Devoir commun de seconde de mathématiques

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1 1 Devoir commun de seconde de mathématiques Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. La qualité de la rédaction et le soin apporté à la copie seront pris en compte dans l évaluation de façon significative. L énoncé sera rendu obligatoirement avec la copie. Nom :... Classe :... Exercice 1 [5 points] 1. Introduction Pour mesurer les températures, on utilise en France le degré Celsius. Il existe aussi le degré Fahrenheit utilisé aux États-Unis. On passe du degré Celsius au degré Fahrenheit en multipliant la température en degré Celsius par 1,8 puis en ajoutant 32. (a) Vérifier que 10 degrés Celsius correspondent à 50 degrés Fahrenheit. Combien de degrés Fahrenheit valent 100 degrés Celsius? (b) Combien de degrés Celsius valent 59 degrés Fahrenheit? 2. Fonction affine Soit f la fonction définie par f (x) = 1,8x (a) Déterminer l image de 20 par f. (b) Tracer en bleu dans le repère ci -dessous la représentation graphique de cette fonction affine. (c) Tracer en vert la droite d équation y = x. (d) Donner graphiquement puis par le calcul l antécédent de 64,4. Traduire en température.

2 2 Degré Fahrenheit Degré Celsius Application 50 Pour ces trois questions, expliquer votre démarche ( graphique, calcul,essais...) en essayant d être le plus précis possible. (a) À partir de quelle température Celsius a-t-on une température Fahrenheit positive? (b) Existe-t-il une température qui soit la même en degrés Celsius et en degrés Fahrenheit? (c) Sur un site internet on trouve l affirmation suivante : "Une différence d un degré Celsius est égale à une différence de 9/5 de degré Fahrenheit." Cette affirmation est-elle vraie ou fausse? justifier. Que représente ce 9/5?

3 3 Exercice 2 [5 points] La courbe ci-dessus représente la fonction f définie sur [ 1;4] par f (x) = 4x 2 12x Déterminer l image de -1 par f. ( 2. (a) Montrer que f (x) = 4 x ) (b) Quel est le minimum de f? En quelle valeur est-il atteint? (c) En déduire le tableau de variation de f sur [ 1 ; 4]. On donne : f (4) = 9. ( 3. (a) Montrer que f (x) = 4 x 3 )( x + 1 ). 2 2 (b) Résoudre f (x) = Résoudre f (x) = 7 ou 16 (?) ou tableau de variation en limitant f définie sur [-1 ;4] Exercice 3 [5 points] Partie A On considère l algorithme suivant. Variables : a est un nombre entier b est un nombre entier i est un nombre entier Traitement : POUR i allant de 1 à 10 : a est un entier aléatoire compris entre 1 et 6 b est un entier aléatoire compris entre 1 et 6 afficher a b Fin du POUR 1. Que fait cet algorithme? Quel est le rôle de la variable i? 2. Recopier et modifier cet algorithme pour qu il affiche 20 fois la somme de deux nombres compris entre 1 et 6 choisis aléatoirement. 3. Un ordinateur a exécuté l algorithme modifié. Les résultats obtenus sont les suivants : 7,7,7,6,5,5,5,4,7,11,8,4,3,10,9,10,6,2,10,5 Quelle est la fréquence de 7? (Donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible.)

4 4 Partie B Un joueur lance successivement deux dés parfaitement équilibrés, puis note la somme des faces obtenues. 1. Compléter le tableau suivant en indiquant la somme des deux dés. dé dé Calculer la probabilité d obtenir une somme égale à Quelle est la somme la plus probable? 4. Soient A l événement «la somme obtenue est supérieure ou égale à 5» et B l événement «la somme obtenue est paire». (a) Calculer p(a) et p(b). (b) Décrire par une phrase l événement A puis calculer sa probabilité. (c) Décrire par une phrase l événement A B puis calculer sa probabilité. (d) Calculer p(a B). Exercice 4 [5 points] Le plan est muni d un repère orthonormal ( ) O ; i ; j. On considère les points A( 3 ; 0), B( 1 ; 2 3) et D(5 ; 0). Ces points sont placés sur la figure donnée en annexe. On donne les distances AB = 4 et AD = Calculer la distance BD. 2. Montrer que le triangle ABD est rectangle. 3. Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AD]. Placer I sur la figure donnée en annexe. 4. Construire le cercle C de centre I et passant par A. Pourquoi C passe-t-il aussi par B et D? 5. Déterminer les coordonnées du point C vérifiant AI = BC. Placer C sur la figure. 6. Placer le point E tel que B A + BD = BE, puis le point F tel que C F = 2 B A. 7. Montrer que le triangle AI B est équilatéral. Déterminer son aire. Question bonus Quelle est la nature du polygone ABC DEF? Déterminer son aire.

5 5 ANNEXE 5 B A D