TS Loi normale : annales Enoncés

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1 Année 2014/2015 TS Loi normale : annales Enoncés Exercice 1 (Pondichéry - Avril 2013) Dans une entreprise, on s intéresse à la probabilité qu un salarié soit absent durant une période d épidémie de grippe. - Un salarié malade est absent - La première semaine de travail, le salarié n est pas malade. - Si la semaine n le salarié n est pas malade, il tombe malade la semaine n 1 avec une probabilité égale à 0, Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n 1 avec une probabilité égale à 0, 24. On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par E n l évènement "le salarié est absent pour cause de maladie la n-ième semaine". On note p n la probabilité de l évènement E n. On a ainsi : p 1 0 et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : 0 p n 1. 1) a) Déterminer la valeur de p 3 à l aide d un arbre de probabilité. b) Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine. 2) a) Recopier sur la copie et compléter l arbre de probabilité donné ci-dessous b) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, p n 1 0, 2p n 0, 04. c) Montrer que la suite u n définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par u n p n 0, 05 est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison r. En déduire l expression de u n puis de p n en fonction de n et r. c) En déduire la limite de la suite p n. d) On admet dans cette question que la suite p n est croissante. On considère l algorithme suivant : À quoi correspond l affichage final J? Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s arrête? 3) Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d épidémie est égale à p 0, 05. On suppose que l état de santé d un salarié ne dépend pas de l état de santé de ses collègues. On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer l espérance mathématique et l écart type de la variable aléatoire X. X b) On admet que l on peut approcher la loi de la variable aléatoire par la loi normale centrée 1

2 réduite c est-à-dire de paramètres 0 et 1. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l évènement Z x pour quelques valeurs du nombre réel x. x 1, 55 1, 24 0, 93 0, 62 0, , 31 0, 62 0, 93 1, 24 1, 55 P Z x 0, 061 0, 108 0, 177 0, 268 0, 379 0, 5 0, 621 0, 732 0, 823 0, 892 0, 939 Calculer, au moyen de l approximation proposée en question b., une valeur approchée à 10 2 près de la probabilité de l évènement : "le nombre de salariés absents dans l entreprise au cours d une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 ". Exercice 2 (Liban - Mai 2013) L entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination "compote allégée ". La législation impose alors que la teneur en sucre, c est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme. L entreprise possède deux chaînes de fabrication F 1 et F 2. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment Partie A La chaîne de production F 2 semble plus fiable que la chaîne de production F 1. Elle est cependant moins rapide. Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots proviennent de la chaîne F 1 et 30 % de la chaîne F 2. La chaîne F 1 produit 5 % de compotes non conformes et la chaîne F 2 en produit 1 %. On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements : E : "Le petit pot provient de la chaîne F 2 " C : "Le petit pot est conforme. " 1) Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. 2) Calculer la probabilité de l évènement : "Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F 1. " 3) Déterminer la probabilité de l évènement C. 4) Déterminer, à 10 3 près, la probabilité de l évènement E sachant que l évènement C est réalisé. Partie B 1) On note X la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F 1, associe sa teneur en sucre. On suppose que X suit la loi normale d espérance m 1 0, 17 et d écart-type 1 0, 006. Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous. Donner une valeur approchée à 10 4 près de la probabilité qu un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F 1 soit conforme. 2) On note Y la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F 2, associe sa teneur en sucre. On suppose que Y suit la loi normale d espérance m 2 0, 17 et d écart-type 2. On suppose de plus que la probabilité qu un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne 2

3 F 2 soit conforme est égale à 0, 99. Soit Z la variable aléatoire définie par Z Y m 2 2. a) Quelle loi la variable aléatoire Z suit-elle? b)déterminer, en fonction de 2 l intervalle auquel appartient Z lorsque Y appartient à l intervalle [0,16 ; 0,18]. c) En déduire une valeur approchée à 10 3 près de 2. On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire Z suit la loi normale d espérance 0 et d écart-type 1. Exercice 3 (Antilles Guyane - Septembre 2013) Une entreprise industrielle fabrique des pièces cylindriques en grande quantité. Pour toute pièce prélevée au hasard, on appelle X la variable aléatoire qui lui associe sa longueur en millimètre et Y la variable aléatoire qui lui associe son diamètre en millimètre. On suppose que X suit la loi normale de moyenne 1 36 et d écart-type 1 0, 2 et que Y suit la loi normale de moyenne 2 6 et d écart-type 2 0, 05. 1) Une pièce est dite conforme pour la longueur si sa longueur est comprise entre et Quelle est une valeur approchée à 10 3 près de la probabilité p 1 pour qu une pièce prélevée au hasard soit conforme pour la longueur? 2) Une pièce est dite conforme pour le diamètre si son diamètre est compris entre 5,88 mm et 6,12 mm. Le tableau donné ci-dessous a été obtenu à l aide d un tableur. Il indique pour chacune des valeurs de k, la probabilité que Y soit inférieure ou égal à cette valeur. Déterminer à 10 3 près la probabilité p 2 pour qu une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre (on pourra s aider du tableau ci-dessous) 3) On prélève une pièce au hasard. On appelle L l évènement "la pièce est conforme pour la longueur" et D l évènement "la pièce est conforme pour le diamètre". On suppose que les évènements L et D sont indépendants. a) Une pièce est acceptée si elle est conforme pour la longueur et pour le diamètre. 3

