1 Dynamique du solide

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1 TABLE DES MATIÈRES 1 Dynamique du solide Principe Fondamental de la Dynamique Énoncé Caractère Galiléen des repères Théorèmes généraux Théorème de la résultante dynamique Théorème des quantités de mouvement Théorème du moment dynamique Théorème du moment cinétique Utilisation du P.F.D P.F.D dans un repère non galiléen Composition des accélérations Composition du torseur dynamique Principe fondamental dans un repère non galiléen Application Équilibrage d un solide Problème général de l équilibrage Équilibrage Équilibrage à 2 masses Exercices Corrigés i

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3 CHAPITRE 1 DYNAMIQUE DU SLIDE 1.1 Principe Fondamental de la Dynamique Énoncé Il existe un repère spatial - temporel (un repère associé à une chronologie) dit repère Galiléen, tel qu à tout instant, le torseur des actions mécaniques extérieures agissant sur le système matériel Σ est égal au torseur dynamique de Σ dans son mouvement par rapport au repère Galiléen. n note Σ le système matériel isolé et Σ le reste de l univers. Le Principe Fondamental de la Dynamique, P.F.D., est traduit par l égalité suivante : Σ Σ Σ FIGURE 1.1 Système isolé } } {D Σ/Rg = {A { } { } A Σ/R R soit Σ Σ = # Σ Σ» δ A,Σ/Rg M A A,Σ Σ A (1.1) avec Résultante des actions mécaniques de Σ sur Σ : R Σ Σ ; Moment au point A des actions mécaniques de Σ sur Σ : M A,Σ Σ ; Résultante dynamique de l ensemble matériel Σ dans son mouvement par rapport au repère Galiléen : A Σ/R ; Moment dynamique en A de l ensemble matériel Σ dans son mouvement par rapport au repère Galiléen : δ A,Σ/Rg. 1

4 2 1 Dynamique du solide Caractère Galiléen des repères Un repère physique est un système d axes qui permet de décrire la position d un point, d un ensemble matériel. Il est bien évident que la position d un point donné n est pas décrite de la même manière selon que l on se place dans un référentiel ou dans un autre. Le principe fondamental de la dynamique présume l existence d un repère dit repère Galiléen dans lequel le principe fondamental de la dynamique est valable. Ce repère de référence dans lequel tous les mouvements pourraient être décrits exactement ne peut être qu approché. Mais comme c est toujours le cas dans tous les domaines de la physique, la validité d une loi dépend du degré de précision souhaité : ainsi un repère usuel de la mécanique peut donc être considéré comme galiléen vis-à-vis de tel problème mécanique, et non galiléen vis-à-vis de tel autre. Les principaux repères approchés sont : Le référentiel de Copernic est centré au centre d inertie du système solaire. Les directions de ses axes sont définies à l extérieur du système solaire par trois galaxies lointaines. Ce référentiel néglige le mouvement du soleil dans la Voie Lactée et le mouvement de celle-ci dans le reste de l univers. Le référentiel de Galilée est centré au centre de la Terre. Ses axes sont parallèles à ceux du référentiel de Copernic. n comprend bien que choisir ce repère comme repère galiléen revient à supposer que le mouvement de celui-ci par rapport au repère précédent est négligeable (ou en translation circulaire!). Ce repère est utilisé aussi bien pour décrire le comportement des satellites que pour étudier le pendule de Foucault (mise en évidence de la rotation de la terre). Les référentiels liés à la Terre dont le principal est le repère géographique de la sphère terrestre dont le centre est au centre de la Terre et dont les axes sont solidaires de la planète mais aussi tous les repères locaux. Les référentiels locaux ou du laboratoire dont l origine est locale au laboratoire et les axes sont orientés selon les propriétés du système étudié. Ce référentiel est le moins galiléen de tous mais il est parfaitement utilisable dans tous les cas classiques. La qualité principale de ce repère est sa facilité d emploi, mais choisir ce référentiel comme référentiel galiléen revient à négliger la rotation de la Terre autour de l axe des pôles. Le caractère galiléen peut être toutefois restitué grâce à la loi de composition des accélérations. Dans les repères liés à la Terre, elle conduit à introduire une accélération complémentaire ou accélération de Coriolis dans l expression générale de l accélération. Nous serons donc parfois amené à écrire le P.F.D. dans un repère non galiléen.

