DS 1 24 SEPTEMBRE 2015

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1 DS 1 24 SEPTEMBRE 2015 Durée : 2h Avec Calculatrice NOM : Prénom : La notation tiendra compte de la présentation, ainsi que de la précision de la rédaction et de l argumentation. Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Bilan Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 / 30 / 8 / 4 / 6 / 3 / 9 Lien entre l allure de la courbe et signe de a et du discriminant Utiliser la orme canonique d'un polynôme du second degré pour connaitre ses variations, son extremum Déterminer la orme actorisée d'un polynôme du second degré Résoudre une équation du second degré Acquis + ou - Non acquis Non ait Exercice 1-8 points - est une onction polynôme du second degré déinie sur R par (x) = ax 2 + bx + c (avec a 0) Dans chacun des cas suivants, préciser le signe de a et indiquer si le discriminant est négati, positi ou nul. (Justiier) 1. La parabole ci-contre est la courbe représentative de la onction 2. La parabole ci-contre est la courbe représentative de la onction 3. Le tableau des variations de est x Le tableau des variations de est x 3 + 1

2 Exercice 2-4 points - 1. Déterminer le tableau de variation de la onction déinie sur IR par : (x) = 2(x 3)² 5 2. Déterminer le tableau de variation de la onction déinie sur IR par : (x) = 3x 2 2x + 1 Exercice 3-6 points - Résoudre dans R les équations suivantes : a) b) c) 3x² = 2 x 2x² 3x + 2 = x² 3x = 0 Exercice 4-3 points - Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la parabole P d'équation y = 2x² + x 1 avec la droite D d'équation y = 4x + 1. Exercice 5-9 points - Une entreprise abrique un produit dont le coût de production mensuel en euros est modélisé par : C(x) = 0,02x² + 37,5x où x est le nombre d'unités produites mensuellement et x dans l'intervalle ]0;1300]. Pour éviter de se retrouver avec un stock important, l'entreprise ajuste son prix de vente en onction de la quantité produite. Le prix de vente unitaire en euros en onction de x, est P(x) = 100 0,03x. On suppose que l'ajustement du prix de vente unitaire permet d'écouler toute la production et on note R(x) la recette mensuelle générée par la production et la vente de x produits. Les onctions coût et recette sont représentées ci-dessous dans un repère orthogonal. On cherche à déterminer la quantité que l'entreprise devrait produire mensuellement pour maximiser son proit. 1. Montrer que le bénéice B est donné par B(x) = 0,05x² + 62,5x Déterminer graphiquement puis par le calcul, les valeurs de x pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéice nul. 3. Étudier les variations de la onction B. En déduire la quantité x que l'entreprise doit produire mensuellement pour maximiser son proit. Quel est le montant du proit maximum?

3 DS 1 24 SEPTEMBRE 2015 Durée : 2h Avec Calculatrice NOM : Prénom : La notation tiendra compte de la présentation, ainsi que de la précision de la rédaction et de l argumentation. Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Bilan Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 / 30 / 8 / 4 / 6 / 4 / 8 Lien entre l allure de la courbe et signe de a et du discriminant Utiliser la orme canonique d'un polynôme du second degré pour connaitre ses variations, son extremum Déterminer la orme actorisée d'un polynôme du second degré Résoudre une équation du second degré Acquis + ou - Non acquis Non ait Exercice 1-8 points - est une onction polynôme du second degré déinie sur R par (x) = ax 2 + bx + c (avec a 0) Dans chacun des cas suivants, préciser le signe de a et indiquer si le discriminant est négati, positi ou nul. (Justiier) 1. La parabole ci-contre est la courbe représentative de la onction La parabole est "tournée vers le haut", donc a>0. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points donc l'équation (x)=0 admet deux solutions d'où Δ>0. Donc a>0 et Δ>0 2. La parabole ci-contre est la courbe représentative de la onction La parabole est "tournée vers le bas ", donc a<0. La parabole est tangente à l'axe des abscisses donc l'équation (x)=0 admet une solution d'où Δ=0. Donc a<0 et Δ=0 3. Le tableau des variations de est La onction admet un minimum, donc a>0 Le minimum de la onction est négati donc l'équation (x)=0 admet deux solutions d'où Δ>0. Donc a>0 et Δ>0 4. Le tableau des variations de est La onction admet un maximum, donc a<0. Le maximum de la onction est négati donc l'équation (x)=0 n'a pas de solution d'où Δ<0. Donc a<0 et Δ<0 x 3 + x

4 Exercice 2-4 points - Déterminer le tableau de variation de la onction déinie sur IR par : (x) = 2(x 3)² 5 La orme canonique est (x )² + γ. Alors = 2 (négati) donc la parabole est tournée vers le bas = 3 et γ = 5 Déterminer le tableau de variation de la onction déinie sur IR par : (x) = 3x 2 2x on a : a = 3 ; b = 2 ; et c = 1 - on calcule b = 2 = 1 2a on calcule ( b ) = ( 1 ) = 3 2a 3 (1 3 ) = = = = = Comme a > 0 alors : Exercice 3-6 points - Résoudre dans R les équations suivantes : a) b) c) 3x² = 2 x 2x² 3x + 2 = x² 3x = 0 a) 3x² = 2 x. Pour tout réel x, 3x² = 2 x 3x² + x 2 = 0 Cherchons les solutions de l'équation 3x² + x 2 = 0 avec a = 3, b = 1 et c = 2. Le discriminant du trinôme est Δ = b 2 4ac = 1² 4 3 ( 2) = 25 Comme Δ>0 donc l'équation a deux solutions : b Δ 1 25 x 1 = = 2a 2 3 b + Δ x 2 = = 2a 2 3 = = = 6 6 = 1 = 4 6 = 2 3 L'ensemble des solutions de l'équation est S = { 1; 2 3 } b) 2x² 3x + 2 = 0. Cherchons les solutions de l'équation 2x² 3x + 2 = 0 avec a = 2, b = 3 et c = 2. Le discriminant du trinôme est Δ = b 2 4ac = ( 3) = 9 16 = 7 Comme Δ<0 Donc l'équation n'a pas de solution S =

