TRIANGLES. La somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés

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1 TRIANGLES Un peu d histoire : VII ème siècle avant notre ère... En Grèce, Thalès est le premier mathématicien à énoncer des résultas généraux concernant les objets mathématiques. Il est principalement intéressé par les figures géométriques : droites, cercles, triangles. Il est le premier à considérer les angles comme la 4ème grandeur mathématique après la longueur, la surface et le volume. Nous lui devons de nombreux résultats de ce chapitre. Un peu plus tard... Pythagore, qui a été l'élève de Thalès pendant quelques années, s'intéresse aux relations qui existent entre les figures géométriques et les nombres. Il fonde l'école pythagoricienne qui va durer 150 années et qui comptera 218 Pythagoriciens. C'est à cette école que l'on doit le premier théorème de ce chapitre : Théorème I) Vocabulaire rappel Définitions : La somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés un triangle ABC est défini par trois points A, B et C non alignés Les sommets du triangle sont les points A, B et C Les côtés du triangle sont les segments [AB], [BC] et [AC] Le sommet opposé au côté [AB] est C Le sommet opposé au côté [AC] est B Le sommet opposé au côté [BC] est A Le segment [AB] est le segment opposé au sommet C Le segment [AC] est le segment opposé au sommet B Le segment [BC] est le segment opposé au sommet A Triangle isocèle Définition : un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur vocabulaire : Le triangle ABC est isocèle ne veut rien dire il faut OBLIGATOIREMENT indique en quel point. ABC est isocèle en en A signifie que les 2 côtés de même longueur sont [AB] et [AC], A s appelle le sommet principal et [BC] est la base Triangle équilatéral Définition : un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même longueur 1/5

2 Triangle rectangle Définition : un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit A hypoténuse B C Vocabulaire le triangle ABC est rectangle en B [BC] s appelle l hypoténuse du triangle ABC, c est le côté opposé à l angle droit II) Construction Il faut faire un dessin à main levée avant de construire un triangle. 1) Construire un triangle connaissant les longueurs des côtés Exemple : Construis le triangle LUN tel que NU = 14 cm ; UL = 13 cm et LN = 11,6 cm. Exercice 1 1)8 Construis le triangle DUO tel que DU = 4,3 cm ; UO = 3,2 cm et OD = 6,5 cm. Si on commence par tracer [OD], combien de solution a-t-on? Comment sont-elles situées par rapport à [DU]. O D 2)9 Construis le triangle UNO isocèle en U avec UN = 8 cm et NO = 3,6 cm. 3)9 Essaie de construire le triangle DOS avec DO = 8 cm, OS = 3,6 cm et DS = 4cm. Quel est le problème? Remarque : 2/5

3 Inégalité triangulaire 1).. Avec des lettres : 2) Cas d égalité : Avec des lettres :. Exercice 2 : Sans faire de dessin, peut-on construire ces trois triangles? a) ABC avec AB = 8cm, AC = 4cm et BC = 5cm. b) DEF avec DE = 2cm, EF = 6cm et DF = 3cm. c) OIJ avec OJ = 4cm, IJ = 6cm et OI = 10cm. 2/5 2) Construire un triangle connaissant un angle et les longueurs de ses côtés adjacents Exemple : Construis un triangle BAS tel que AB = 10,4 cm ; BS = 8 cm et = 99. Exercice 3 1)10 Construis un triangle LET tel que = 55 ; ET = 5 cm et TL = 4,3 cm. 2)11 Construis un triangle SEL tel que SL = 6,4 cm ; = 124 et LE = 7,9 cm. 3) Construire un triangle connaissant deux angles et la longueur de leur côté commun Exemple : Construis le triangle GAZ tel que AZ = 11,2 cm ; = 100 et = 31. Exercice 4 1) Construis le triangle SUD tel que UD = 6 cm ; = 65 ; = 36. 2) Construis le triangle EST tel que ET = 4,6 cm ; = 93 et = 34. 3/5 Exercice 5 : Activité 2 p 110 Du côté des triangles particuliers... Romuald doit construire un triangle IJK rectangle en I, Isabelle un triangle EFG isocèle en F et Eddy un triangle équilatéral QRS. a.. Trace trois figures à main levée pour représenter ces triangles. Code-les.

