Chapitre XII Loi Normale

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1 Chapitre XII Loi Normale Etrait du programme : I Loi normale centrée réduite Définition et représentation graphique L observation de représentations graphiques de certaines lois binomiales conduit à une nouvelle loi appelée loi normale centrée réduite. Définition La loi normale centrée réduite notée N (; ) est la loi continue aant pour densité de probabilité la fonction f définie sur R par : f () = e

2 Représentation graphique :.5 Ai r e = La courbe représentative de f dans un repère orthogonal est une courbe «en cloche», smétrique par rapport à l ae des ordonnées et appelée courbe de Gauss. Premières propriétés Propriétés : Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite :. f est continue donc si c d alors P(c X d) = d c f e d +. L aire totale sous la courbe est égale à ; elle représentera la probabilité P (X ] ;+ [) 3. La courbe étant smétrique par rapport à l ae des ordonnées, on a donc : P(X ) =,5 4. Pour les mêmes raisons de smétrie, pour tout réel u : P(X u) = P(X u) = P(X u) P(X u) P(X u) u u 5. Le fait d avoir centré et réduit nous permet d avoir une variable X telle que : E(X ) = et (X ) = (c est pourquoi on la note N (,)) Démonstration : (de la propriété de l espérance) Par définition : E(X ) = lim t e t dt + lim + Or Donc t e t dt = lim + De même, lim et donc E(X ) = t e t dt = t e t dt = t e t dt = [ e t t e t dt ] = ( e ) Remarque : On ne connait cependant pas la primitive de la fonction f, on ne pourra donc pas calculer de façon eacte la probabilité. On se servira de la calculatrice pour en déterminer une valeur approchée. Théorème : Si X est une variable aléatoire qui suit une loi normale N (;) alors pour tout α ];[, il eiste un unique réel positif u α tel que P( u α X u α ) = α CQFD

3 Démonstration : (A savoir pour le BAC) Par smétrie de la courbe P( u X u) = P( X u) = Ainsi H () = f () > La fonction H est donc continue et strictement croissante sur ];+ [ u f (t) dt = H(u) où H est une primitive de f qui s annule en. De plus, lim H(u) = puisque cela correspond à l aire sous la courbe pour u [;+ [, c est-à-dire à u + P(X ). On obtient alors le tableau de variation suivant de la fonction H : t H + Pour tout réel ];[, on a α ];[ Donc d après le corollaire du TVI, il eiste un unique réel u α ];+ [ tel que H(u α ) = α, c est-à-dire que P( u α X u α ) = α. CQFD Cas particuliers à connaitre : P(u,5 ),96 et P(u, ),58 C est-à-dire : P(,96 X,96),95 et P(,58 X,58),99) Ai r e =,95 Ai r e =,99,96,96,58,58 Point méthode 67 : Calculer avec la loi normale centrée réduite On connait les bornes, on veut trouver la probabilité Soit T une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite.. Calculer : (a) P(,96 T,96) (b) P(T ) (c) P(T,5). On note A l événement «X >,38»et B l événement «X <,». Calculer P A (B) Solution : Pour cela, il faut utiliser la calculatrice. La commande cherchée est accessible par : nd - var - nor malfrep - Il a 4 arguments à entrer (en fait, avec la loi normal centrée réduite, on pourrait se passer des derniers) : 3

4 Point méthode 67 : (suite) ➀ la borne inférieur de l encadrement ➁ la borne supérieur de l encadrement ➂ l espérance de la loi (ici ) ➃ l écart-tpe de la loi (ici ). On retrouve le résultat du cours : P(,96 T,96),95 pas de justifications nécessaires. Quand il manque une borne, on peut la remplacer par 99 ou 99. P(T ),843 (on a rentré les arguments 99,,,) 3. P(T,5),38 (On a rentré les arguments.5, 99,,) P(T >,38 et T <,) P(,38 < T <,) 4. P A (B) = =,763 P(T >,38) P(T >,38) Point méthode 68 : Résoudre des équations avec la loi normale centrée réduite On connait la probabilité, on veut trouver les bornes La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite. En utilisant la calculatrice, déterminer des valeurs approchées au millième le plus proche des résultats suivants :. Le réel b tel que P(X b) =,4856. Le réel c tel que P(X > c) =, le réel a tel que P( a X a) =,846 Solution : pour résoudre ce tpe de problème, on utilise la calculatrice avec le chemin : nde- var - 3 F r acnor mal e suivi de 3 arguments (là encore les derniers ne sont pas obligatoires avec la loi normale centrée réduite) : ➀ La valeur de la proba (ou de l aire) ➁ L espérance de la loi (ici ) ➂ L écart-tpe de la loi (ici ) Attention, cette fonctionnalité ne convient que pour les recherches du tpe : P(X a). Il faudra utiliser les propriétés de smétries de la courbe pour se ramener à un tel format.. P(X b) =, 4856 pour b, 36 (On a écrit Fracnormale(.4856,,)). P(X > c) =,347 P(X c) =,347 P(X c) =,7653 Vrai pour c, Par smétrie, P( a X a) = P(X a) un petit dessin aide bien!! Donc P( a X a) =,846 P(X a) =,846 P(X a),769 On trouve a,46 et donc a,46. 4