5 1.2 Théorèmes généraux Théorèmes généraux Le Principe Fondamental de la Dynamique est une égalité entre deux torseurs, pour que ces torseurs soient égaux, il faut que leurs résultantes soient égales et que leurs moments en un point soient égaux. Ces deux équations vectorielles sont les deux théorèmes généraux Théorème de la résultante dynamique { A Σ/R = R Σ Σ δ A,Σ/Rg = M (1.2) A,Σ Σ Pour tout ensemble matériel Σ en mouvement par rapport au repère galiléen, la résultante dynamique est égale à la résultante générale du torseur associé aux actions extérieures à Σ, A Σ/R = R Σ Σ, que l on écrit : m Σ Γ GΣ,Σ/ = R Σ Σ (1.3) Théorème des quantités de mouvement Nous savons que : Γ [ ] d GΣ,Σ/R = V GΣ,Σ/R. Par conservation de la masse dans le système Σ, on peut donc écrire le théorème de la résultante dynamique sous la forme : [ ] d m Σ V GΣ,Σ/R = R Σ Σ (1.4) Théorème du moment dynamique Pour tout ensemble matériel Σ en mouvement par rapport au repère galiléen, le moment dynamique est égal au moment résultant du torseur associé aux actions extérieures à Σ. δ A,Σ/Rg = M A,Σ Σ (1.5) Théorème du moment cinétique Si on écrit le théorème du moment dynamique en G Σ, centre d inertie de l ensemble isolé, on peut donner une autre écriture au théorème du moment dynamique. Le moment dynamique s écrit δ [ d GΣ,Σ/ = σ GΣ,Σ/R g, au centre d inertie ] G Σ d où [ ] d σ GΣ,Σ/R g = M GΣ,Σ Σ (1.6)

6 4 1 Dynamique du solide De même, dans le cas particulier où le point A est fixe dans, on peut écrire : [ ] d σ A,Σ/Rg = M A,Σ Σ (1.7) 1.3 Utilisation du P.F.D. Le principe fondamental de la dynamique se traduit par une égalité de torseur, c est à dire par deux égalités vectorielles (théorèmes généraux) entre les efforts appliqués au système étudié et les quantités d accélération de ce système par rapport à un repère galiléen. Un problème de dynamique du solide comporte donc au maximum 6 équations scalaires (2 3) pour chaque solide isolé. Pour pouvoir "tenter" de résoudre ce problème, il ne doit pas comporter plus d inconnues que d équations. n retrouve dans les équations scalaires : les paramètres de positions (connus et/ou inconnus), les dérivées premières et secondes de ces paramètres, les actions mécaniques (connues et/ou inconnues), les données du problème. n distingue trois principaux types de problèmes à résoudre. Les actions extérieures sont connues, on cherche à déterminer le mouvement du mécanisme isolé ; Les actions extérieures sont connues, on cherche à déterminer les actions de liaison ; Le mouvement est imposé, on cherche à déterminer les actions extérieures motrices. Dans le premier cas, il n est pas forcément nécessaire d étudier et résoudre tout le système d équations. n cherche à isoler parmi les équations celles qui permettent d obtenir l (les) équation(s) différentielle(s) de mouvement. n appelle équation différentielle du mouvement, une équation différentielle entre les paramètres de mouvement et les actions mécaniques extérieures ne faisant pas intervenir les inconnues de liaisons. Dans le second cas, il faut en général résoudre la totalité du système. Le troisième cas est le complémentaire du premier.

7 1.4 P.F.D dans un repère non galiléen P.F.D dans un repère non galiléen Composition des accélérations n se propose de déterminer l accélération du point P d un ensemble matériel E (associé à un repère R) en mouvement par rapport à l ensemble matériel E 1 (repère R 1 ) lui-même en mouvement par rapport au repère galiléen. Nous savons que : V P,E/Rg = V P,E/R1 + V P,E1 / V P,E/Rg = V P,E/R1 + V 1,R 1 / + Ω 1 P Dérivons cette relation par rapport au temps dans le repère galiléen : z g y g y 1 E P z x 1 1 xg g z 1 E 1 FIGURE 1.2 Composition des accélérations y x [ [ [ [ d d d d V P,E/Rg = V P,E/R1 + V 1,R ] ] 1 / + Ω R1 /R ] g ] 1 P Par définition : Γ [ ] d P,E/Rg = V P,E/Rg et [ ] d Γ 1,R 1 / = V 1,R 1 / La relation devient : [ ] d Γ P,E/Rg = V P,E/R1 + Γ 1,R 1 / + [ ] d Ω 1 P + [ ] d Ω R1 /R g 1 P avec [ ] [ ] d d 1 P = 1 P + Ω R1 /R g 1 P = V P,E/R1 + Ω 1 P R 1 et [ [ ] d d V P,E/R1 = V P,E/R1 + Ω ]R R1 /R g g V P,E/R1 = Γ P,E/R1 + Ω V P,E/R1 R 1 D où finalement la relation de composition des accélérations :