4 b.. Dans le triangle IJK, quel nom donne-t-on au côté [JK]?. c.. Dans le triangle EFG, quelle est la base? Quel est le sommet principal? Que peut-on dire des côtés [EF] et [GF]? Que peut-on dire des angles et?. d.. Que peut-on dire des côtés du triangle QRS? Et de ses angles? e.. En observant le codage, indique la nature des triangles ci-dessous :. III) Angles dans un triangle - somme Démonstration de la somme des mesures des angles d un triangle. Tracer un triangle ABC quelconque. 1) a) Tracer le symétrique C de C par rapport au milieu I de [AB] b) Justifier l égalité des angles et. 2) a) Tracer le symétrique B de B par rapport au milieu J de [AC] b) Que peut-on dire des angles et. 3) Que peut-on dire des droites (BC) et (AC ) d une part et (AB ) et (BC) d autre part? En déduire le parallélisme des droites (C B ) et (BC). 4) Écrire la mesure de l angle sous la forme de somme des mesures d angles. En déduire la valeur de la somme des mesures des angles d un triangle. Définition : Exercice 6 1) Peut-on construire le triangle DOG avec = 72 ; = 37 et = 73? Justifie ta réponse. 2) Dans le triangle RAT, vaut 34 et l'angle mesure 23. Quelle est la mesure de l'angle? 3) Le triangle BEC est isocèle en B et vaut 107. Quelles sont les mesures des deux autres angles? 4 Quelles sont les mesures IV) Les droites particulières Rappels sur la médiatrice d un segment : Définition La médiatrice d un segment est la droite passant par le milieu du segment perpendiculairement Proriété : longueur Si M est un point de la médiatrice de [AB] alors M est à égale distance des extrémités de [AB] (MA = MB) Proriété : médiatrice Si M est un point à égale distance des extrémités d un segment [AB] alors M est un point de la médiatrice de [AB] Définitions : méthodes de constructions 7 et 8 p 119 1) 2). Exercice 7 : Tracer les hauteurs du triangle MNP et les médianes de ABC 4/5

5 A M B C N P Démonstration cercle circonscrit - Activité 14 p 115 : Un joli cercle d'amis Kévin et Nicolas ont tous les deux leur arbre fétiche nommé K et N sous lequel ils aiment se reposer à l'ombre. Mais ils aiment aussi faire la course en partant chacun de leur arbre. Pour que la course soit équitable, il faut que l'arrivée soit située à la même distance des deux arbres. Construis un point à égale distance des deux arbres K et N et places-y un drapeau. Où placer l'arrivée pour que la course soit la plus courte possible? Si Kévin et Nicolas veulent une course plus longue, où peuvent-ils encore planter le drapeau?.. Quel est l'ensemble des points possibles pour l'arrivée? Trace-le en bleu. Gabin a aussi son arbre G et il aimerait bien jouer avec Nicolas au même jeu. Trace en rouge l'ensemble des points situés à égale distance des arbres de Gabin et de Nicolas.d. Mais Kévin, désormais, s'ennuie. Il propose : «Organisons une course à trois!». Où peuvent-ils planter le drapeau? Pourquoi? e. Yann n'a pas d'arbre à lui mais veut aussi courir avec ses amis. Nicolas est catégorique : «Si tu veux jouer avec nous, ton arbre doit être aussi loin du drapeau que les nôtres!» Place plusieurs points où pourrait être l'arbre de Yann. Trace, au crayon de papier, l'ensemble de ces points. Comment nomme-t-on l ensemble de tous ces points? Propriété (médiatrices d un triangle): Définitions - construction méthode 6 p 118 1) 2) 5/5

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