1-Traces et projecteurs

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1 -Traces et projecteurs Cette partie est essentiellement constituée de questions de cours classiques. n n n n n n. tr (AB) = ( a i,j b i,j ) = a i,j b i,j = b i,j a i,j = tr (BA) i= j= i= j= 2. Soient B et B deux bases de X. Soient Q la matrice de passage de B à B.. On a alors : j= i= T B = Q T B Q En appliquant la question précédente avec A = Q T B et B = Q, on obtient : tr (T B ) = tr (QQ T B ) = tr (T B ). 3. Pour tout x, P (x P (x)) = puisque P 2 = P ce qui prouve que x P (x) N(P ). Comme P (x) est élément de R(P ), on vient de vérifier que X = R(P ) + N(P ). De plus par le théorème du rang : dim X = dim(r(p )) + dim(n(p )) La dimension de la somme des deux sous-espaces étant la somme des dimensions des sousespaces, cette somme est directe. Donc : X = R(P ) N(P ) 4. Soit x appartenant à R(P ). Il existe y tel que x = P (y) aussi P (x) = P (P (y)) = P 2 (y) = P (y) = x Soit r le rang de P. Dans une base B adaptée à la décomposition précédente : Ir P B = donc tr P = r = tr (P B ) = r = rg P 5. On a vu précédemment que si x R(P ),P (x) = x donc P (x) = aussi R(P ) N(P ). Réciproquement, si x est élément de N(P ), P (x) = x donc x R(P ). Aussi R(P ) = N(P ) On vérifie que P est aussi un projecteur : comme P et I commutent, P 2 = (I P ) 2 = I 2P + P 2 = I P En échangeant les rôles de P et de P (puisque P = I P ), on obtient F G X 6. L application de Φ : (x, y) x + y Aussi par le théorème du rang R(P ) = N(P ) est une application linéaire dont l image est F + G. dim(f + G) = dim(f G) dim(ker (Φ)) dim(f G) = dim F + dim G Remarque : on peut aussi exhiber une base génératrice de F +G par concaténation d une base de F et d une base de G.

2 7. Pour ne pas généraliser sans démonstration le résultat précédent à la somme de p sous-espaces (ce qui est dans le cours!!), on procède par récurrence sur le nombre de projecteurs m intervenant dans la somme. Pour m =, S = P donc tr S = rg S aussi tr S N et tr S rg S. m Supposons la propriété vraie à l ordre m. On pose S = P i donc S = S + P m. Par hypothèse de récurrence tr S N et tr S rg S. La trace étant linéaire, tr S = tr S +tr P m N comme somme de deux entiers. De plus, pour tout x de X : S(x) = S (x) + P m (x) donc R(S) R(S ) + R(P m ). En utilisant la question précédente et tr (P m ) = rg (P m ) : rg (S) = dim R(S) rg (S ) + rg (P m ) tr (S ) + tr (P m ) = tr (S) On a donc prouvé par récurrence que pour tout entier naturel m : S = 2-Projecteurs de rang i= m P i = tr S N et tr S rg S On suppose dans cette partie que le rang du projecteur P est égal à. i= 8. Soit f un élément non nul de R(P ) : c est donc une base de R(P ) puisque rg P =. Comme P T (f ) = P (T f ), cet élément appartient à R(P ). Aussi : µ R, P T (f ) = µf Or pour tout x de X, P (x) est colinéaire à f (P (x) = αf ) donc ce qui prouve que : P T P (x) = P T (αf ) = µαf = µp (x) P T P = µp. 9. Comme f est dans R(P ), d après ce qui précède, P (f ) = µf. Comme f P (f ) est élément de N(P ) = Vect(f 2,, f n ), cela justifie la forme de la première colonne de T C, les autres colonnes étant quelconques.. Par définition de P, P C =,n µ L. Si on écrit de la même façon, T n, I C =, un n C B calcul en blocs donne alors : P,n CT C = = P C B CT C P C = Aussi ( ),n n, B P T P = αp P CT C P C = αp C B = αi n On a ainsi vérifié par contraposition que : B n est pas la matrice d une homothétie proportionnel à P si et seulement si P T P n est pas Remarque : il suffisait d une implication donc de montrer que si B = αi n alors P T P = αp. 2

3 3- Endomorphismes différents d une homothétie On suppose dans cette partie que l endomorphisme T n est pas une homothétie.. Prouvons le résultat demandé par contraposition.on suppose que pour tout x, (x, T (x)) est une famille liée ce qui équivaut à dire que pour tout x non nul, il existe α x réel tel que T (x) = α x x. Soit u un vecteur non nul fixé et α = α u. Si x est colinéaire à u, il existe λ tel que x = λu et on a : T (x) = λt (u) = λαu = αx Si x n est pas colinéaire à u, u + x est non nul et on a alors : T (x + u) = T (x) + T (u) = α x x + αu = α x+u (u + x) La famille (u, x) étant libre : α = α x+u = α x ce qui prouve que pour tout x (l égalité étant triviale pour le vecteur nul), T (x) = αx soit T est une homothétie. On a montré : x, (x, T (x)) liés = α, T = αi Par contraposition Si T n est pas une homothétie, il existe un vecteur x X tel que x et T (x) ne soient pas liés. 2. Soit e un élément tel que e et T (e ) ne soient pas colinéaires (un tel vecteur existe par la question précédente). On peut compléter cette famille libre en une base B = (e, T (e ), e 3,, e n ) de X et dans cette base T a la matrice recherchée. 3. Procédons par récurrence. Initialisation : n = 2. On a trouvé dans la question précédente une base B telle que : b T B = a or tr T = a donc a =. La base B convient. Supposons la propriété réalisée à l ordre n.on a montré dans la question précédente l existence d une base B = {e, e 2,..., e n } dans laquelle la matrice T B est de la forme suivante :? x x x T B =. A où A? M n. Comme tr (T) = tr (A), tr (A) =. Si A est de la forme αi n, α = et la base B convient. Sinon soit T l endomorphisme de X = Vect(e 2,, e n ) de matrice A dans la base B = {e 2,, e n }. Cet endomorphisme n est pas une homothétie et est de trace nulle. Par hypothèse de récurrence, il existe une base B = {e 2,, e n} dans laquelle A la matrice de T a une diagonale (principale) de. Soit B = {e, e 2,, e n} base de X. Dans la base B, la matrice de T n a que des sur la diagonale. On peut le montrer matriciellement ou en vectoriellement. 3