8 6 1 Dynamique du solide Γ P,E/Rg = Γ P,E/R1 + Ω V P,E/R1 + Γ P,E/Rg = Γ 1,R 1 / + Ω ( V P,E/R1 + Ω ) [ ] d 1 P + Ω R1 /R g 1 P Γ P,E/R1 + Γ 1,R 1 / + Ω ( Ω ) 1 P [ ] d + Ω R1 /R g 1 P + 2 Ω V P,E/R1 (1.8) n note : Γ P,E/Rg : accélération absolue du point P de E par rapport au repère galiléen ; Γ P,E/R1 : accélération relative du point P appartenant à E par rapport au repère R 1 ; Γ 1,R 1 / + Ω ( Ω ) [ ] d 1 P + Ω R1 /R g 1 P : accélération d entraînement du point P de R 1 par rapport à que l on note Γ P, ; 2 Ω V P,E/R1 : accélération de Coriolis. L accélération absolue d un point P d un ensemble matériel E en mouvement par rapport à un référentiel R 1 lui-même en mouvement par rapport au repère galiléen s écrit comme la somme de l accélération relative de P de E par rapport à R 1, l accélération d entraînement du repère R 1 par rapport à et l accélération de Coriolis : Γ P,E/Rg = Γ abs = Γ P,E/R1 + Γ rel + Γ P, + 2 Ω V P,E/R1 Γ ent + Γ cor (1.9) Composition du torseur dynamique Le torseur dynamique de l ensemble matériel E dans son mouvement par rapport au référentiel galiléen s écrit : ˆ } A E/Rg = {D E/Rg = ˆ δ A,E/Rg = P E P E Γ P/Rg dm AP Γ P/Rg dm A Pour le centre d inertie G la décomposition de l accélération donne : Γ G,E/Rg = Γ G,E/R1 + Γ G, + 2 Ω V G,E/R1

9 1.4 P.F.D dans un repère non galiléen 7 Décomposons, le moment dynamique : ˆ δ A,E/Rg = AP Γ P/R dm ˆ ( = AP Γ P,E/R1 + Γ P, + 2 Ω ) V P,E/R1 dm ˆ δ A,E/Rg = AP ˆ Γ P,E/R1 dm + AP Γ P, dm ˆ ( + 2 AP Ω V ) P,E/R1 dm (1.1) par analogie, on peut décomposer le moment dynamique absolu comme la somme d un moment dynamique relatif, d entraînement et de Coriolis. δ A,E/R = δ rel + δ ent + δ cor (1.11) D où le torseur dynamique que l on peut décomposer aussi par analogie, sous la forme d un torseur dynamique relatif, d entraînement et de Coriolis : { } DE/R = ˆ { } DE/R = ˆ ˆ ˆ ˆ + ˆ +2 Γ P/R dm AP Γ P/R dm Γ P,E/R1 dm A AP Γ P,E/R1 dm ˆ Γ P, dm + ˆ AP Γ P, dm A 2 Ω V P,E/R1 dm ( AP Ω V ) P,E/R1 dm par analogie { } } } } DE/R = {D E/R1 + {D E,R1 + {D /Rg cor,e/rg = { } { } { } D rel + Dent + Dcor Principe fondamental dans un repère non galiléen Soit E un ensemble matériel, le repère galiléen et R 1 le repère d étude. n se propose d écrire le principe fondamental de la dynamique dans le repère R 1, par définition le P.F.D. s écrit : } } {D E/Rg = {A E E A A

10 8 1 Dynamique du solide En décomposant le torseur dynamique sur le repère R 1 : } } } } {D E/R1 + {D E,R1 + {D /Rg cor,e/rg = {A E E Finalement le P.F.D par rapport au repère non galiléen R 1 devient : } } } } {D E/R1 = {A {D E E E,R1 {D /Rg cor,e/rg Dans un repère non galiléen, il faut soustraire aux forces extérieures appliquées à l ensemble matériel E le torseur des forces d inertie d entraînement et le torseur des forces d inertie de Coriolis. Remarque }: si R 1 est en translation } uniforme par rapport } au repère } galiléen, alors {D E,R1/Rg = {} et {D cor,e/rg = {} donc {D E/R1 = {A, R 1 est donc E E aussi un repère galiléen. 1.5 Application Équilibrage d un solide Problème général de l équilibrage Dans le cas d un mouvement de rotation, les vibrations dues à une mauvaise répartition des masses par rapport à l axe de la rotation induisent une usure et une détérioration rapide des paliers et créent une gêne pour l utilisateur (bruits, vibrations). L objet de l équilibrage est de supprimer ces vibrations. Nous allons, évaluer l influence de la répartition des masses (position du centre d inertie, symétrie du solide) sur ces vibrations.

