Mathématiques appliquées aux sciences sociales - Algèbre matricielle -

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1 CHAPITRE 4 LE RANG D UNE MATRICE... 2 I DEFINITIONS... 2 A Définition des sous-matrices... 2 B Définition du rang d une matrice... 3 II FORME NORMALE OU CANONIQUE D UNE MATRICE... 4 A Le principe... 4 B Les trois transformations élémentaires pour le calcul du rang III LES MATRICES EQUIVALENTES ET ELEMENTAIRES... 6 A Définitions des matrices équivalentes... 6 B Définitions des matrices élémentaires... 6 IV EXERCICE SUR LA RECHERCHE DU RANG... 7 V CONCLUSION

2 Chapitre 4 LE RANG D UNE MATRICE Dans ce chapitre nous allons montrer comment à l aide de méthodes simples il est possible de transformer une matrice M d ordre (n,p) en une matrice qui ne comporte que des zéros et des uns, cette représentation est appelée forme réduite. Lorsque la matrice ne comporte que des 1 sur la diagonale principale et ailleurs des zéros la matrice est dite alors mise sous forme normale ou canonique. Cette forme normale d une matrice permet une recherche simplifiée du rang et des solutions dans les systèmes d équations linéaires. I Définitions Nous venons de voir qu un déterminant n est calculable que sur des matrices carrées. Nous allons voir maintenant que le rang d une matrice M d ordre (n,p) peut être approché par la théorie des déterminants.. Il nous manque donc une définition celle des sous matrices carrées contenues dans une matrice quelconque. Exemple 1 : Déterminons le nombre de sous-matrices carrées contenues dans la matrice M définie par : M 23, = Cette matrice M est rectangulaire, puisque d ordre (2,3). Elle admet des sous-matrices carrées qui sont : trois sous matrices carrées d ordre deux : Ces trois sous matrices ont comme déterminant : = = 6 = 10 = six matrices carrées d ordre un : [ 1 ] [ 1 ] [ 5 ] [ 2 ] [ 4 ] [ 0 ] Ces six sous matrices ont comme déterminant : 1 = 1 1 = 1 5 = 5 2 = 2 4 = 4 0 = 0 Formulons deux remarques importantes sur l'exemple : La première sous-matrice carrée contenue dans la matrice M est égale au minimum entre le nombre de colonnes et le nombre de lignes, c est à dire 2, Tous les déterminants des sous-matrices carrées d ordre deux contenues dans M sont différents de zéros. A Définition des sous-matrices On appelle sous matrice de la matrice M d ordre (n,p) une matrice dont a éliminé v lignes et q colonnes. La nouvelle matrice est d ordre (n v, p q). Les sous matrices ne sont pas nécessairement des matrices carrées. Conséquences : La plus grande sous matrice contenue dans la matrice M d ordre (n,p) c est elle-même. La plus petite matrice contenue da la matrice M d ordre (n,p) est celle dont on a éliminé n 1 lignes et p 1 colonnes. Cette sous matrice est donc composée d une ligne et d une colonne. La plus grande sous matrice carrée contenue dans la matrice M d ordre (n,p) est au plus égale au plus au minimum du nombre de lignes et de colonnes. Ce qui peut s écrire : Si n < p la première sous matrice carrée est d ordre (n,n), Si n > p la première sous matrice carrée est d ordre (p,p). Exemple 2 : 2