4 Méthode matricielle : Soit Q la matrice de passage de B à B, la matrice de passage de B à B est alors Q =. Q et? x x x T B = Q T B Q =. Q. A. Q Soit T B =. Q. Q =. A matrice dont la diagonale est composée d un suivi des éléments diagonaux de A nuls par construction. Méthode vectorielle : Par la matrice précédente, T (e ) X ce qui justifie que dans T B ait un en ligne colonne. Si x X,T (x) = α x e + T (x) ; aussi, la composante de T (e i) sur e i est la même que celle de T (e i) ; elle est donc nulle. Tous les termes diagonaux de T B sont donc nuls. Ainsi Il existe une base dans laquelle la matrice de T n a que des sur sa diagonale. 4. Soit T = T t I. Cet endomorphisme n est ni une homothétie ni l endomorphisme nul puisque T n est pas colinéaire à I. Par la question, il existe B telle que T B = b a où a = tr T = tr T t tr I = (t + t 2 ) 2t = t 2 t d où b t b T B = + t t 2 t I 2 = t 2 5. Par la propriété admise, il existe un projecteur L de X de rang, tel que d une part LT L = t L et d autre part L T L ne soit pas proportionnel à L = I L. Par la question 9, dans une base C adaptée à la décomposition E = R(L) N(L) t x x T C = x. B x et par la question comme L T l colinéaire à I. n est pas proportionnel à I, B n est pas une matrice 4

5 6. La récurrence est suggérée et a été initialisée pour n = 2 en question 4.Supposons la propriété réalisée à l ordre n 2 et démontrons la à l ordre n. Par la question précédente, il existe C = {e,, e n } telle que : t x x T C = x. B x où B n est pas une matrice d homothétie et tr (B) = tr (T) t = n t i. Soit T l endomorphisme de Vect(e 2,, e n ) de matrice B dans la base C = {e 2,, e n }. T n est donc pas une homothétie et par hypothèse de récurrence, il existe C telle que T,C = B est une matrice de termes diagonaux T 2,, t n. Soit B = {e } C. La matrice de passage de C à B est Q = où Q Q est la matrice de passage de C à C et Q = Q. Un calcul en blocs identique à celui de la question 3 donne alors : t x x t T B = Q x. B Q =. B x Cette dernière matrice a bien comme éléments diagonaux t,, t n. Ainsi on a vérifié par récurrence que : i=2 il existe une base B dans laquelle la diagonale de T B les t i où i [[, n]]. ait pour éléments diagonaux 4 -Décomposition en somme de projecteurs On suppose désormais que T est un endomorphisme de X vérifiant tr T N et tr T rg T. On pose ρ = rg T et θ = tr T. 7. Par le théorème du rang, dim N(T ) = n ρ. Soit X un supplémentaire de N(T ) et B = {e,, e n } une base adaptée à la décomposition X = F N(T ). T O Dans cette base B, T B est de la forme. O 8. Soit T l endomorphisme de X de matrice T dans la base B = {e,, e ρ }. Comme tr (T) = tr (T B ) = tr (T ) = tr (T ), tr (T ) est élément de N et tr (T ) ρ. Soient t i = pour i [[, ρ ]] et t ρ = tr (T) (ρ ). Ces ρ nombres sont des entiers naturels non nuls dont la trace est égale à tr (T ). Par la question 6, T n étant pas une homothétie, il existe B une base de X où T la matrice de T dans la base B admet comme éléments diagonaux t,, t ρ. Soit B = B {e ρ+,, e n }. T Dans cette nouvelle base, la matrice de T a la forme O T où T 2 O a comme éléments diagonaux des entiers non nuls. T 2 5

6 9. Soient C,, C ρ les premières colonnes de T B. Soit P i l endomorphisme dont la matrice dans la base B est : ( ) P ℶB = C i t i Cette matrice ayant un en place (i, i), on a P 2 i projecteurs. Ainsi T = ρ i= t i P i = P + P }{{} + + P ρ + + P ρ. }{{} t fois t ρ fois = P i, ce qui prouve que les P i sont des 2. Comme T = αi ρ, tr (T) ρ donne α. Si α =, on peut utiliser la méthode précédente (on peut même l utiliser si α N) en décomposant en somme de ρ projecteurs de rang. Si α >, soit P de matrice P =. O dans la bas B. Alors T P a pour matrice : T (T P ) B = T où T 2 est une matrice ayant pour éléments diagonaux (α, α,, α) : ce n est donc pas une matrice d homothétie. De plus, T P est de rang au plus ρ (sa matrice dans la base B a n ρ colonnes nulles). Ainsi T P vérifie tr(t P ) = ρα > ρ = tr(t P ) ρ rg (T P ) donc on peut appliquer la question précédente. T = T P est une somme de projecteurs et comme T = P + (T P ) : T est une somme de projecteurs On a ainsi prouvé que T est une somme de projecteurs si et seulement si sa trace est un entier naturel supérieur ou égal à son rang. 6