11 1.5 Application Équilibrage d un solide 9 a ) Données z G y 1 FIGURE 1.3 Équilibrage θ x x 1 Soit un solide S 1 de masse M en liaison pivot d axe (, z ) par rapport au bâti S. Ce solide n ayant aucune particularité géométrique (ni plan de symétrie, ni axe de révolution), la matrice d inertie du solide en est de la forme : A F E I (S 1 ) = F B D E D C ( x 1, y 1, z 1 ) Le repère R 1 = (, x 1, y 1, z ) 1 est lié au solide en rotation avec ( x, x ) 1 = θ, pour t=, θ =. G = x g x 1 + z g z R un repère galiléen, z est vertical ascendant. Un couple moteur C m = C m z permet la rotation. La liaison pivot est parfaite. b ) Étude dynamique Inventaire des actions extérieures appliquées au solide en rotation Action de la pesanteur sur le solide : { { } M g } z P g S1 = = Couple moteur : { { } } C Mot S1 = C m z ; P } X 1 L 1 Actions transmissibles par la liaison pivot : {L S = Y S1 1 M 1 Z 1 G { M g z M g x g y 1 P (, z ) (?,?, z ). } Détermination du torseur dynamique par rapport à R. en du solide S 1 dans son mouvement Déterminons dans un premier temps le torseur cinétique en du solide S 1 dans son mouvement par rapport à R : Résultante cinétique : p S1 /R = M V G S1 /R = M x g θ y 1

12 1 1 Dynamique du solide Moment cinétique, est un point fixe dans le référentiel, donc : σ,s1 / = I (S 1 ) Ω S1 /R = A F E F B D E D C = E θ x 1 D θ y 1 + C θ z B 1 θ = E ω x 1 D ω y 1 + C ω z avec ω = θ { } } A S1 /R d où les composantes du torseur dynamique : {D S1 = /R δ,s1 /R A S1 /R, résultante dynamique, par dérivation de la résultante cinétique : A S1 /R = M x g θ y 1 M x g θ 2 x 1 δ,s1 /R, moment dynamique en, est un point fixe dans R donc : [ ] d δ,s1 /R = σ,s1 /R R = E θ x 1 D θ y 1 E θ 2 y 1 + D θ 2 x 1 + C θ z = ( D θ 2 E θ ) x 1 + ( D θ E θ 2) y 1 + C θ z Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide S 1. } } {D S1 = {A /R S1 S1 } {D S1 = { } { } } P / S1 + CMot S1 + {L S S1 { } { A S1 /R # M g } { } z» = δ,s1 /R M g x g y + 1 C m z P X 1 L 1 + Y 1 M 1 Z 1 P (, z ) (?,?, z ) Il est judicieux } ici, d écrire le torseur des efforts transmissibles par la liaison pivot {L S dans la base ( S1 x1, y 1, z ) 1, de déterminer les composantes de la liaison dans cette base puis de revenir dans la base ( x, y, z ). n obtient donc les deux équations vectorielles suivantes : Théorème de la résultante dynamique A S1 /R = M g z + + X 1 x 1 + Y 1 y 1 + Z 1 z M x g θ y 1 M x g θ 2 x 1 = M g z + + X 1 x 1 + Y 1 y 1 + Z 1 z Théorème du moment dynamique δ,s1 /R = M g x g y 1 + C m z + L 1 x 1 + M 1 y 1

13 1.5 Application Équilibrage d un solide 11 ( D θ2 E θ ) x 1 + ( D θ E θ 2) y 1 + C θ z = M g x g y 1 + C m z + L 1 x 1 + M 1 y 1 La projection de ces deux équations donne les 6 équations scalaires suivantes : M x g θ 2 = X 1 D θ 2 E θ = L 1 M x g θ = Y 1 et D θ E θ 2 = M g x g + M 1 = M g + Z 1 C θ = C m Détermination des efforts dans la liaison Pour continuer et simplifier les calculs, nous supposerons que le rotor tourne à vitesse constante ω = θ =, les 6 équations deviennent : M x g θ 2 = X 1 D θ 2 = L 1 = Y 1 et E θ 2 M g x g = M 1 M g = +Z 1 = C m Le torseur des actions transmissibles dans la liaison pivot s écrit dans la base liée au solide en rotation ( x1, y 1, z ) 1 : } X 1 = M x g {L θ 2 L 1 = D θ 2 S = Y S1 1 = M 1 = E θ 2 M g x g Z 1 = M g ( x 1, y 1, z 1 ) n s aperçoit que les efforts (résultante et moment) dans la liaison pivot sont fonction de la vitesse de rotation θ. En projection dans la base galiléenne, R, on peut mieux évaluer l influence des paramètres cinétiques sur les efforts dans la liaison. } X 1 cosθ L 1 cosθ M 1 sinθ {L S = X S1 1 sinθ L 1 sinθ + M 1 cosθ avec θ = ω t Z 1 ( x, y, z ) } X 1 cos(ω t) L 1 cos(ω t) M 1 sin(ω t) {L S = X S1 1 sin(ω t) L 1 sin(ω t) + M 1 cos(ω t) Z 1 ( x, y, z ) n constate donc que les efforts transmis au bâti par la liaison pivot ne sont pas constants et dépendent du temps. Pour rendre ces efforts indépendants du temps, il faut que : X 1 = M x g θ 2 = x g = L 1 = c est à dire D θ 2 E θ = d où D = M 1 = D θ E θ 2 M g x g = E =