3 Recherchons des sous-matrices de la matrice M d ordre (3,4) définie par : M 34, = La plus grande sous matrice de la matrice M est : M 34, = La plus petite sous matrice est, par exemple, la matrice N 11, = [ 1] obtenue à partir de la matrice M à laquelle nous avons enlevé les trois dernières colonnes et les deux dernières lignes. Remarquons que le nombre de ces sous matrices est égal au nombre de ses éléments. B Définition du rang d une matrice Pour aborder la notion de rang d une matrice de façon simple nous allons partir de la définition des sousmatrices carrées et du calcul de leurs déterminants. En effet, si une matrice carrée admet un déterminant non nul elle est dite régulière ou non singulière. Ainsi, pour connaître le rang d une matrice il suffit de rechercher tous les déterminants des matrices carrées, la plus grande sous-matrice carrée régulière donnera le rang de la matrice M d ordre (n,p). Définition 1 : Soit r un nombre entier si l on pose que r est le rang de la matrice M d ordre (n,p) il existe au moins une sous matrice carrées d ordre r, tel que r minimum (n,p), régulière ; alors toutes les autres sous matrices carrées d ordre supérieure à r sont singulières. Deuxième proposition de définition : Le rang d une matrice M d ordre (n,p), noté rg(m) = r, est égale à l ordre de la plus grande sous matrice régulière contenue dans M. Convention : Si l on considère la matrice nulle d ordre (n,p), alors par convention son rang est égal à zéro, puisque tous ses éléments sont nuls. Exemple 3 : Calculons le rang de la matrice M d ordre (2,3) définie par M 23, = :Son rang est 2. En effet, nous constatons que : Le minimum de (2,3), est 2, il suffit de trouver une matrice carrée d ordre deux régulière, Prenons par exemple la sous matrice qui est régulière puisque son déterminant est 1 5 = 10. Le rang de la matrice M est En conclusion nous écrirons : rg(m) = 2. Exemple 4 : Calculons le rang de la matrice M d ordre (3,4) définie par M 34, = :Son rang est 2. En effet, nous constatons que : Le minimum de (3,4), est 3, il suffit de trouver une matrice carrée d ordre trois régulière, Or nous constatons que la 3 ième ligne est égale à deux fois la 2 ième ligne, alors d après les théorèmes sur les déterminants nous pouvons conclure que tous les 3

4 En conclusion nous écrirons : rg(m) = 2. Mathématiques appliquées aux sciences sociales déterminants d ordre trois sont nuls. Il faut rechercher une sous matrice carrée d ordre deux, prenons par exemple la sous matrice 1 5 qui est régulière puisque son déterminant est = 20 alors le rang de la matrice M est II Forme normale ou canonique d une matrice La recherche du rang d une matrice apparaît comme une opération longue, il faut donc trouver une méthode qui nous renseigne rapidement et sans trop de calculs. La recherche du rang d une matrice va s effectuer non pas sur la matrice de départ mais sur une matrice qui aura subi un certain nombre de transformations qui sont appelées transformations élémentaires et qui sont au nombre de trois. Mais voyons ensemble tout d abord le principe de la méthode des transformations. A Le principe Le principe consiste à transformer la matrice M d ordre (n,p) à l aide d opérations simples en une matrice qui ne contienne que des uns sur la diagonale principale et ailleurs des zéros. Considérons une matrice M d ordre (n,p) la transformation de cette matrice est matérialisée ci-dessous : M np, m = M mn Matrice de départ L 11, 1, p O m i, j L O, 1 n, p m m M Forme canonique ou forme normale 1 0 L L 0 0 L L 0 0 O O O M M M r lignes M O 1 O M M M M O O O 0 M M 0 L L L L 0 0 L 0 0 L L 0 M M M M (n - r) lignes M M M M 0 L 0 0 L L r colonnes ( p r) colonnes La forme canonique de la matrice est formée de quatre blocs : Trois blocs de matrices qui correspondent à des matrices nulles que l on note O qui sont d ordre (r, p r), (n r, r), et (n r, p r), Une matrice carrée d ordre r qui contient r fois la valeur 1 sur sa diagonale principale. C est cette matrice qui indique le rang de la matrice M. On écrira rg(m) = r. La forme canonique ou normale d une matrice est souvent exprimée en fonction des quatre blocs cités ci-dessus : 4

5 Forme canonique et les 4 matrices blocs r lignes (n - r) lignes I O r,r n-r,r O O r,p-r n-r,p-r r colonnes ( p r) colonnes B Les trois transformations élémentaires pour le calcul du rang. On considère la matrice M d ordre (n,p) définie par : M = [ m ] avec i = { 1, L, n } et j = { 1, L, p} np, ij, Les trois transformations élémentaires que l on utilise sont les suivantes : On peut permuter deux lignes ou deux colonnes d une matrice, Il est possible de multiplier tous les éléments d une ligne ou d une colonne par un nombre différent de zéro. Transformation que l on peut noter pour une ligne i : si α 0 pour une ligne i α m pour tout j = { 1,, p} * i, j L On peut additionner aux éléments d une ligne, un multiple quelconque, différent de zéro, des éléments d une autre ligne (transformation réalisable également sur les colonnes). Transformation que l on peut noter pour une ligne i et i : si α 0 on peut substituer à m l' élément m α* m, pour tout j = { 1, L, p} + i,j i,j i j Nous admettrons sans démonstration le théorème suivant : THEOREME 12 Les trois opérations élémentaires ne changent pas le rang d une matrice. Pour obtenir la forme normale d une matrice M d ordre (n,p), on procède de façon itérative à l aide d un algorithme qui consiste à se déplacer sur la diagonale principale en y faisant apparaître des UNS et ailleurs des ZEROS en utilisant les opérations élémentaires. Les étapes sont les suivantes : Début de l algorithme i = 1 : Etape 1 : Elle concerne la position (i,i) de la matrice M. Si m i,i = 0 alors on effectue une permutation entre deux lignes i et i ou entre deux colonnes j et j de telle sorte que la position (i,i) soit différente de zéro, Etape 2 : Comme m i,i 0 on multiplie toute la ligne par l inverse de m i,i. Cette opération élémentaire permet d obtenir la valeur 1 en position (i,i), Etape 3 : On fait apparaître des zéros dans la colonne i, sous la position (i,i). Pour cela on enlève un multiple approprié de la i ème ligne de toutes les autres lignes. Etape 4 : On fait apparaître des zéros dans la ligne i à droite de la position (i,i). On enlève un multiple approprié de la nouvelle i ème colonne de toutes les autres colonnes. Etape 5 : On répète ces opérations tout le long de la diagonale principale, c est à dire, on remonte à l étape 1 et l on fait i= 2 et l on réitère l opération jusqu à ce que i = n. On recommence l'opération si i n 5

