Énoncés des exercices

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1 Énoncés Énoncés des exercices Exercice [ Indication ] [ Correction ] Soit n un entier naturel. Calculer les sommes : A = C 0 n + C n + + p C p n +. B = C n + C 3 n + + p C p+ n +. Exercice [ Indication ] [ Correction ] Soit n un entier naturel non nul. Calculer A = C n + C n + + nc n n = n On donnera trois méthodes différentes! kc k n. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit n un entier naturel non nul. Calculer B = C 0 n + C n + 3 C n + + n + C n n = n On donnera deux méthodes différentes! k + C k n. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Pour tout entier naturel n, calculer A = C n + C n + + n C n n = n On donnera deux méthodes différentes! k C k n. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soient n et p deux entiers naturels. Prouver que On donnera trois méthodes différentes! p C n k = C n+ p+. Page Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A. Fichier généré pour Visiteur (), le 4/0/08

2 Indications, résultats Indications ou résultats Indication pour l exercice [ Retour à l énoncé ] On utilise le développement de ( + x) n, avec x = ±. On trouve A = ( ( + ) n + ( ) n) et B = ( ( + ) n ( ) n). Indication pour l exercice [ Retour à l énoncé ] Première méthode : Utiliser kc k n = nc k n. Deuxième méthode : Dériver ( + x) n = n C k n x k. A = n kc k n = Card X (somme étant étendue à toutes les parties X de E.). Mais on peut aussi écrire A = Card X. Indication pour l exercice 3 [ Retour à l énoncé ] Première méthode : Utiliser k + C k n = n + C k+ n+. Deuxième méthode : Intégrer ( + x) n = n C k n x k. Indication pour l exercice 4 [ Retour à l énoncé ] Première méthode : Utiliser k(k )C k n = n(n )C k n. Deuxième méthode : Dériver deux fois ( + x) n = n C k n x k. Indication pour l exercice 5 [ Retour à l énoncé ] Première méthode : Par récurrence sur p, à n fixé. Deuxième méthode : Utiliser C n k = C n+ k+ C n+ k. Soit A l ensemble des parties de {,,..., p + } qui ont n + éléments. Faire un dénombrement des X de A suivant la valeur de max(x). Page Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A. Fichier généré pour Visiteur (), le 4/0/08

3 des exercices Corrigé de l exercice [ Retour à l énoncé ] On utilise le développement de ( + x) n, avec x = ±. On trouve en effet : ( + ) n = n ( ) k C k n = C 0 n + C n + C n + C 3 n + C 4 n + C 5 n + = A + B De même, ( ) n = A B. On en déduit : A = ( ( + ) n + ( ) n) et B = ( ( + ) n ( ) n). Corrigé de l exercice [ Retour à l énoncé ] Première méthode : On a A = n kc k n. Or kc k n = On en déduit A = n n C k n! (k )!(n k)! n = n n C k n = n n. Deuxième méthode : Pour tout réel x, on sait que ( + x) n = n C k n x k. = nc k n. Si on dérive cette égalité par rapport à x, on trouve : x IR, n( + x) n = n En particulier avec x =, on obtient : C k n n kc k n = n n. kc k n x k. est le nombre de parties à k éléments de E = {,..., n}. Donc A = n Card X (somme étant étendue à toutes les parties X de E.) kc k n = Or quand X décrit P(E), X décrit lui aussi P(E). On peut donc également écrire : A = Card X = (n Card X) = n Card X = n n A. On retrouve donc bien A = n n. Page 3 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A. Fichier généré pour Visiteur (), le 4/0/08

4 Corrigé de l exercice 3 [ Retour à l énoncé ] Première méthode : Comme pour A, on note que (n + )C k n = (k + )C k+ n+ donc Ainsi : B = n k + C k n = n + Deuxième méthode : On intègre l égalité ( + x) n = n On trouve n n + (( + x)n+ ) = n k + C k n = n + C k+ n+. C k+ n+ = n+ C k n+ = n + n + (n+ ) C k n x k entre 0 et x. C k n On donne à x la valeur et on obtient : k + xk+. n k + C k n = n + (n+ ). Corrigé de l exercice 4 [ Retour à l énoncé ] Première méthode : On note que C = n k C k n + n k(k ) C k n = n Comme on l a vu dans l exercice précédent, A = n k C k n + n k C k n = n n. D autre part, pour tout k : k(k )C k n = n(n )C k Donc n k(k ) C k n = n(n ) n C k On en déduit C = n n + n(n ) n = n(n + ) n. Deuxième méthode : On dérive deux fois f(x) = ( + x) n = n C k n x k. f (x) = n( + x) n = n kc k n x k n. k(k ) C k n. n = n(n ) n C k n = n(n ) n. f (x) = n(n )( + x) n = n k(k )C k n x k En particulier, avec x = : f () = n n = n kc k n et f () = n(n ) n = n k(k )C k n. On démarre la deuxième somme à k =. On ajoute les deux sommes et on trouve : C = n k C k n = f () + f () = n n + n(n ) n = n(n + ) n. Page 4 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A. Fichier généré pour Visiteur (), le 4/0/08

5 Corrigé de l exercice 5 [ Retour à l énoncé ] Première méthode On procède par récurrence sur p, à n fixé. On constate que la propriété est vraie si p = n (c est le pas initial.) Supposons qu elle le soit pour un certain entier p n. Alors, au rang p +, on a : p+ C n k = p C n k + C n p+ = C n+ p+ + C n p+ (hypothèse de récurrence) = C n+ p+ (triangle de Pascal) Ce qui prouve la propriété au rang p + et donc achève la récurrence. Deuxième méthode On utilise là encore la propriété qui est à la base du triangle de Pascal. Pour tout entier k > n, on a : C n k = C n+ k+ C n+ p C n k = C n n + p = + p Troisième méthode + + C n k = + p C n+ k+ p + + = + C n+ p+ C n+ n+ = C n+ p+ k. On en déduit : ) ( C n+ k+ C n+ k C n+ k = + p+ + C n+ k p + Soit A l ensemble des parties de {,,..., p + } qui ont n + éléments. On sait que le cardinal de l ensemble A est C n+ p+. Si X est un élément de A, alors max(x) {n +,..., p + }. C n+ k On note A k le sous-ensemble de A formé des parties d élément maximum k +. L ensemble A est la réunion disjointe des A k, pour n k p. Pour former un élément de A k, c est-à-dire une partie X de {,,..., p + } ayant n + éléments et telle que max(x) = k +, il faut bien entendu choisir arbitrairement n éléments parmi {,,..., k}, ce qui peut se faire de C n k façons différentes. Ainsi Card A k = C n k et de plus Card A = p Card A k. On en déduit C n+ p+ = p C n k. Page 5 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A. Fichier généré pour Visiteur (), le 4/0/08