14 12 1 Dynamique du solide Vous pourrez vérifier que ces conditions sont aussi suffisantes si la vitesse n est pas constante Équilibrage a ) Équilibrage statique n dit qu un solide en rotation est équilibré statiquement lorsque le centre d inertie est sur l axe de rotation (dans l exemple précédent x g = ). b ) Équilibrage dynamique n dit qu un solide est équilibré dynamiquement, s il est équilibré statiquement et que les produits d inertie comportant l axe de rotation sont nuls (dans l exemple précédent D = et E = ). c ) Principe de l équilibrage Équilibrer un solide en rotation revient donc à annuler les différents termes ci dessus. Deux stratégies sont envisageables Ajouter des masses au solide afin de modifier ces caractéristiques cinétiques ; Usiner le solide (perçage, meulage) afin de modifier la répartition des masses. La première solution est utilisée pour réaliser l équilibrage des roues de véhicules, n retrouve plutôt la seconde lors d équilibrage réalisé sur des pièces massives (volant d inertie), ces usinages sont alors effectués en usine, lors de la fabrication. Du point de vue des calculs à réaliser, les deux méthodes sont analogues, la seconde revient à ajouter des masses négatives Équilibrage à 2 masses Soit un solide S 1, en rotation par rapport au repère galiléen R. n souhaite équilibrer ce solide. Pour cela on rajoute au solide à équilibrer en rotation deux masses ponctuelles M 1 et M 2 (figure et données 1.4). Le nouvel ensemble est donc : Σ = {S 1,M 1,M 2 }. Nous allons rechercher la masse et la position dans le repère lié au solide S 1 de chacune des masses ponctuelles pour que l ensemble Σ soit équilibré. a ) Détermination des caractéristiques cinétiques de l ensemble La masse totale de Σ est m Σ = m +m 1 +m 2. La matrice d inertie de l ensemble est : I (Σ) = I (S 1 ) + I (M 1 ) + I (M 2 )

15 1.5 Application Équilibrage d un solide 13 S 1, le solide à équilibrer de masse M de matrice d inertie : A F E I (S 1 ) = F B D E D C de centre d inertie : G = x g x 1 + z g z ; ( x 1, y 1, z 1 ) M 2 M 1 z G y 1 θ x x 1 M 1 la masse ponctuelle de masse m 1, avec M 1 = x 1 x 1 + y 1 y 1 + z 1 z ; M 2 la masse ponctuelle de masse m 2, avec M 2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 + z 2 z. (a) données (b) schéma FIGURE 1.4 Équilibrage à deux masses Remarque : la matrice d inertie d une masse ponctuelle en son centre d inertie est nulle (le volume est nul!) : I M1 (M 1 ) = M 1 B En appliquant le théorème de Huygens, on obtient la matrice en de la masse m 1 : y1 2 + z2 1 x 1 y 1 x 1 z 1 I (M 1 ) = m 1 x 1 y 1 z1 2 + x2 1 y 1 z 1 x 1 z 1 y 1 z 1 x1 2 + y 1 2 ( x 1, y 1, z 1 ) La matrice d inertie de l ensemble matériel Σ s écrit finalement : avec A Σ F Σ E Σ I (Σ) = F Σ B Σ D Σ E Σ D Σ C Σ ( x 1, y 1, z 1 ) A Σ = A + m 1 (y ) z2 + m2 (y ) z2 2 B Σ = B + m 1 (z ) x2 + m2 (z ) x2 2 C Σ = C + m 1 (x y 1) 2 + m2 (x y 2 2 ) D Σ = D m 1 y 1 z 1 m 2 y 2 z 2 E Σ = E m 1 x 1 z 1 m 2 x 2 z 2 F Σ = F m 1 x 1 y 1 m 2 x 2 y 2

16 14 1 Dynamique du solide b ) Équilibrage statique L ensemble est équilibré statiquement si le centre d inertie de l ensemble est sur l axe de rotation. G Σ = 1 ( M G + m 1 M 1 + m 2 ) M 2 M Σ L équilibre statique est donc réalisé si G Σ x 1 = et G Σ y 1 = D où les deux premières équations à respecter : c ) Équilibrage dynamique M x g + m 1 x 1 + m 2 x 2 = (1.12) m 1 y 1 + m 2 y 2 = (1.13) Les produits d inertie comportant l axe de rotation (, z ) doivent être nuls (ici D Σ et E Σ ), d où les deux équations suivantes : D Σ = D m 1 y 1 z 1 m 2 y 2 z 2 = (1.14) E Σ = E m 1 x 1 z 1 m 2 x 2 z 2 = (1.15) Le système à résoudre est un système de 4 équations et 8 inconnues (m 1, m 2, x 1, x 2, y 1, y 2, z 1, z 2 ). Il existe donc à priori une infinité de solutions. d ) Application : roue Dans la réalité des contraintes pratiques de réalisation limitent le nombre de solution, ainsi pour une roue (figure 1.5), les masses d équilibrage ne peuvent être fixées que sur le pourtour de la jante (de rayon R, de largeur L) de chaque coté du pneu. n a donc : x1 2 + y 1 2 = R et z 1 = (ou z 1 = L) pour la première masse ; x2 2 + y 2 2 = R et z 2 = L (ou z 2 = ) pour la seconde. Reprenons les quatre équations de l équilibrage. M x g + m 1 x 1 + m 2 x 2 = m 1 y 1 + m 2 y 2 = D m 1 y 1 z 1 m 2 y 2 z 2 = E m 1 x 1 z 1 m 2 x 2 z 2 = n choisit, un plan pour la première masse (z 1 = ) et le second pour l autre z 2 = L.