4 Déterminer la probabilité pour qu une pièce prélevée au hasard ne soit pas acceptée (le résultat sera arrondi à 10 2 ). b) Justifier que la probabilité qu elle soit conforme pour le diamètre sachant qu elle n est pas conforme pour la longueur, est égale à p 2. Exercice 4 (BTS IG - Polynésie Mai 2010) Le «Triphone» produit par la société «Tournesol» est équipé d une batterie révolutionnaire de longue durée,mais dont les performances sont encore irrégulières. Les résultats seront donnés à 10 4 près. Première partie Une batterie étant choisie au hasard dans le stock de l entreprise, on admet que son autonomie est une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne m 12 heures et d écart-type 2 heures. 1) Calculer la probabilité P X 15) que l autonomie de la batterie soit inférieure à 15 heures. 2) Calculer la probabilité que l autonomie de la batterie soit supérieure à 8 heures. 3) Déterminer le nombre réel positif h tel que P 12 h X 12 h 0, 95. Deuxième partie Pour assurer sa suprématie sur la concurrence, la société «Tournesol» décide de nepas commercialiser les batteries dont l autonomie serait inférieure à 8 heures. On a déterminé statistiquement que ces batteries représentent 2 % de la production. À la sortie de la chaîne de fabrication, on prélève un lot de 50 batteries. La production de batteries est suffisante pour que l on puisse assimiler ce prélèvement à un prélèvement successif avec remise. On note Y la variable aléatoire qui, à tout lot de 50 batteries prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de batteries non commercialisables. 1) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y? Donner les paramètres de cette loi. 2) Quelle est la probabilité qu il y ait dans un tel lot exactement 2 batteries non commercialisables? 3) Quelle est la probabilité qu il y ait dans un tel lot au moins 2 batteries non commercialisables? Exercice 5 (BTS IG - Métropole 2009) Tous les résultats seront arrondis à la quatrième décimale. La société K-Gaz produit des bonbonnes de gaz de volume utile 44 dm 3. Partie A On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque bonbonne tirée au hasard dans la production, associe sa contenance en dm 3. On admet que la variable X suit la loi normalen 44 ; 0, 2 2 d espérance 44 dm 3 et et d écart-type 0, 2 dm 3. 1) Quelle est la probabilité que la contenance d une bonbonne choisie au hasard soit inférieure à 44, 3 dm 3? 2) Quelle est la probabilité que la contenance d une bonbonne choisie au hasard soit comprise entre 43, 8 dm 3 et 44, 3 dm 3? Partie B Dans cette partie. on admet que 5% des bonbonnes n ont pas la contenance nécessaire, et sont donc jugées non conformes. Les grossistes achètent les bonbonnes par lots de 10. La production est suffisamment importante pour que l on assimile le prélèvement au hasard de 10 bonbonnes à un tirage avec remise. Soit Y la variable aléatoire qui, à tout lot de 10 bonbonnes, associe le nombre de bonbonnes non conformes. 1) Expliquer pourquoi Y suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 2) Quelle est la probabilité que, dans un lot de 10, il n y ait aucune bonbonne non conforme? 3) Quelle est la probabilité que, dans un lot de 10, il y ait au plus deux bonbonnes non conformes? Partie C Pour parer toute critique, la société K-Gaz décide de procéder à un contrôle de conformité. Toute bonbonne non conforme sera rejetée. On admet toujours que 5 % des bonbonnes sont non conformes. 4