5 c) 1 + x² 3x = 0. Cherchons les solutions de l'équation 2x² 3x + 1 = 0 avec a = 1, b = 3 et c = 1. Le discriminant du trinôme est Δ = b 2 4ac = ( 3) = 9 4 = 5 Comme Δ>0 donc l'équation a deux solutions : b Δ ( 3) 5 x 1 = = = 3 5 2a b + Δ ( 3) + 5 x 2 = = = a L'ensemble des solutions de l'équation est S = { ; } Exercice 4-4 points - Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la parabole P d'équation y = 2x² + x 1 avec la droite D d'équation y = 4x + 1. Les abscisses des points d'intersection de la parabole P avec la droite D sont solutions de l'équation 2x 2 + x 1 = 4x + 1 2x² 3x 2 = 0 Cherchons les solutions de l'équation 2x² 3x 2 = 0 avec a = 2, b = 3 et c = 2. Le discriminant du trinôme est Δ = b 2 4ac = ( 3) ( 2) = = 25 Comme Δ>0 donc l'équation a deux solutions : b Δ ( 3) 25 x 1 = = = 3 5 = 2 2a = 1 2 b + Δ ( 3) + 25 x 2 = = = = 8 2a = 2 Les coordonnées des points d'intersection vériient l'équation de la droite D d'où : y 1 = 4x soit y 1 = 4 ( 1 ) + 1 = = 1 2 y 2 = 4x soit y 2 = = = 9 La parabole P coupe la droite D en deux points de coordonnées ( 1 ; 1) et (2; 9) 2 Exercice 5-8 points - Une entreprise abrique un produit dont le coût de production mensuel en euros est modélisé par: C(x) = 0, 02x² + 37, 5x où x est le nombre d'unités produites mensuellement et x dans l'intervalle ]0;1300]. Pour éviter de se retrouver avec un stock important, l'entreprise ajuste son prix de vente en onction de la quantité produite. Le prix de vente unitaire en euros en onction de x, est P(x) = 100 0, 03x. On suppose que l'ajustement du prix de vente unitaire permet d'écouler toute la production et on note R(x) la recette mensuelle générée par la production et la vente de x produits. Les onctions coût et recette sont représentées ci-dessous dans un repère orthogonal.

6 On cherche à déterminer la quantité que l'entreprise devrait produire mensuellement pour maximiser son proit. 1. Montrer que le bénéice B est donné par B(x) = 0, 05x² + 62, 5x Sur l'intervalle ]0;1300], B(x) = R(x) C(x). Or Recette = Nombre d'articles vendus Prix de vente unitaire D'où une recette : R(x) = x(100 0,03x) Donc B(x) = x(100 0,03x) (0,02x ,5x ) = 100x 0,03x 2 0,02x 2 37,5x 3000 = 0,05x² + 62,5x 3000 Le bénéice est la onction B déinie sur ]0;1300] par B(x) = 0,05x² + 62,5x Déterminer graphiquement puis par le calcul, les valeurs de x pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéice nul. Graphiquement, l'entreprise réalise un bénéice nul pour les abscisses des points d intersection de la courbe recette et de la courbe coût. On trouve 50 et 1200 articles Soit pour x ]50;1200[ L'entreprise réalise un proit pour x solution de B(x) = 0 0,05x² + 62,5x 3000 = 0 Le polynôme du second degré 0,05x² + 62,5x 3000 avec a = 0,05, b = 62,5 et c = Le discriminant du trinôme est Δ = b² 4ac = 62,5² 4 ( 0,05) ( 3000) = 3306,25 Comme Δ > 0 donc le trinôme a deux racines : b Δ 62,5 3306,25 62,5 57,5 x 1 = = = 2a 2 ( 0,05) 0,1 x 2 = b + Δ 2a = 62, ,25 2 ( 0,05) = 62,5 + 57,5 0,1 = 1200 = 50 Donc l entreprise réalise un bénéice nul pour 50 et 1200 articles produits. 3. Étudier les variations de la onction B. En déduire la quantité x que l'entreprise doit produire mensuellement pour maximiser son proit. Quel est le montant du proit maximum? Les variations de la onction B se déduisent des variations de la onction polynôme du second degré : x 0,05x² + 62,5x 3000 sur l'intervalle ]0;1300]. Comme le coeicient a<0, alors cette onction admet un maximum atteint pour x = b 2a = 62,5 2 ( 0,05) = 62,5 0,1 = 625 D'autre part, B(625) = 0, , = 16531,25 Tableau de variation de la onction B : x ,25 Variations de B Pour une production de 625 articles, le bénéice maximum est de ,25.