17 1.5 Application Équilibrage d un solide 15 FIGURE 1.5 Roue jante Il est préférable pour résoudre, d écrire en polaire les quatre équations, en posant : { { x1 = R cosθ 1 x2 = R cosθ 2 et y 1 = R sinθ 1 y 2 = R sinθ 2 Le système devient : M x g + m 1 R cosθ 1 + m 2 R cosθ 2 = m 1 R sinθ 1 + m 2 R sinθ 2 = D m 2 R sinθ 2 L = E m 2 R cosθ 2 L = ce qui permet de déduire : tanθ 2 = D E D 2 + E 2 m 2 = L R D tanθ 1 = E M x g L et m 1 = D R L 1 sinθ 1 n détermine ainsi la position et la valeur des masses en fonctions des caractéristiques cinétiques de la roue à équilibrer. Les machines à équilibrer intègrent des capteurs d efforts qui permettent de mesurer les efforts dans les liaisons. La mesure de ces efforts permet de déduire les caractéristiques cinétiques de la roue par résolution du PFD. Nous avons montré plus haut, à partir de la détermination des actions dans la liaison, que ceux-ci dépendent des caractéristiques de la matrice d inertie et de l excentration du centre

18 16 1 Dynamique du solide d inertie du solide. } X 1 = M x g {L θ 2 L 1 = D θ 2 S = Y S1 1 = M 1 = E θ 2 M g x g Z 1 = M g ( x 1, y 1, z 1 ) n peut donc, à partir de la mesure des efforts de liaison, déterminer les composantes de la matrice d inertie du solide à équilibre puis résoudre complètement le système. 1.6 Exercices Exercice 1- Bras de robot Corrigé page?? Le schéma de la figure 1.6 modélise un bras de robot. Rotor 2 I z Bâti x 1 Bras 1 g A x A I x 1 x 2 y y 1 FIGURE 1.6 Bras de robot Le moteur d axe ( A, z ), dont le stator est solidaire du bras 1 et le rotor du pignon moteur 2, entraîne le bras en rotation autour de l axe (, z ) à travers un train d engrenage : pignon moteur : Z 2 dents, rayon R 2, roue : Z dents, rayon R.

19 1.6 Exercices 17 Le couple moteur de 2 sur 1 est noté C m = C m z. n note : α = ( x, x1 ), Ω 1/ = ω 1 z avec ω 1 = α ; θ = ( x1, x ) 2, Ω 2/1 = ω m z avec ω m = θ ; A = L 1 x 1, AI = H 2 z R 2 x 1. L engrenage est réalisé à partir de pignon à denture droite, l angle de pression est de β = 2. n note : { } F 2 sinβ A 2 = F 2 cosβ le torseur de l action transmissible I ( x 1, y 1, z 1 ) par la roue sur le pignon 1 avec I le point de contact ( I z = h). Soit A, le centre d inertie de l ensemble composé du rotor et du pignon moteur. Cet ensemble est équilibré dynamiquement par rapport à l axe ( A, z ), son moment d inertie autour de ( A, z ) est noté I 2, et sa masse M 2. Le centre d inertie G 1 de l ensemble S 1, composé du bras et du stator, de masse M 1 est tel que G 1 = x g x 1. A 1 La matrice d inertie de cet ensemble en s écrit : I (S 1 ) = B 1 C 1 ( x 1, y 1, z 1 ) Les liaisons sont supposées parfaites. L objectif de l étude est de déterminer le couple moteur pour la loi d évolution de la figure 1.7 du bras (entre les instants T et T 3 le bras fait une rotation de 18 ) :. ω 1 ω max T T 1 T 2 T 3 t FIGURE 1.7 Loi d évolution du bras Q1. Déterminer ω 1 et ω 2 en fonction de ω m. Q2. Tracer le graphe des liaisons et placer sur celui-ci les efforts. Préciser les différents torseurs des actions transmissibles. Justifier la forme du torseur des actions transmissibles par la liaison engrenage. Les différents torseurs seront écrits dans la base ( x1, y 1, z ) 1 Q3. Appliquer le théorème du moment dynamique au bras de robot en en projection suivant z. Q4. Isoler maintenant le rotor, et écrire les équations du P.F.D permettant de déterminer la composante suivant y 1 du torseur des actions transmissibles de la liaison

