CHAPITRE 1. Systèmes d'équations. Définition. Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est un ensemble équations de la forme : Rax by c

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1 CHAPIE 1 ystèmes d'équations 1. Définition et exemple Définition. Un système linéaire de 2 équations à 2 inonnues est un ensemle équations de la forme : ax y ( ) ax ' y ' ' ( 2) ( ) de deux où xy, g est le ouple d'inonnues et a,,,, ' et ' sont des onstantes appelées oeffiients du système et vérifiant les onditions a, g 00g, et, ' g00, g. ésoudre le système revient à trouver le ou les ouples ( xy, ) qui satisfont simultanément les deux équations (1) et (2). Ces ouples sont les solutions du système. Exemple. Considérons le système linéaire de deux équations à deux inonnues : 2xy 8 ( ) 7x4y 1 ( 2) Intéressons-nous d'aord aux solutions de l'équation (1). Le ouple 1, 2gest une solution de ette équation, ar Mais 'est loin d'être l'unique solution! En effet il est faile de vérifier 5 que ( 24, ), ( 56, ), ( 2, 1),... sont d'autres ouples de solution de ette équation. En fait l'équation (1) admet une infinité de solutions. La forme générale de es solutions peut s'otenir en alulant y en fontion de x : 8 2x 2xy 8y 82x y. Les solutions de (1) sont don les ouples de la forme x, 8 2x I K J où x est un réel quelonque. 8 Par exemple : si x 2 alors y 2 ( 2) 12 4, d'où la solution 2, 4g. De même, l'équation (2) admet une infinité de solutions. On trouve failement que e sont les x ouples de la forme x, , g,, g,, g, I K J, où x est un réel quelonque. Par exemple : , 2g emarquons que le ouple est à la fois solution de (1) et de (2). C'est don une solution du système ( ). Le système ( ) admet-il d'autres solutions? Les méthodes de résolutions exposées i-dessous vont prouver que 1, 2 est l'unique solution de ( ). 2. Méthodes de résolution eprenons le système ( ) g de l'exemple préédent. a) ésolution par sustitution ( remplaement) On alule y en fontion de x à l'aide de l'équation (1) : 8 2x 2xy 8y 82x y ()

2 On sustitue l'équation () dans l'équation (2) : x 2 x inalement on sustitue (4) dans () : I K J g 1 / 21x4 8 2x 21x2 8x 29x 29 x 1 ( 4) 8 y m gr Le système admet don une solution unique : 12,. ) ésolution par ominaison linéaire Cominons d'aord les équations (1) et (2) pour éliminer y : 4( 1) : 8x 12y 2 (1') ( 2) : 21x 12y (2') (1') + (2') : 29x 29 x 1 Cominons maintenant les équations (1) et (2) pour éliminer x : 7( 1) : 14x 21y 56 (1'') 2( 2) : 14x 8y 2 (2'') (1'') + (2'') : 29y 58 y 2 m gr On retrouve que 12,. ) Méthode graphique i l'on rapporte le plan à un repère Oi,, j, les équations (1) et (2) sont en fait les équations artésiennes de deux droites, que nous notons d et d. ésoudre le système h 1 2 d1: 2 x y 8 d2: 7 x 4 y 1 revient à déterminer le point d'intersetion de es deux droites. eprésentons graphiquement les deux droites. g x y x y d 2 I12, g m gr d d I, d 1 1.2

3 . ésolution générale par la méthode de Cramer C'est le mathématiien suisse Gariel Cramer ( ) qui a introduit l'expression générale de la solution d'un système linéaire de n équations à n inonnues. Voii sa méthode dans le as. n 2 ( ) ax y ax ' y ' ' ( 2) Eliminons d'aord y : '( 1 ) : a' x ' y ' (1') ( 2 ) : ax ' y ' ' (2') (1') + (2') : a' gx ' ' On peut en déduire l'expression de x, à ondition que a' 0. Alors : ' ' x a' Eliminons de la même façon x : ( 1 ) : a x y (1'') a ( 2 ) : a x a' y a' (2'') (1'') + (2'') : a a ' ya a' / g 1g a' gy a' Nous avons multiplié la dernière équation par 1 afin de faire prééder l'inonnue y du même oeffiient que x (f. ligne (1') + (2')). Don si a ' 0, on a : a' y a' g ue, g Le système admet don une solution uniq à ondition que l'expression a' soit non nulle. est appelé déterminant du système, pour la simple raison que : a a' emarquons maintenant que les numérateurs de x et de y peuvent aussi être érits sous forme d'un déterminant. En effet : ' (1.1) (1.2) (1.) x ' ' ' ' (1.4) Et de même : y a' a ' (1.5) Les déterminants, x et y sont appelés déterminants de Cramer. En résumé, si le déterminant du système est non nul, alors () admet la solution unique : xy, g a ' a ' ', a ' ' I KJ H G x y, I K J (1.6) 1.