6 III Les matrices équivalentes et élémentaires Cette définition de matrices équivalentes nous permettra ultérieurement l introduction de la notion de systèmes équivalents et la possibilité de travailler sur une forme simplifiée d'un système d'équations linéaires. Ainsi, nous pourrons trouver la solution du système équivalant plus rapidement et plus simplement et reporter cette solution sur le système de départ. A Définitions des matrices équivalentes Deux matrices M et N sont dites équivalentes si et seulement si elles possèdent le même ordre et le même rang. Exemple 5 : Considérons la matrice définie par M 23, = et la matrice définie par ; sont-elles M 23, = équivalentes? Les matrices M et N ont même ordre (2,3), Les deux matrices M et N ont même rang. En effet, de toute évidence le rg(m)=rg(n)=2. D après la définition les matrices M et N ont même ordre et même rang alors elles sont équivalentes. B Définitions des matrices élémentaires On appelle matrice élémentaire, une matrice carrée qui, à une permutation près, donne la matrice unitaire ou identité. Propriétés des matrices élémentaires : Puisque les matrices élémentaires sont à une permutation près une matrice unitaire alors : Une matrice élémentaire est nécessairement régulière, L inverse d une matrice élémentaire est une matrice élémentaire et cette matrice inverse contient la transformation inverse, Le produit d une matrice par une matrice élémentaire donne une matrice régulière et son rang ne change pas. Exemple 7 : La matrice définie par M est une matrice élémentaire. En effet, il suffit de permuter la 1 er , = ligne et ème ligne de la matrice pour obtenir la matrice unité. Exemple 8 : 0 k 0 La matrice définie par M , = est une matrice élémentaire. En effet, il suffit de permuter la 1 er ligne et 2 ème ligne de la matrice pour obtenir la matrice équivalente 0 k 0 Cette dernière matrice admet comme inverse la matrice 0 0 k si k 0. D autre part, multiplions la 2 ème ligne de la matrice 0 k 0 par 1/k nous obtenons bien la matrice unité U = Exemple 9 : 6

7 0 1 k La matrice définie par M 33, = est une matrice élémentaire En effet, si l on considère la matrice unitaire U 3 = réalisons sur cette matrice la combinaison linéaire suivante : la nouvelle 2 ème ligne = l ancienne 2 ème ligne k fois la 3 ème ligne Nous obtenons la matrice équivalente suivante : 0 1 k Si maintenant nous permutons la 1 ère ligne et la 2 ème ligne : 0 1 k Nous obtenons la matrice de départ M : M 33, = La matrice M est bien une matrice élémentaire. D autre part la matrice M s écrit après permutation des deux premières lignes : M 33, = 0 1 k. Calculons l inverse, pour les mêmes raisons données plus haut, la matrice M admet comme inverse M33, = 0 1 k IV EXERCICE SUR LA RECHERCHE DU RANG Peut-on trouver une matrice équivalente à M qui puisse nous donner le rang sans faire appelle aux calculs des déterminants des sous-matrices carrées contenues dans M. Soit la matrice définie par : M 34, = Recherchons le rang de la matrice M d ordre (3,4). Pour obtenir ce rang il suffit de trouver la forme normale de la matrice M d ordre (3,4), développons pas à pas l algorithme : Débutons l algorithme en initialisant i : i = 1 : Etape 1 : Elle concerne la position (1,1) de la matrice M. La valeur de cette position est différente de zéro, on passe à l étape suivante, Colonne 1 position (1,1) Ligne M 34, = Etape 2 : Dans notre cas la ligne 1 ne change pas puisqu en position (1,1) il y a déjà la valeur 1. Etape 3 : Faisons apparaître des zéros dans la colonne 1, sous la position (1,1). Pour cela on enlève un multiple approprié de la 1 ère ligne de toutes les autres lignes : 7

