅÓÒØÖ Ð ÍÒ ÑÓ Ð ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ø Ð Ñ Ø ÑÓ Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ Ñ ÑÓ Ö ³ ÒØÖ ÔÖ Ô Ö ÇÐ Ú Ö Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ ³ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ö Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ÙÐØ ÖØ Ø Ò Ì ÔÖ ÒØ Ð ÙÐØ ØÙ ÙÔ Ö ÙÖ Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö È
Plus en détailÌ ÖÖÝ ÅÓÝ ÙÜ ÖÓÙÔ Å Ë ÂÙ ÐÐ Ø ¾¼¼¾ Ì Ò ÕÙ ÑÙÐØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ö ÙØ ÓÒ Ð³ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò Ò ÙÒ Ò ÐÓ Ø ÕÙ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð³ Ò Ù ØÖ ÓÖ Ø Ö Ö Ø ÙÖ ÈÖÓ º Ö Ñ ¹ Ö Ó¹ Ö Ø ÙÖ ÈÖÓ º ËÓÔ ³ ÑÓÙÖ ÈÖÓ º ÖÒ Ö Ô Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓØÓÖ
Plus en détailVérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition
Université defranche-comté École doctorale Sciences Pour l Ingénieur et Microtechniques U.F.R. des Sciences et Techniques Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition THÈSE présentée
Plus en détailÍÒ Ú Ö Ø Ö ÒÓ Ê Ð ÌÓÙÖ ÓÐ ÓØÓÖ Ð Ë ÒØ Ë Ò Ø Ì ÒÓÐÓ ÒÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ö ¾¼¼¾¹¾¼¼ BLOIS CHINON ÌÀ Ë ÈÇÍÊ Ç Ì ÆÁÊ Ä Ê Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÌÇÍÊË ÔÐ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö Æ ÓÐ Ä ÊÇ À Ð Ñ Ö
Plus en détailP etit pat hw o rk de ombinatoire énumérative Mireille Bousquet-Mélou, CNRS, LaBRI, Bo rdeaux http://www.lab ri.fr/ b ousquet
Ô Ø ÛÓÖ È Ø Ø ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú Å Ö ÐÐ ÓÙ Õ٠عŠÐÓÙ ÆÊË Ä ÊÁ ÓÖ ÙÜ ØØÔ»»ÛÛÛºÐ Ö º Ö» ÓÙ ÕÙ Ø Ä ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú ººº ³ ØÕÙÓ ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÑ ÒØ ÇÅÈÌ Ê κ ij ÖØ ÓÑÔØ Ö Ô Ðغ Ø Ð ÖÐ ÒÓÑ Ö Ö Ö ÒÓÑ Ö Ö ÒÓÑ
Plus en détail¹ËÁÊ ¹ Ê ÔÔÓÖØ Ø ÈÖÓ Ø Ä Ò Ø Ê Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ó Ò Æ Ó Ò Ö Ñ ÒØ ÀÙ ÖØ Æ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼¾ ¾ Ì Ð Å Ø Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ Ø Ø Ð³ ÖØ ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Plus en détailÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ò Â Ú Ü Ò Ö Å ½ ÔØ Ñ Ö ¾¼½ Ì Ñ Ø Ö ½ ÆÓØ ÓÙÖ ¾ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º½º½ À Ó ÏÓÖ º º º
Plus en détailÇÆ ÈÌÁÇÆ Ì Ê ÄÁË ÌÁÇÆ ³ÍÆ ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ËÌÁÇÆ Ê Ë Í Ë ÇÅÈÇË ÆÌË Ê È ÊÌÁË Ô Ö ÅÓ Ñ Ö Þ Ñ ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ø ³ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö Ñ ØÖ Ò ÅºËºµ ÍÄÌ Ë Ë Á Æ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ËÀ Ê ÊÇÇÃ
Plus en détailÄ Ù Ù ÊÇÇÌ Ö ÔÓÙÖ Ä ÒÙÜ Ö ÙÑ Ö º ÙÑ Ä ÒÙܺ ͺÇÖ Ö º ÙÑ Ö Ò ÜºÓÖ Î Ö ÓÒ ¾º ¾½ Ë ÔØ Ñ Ö ½ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÈÖ Ñ ÙÐ ½ ½º½ À ØÓ Ö Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Plus en détailz x h ÙÖ ½ ÓÑØÖ Ù ÔÖÓÐѺ ½º ÁØÖÓÙØÓ ÁÐ Ø ÓÙ ÕÙ Ù ÓÙ Ó ÔÖÓÖ ÓØ Ý ØÑ Æ ÔÓÙÖ ÔÖ Ð³Ö ÚÙ Ð Ó ÂÖÐ ÂÖÐ ½½µ ÓØ ÐÖÑØ ÙØÐ ÔÓÙÖ ÑÓÖØÖ Ð ÐÔÓØ Ð ÔÓÖØ Ù ÔÖÓÖ ÓØ Ú ÓÑÑ Ý ØÑ ÔÖÓØØÓ ÓØÖ ÚÓÖ ÔÖ ÜÑÔÐ ÖÑ ² ÇÙÑÖ ½ ÓÙ ÐÙ ²
Plus en détailÄ ÇÊ ÌÇÁÊ ÈÀ ËÁÉÍ ÌÀ ÇÊÁÉÍ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÈÁ ÊÊ ÌÅ ÊÁ ÍÊÁ ij ÇÄ ÆÇÊÅ Ä ËÍÈ ÊÁ ÍÊ ÌÀ Ë Ç ÌÇÊ Ì Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁË ËÔ Ð Ø ÈÀ ËÁÉÍ ÌÀ ÇÊÁÉÍ Ë Ö ÄÇÊ ÆË ÔÖ ÒØ Ô Ö Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁË ÔÓÙÖÓ Ø Ò ÖÐ Ö ÇÀ Ê Æ ÌÄÇ
