Estimation du modèle GARCH à changement de régimes

Transcription

1 Estimation du modèle GARCH à changement de régimes Maciej Augustyniak Université Laval Québec, le 27 février 2014

2 Agenda Motivation du modèle Problématique liée à l estimation: Path dependence Méthodes d estimation existantes Approche par collapsing Nouvelle approche Justification: lien avec le filtre particulaire Résultats

3 Données

4 Faits stylisés 1. Absence d autocorrélation dans les rendements 2. Forte autocorrélation dans les rendements au carré 3. Clustering de volatilité: périodes de forte et faible volatilités 4. Queues épaisses et asymétrie négative 5. Effet de levier: un rendement négatif important a généralement plus d impact sur la volatilité qu un rendement positif de la même grandeur 6. Sauts dans les rendements et dans la volatilité

5 Intérêt en actuariat Produits financiers offerts avec des garanties Mesures de risque et réserves Stratégies de couverture Optimisation d un portefeuille d investissement Profil risque-récompense Choix de la répartition d actifs Régimes de retraite à prestations déterminées Études actif-passif Perspective: long-terme

6 GARCH GARCH(1,1): Engle (1982) et Bollerslev (1986) observation = rendement Propriétés y Queues épaisses Clustering de volatilité t t t t t1 t1 t y t terme d erreur i.i.d. Absence d autocorrélation dans les rendements

7 Lamoureux et Lastrapes (1990), Mikosch et Starica (2004), et Hillebrand (2005) GARCH 1 Faiblesse du modèle GARCH: paramètres constants Le fait d ignorer des changements structurels dans les paramètres tend à biaiser la persistance de la variance conditionnelle vers le haut

8 Modèle GARCH à changement de régimes Modèle GARCH à changement de régimes Modèle GARCH avec des paramètres qui varient dans le temps Cai (1994), Hamilton et al. (1994), et Gray (1996) Sauts dans les rendements et dans la volatilité

9 Modèle GARCH à changement de régimes MS-GARCH p p p p GARCH GARCH (,,, ) (,,, )

10 Modèle GARCH à changement de régimes GARCH GARCH (,,, ) Régimes persistants: (,,, ) Régime provoquant des sauts / chocs:

11 Modèle GARCH à changement de régimes y t : observation (log-rendement) S t : état ou régime S 1:t : (S 1,,S t ) y ( S ) t S t 1: t t 2 S 2 S 2 S t 1: t S S t1 t1 S t1 1: t1 ( ) ( ) ( ) ( S ) y t 1 t1 t1 t1 S t t t t

12 Modèle GARCH à changement de régimes La distribution conditionnelle de chaque rendement dépend de toute la trajectoire des régimes 0 Problème de path dependence S (1,1) 2 S1 1 S1 2 1 (1) 1 (2) 2 1 S2 2 S 2 1 S2 2 2 (1,2) 2 (2,1) 2 (2,2)

13 L( ) f ( y ) S S 1: T 1: T f 1: T ( y, S ) 1: T 1: T Vraisemblance La vraisemblance ne peut pas être calculée de manière exacte en pratique De plus, une estimation de la vraisemblance avec une approche Monte Carlo naïve est vouée à l échec 1: T f ( y S ) p ( S ) 1: T 1: T

14 Vraisemblance Décomposition alternative de la log-vraisemblance ( ) log f ( y ) 1: T log f ( y ) T log f ( y y ) 1 t 1: t1 t2

15 Vraisemblance f ( y y ) f ( y, S y ) t 1: t1 t 1: t 1: t1 S Le nombre de possibilités associées à croît à chaque pas de temps Cause: path dependence S 1: t 1: t p f ( y y, S ) p ( S y ) t 1: t1 1: t 1: t 1: t1 ( S y ) 1: t 1: t1

16 Et si le modèle était plus simple? Vraisemblance f ( y y S ) f ( y y ),, S t 1: t1 1: t t 1: t1 t Dans ce cas, nous aurions seulement besoin de: p ( S y ) t 1: t1 Le filtre d Hamilton (ou algorithme forward-backward) est un algorithme permettant de calculer la vraisemblance d un tel modèle à changement de régimes

17 p S y t 1 1: t 1 ( ) Filtre d Hamilton p ( S y ) t 1: t1 f ( y y ) t 1: t1 S t f ( y y, S ) p ( S y ) t 1: t1 t t 1: t1

18 Filtre d Hamilton Malheureusement, le filtre d Hamilton ne peut pas être appliqué sur le modèle GARCH à changement de régimes à cause de problème de path dependence Solution: filtre particulaire Méthodes de Monte Carlo séquentielles Analogue stochastique du filtre d Hamilton Estimateur de la vraisemblance sans biais (il y a un petit biais pour la log-vraisemblance)

19 p ( S y ) 1: t1 1: t1 Filtre particulaire p ( S y ) 1: t 1: t1 f ( y y ) t 1: t1 S 1: t f ( y y, S ) p ( S y ) t 1: t1 1 : t 1: t 1: t1

