Généralités sur les fonctions

Transcription

1 Chapitre A Sommaire I) Vocabulaire II) Courbe représentative III) Variation d une fonction IV) Signe d une fonction A.LAMIDIAUX IUT GEA Amiens

2 Vocabulaire I) Vocabulaire Fonction, Image, Antécédents: Une fonction est un procédé qui à un nombre x appartenant à un ensemble D associe un nombre y. On note : x f y ou encore f : x y ou encore y = f(x). On dit que y est l image de x par la fonction f et que x est un antécédent de y par la fonction f. Soit g la fonction définie par g(x) = x +. L image de 5 est g(5) = 5 + = 8, Les antécédents de 7 vérifient g(x) = 7 c est à dire x + = 7 soit x = ou x =, Il n y a pas d antécédent de car l équation g(x) = n a pas de solution : x + = x =. Ensemble de définition: Pour une fonction f donnée, l ensemble de tous les nombres réels qui ont une image calculable par cette fonction est appelé ensemble de définition de la fonction f, que l on notera D f. La fonction f : x a pour ensemble de définition ] ; [ ] ; + [. x 4 En effet, l expression n a de sens que pour les valeurs de x telles que x 4 0 (car le x 4 dénominateur d une fraction ne peut être égal à 0), c est-à-dire pour x, On dira aussi que est une valeur interdite pour la fonction f. Graphiquement, l ensemble de définition est l intervalle ou la réunion d intervalles sur lequel la courbe existe. II) Courbe représentative Dans tout le reste du chapitre, on munit le plan d un repère (O; i, j). Tableau de valeurs: Pour une fonction f, donnée on peut établir un tableau de valeurs. Dans ce tableau, la première ligne contient des nombres réels x, et la seconde ligne contient leurs images respectives y. Soit la fonction f définie sur par f(x) = x +, on obtient le tableau suivant (grâce par exemple à une x calculatrice) : x 4 0 f(x) 4,5,7,7 A.LAMIDIAUX IUT GEA Amiens

3 Courbe représentative Courbe représentative d une fonction: Dans un tel repère l ensemble des points M de coordonnées (x; f(x)) forme la courbe représentative de la fonction f, souvent notée C f. Méthode pratique : Méthode pour tracer une courbe à partir d une expression : On souhaite tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur par : f(x) = 5x x +. On trace la portion de courbe représentative de f dont les abscisses sont comprises entre et. On commence par compléter un tableau de valeurs : x,5,5 0,5 0 0,5,5 f(x),5,7,,5 0,5, Puis on place les points M(x; f(x)) dans le repère ci-dessous : C f Le point de coordonnées (0; 0,5) n est pas sur la courbe représentative de la fonction f car f(0) = 0,495 0,5. Exercice A On considère la fonction f définie sur l intervalle [ 4; 4] par f : x x 5x +.. Calculer f() et f(). ( ). Calculer f.. Recopier et complétez ce tableau de valeurs. x f(x) 4. Tracer dans un repère, la courbe représentant C f. Unité : en abscisse : cm pour unité, en ordonnée : cm pour 4 unités. ( ) 5. Quelle est la valeur exacte de f +? A.LAMIDIAUX IUT GEA Amiens

4 Courbe représentative Méthode pratique : Méthode pour lire une image ou un antécédent à partir d une courbe : Lire l image d un nombre : Trouver l (les)antécédent(s) d un nombre 4 4 on place x sur l axe des abscisses on se déplace verticalement pour rencontrer C f on lit f(x) sur l axe des ordonnées L image de par f est. on trace une horizontale passant par cette valeur à partir des points d intersection, on se déplace verticalement vers l axe des abscisses pour lire les antécédents Les antécédents de par f sont 0 et 4. Exercice A Le graphique suivant représente une fonction f. Répondre graphiquement aux questions suivantes :. Quel est l ensemble de définition de la fonction f?. Quelle est l image de?. Quels sont les éventuels antécédents de? 4. Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) > 4,5? 5. Parmi les trois propositions suivantes, laquelle peut correspondre à la courbe donnée? (a) f(x) = x (b) f(x) = 8 x + 4 (c) f(x) = x J 0 x I O Exercice A Soit f la fonction définie pour tous les nombres réels x par f(x) = x. Calculer f( 4) et f( ).. Calculer, s ils existent, les antécédents de.. On note C f la représentation graphique de f.le point B( 4; 8) est-il un point de C f? Justifier. 4. Quelle est l ordonnée du point C de C f d abscisse? Justifier. A.LAMIDIAUX 4 IUT GEA Amiens

5 Variation d une fonction III) Variation d une fonction Fonction croissante et décroissante: On dit que la fonction f est croissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x et x dans I tels que x x, on a f(x ) f(x ). Autrement dit, les images de x et de x sont rangées dans le même ordre que x et x. On dit que la fonction f est décroissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x et x dans I tels que x x, on a f(x ) f(x ). Autrement dit, les images de x et de x sont rangées dans l ordre inverse de x et x. fonction croissante sur son ensemble de définition fonction décroissante sur son ensemble de définition Exercice A4 Par lecture graphique, donner les variations de cette fonction. C f Tableau de variation: Généralement, on résume les résultats sur les variations d une fonction dans un tableau de variations. Pour le fonction de l exercice précédent, le tableau de variation serait : x f - - A.LAMIDIAUX 5 IUT GEA Amiens

6 Signe d une fonction Maximum, minimum: On dit que la fonction f admet un maximum M [resp. minimum m] sur un intervalle I, atteint en x 0 si, quel que soit le réel x dans I, on a f(x) f(x 0 ) = M [resp. f(x) f(x 0 ) = m]. Sur l exemple précédent, Le maximum de f sur [ 5; 7] est M = 4, atteint pour x = 5 et x =. Le minimum de f sur [ 5; 7] est m =, atteint pour x = 5. Remarque: Attention, la valeur d un extremum dépend de l intervalle! Par exemple, le minimum de f sur [ 5; ] est m =, atteint pour x =. Exercice A5 On donne ci-dessous le tableau de variations d une fonction f définie sur [ 5; 7]. x variations de f. Décrire les variations de la fonction f.. Comparer en justifiant f(0) et f().. Quel est le minimum de la fonction f sur [; 7]? Où est-il atteint? 4. Dessiner une courbe possible pour cette fonction. Exercice A6 Soit f la fonction définie sur [ - ; 5 ] par : f(x) = x + x +. Calculer l image de 0, l image de et l image de par la fonction f.. Déterminer le (ou les) antécédent(s) de par f.. Au vu de la calculatrice : (a) Conjecturer le (ou les) antécédent(s) de par f, en donner des valeurs approchées. (b) Conjecturer le tableau de variations de f. 4. (a) Développer 4 (x ) (b) En déduire le (ou les) antécédent (s) de 0 par f. (c) Prouver que la fonction f admet un maximum en valant 4. IV) Signe d une fonction tableau de signes: On réuni au sein d un tableau appelé tableau de signes les informations concernant le signe de la fonction f, c est à dire sa position par rapport à l axe des abscisses A.LAMIDIAUX 6 IUT GEA Amiens

7 Signe d une fonction Le tableau de signes de la fonction f est : x f(x) A.LAMIDIAUX 7 IUT GEA Amiens