20 18 1 Dynamique du solide entre le rotor 2 et le bras 1. Q5. En déduire l équation différentielle du mouvement permettant d obtenir le couple moteur en fonction des paramètres du mouvement et des paramètres cinétiques, puis tracer l évolution de celui-ci sur le graphe des vitesses. Exercice 2- Machine à vibrer le béton d après Centrale TA95 Corrigé page?? Les deux figures suivantes (fig 1.8, 1.9) représentent schématiquement une machine à vibrer des éléments préfabriqués en béton. Un châssis sur roues est solidaire du moule et du stator d un moteur électrique destiné à générer les vibrations. A. Données L ensemble 1, de masse M 1, en translation comprend la plate-forme, le moule, le béton et le stator du moteur électrique. Sa position par rapport au repère R galiléen est définie par x(t). La liaison équivalente par rapport au sol est une glissière de direction x. L ensemble 2, de masse M 2, tournant par rapport à 1 autour de l axe ( A, z ), comporte le rotor du moteur, son arbre et deux disques excentrées. n note : ω = dα la vitesse de rotation constante de l ensemble 2 ; G 2 le centre d inertie du solide 2 avec AG 2 = c x 2 ; La matrice d inertie de l ensemble 2 s écrit en A dans la base B 2 = ( x2, y 2, z ) 2 : I Ax I A (2) = I Ay I Az Les roues sont en liaison pivot, sans frottement, par rapport à 1. La masse et l inertie des roues sont négligeables. Le moteur applique sur le rotor un couple noté C m = C m z. Le plan ( A, x, y ) est plan de symétrie du système. A B 2 B. Questions Q1. Déterminer la vitesse et l accélération du point G 2, centre de gravité de l ensemble 2, par rapport au repère R. Q2. n modélise l ensemble 2 par : un cylindre de diamètre d 3, de hauteur h 3 et de masse volumique ρ 3 pour le rotor du moteur ; deux disques centrés respectivement en B 1 et B 2 de diamètre d 1, de hauteur h 1 de masse volumique ρ 1 ;

21 1.6 Exercices 19 y 2- rotor y 2 x 2 1- chassis + moule A α x x(t) x FIGURE 1.8 Machine à vibrer le béton - modélisation d1 d2 d3 x 2 B 1 B 2 A 1 A A 2 h 3 h 2 h 1 z y 2 y α AA 2 = AA 1 = a z AB 1 x 2 = AB 2 x 2 = b x 2 x (a) Rotor (b) Paramétrage FIGURE 1.9 Machine à vibrer le béton deux arbres cylindriques centrés respectivement en A 1 et A 2 de diamètre d 2, de hauteur h 2 et de masse volumique ρ 1 reliant le rotor aux disques ; les trois cylindres sont d axe z. Q2a. Justifiez la forme de la matrice d inertie de l ensemble 2. Q2b. Déterminer le moment d inertie de l ensemble 2 par rapport à l axe ( A, z ), en fonction des hi, d i et ρ i. Q3. Déterminer x(t) = f (M 1,M 2,c,ω, t), l équation du mouvement de l ensemble 1, par rapport au repère R. n considérera que le moteur tourne à vitesse constante et qu a l instant t=, x() =. Pour cela : Q3a. Tracer le graphe de structure du mécanisme et établir l inventaire des efforts sur 1 et 2. Q3b. Appliquer le PFD sur l ensemble {1+2}. Q3c. en déduire l équation de mouvement. Limiter l étude aux équations nécessaires pour résoudre le problème posé. Q4. Déterminer l expression du moment du couple moteur C m du stator sur le rotor, en fonction de M 1, M 2, g, ω, c et t. n modélise la liaison en A 1 entre le rotor et le châssis par une liaison sphé-

22 2 1 Dynamique du solide rique et celle en A 2 par une liaison sphère cylindre. Q5. Déterminer les composantes du torseur des actions transmissibles pour les deux liaisons entre l ensemble 1 et l ensemble 2 en A 1 et A 2. Exercice 3- Hydro-nettoyeur d après Centrale TSI99 Corrigé page?? A. Mise en situation paramétrage Le schéma technologique (figure 1.1) représente la pompe hydraulique d un hydro-nettoyeur (figure 1.11). Cet hydro-nettoyeur assure lui-même la production d eau chaude et la mise sous pression de l eau grâce à la pompe hydraulique. La pompe comporte 5 pistons répartis régulièrement. L arbre moteur entraîne dans sa rotation un plateau dont l axe est incliné d un angle α = 1, le mouvement oscillant du plateau entraîne les pistons en translation. Plateau - 2 Arbre - 1 y x, 1 z 1 z y 1 x θ y A Ressort R y, 1 y 1 x, 1 Piston - 3 α x 1 FIGURE 1.1 Schéma technologique R = 18mm, α = 1 masse du piston : m = 1g vitesse de rotation du moteur N = 3tr/min B. Modélisation cinématique Q1. n modélise dans un premier temps la liaison entre le piston et le plateau par une liaison ponctuelle. Q1a. Tracer le graphe de structure du mécanisme pour un seul piston. Q1b. Après avoir donné le degré de mobilité (en détaillant les divers mouvements correspondants), calculer le degré d hyperstatisme du mécanisme.

