Droites remarquables. Objectifs du chapitre. Énigme du chapitre.

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1 Droites remarquables H P T R E 11 Énigme du chapitre. Soit (d ) une droite du plan et un point n appartenant pas à la droite (d ). (d ) Objectifs du chapitre. dditionner et soustraire deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont les mêmes *et dans le cas où le dénominateur de l un est multiple de l autre. *Effectuer le produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire ou décimale, le cas d entiers étant inclus. Où faut-il placer les points et sur la droite (d ) pour que le triangle soit équilatéral? Détailler la construction.

2 / Médiatrices d un triangle ctivité. onstruire le centre circonscrit d un triangle Partie : Expérimentation 1. onstruire un triangle dont les côtés ont pour longueurs 12 cm, 9 cm et 10 cm. 2. onstruire les médiatrices de deux côtés. Noter O leur point d intersection. 3. onstruire le cercle de centre O passant par l un des sommets. Que constate-t-on? 4. onstruire la médiatrice du troisième côté. Que constate-t-on? Partie : Démonstration Sur la figure ci-dessous, les médiatrices des segments [] et [] se coupent en O. O 1. Recopier et compléter en justifiant : (a) «O appartient à la médiatrice de [] donc O = : : :» ; (b) «O appartient à la médiatrice de [] donc : : :.» 2. Expliquer alors pourquoi : (a) le cercle de centre O passant par passe aussi par et ; (b) le point O appartient à la médiatrice de []. Propriétés Les médiatrices des trois côtés d un triangle se coupent en un même point : on dit qu elles sont concourrantes. e point commun est le centre d un cercle passant par les trois sommets du triangle. On dit que ce cercel est le cercle circonscrit au triangle.

3 O O Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle. Faire les exercices F 5 F

4 / Hauteurs d un triangle ctivité. Hauteurs d un triangle 1. onstruire un triangle tel que = 6 cm, = 8 cm et = 12 cm. 2. Dans un triangle, on dit que (T ) est une hauteur du triangle issue du point si T 2 [] et (T ) est perpendiculaire à () (cette droite passe donc par le sommet du triangle). onstruire la hauteur issue de et la hauteur issue de. On note H leur point d intersection. 3. Que peut-on conjecturer pour la droite (H)? Définition Une hauteur d un triangle est une droite qui passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé. Exemple (P ) est la hauteur issue de ou relative à []. P est le pied de lahauteur. Le terme hauteur désignera aussi bien la droite (P ), le segment [P ] ou la longueur P. P Propriétés Les trois hauteurs d un triangle sont concourrantes en un point H. On dit que ce point commun H est l orthocentre du triangle. H Faire les exercices F 10 F Le point H est l orthocentre du triangle

5 / Médianes d un triangle ctivité. Médiatrices d un triangle 1. onstruire un triangle tel que = 14 cm, = 12 cm et = 10 cm. 2. Dans un triangle, on dit que () est une médiane issue du point si est le milieu de [] (cette droite passe par le sommet du triangle). onstruire la médiane issue du point et la médiane issue du point. On note G leur point d intersection. 3. Que peut-on conjecturer pour la droite (G)? 4. Placer les milieux respectifs 0, 0, 0 de [], [], []. Mesurer les longueurs G, G 0, G, G 0, G et G 0. Quelle remarque peut-on faire? Définition Une médiane d un triangle est un droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé. Médiane issue du point. Propriétés 1. Les trois médianes d un triangle sont concourrantes en un pont G. 2. On dit que ce point commun G est le centre de gravité du triangle. G Le point G est le centre de gravité du triangle.

6 Remarques On a les égalités de longueurs suivantes : G = 2 3 G = 2 3 G = 2 3 Faire les exercices F 15 F Problèmes : Faire les exercices 16 F 17 F 18 F 19 F 20 F

7 V/ Une activité TE pour les droites remarquables ctivité D. Droites remarquables dans un triangle, TE GeoGebra 1. Placer trois points, et. 2. onstruire le triangle. 3. onstruction du cercle circonscrit (a) onstruire la médiatrice de chacun des côtés. (b) Mettre en rouge les médiatrices (on pourra utiliser le menu «Propriétés» pour changer de couleurs). (c) (d) onstruire le point d intersection de deux médiatrices. ppeler O ce point d intersection. onstruire le cercle de centre O et de rayon O. (e) On pourra bouger les points, et pour observer les changements. 4. onstruction des hauteurs (a) onstruire les hauteurs du triangle issue du point, et. (b) Mettre les hauteurs en couleur bleue. (c) onstruire le point d intersection de deux hauteurs. ppeler ce point d intersection le point H. (d) On pourra bouger les points, et pour observer les changements. 5. onstruction des médianes (a) (b) onstruire, et les milieux respectifs des segments [], [] et []. onstruire les médianes du triangle. (c) olorier en vert les médianes du triangle. (d) onstruire G leur point d intersection. 6. onstruire en pointillé la droite (OG), quelel conjecture peut-on faire?