4 ègles mnémotehniques : est formé des olonnes H G a et H G des oeffiients de x et de y du système (). I K J I ' K J x a I KJ I ' K J y I ' K J I ' K J est otenu en remplaçant dans la olonne par la olonne. est otenu en remplaçant dans la olonne par la olonne. Exemple. eprenons notre système du paragraphe 1. x y U V W ( ) 2 x y 8 () 1 7 x 4 y 1 ( 2 ) x 1 et y m gr 12, On peut se demander e qui se passe lorsque le déterminant du système s'annule. aisonnons géométriquement : soient d et d' les deux droites d'équations artésiennes respetives ax y et ax ' y ' '. Le système () admet une solution unique si et seulement si d et d' sont séantes, i.e. se oupent en un seul point. Pour ela il faut et il suffit que les deux veteurs direteurs de d et d' soient non olinéaires i.e. que leur déterminant soit non nul. Or : I U u est un veteur direteur de d a KJ uu a a a a I V a a u d ' det, ' g ' ' ' '!! ' ' ' est un veteur direteur de ' KJ Don : () admet une solution unique u et u' sont non olinéaires det uu, ' g 0 W 0 i par ontre 0 'est-à-dire det uu, ' g 0, alors les deux droites d et d' sont parallèles. i d et d' sont stritement parallèles alors () n'admet auune solution :. i d et d' sont onfondues ( dd' d d' ) alors () admet une infinité de solutions ; e sont g tous les ouples xy, vérifiant (1) ou (2) : = {( x, y) / ax + y = } = {( xy, ) / ax ' + y ' = ' } 1.4

5 Exemples. oit le système de deux équations à deux inonnues x2y 1 ( 1 ) 2x4y ( 2) g g Le déterminant de e système est nul : Il faut alors tranher la question si le système ( 1 ) admet une infinité de solutions ou auune solution. Multiplions la 2 e équation par 1 : x2y 2 2 (2'). Nous voyons alors que les deux droites d'équations (1) et (2) sont stritement parallèles. Don :. oit le système de deux équations à deux inonnues x4y 2 ( 2 ) 2 x2y 1 ( 2) 4 Le déterminant de e système est nul : g g 0. Multiplions la 2 e équation par 2 : x 4y 2 (2'). Nous voyons alors que les deux équations (1) et (2) sont équivalentes, i.e. que les droites d'équations (1) et (2) sont onfondues. Don : = {( x, y) /x 4y = 2} = {( xy, ) /4y= x 2} x 2 = {( xy, ) / y= 4 } x 2 = x, / x 4 Le théorème suivant résume l'étude que nous venons de faire. héorème. oit le système linéaire de 2 équations à 2 inonnues : ( ) ax y ax ' y ' ' ( 2) H G x y 1. i 0 alors () admet une solution unique :, I K J U V W 2. i 0 alors () admet soit une infinité de solutions, soit auune solution. (a) i les droites d'équations (1) et (2) sont stritement parallèles alors () i les droites d'équations (1) et (2) sont onfondues alors = ( x, y) 2 / ax + y = { } 1.5