23 1.6 Exercices 21 n modélise maintenant la liaison entre le piston et le plateau par une liaison cylindre plan plus conforme avec la réalisation réelle. Q2. Le degré de mobilité est-il modifié? Calculer le degré d hyperstatisme. Pourquoi a-t-on réalisé un contact linéaire entre le piston et le plateau? Arbre - 1 Plateau - 2 Piston - 3 Ressort FIGURE 1.11 Hydronettoyeur C. Détermination du ressort de rappel n se propose dans cette partie de déterminer la raideur k minimale pour que le contact soit toujours maintenu entre le piston et le plateau. Pendant la phase de refoulement la pression appliquée sur la face avant du piston est de 1 bar l effort développé par le ressort est négligeable devant les efforts dus à la pression. Pendant la phase d aspiration, on ne prendra en compte que l effort développé par le ressort. Le ressort de raideur k, est écrasé de la valeur e = 2mm lorsque le piston est en position point mort droit (fin de refoulement, début d aspiration). L écrasement total e est supérieur à la course du piston. Le poids des différentes pièces est négligeable devant les autres actions mécaniques. Les liaisons sont supposées parfaites. n supposera dans cette partie que le contact en A est ponctuel. Q3. Étude cinématique préalable Q3a. Justifier que pour le point A, on peut écrire, A = x A x R y et A x, 1 = ; Q3b. En déduire x A = R tanα cosθ ; Q3c. Déterminer V G 3/, la vitesse du centre d inertie G du piston, puis Γ G 3/.

24 22 1 Dynamique du solide Q4. Inventaire des efforts extérieurs au piston Q4a. Écrire le torseur des actions transmissibles par la liaison entre le plateau et le piston en A, d abord dans la base ( x, 1, y, 1, z, ) ( 1 puis dans la base x, y, z ). Écrire le torseur des actions transmissibles par la liaison entre le piston et le bâti. Q4b. Donner l expression de l action exercée par le ressort sur le piston en fonction de k, e, θ, α et les autres paramètres géométriques. Q5. Écrire l équation de la résultante suivant x issue de l application du principe fondamental de la dynamique appliqué au piston. Q6. À quelle condition n y a-t-il pas rupture de contact en A? En déduire la valeur minimale de la raideur k du ressort. Exercice 4- Marche motorisée Corrigé page?? n considère la marche motorisée représentée figure 1.12, cette marche motorisée est utilisée pour permettre à des personnes handicapées de franchir une marche. Pendant la phase de montée, l angle θ évolue de à 9. z y1 G 3 B 1 A 1 B 2 x A 2 y FIGURE 1.12 Schéma cinématique de la marche motorisée Données Les barres A 1 B 1 et A 2 B 2 sont de même longueur l, de masse négligeable. La barre A 1 B 1 est liée à l arbre moteur, la matrice d inertie de l ensemble {arbre moteur ; barre 1} s écrit : A 1 F 1 I A1 (1) = F 1 B 1 C 1 A 1 ( x 1, y 1, z 1 ) n note M 3 la masse totale de l ensemble transporté {plateau + personne}.

25 1.6 Exercices 23 A 1 B 1 = A 2 B 2 = a y 1 ; A 1 A 2 = B 1 B 2 = l y ; B 1 G 3 = d x + l 2 y + h z ; ( y, y ) 1 = θ. Un couple moteur C m est appliqué sur l arbre moteur. Le mouvement est défini par la caractéristique de vitesse figure Le temps T c correspond au temps de cycle pour que θ évolue de θ = à θ = 9. Le temps T a correspond aux phases d accélération et de décélération. θ t T a T T a FIGURE 1.13 Graphe de vitesse A. Étude cinétique Q1. Déterminer V G3 3/ et Γ G3 3/. Q2. Déterminer le torseur cinétique de l ensemble 3. B. Étude dynamique Q3. Tracer le graphe de structure du mécanisme. Q4. Établir l équation différentielle du mouvement, préciser les isolements successifs, n écrire que les équations utiles à la résolution. Q5. Déterminer alors le couple moteur, et tracer l évolution de celui-ci sur le graphe des vitesses. C. Efforts de liaison Q6. Pouvez-vous déterminer tous les efforts de liaisons? Q7. Proposer si nécessaire une modification de la liaison en B Corrigés