20 Rappel La distribution conditionnelle de chaque rendement dépend de toute la trajectoire des régimes 0 Problème de path dependence S (1,1) 2 S1 1 S1 2 1 (1) 1 (2) 2 1 S2 2 S 2 1 S2 2 2 (1,2) 2 (2,1) 2 (2,2)

21 Échantillonnage (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,1) (1,2,2) (2,1,1) (2,1,2) (2,2,1) (2,2,2) Filtre particulaire Ré-échantillonnage (1,1,1) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,2) x 2 x 1 x 1 (1,1,1) (1,1,1) (2,1,1) (2,2,2)

22 Optimal particle filter (OPF): Fearnhead et Clifford (2003) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,1) (1,2,2) (2,1,1) (2,1,2) (2,2,1) (2,2,2) Filtre particulaire Le problème est d estimer une loi discrète avec un support fini par une loi stochastique discrète qui génère une distribution avec un moins grand nombre de points Les particules ayant un poids supérieur ou égal à une valeur critique sont automatiquement choisies Les autres particules sont choisies aléatoirement Sélection sans-biais

23 Filtre particulaire On arrive donc à estimer la log-vraisemblance du modèle GARCH à changement de régimes Cependant, cette log-vraisemblance simulée est difficile à maximiser Fonction discontinue des paramètres Le problème de l estimation par le maximum de vraisemblance n est donc pas résolu

24

25 Raison d être du modèle Rappel Incorporer au modèle GARCH des paramètres qui varient dans le temps Problème de path dependence Arbre binomial non-recombinant Difficultés dans le calcul de la log-vraisemblance Absence d une méthode rapide et efficace permettant d estimer le modèle Barrière dans les applications empiriques

26 Méthodes d estimation existantes Méthode des moments généralisée (GMM) Francq et Zakoïan (2008) Biais, manque de robustesse, problème d identifiabilité MCMC bayésien (data augmentation) Bauwens et al. (2010, 2013) et Dufays (2012) Temps de calcul, label-switching Monte Carlo EM Augustyniak (2013) Méthode computationnelle intensive Cédule de simulations / itérations

27 Procédure par collapsing Méthodes d estimation existantes Gray (1996), Dueker (1997), Klaassen (2002) Contournement du problème de path dependence par un mécanisme de recombinaison Approximations: simplification du modèle L estimation par le maximum de vraisemblance est possible Pas de justification formelle Précision inconnue

28 Objectif / Contribution Objectif: Construire une méthode rapide, efficace et déterministe permettant d estimer le modèle GARCH à changement de régimes par le maximum de vraisemblance Approche par collapsing Comment peut-on généraliser / améliorer cette approche et justifier sa validité?

29 Rappel La distribution conditionnelle de chaque rendement dépend de toute la trajectoire des régimes 0 Problème de path dependence S (1,1) 2 S1 1 S1 2 1 (1) 1 (2) 2 1 S2 2 S 2 1 S2 2 2 (1,2) 2 (2,1) 2 (2,2)

30 La solution de Gray (1996) S1 1 1 (1) S2 1 2 (1) 0 S1 2 h1 (2) 1 S2 2 h2 (2) 2 ht Var( yt y1: t 1) Améliorations: Dueker (1997) et Klaassen (2002) Idée similaire: Kim (1994) Manque d une justification formelle

31 Étude par simulations (T=5000) Value Gray MLE RMSE A-StDev

32 Approche par collapsing générale Exemple avec q=3: = 4 particules 0 S1 1 S1 2 1 (1) 1 (2) S2 1 S2 2 S 2 1 (1,1) 2 (1,2) 2 (2,1) 2 S2 2 2 (2,2)

33 Approche par collapsing générale (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,1) (1,2,2) (2,1,1) (2,1,2) (2,2,1) (2,2,2) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2)

34 Approche par collapsing générale Cette approche peut être vue comme étant une méthode d estimation exacte pour un modèle GARCH à changement de régimes simplifié / approximé y ( S ) t t tq1: t t 2 S 2 h S t tq1: t S S t1 S t1 tq1: t ( ) ( ) t t t ( ) E 2 ( ) y, t tq2: t1 t tq1: t 1: t tq2: t1 h S S S Collapsing

35 Approche par collapsing générale Lien avec le modèle sans approximation: 2 2 1: 1 1: E[, ] y S t t t q t t S St q 1: t 1:t La précision s améliore avec q (décalage) Log-vraisemblance lisse en fonction des paramètres Compromis: biais

36 Lien avec le filtre particulaire La généralisation introduite de l approche par collapsing diffère seulement dans l étape de la sélection des particules La procédure par collapsing est un filtre particulaire déterministe (DPF) Avantage: log-vraisemblance lisse Désavantage: biais

37

38

39 Réduction

40 Conclusion Les approximations du modèle proposées par Dueker (1997), Gray (1996) et Klaassen (2002) ont été généralisées et améliorées dans le but d estimer le modèle rapidement et efficacement Le lien découvert entre cette généralisation et le filtre particulaire permet de justifier l approche par collapsing: filtre particulaire déterministe Le filtre particulaire de Fearnhead et Clifford (2003) est très précis dans le cadre du modèle L approche de Gray (1996) est imprécise

41 Merci! Questions?