Plus en détailSTATUTS DE L ASSOCIATION. Association régie par par la Loi du 1 er juillet 1901
STATUTS DE L ASSOCIATION Association régie par par la Loi du 1 er juillet 1901 Statuts adoptés par l Assemblée Générale Extraordinaire du dimanche 1 er avril 2007 ËØ ØÙØ Ð³ Ó Ø ÓÒ ÖØ Ð ÔÖ Ñ Ö¹ ÒÓÑ Ò Ø
Plus en détail2 20 e Journées Bases de Données Avancées (BDA 2004). 1. Introduction
arxiv:0704.3501v1 [cs.db] 26 Apr 2007 Conception d un banc d essais décisionnel : ÖÓÑ º ÖÑÓÒØÙÒ Ú¹ÐÝÓÒ¾º Ö Jérôme Darmont Fadila Bentayeb Omar Boussaïd ERIC Université Lumière Lyon 2 5 avenue Pierre Mendès-France
Plus en détailCondition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½
Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Patrick Ciarlet et Vivette Girault ciarlet@ensta.fr & girault@ann.jussieu.fr ENSTA & Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 6 Condition
Plus en détailDELIBERATION N CP 13-639
CONSEIL REGIONAL D ILE DE FRANCE 1 CP 13-639 DELIBERATION N CP 13-639 DU 17 OCTOBRE 2013 La politique sociale régionale La politique régionale pour les personnes en situation de handicap Cinquième affectation
Plus en détailCommande Prédictive. J. P. Corriou. LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy. e-mail : corriou@ensic.inpl-nancy.fr
Commande Prédictive J P Corriou LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy e-mail : corriou@ensicinpl-nancyfr Ý Consigne Trajectoire de référence Ý Ö Réponse Ý Horizon de prédiction À Ô ¹ Ù ¹ Temps Entrée Ù Horizon de commande
Plus en détailQuelles solutions pour des établissements de santé à consommation d énergie annuelle inférieure à
Quelles solutions pour des établissements de santé à consommation d énergie annuelle inférieure à 100 kwh/m²? Rapport final Convention ADEME 04 07 C0043 Référence ARMINES 41204 Référence CSTB DDD/PEB -
Plus en détailALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE. SMI AlgoII
ALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE 1 2 Comment choisir entre différents algorithmes pour résoudre un même problème? Plusieurs critères de choix : Exactitude Simplicité Efficacité (but de ce chapitre)
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailRaisonnement distribué dans un environnement de type Pair-à-Pair
Actes JNPC 04 Raisonnement distribué dans un environnement de type Pair-à-Pair P. Adjiman P. Chatalic F. Goasdoué M.-C. Rousset L. Simon adjiman,chatalic,fg,mcr,simon @lri.fr Résumé Dans un système d inférence
Plus en détailVILLE DE VILLEURBANNE CONSEIL MUNICIPAL 5 JUILLET 2010. -ooo-
VILLE DE VILLEURBANNE CONSEIL MUNICIPAL 5 JUILLET 2010 -ooo- La s é a n c e e s t o u v e r t e s o u s l a p r é s i d e n c e d e M o n s i e u r J e a n - P a u l BR E T, M a i r e d e V i l l e u r
Plus en détailCryptographie RSA. Introduction Opérations Attaques. Cryptographie RSA NGUYEN Tuong Lan - LIU Yi 1
Cryptographie RSA Introduction Opérations Attaques Cryptographie RSA NGUYEN Tuong Lan - LIU Yi 1 Introduction Historique: Rivest Shamir Adleman ou RSA est un algorithme asymétrique de cryptographie à clé
Plus en détailASR1 TD7 : Un microprocesseur RISC 16 bits
{Â Ö Ñ º ØÖ Ý,È ØÖ ºÄÓ Ù,Æ ÓÐ ºÎ ÝÖ Ø¹ ÖÚ ÐÐÓÒ} Ò ¹ÐÝÓÒº Ö ØØÔ»»Ô Ö Óº Ò ¹ÐÝÓÒº Ö» Ö Ñ º ØÖ Ý»¼ Ö½» ASR1 TD7 : Un microprocesseur RISC 16 bits 13, 20 et 27 novembre 2006 Présentation générale On choisit
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détail! " #$ % $! & '(# ) (%%
" #$ % $ & '(# ) (%% "#$ %&' # ( ) #* +,#*+-),- ). * /. 0),12-3 45 #3 /45 ) 67 #*+ & ) 5 ) #*+ )5 #& #*+ 0 / )5 8 )0 ) 0)12 5+ )& ) )12) 7)0 5 ) 9/ 5 2 ) ) '12 ) /) 5" ) 7) 6 ): 05 2 5 80 7 ) 0,$#- ) &