8 la nouvelle 2 ème ligne = l ancienne 2 ème ligne + la 1 ère ligne la nouvelle 3 ème ligne = l ancienne 3 ème ligne 3 fois la 1 ère ligne Colonne 1 Nouvelle 2 ème ligne Nouvelle 3 ème ligne * * * * 6 3 3* 1 5 3* 2 4 3* 8 2 3* 6 La nouvelle matrice équivalente Etape 4 : Faisons apparaître des zéros dans la ligne 1 à droite de la position (1,1). On enlève un multiple approprié de la nouvelle 1 ere colonne de toutes les autres colonnes. la nouvelle 2 ème colonne = l ancienne 2 ème colonne 2 fois la 1 ère colonne la nouvelle 3 ème colonne = l ancienne 3 ème colonne 8 fois la 1 ère colonne ème ème ère la nouvelle 4 colonne = l ancienne 4 colonne 6 fois la 1 colonne 1 2 2* 1 8 8* 1 6 6* * * * = * * * Nouvelle 2 ème colonne Nouvelle 3 ème colonne Nouvelle 4 ème colonne Observons que ces trois dernières transformations ne changent que les éléments de la ligne 1 hors position (1,1). Ainsi, l ensemble de transformations est très facilement réalisable, il suffira pratiquement de mettre des zéros dans la ligne correspondante. Etape 5 : Recommençons les quatre étapes en faisant i = 2. i = 2 : Etape 1 : Elle concerne la position (2,2) de la dernière matrice qui est équivalente à M. La valeur de cette position est différente de zéro, on passe à l étape suivante, Colonne 2 position (2,2) Ligne Etape 2 : Faisons apparaître en position (2,2) la valeur 1, pour cela multiplions la 2 ème ligne par 1/ 2 La nouvelle matrice équivalente = Etape 3 : Faisons apparaître des zéros dans la colonne 2, sous la position (2,2). Pour cela on enlève un multiple approprié de la 2 ème ligne à la troisième ligne : la nouvelle 3 ème ligne = l ancienne 3 ème ligne + la 2 ème ligne 8

9 Colonne Nouvelle 3 ème ligne * * * * 5 2 La nouvelle matrice équivalente Etape 4 : Faisons apparaître des zéros dans la ligne 2 à droite de la position (2,2). Cette étape en pratique consiste à remplir de zéros la ligne 2 à droite de la position (2,2). Nous obtenons la matrice équivalente : Etape 5 : Recommençons les quatr e étapes en faisant i = 3. i = 3 : Etape 1 : Elle concerne la position (3,3) de la dernière matrice qui est équivalente à M. La valeur de cette position est différente de zéro, on passe à l étape suivante, Colonne 3 position (3,3) Ligne Etape 2 : Faiso ns apparaître en position (3,3) la valeur 1, pour cela multiplions la 3 ème ligne par 2/ 25 La nouvelle matrice équivalente L algorithme se termine puisque nous pouvons voir qu il ne reste plus qu une seule valeur à droite de la position (3,3) qui n est pas égale à 1 ou à 0. Il suffit de faire une combinaison entre la quatrième colonne et la troisième nouvelle colonne. Nous obtenons la matrice équivalente à M : bloc1 = bloc2 = 0 0 9

10 Cette dernière matrice est séparable en deux blocs, un bloc carré qui ne contient que des uns sur la diagonale principale et qui nous indique le rang de la matrice M, et un second bloc qui est composé de zéros. Cette dernière matrice est la forme normale de M. rg(bloc1) =rg(m)= 3 La matrice M a pour rang trois. V Conclusion Avec le calcul du rang nous terminons l ensemble des définitions et des principales propriétés utiles pour la résolution de systèmes d équations linéaires. La forme normale d une matrice nous renseigne de façon très simple sur le déterminant de la matrice et va également nous servir pour trouver simplement les solutions d un ensemble d équations linéaires. On retiendra que le rang d une matrice M d ordre (n,p)est au plus égal à la plus petite des valeurs de n et de p. Ce que nous pouvons écrire de la façon suivante : rg( M ) Min( n, p) np, 10