6 4. ystèmes linéaires de n équations à n inonnues Définition. Un système linéaire de équations à inonnues est un ensemle équations de la forme : ax y z d ( ) de trois ( ) ax ' y ' z ' d' ( 2) ' x'' y'' z d'' ( ) où xyz,,g est le triplet d'inonnues et a,, g000g,,,, ', ' g 000,, g et a '', '', '' g000,, g. La méthode de Cramer pour les systèmes d'ordre ne figure pas au programme de la e. Dans l'exemple suivant, nous exposons toutefois un prinipe de résolution général. Exemple et prinipe de résolution. Considérons le système de équations à inonnues : ( ) 2x y z 6 2x yz 6 xy4z 10 ( 2) x2yz 2 () L'idée maîtresse de la résolution onsiste à remplaer () par un système équivalent 1 plus simple : on retient une seule des trois équations formant () et on remplae les deux autres par des équations renfermant seulement 2 inonnues. Ii nous hoisissons de garder l'équation (2) et d'éliminer à l'aide de ette équation l'inonnue x dans les équations (1) et (). Eliminons d'aord x dans l'équation (1) : 2( 2) : 2x 6y 8z 20 ( 2') (1) (2') : 7y 11z 26 7y 11z 26 (') 1 Eliminons de même x dans l'équation () : x 2y z 2 () ( 2) : x 9y 12z 0 ( 2'') () (2'') : 11y 1z 28 11y 1z 28 (') Le système () est don équivalent au système : ( ') 7y11z 26 (') 1 xy4z 10 ( 2) 11y1z 28 (') L'étape suivante onsiste à résoudre le sous-systeme de (') formé par les équations (1') et (') : Utilisons la méthode de Cramer : ( '') 7y11z 26 (') 1 11y1z 28 (') y z Deux systèmes sont équivalents s'ils ont le même ensemle de solutions. 1.6

7 0 D'où : y 1 et z inalement on remplae es valeurs dans l'équation (2) afin de déterminer x : g x x Le système () admet don une solution unique : 1, 1,. emarque. rois as partiuliers de nature différente peuvent se présenter lors de la résolution d'un système linéaire d'ordre. a) Les équations formant () sont toutes équivalentes. ) Le sous-système ('') admet une infinité de solutions. ) Le sous-système ('') n'admet auune solution. On verra dans les exeries omment il faut se dérouiller dans haun de es as. Pour un système linéaire de 4 équations à 4 inonnues le prinipe de résolution est semlale : on onserve l'une des équations du système et on remplae les trois autres par des équations renfermant seulement inonnues. On est ainsi ramené à la résolution d'un système linéaire de équations à inonnues. On proède de façon semlale dans le as général d'un système linéaire de n équations à n inonnues. Exemple. oit le système linéaire de 4 équations à 4 inonnues suivant : g x yzt 1 g y4z5t 5 ( 2') y2z2t 6 (') 5y4z2t 8 ( 4') x yzt 1 y2z2t 6 (') y4z5t 5 ( 2') 5y4z2t 8 ( 4') x yzt 1 y2z2t 6 (') 10zt 1 ( 2'') 14z8t 8 ( 4'') x yzt 1 y2z2t 6 (') 10zt 1 ( 2'') 7z4t 19 ( 4''') m gr x yzt 1 2x y2zt x2yzt 7 ( 2) () x2yzt 11 ( 4) On onserve (1) et on élimine x dans (2), () et (4). emarquer que : ( 2') 2( 1) ( 2) ( ') ( 1) ( ) ( 4') ( 1) ( 4) Le système formé par (2'), (') et (4') a trois équations et trois inonnues : y, z et t. On onserve (') et on élimine y dans (2') et (4'). emarquer que : ( 2'') ( ') ( 2') On a divisé l'équation (4'') par 2. ( 4'') 5( ') ( 4 ') 1.7

8 x yzt 1 y2z2t 6 (') 10zt 1 ( 2'') z ( 4 '''') On pourrait résoudre le système formé par (2'') et (4''') par la méthode de Cramer. On préfère ii éliminer t dans (4''') pour otenir un système triangulaire : ( 4'''') 4( 2'') ( 4''') Le système ainsi otenu est triangulaire : il y a 4 inonnues dans la première équation, dans la 2 e, 2 dans la e et une seule inonnue dans la dernière équation. Ce système se résoud failement "en asade" : la dernière équation donne z 1, (2'') donne ensuite t, puis (') donne y y 2 et finalement (1) donne x 211 x 1. D'où : 12,, 1, m gr emarque. La méthode présentée i-dessus est appelée méthode du pivot de Gauss 2. Le pivot est par définition le oeffiient non nul de l'inonnue qu'on veut éliminer, dans l'équation que l'on onserve. Pour le système de l'exemple i-dessus, le pivot est toujours 1 : 'est d'aord le oeffiient de x dans (1), puis le oeffiient de y dans (') et enfin le oeffiient de t dans (2''). 2 Carl riedrih Gauss ( ) fut l'un des mathématiiens les plus rillants de tous les temps. 1.8