Plus en détail#"$&'$+*" (" ),'-"."'($ %($
"#$%&' #(%)*"" (#%*!"!#$"! -!"!#$"!! -!"!#$"!./% -!"!#$"! #"$&'$+*" (" ),'-"."'($ %($ % & % '!#(! "! $#) #!* +,!(")"",#./ & 0!,$#!1!"!#1 $#!* ** +" + 1! 0! $!,#!,! $,! 2! $3! 1! $ 1+4!"$"#)1,##" 56./78#!
Plus en détail!" #$# % *(!( % (+#$#, ) ( 5- % % 2! $!!!!87777777777!!!!8777777 -% %. / 0 1 ' 2% %. (3 4 562( % 4 5
Bulletin d adhésion au contrat groupe Responsabilité Civile Professionnelle n B1302525PNPI souscrit par AMAVIE pour le compte exclusif des écoles accréditées.!" #$# % &%!'(" "()' ( *(!( % (+#$#, ) -% %.
Plus en détailSharp interface limit of an Allen-Cahn equation with conservation of the mass
Sharp interface limit of an Allen-Cahn equation with conservation of the mass Matthieu Alfaro and Pierre Alifrangis, I3M, Université de Montpellier 2, CC051, Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier Cedex
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailPremier réseau social rugby
Premier réseau social rugby Rugbygeneration.com est le premier site de la communauté autour de Rugby. Dédié à tous les fans de rugby et les amateurs de toutes générations. Rugby? Échanger, rester en contact,
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailSylvain Meille. Étude du comportement mécanique du plâtre pris en relation avec sa microstructure.
Étude du comportement mécanique du plâtre pris en relation avec sa microstructure Sylvain Meille To cite this version: Sylvain Meille. Étude du comportement mécanique du plâtre pris en relation avec sa
Plus en détailAlgorithmes sur les mots (séquences)
Introduction Algorithmes sur les mots (séquences) Algorithmes sur les mots (textes, séquences, chines de crctères) Nomreuses pplictions : ses de données iliogrphiques ioinformtique (séquences de iomolécules)
Plus en détail+, -. / 0 1! " #! $ % % %! &' ( &))*
!"#!$%% +,-. /01 %!&'(&))* 23%#!! " # " " " "$! 4 5-6 4! 1! " # - 5! " # 6 3! " # 7! " # " 8! 9 : ; 5 7 4! 1! # 42 5! 5 < 44 3! # " 7! 41 5 8 '9 4! " $ = " > 4!4 *% 43 4!1? 48 4 4!5 $ 9 4!3 4@ 4!7 $ #
Plus en détail4. Martingales à temps discret
Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les
Plus en détail%$&$#' "!# $! ## BD0>@6,;2106>+1:+B2.6;;/>0.2106>9*27+2.1/+BB+:/@6>.106>>+;+>1:+>6;*,+/EA,6.+77/7A,6@+7706>>+B79 561,+76.08189:+;61,+8.6>6;0+976>1:+?+>/+7@6,1+;+>1:8A+>:2>1+7:+B21+.C>6B630+:+ 1+.C>6B630=/+FGD+7A06>>23+8.6>6;0=/++1A6B010=/+:2>7B+.)*+,+7A2.+;+1+>:2>3+,B+A61+>10+B
Plus en détailL AIDE AUX ATELIERS D ARTISTES :
RAPPORT DAVID LANGLOIS-MALLET SOUS LA COORDINATION DE CORINNE RUFET, CONSEILLERE REGIONALE D ILE DE FRANCE L AIDE AUX ATELIERS D ARTISTES : PROBLÉMATIQUES INDIVIDUELLES, SOLUTIONS COLLECTIVES? DE L ATELIER-LOGEMENT
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailDurée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailTP Maple 4 Listes, tests, boucles et procédures
TP Maple 4 Listes, tests, boucles et procédures Les structures de branchement (tests) et de répétition (boucles) sont au fondement de la programmation informatique. Elles permettent respectivement d effectuer
Plus en détailSi deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Plus en détailL ALGORITHMIQUE. Algorithme
L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques
Plus en détailAxiomatique de N, construction de Z
Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................