5 Si la bonbonne est non conforme, elle sera rejetée avec une probabilité de 0,92. Si la bonbonne est conforme, elle sera acceptée avec une probabilité de 0,96. On note : C l évènement : «la bonbonne est conforme» ; C l évènement : «la bonbonne est non conforme» ; A l évènement : «la bonbonne est acceptée à l issue du contrôle» ; A l évènement : «la bonbonne est rejetée à l issue du contrôle». 1) En utilisant les informations de l énoncé, déterminer les probabilités P C, P C, P C A et P C A Dans la suite, on pourra s aider d un arbre. 2) Calculer la probabilité de l évènement : «la bonbonne est conforme et acceptée». 3) Calculer la probabilité de l évènement : «la bonbonne est acceptée» 4) Sachant que la bonbonne est rejetée, quelle la probabilité qu elle soit non conforme? Exercice 6 (BTS Chimiste - Métropole 2007) Deux chaînes de production A et B d un laboratoire pharmaceutique fabriquent, en très grande quantité, le comprimé d un nouveaumédicament dont la masse théorique de vente est de 900 mg. Les questions 1 et 2 sont indépendantes. 1). On note X A (respectivement X B ) la variable aléatoire qui, à un comprimé pris au hasard dans la production de la chaîne A (respectivement B), associe sa masse en mg. On sait que X A (respectivement X B ) suit la loi normale de paramètres m A ; A 2 (respectivement m B ; B 2 ). Un comprimé est jugé conforme au cahier des charges si sa masse est comprise entre 880 mg et 920 mg. a) On donne m A 896 mg et A 10 mg. Calculer, à 10 2 près, la probabilité qu un comprimé pris au hasard dans A soit conforme. b) On donne m B 900 mg. La probabilité qu un comprimé fabriqué par B soit conforme est 0, 97. Déterminer, à l unité près, l écart type B. 2) Dans la production totale, 40 % des comprimés proviennent de la chaîne A et 60 % de la chaîne B. La chaîne A produit 4 % de comprimés non conformes et la chaîne B en produit 3%. On prélève au hasard un comprimé dans la production du laboratoire. On note A l évènement «Le comprimé a été fabriqué par la chaîne A», B l évènement «Le comprimé a été fabriqué par la chaîne B», C l évènement «Le comprimé est conforme». a) À partir de l énoncé, déterminer les probabilités des évènements A et B ainsi que les probabilités conditionnelles de C sachant A et de C sachant B que l on notera respectivement P A C et P B C. b) Calculer alors la probabilité P C de l évènement C. c) On prélève un comprimé au hasard dans la production et on constate qu il est conforme. Déterminer, à 10 3 près, la probabilité qu il provienne de la chaîne A. Exercice 7 Dans une fabrique de boissons, une machine remplit automatiquement avec du soda des bouteilles de 51 centilitres. Pour pouvoir être commercialisée, une bouteille doit contenir au moins 48 centilitres de soda. Partie A La quantité de soda en centilitres fournie par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant une loi normale de moyenne et d écart-type 1, 2. 1) La machine est réglée sur 50. Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche. a) Calculer P X 48. En déduire le pourcentage de bouteilles qui pourront être commercialisées. b) Calculer P X 51. Que peut-on en déduire? 2) Le directeur de la fabrique veut qu il y ait moins de 10 % de bouteilles qui débordent. Quelle doit être la valeur maximale de arrondie au centième le plus proche? 5

6 Partie B Le temps de fonctionnement sans panne, en jours, de cette machine est une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle de paramètre. Les résultats seront arrondis au millième le plus proche. 1) On sait que P Y 30 0, 44. En déduire. 2) Pour cette question, on prend 0, 02. Calculer la probabilité pour que la machine fonctionne sans panne plus de 60 jours. Exercice 8 : algorithme Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite. D après le cours, pour tout réel 0 ; 1, il existe un unique réel positif u tel que P u X u 1 On veut construire un algorithme permettant de déterminer le seuil u à 0, 01 près. 1) Compléter l algorithme suivant qui demande à l utilisateur la valeur de et qui renvoie une valeur approchée de u à 0, 01 près. Variables Entrée, u, p nombres réels Saisir Initialisation u prend la valeur 0 Traitement p prend la valeur 0 Tant que p 1 u prend la valeur p prend la valeur P u X u Fin tant que Sortie Afficher ) Programmer cet algorithme et le tester pour 0, 1. 3) Retrouver de manière "directe" le résultat de la question 2). 4) Modifier l algorithme pour qu il demande à l utilisateur la précision souhaitée. 6