5 II Approimation de la loi binomiale Définition Lorsqu une variable aléatoire X a pour espérance et pour écart-tpe (non nul), la variable aléatoire Z = X.4 est n = 3p =,4.3 appelée variable aléatoire centrée réduite associée à X, son espérance est et son écart-tpe vaut.. ( ) X En effet, E(Z ) = E = (E(X ) ) = ( ) = ( ) X et V (Z ) = V = V (X ) = = 5 5 Théorème de Moivre-Laplace (admis) Pour tout entier naturel n, on note X n une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n; p) et Z n = X n np np( p) la variable aléatoire centrée réduite associée à X n. b Alors pour tous réels a et b tels que a < b : lim P(a Z n b) = e d n + a Remarque : Ce théorème justifie que sous certaines conditions sur les paramètres n et p, la probabilité d un événement associé à la loi binomiale peut -être approchée par la probabilité d un événement associé à la loi normale centrée réduite. En pratique, il faut n 3, (np 5 et n( p) 5 X 3 Eemple : X B(5;,6) alors Z = peut être assimilée à une loi N (;). 6,6,4 III Loi normale N (; ) Définition et propriétés Définition 3 Dire qu une variable aléatoire X suit une loi normale N (; ), signifie que la variable aléatoire Z = X suit la loi normale centrée réduite N (;). Propriété Si une variable aléatoire suit une loi normale N (; ), alors son espérance est, sa variance est et son écart-tpe est. Propriétés graphiques La courbe représentative de la fonction densité de la loi N (; ) est smétrique par rapport à la droite d équation = petit L écart-tpe a une influence sur la forme de la «cloche» : plus est petit, plus la cloche est haute, et plus les valeurs prises sont proches de l espérance. grand Remarque : Comme pour la loi normale centrée réduite, du fait de la smétrie de la courbe par rapport à =, on a P(X ) = P(X ) =,5 5

6 Propriétés : Intervalles «un, deu, trois sigmas» Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale N (; ), on a : P( X + ),683 P( X + ),954 P( 3 X + 3),997 68,3% 95,4% 99,7% Utilisation de la calculatrice - Points Méthodes Point méthode 69 : Calculer une probabilité avec N (; ) On connait et On connait les bornes de l intervalle On cherche la probabilité Les températures du mois de juillet autour du lac Léman suivent la loi normale d espérance 8, C et d écart-tpe 3,6 C. Une personne part camper en juillet sur le pourtour du lac Léman. Quelle est la probabilité que la température un jour de juillet :. Soit inférieure à 6 C?. Soit comprise entre C et 4,5 C? 3. Soit supérieure à C? Solution : On utilise la même technique que pour la loi normale centrée réduite Pour calculer P(a X b) où X suit la loi normale N (; ) on tape : NormalFrep(a;b;;). Appelons X la variable aléatoire indiquant les températures autour du Lac Léman en juillet. P(X 6),7 (Ici on a pris 99 comme borne inférieure). P( X 4,5),68 3. P(X ),8 (Ici on a pris 99 comme borne supérieure) 6

7 Point méthode 7 :Résoudre une équation donnant une probabilité avec une loi normale On connait et On connait la probabilité On cherche les bornes de l intervalle On admet que le temps passé en heure, chaque jour devant la télévision définit une variable aléatoire X suivant la loi normale de moenne 3 heures avec un écart-tpe de 45 minutes. Déterminer les trois nombres Q, Q et Q3 définis par : (a) P(X < Q) = 4 (b) P(Q < X < Q) = 4 (c) P(X > Q3) = 4 Solution : Comme pour la loi normale centrée réduite, pour déterminer a tel que p(x a) = p, p étant connu et X suivant une loi normale N (; ) on tape : 3Fracnormale(p;;). Là encore, seul le X a est possible, il faudra utiliser la smétrie de la courbe autour de pour transformer certaines epressions.. P(X < Q) = pour Q,5 soit environ h3 (On a tapé Fracnormale(.5,3,.75)) 4. P(Q < X < Q) = 4 et P(X < Q) = 4 ainsi, P(X < Q) = = alors Q = = 3 3. P(X > Q3) = 4 donc P(X Q3) = 3, et on trouve Q3=3,5 soit 3h3. (On a tapé Fracnormale(.75,3,.75)) 4 Point méthode 7 :Calculer une espérance ou un écart-tpe avec une loi normale On connait soit, soit mais pas les On connait la probabilité On connait les bornes On cherche soit, soit Lors d un test de connaissance, 7% des individus ont un score inférieur à 6 points. De plus, les résultats suivent une loi normale d écart-tpe. Calculer l espérance de cette loi normale. Solution : Dans ce genre de problème, il faut toujours se ramener à la loi normale centrée réduite, car on connait la valeur de son espérance et de son écart-tpe. Il faut penser à centrer et réduire de chaque côté de l inéquation. On doit commencer par traduire l énoncé sous forme de probabilité : On sait que si X est la variable aléatoire donnant le score au test, X suit une loi normale N (; ), et P(X < 6) =,7. P(X < 6) =,7 ( X P P < 6 ( Z < 6 ) =,7 On centre et on réduit ) =,7 où Z N (;) P (Z < a) =,7 où a = 6 Ce qui est vrai pour a,54 On a utilisé Fracnormale(.7,,) car il s agit de N (;) ainsi 6,54 On résout pour trouver 6, 48 49, 5 L espérance de cette loi est donc d environ 5 points. 7