Plus en détailINFORMATIONS DIVERSES
Nom de l'adhérent : N d'adhérent :.. INFORMATIONS DIVERSES Rubrique Nom de la personne à contacter AD Date de début exercice N BA Date de fin exercice N BB Date d'arrêté provisoire BC DECLARATION RECTIFICATIVE
Plus en détailHRP H 2 O 2. O-nitro aniline (λmax = 490 nm) O-phénylène diamine NO 2 NH 2
! #"%$'&#()"*!(,+.-'/0(,()1)2"%$ Avant d effectuer le dosage en IR de la biotine, il est nécessaire de s assurer de la reconnaissance du traceur par la streptavidine immobilisée sur les puits. Pour cela,
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailLa circulation méconnue de l épargne règlementée en France!
La circulation méconnue de l épargne règlementée en France! P. Bouché, E. Decoster et L. Halbert (Université Paris Est, LATTS)! Institut du Monde Arabe, Paris, Rencontres du Fonds d Épargne 31 Mars 2015
Plus en détailAnalyse du temps de réponse des systèmes temps réel
Analyse du temps de réponse des systèmes temps réel Pascal Richard Laboratoire d Informatique Scientifique et Industrielle, ENSMA BP 40198 Téléport 2 F-86960 Futuroscope pascal.richard@ensma.fr RÉSUMÉ.
Plus en détailLe Processus Unifié de Rational
Le Processus Unifié de Rational Laurent Henocque http://laurent.henocque.free.fr/ Enseignant Chercheur ESIL/INFO France http://laurent.henocque.perso.esil.univmed.fr/ mis à jour en Novembre 2006 Licence
Plus en détailCours d algorithmique pour la classe de 2nde
Cours d algorithmique pour la classe de 2nde F.Gaudon 10 août 2009 Table des matières 1 Avant la programmation 2 1.1 Qu est ce qu un algorithme?................................. 2 1.2 Qu est ce qu un langage
Plus en détailThéorie des Langages
Théorie des Langages Analyse syntaxique descendante Claude Moulin Université de Technologie de Compiègne Printemps 2010 Sommaire 1 Principe 2 Premiers 3 Suivants 4 Analyse 5 Grammaire LL(1) Exemple : Grammaire
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailProgramme Prélavage vapeur. Nettoyage automatique du tambour Permet de nettoyer automatiquement le tambour.
Ó ² ¼ù ² «½ ±² ¼«Ô ª»óÔ ²¹» ÓßÒËÛÔ Üù ÒÍÌÎËÝÌ ÑÒÍ ÜÉÝóÔÝïîïïÍ ñ ÜÉÜóÔÜïìïÕÝÍ Verrouillage enfant Le système de verrouillage enfant empêche que les enfants appuient sur un bouton et modifient le programme
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailMA6.06 : Mesure et Probabilités
Année universitaire 2002-2003 UNIVERSITÉ D ORLÉANS Olivier GARET MA6.06 : Mesure et Probabilités 2 Table des matières Table des matières i 1 Un peu de théorie de la mesure 1 1.1 Tribus...............................
Plus en détailConstruction de l'intégrale de Lebesgue
Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détail!" #$#% #"& ' ( &)(*"% * $*' )#""*(+#%(' $#),")- '(*+.%#"'#/* "'") $'
!" #$#% #"& ' ( &)(*"% * $*' )#""*(+#%(' $#),")- '(*+.%#"'#/* "'") $' &!*#$)'#*&)"$#().*0$#1' '#'((#)"*$$# ' /("("2"(' 3'"1#* "# ),," "*(+$#1' /&"()"2$)'#,, '#' $)'#2)"#2%#"!*&# )' )&&2) -)#( / 2) /$$*%$)'#*+)
Plus en détailCe document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Montpellier pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.
Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Montpellier pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté,
Plus en détailConception parasismique des diaphragmes de toit selon la norme CSA-S16
Conception parasismique des diaphragmes de toit selon la norme CSA-S16 Robert Tremblay École Polytechnique, Montréal, Canada SCGC - Québec Québec, 16 Avril 2009 Plan 1. Information générale 2. Exemple
Plus en détailNombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation
1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis
Plus en détailMESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours
MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................
Plus en détail' ( ) &" * +)&,! 0 1&,! ) 2334
! " #$ % & ' ( ) &" * +)&,! -. / 0 1&,! ) 2334 '& 56 7 8$, 9 4: -9'++ 5;3 '&56 7! #$ % &!! "" #! $ % %# #& % # # '%' #(" )'%#*+,-.*/0##%#%%#(1%' 2#'3'"4 ##%'5# #(" #'%''56# 3% "& 7# #/ 8''93:%#;%##(#
Plus en détailLe seul ami de Batman
Le seul ami de Batman Avant de devenir un héros de cinéma en 1989, Batman est depuis plus de 50 ans un fameux personnage de bandes dessinées aux États-Unis. Il fut créé en mai 1939 dans les pages de Détective
Plus en détailSTAGE IREM 0- Premiers pas en Python
Université de Bordeaux 16-18 Février 2014/2015 STAGE IREM 0- Premiers pas en Python IREM de Bordeaux Affectation et expressions Le langage python permet tout d abord de faire des calculs. On peut évaluer
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailIBM Cognos Enterprise
IBM Cognos Enterprise Leveraging your investment in SPSS Les défis associés à la prise de décision 1 sur 3 Business leader prend fréquemment des décisions sans les informations dont il aurait besoin 1
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détail1348 Louvain-la-Neuve TVA BE0428.750.985 RPM Nivelles
I I I S S C C 1348 Louvain-la-Neuve TVA BE0428.750.985 RPM Nivelles Louvain-la-Neuve, le 13 avril 2015 Cher Actionnaire, Concerne: Assemblée Générale Ordinaire et Spéciale du 13 mai 2015 à 10h00 Nous avons
Plus en détailJournée_: Modules HoraireEpreuve
AA 13 Deuxième année Licence Fond. en Gestion: Administration des affaires Comptabilité de Gestion GESTION DE LA PRODUCTION FINANCE Marketing - Techniques et Stratégies d'achat Gestion par objectifs Techniques
Plus en détailCorrigé des TD 1 à 5
Corrigé des TD 1 à 5 1 Premier Contact 1.1 Somme des n premiers entiers 1 (* Somme des n premiers entiers *) 2 program somme_entiers; n, i, somme: integer; 8 (* saisie du nombre n *) write( Saisissez un
Plus en détailGestion des Clés Publiques (PKI)
Chapitre 3 Gestion des Clés Publiques (PKI) L infrastructure de gestion de clés publiques (PKI : Public Key Infrastructure) représente l ensemble des moyens matériels et logiciels assurant la gestion des
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailVecteurs. I Translation. 1. Définition :
Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même
Plus en détailSERVEUR DE SAUVEGARDE POUR BCDI3. par. G.Haberer, A.Peuch, P.Saadé
SERVEUR DE SAUVEGARDE POUR BCDI3 par G.Haberer, A.Peuch, P.Saadé Table des matières 1. Introduction........................................................................ 2 1.1. Objectif....................................................................
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailCalcul Formel et Numérique, Partie I
Calcul Formel et Numérique N.Vandenberghe nvdb@irphe.univ-mrs.fr Table des matières 1 Introduction à Matlab 2 1.1 Quelques généralités.......................... 2 2 Où trouver des informations 2 3 Opérations
Plus en détailTriangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
Plus en détail1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles)
1/4 Objectif de ce cours /4 Objectifs de ce cours Introduction au langage C - Cours Girardot/Roelens Septembre 013 Du problème au programme I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d
Plus en détailMathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion
Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailCORRECTION EXERCICES ALGORITHME 1
CORRECTION 1 Mr KHATORY (GIM 1 A) 1 Ecrire un algorithme permettant de résoudre une équation du second degré. Afficher les solutions! 2 2 b b 4ac ax bx c 0; solution: x 2a Solution: ALGORITHME seconddegré
Plus en détailhttp://cermics.enpc.fr/scilab
scilab à l École des Ponts ParisTech http://cermics.enpc.fr/scilab Introduction à Scilab Graphiques, fonctions Scilab, programmation, saisie de données Jean-Philippe Chancelier & Michel De Lara cermics,
Plus en détail