Fonctions : image, antécédent et courbe représentative Résolution graphique d une équation

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1 Seconde générale et technologique Thème d étude n 3 Fonctions : image, antécédent et courbe représentative Résolution graphique d une équation Auteur : Paméla Lelaidier Établissement : Lycée Fernand et Nadia Léger Année scolaire

2 Activité n 1 Partie A On donne le programme de calculs suivant : Choisir un nombre. Multiplier par 3. Ajouter le carré du nombre choisi. Multiplier par Écrire les calculs permettant de trouver le résultat de ce programme de calcul lorsque le nombre choisi est Écrire les calculs permettant de trouver le résultat de ce programme de calcul lorsque le nombre choisi est Écrire les calculs permettant de trouver le résultat de ce programme de calcul lorsque le nombre choisi est Écrire les calculs permettant de trouver le résultat de ce programme de calcul lorsque le nombre choisi est Si le nombre choisi est x, déterminer le résultat obtenu en fonction de x. Partie B On donne le programme de calculs suivant : 1. Choisir un nombre et le garder secret. Choisir un nombre. Ajouter 3. Multiplier par 5. Prendre l inverse. 2. Calculer le résultat de ce programme de calcul pour le nombre choisi. 3. Donner ce résultat à son voisin. Est-il capable de retrouver le nombre choisi? 4. Écrire un programme de calculs permettant de retrouver le nombre choisi. Activité n 2 Deux amis décident de relever à différents instants de la journée la température extérieure. Ils commencent leur relevé en même temps à l instant t=0. Le premier a fait les relevés suivants : Temps (en heure) Température (en C) 8 11,5 13,9 14, Le second a fait les relevés suivants : Temps (en heure) 0 1,5 2 2,5 3,5 5 Température (en C) ,9 14,7 13,5 11

3 1. Quelle température a été relevée à l instant t=3? 2. A quels moments la température relevée était de 13 C? 3. Dans un repère orthogonal d unités graphiques : 2 cm pour 1 heure en abscisse et 1 cm pour 1 degré en ordonnée, représenter les données relevées par la première personne. 4. Ajouter les données de son ami. 5. Quelle température les deux amis auraient-ils pu relever à l instant t=4,5? 6. Quelle température les deux amis auraient-ils pu relever 30 minutes après le début de leur relevé? 7. A quels moments la température relevée aurait pu être de 12 C? Activité n 3 Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 4 cm et AC = 3 cm. Le point M appartient au segment [AB]. La droite perpendiculaire à (AB) passant par M coupe (BC) en P. 1. Réaliser une figure en vraie grandeur. 2. On note AM = x. a) Quels sont les valeurs possibles pour x? b) Exprimer BP en fonction de x. 3. Écrire un algorithme de calculs permettant de calculer BP quand on connaît la longueur AM. Activité n 4 On considère le parallélogramme ABCD suivant : Pour quelle(s) valeur(s) de x ce parallélogramme est-il un rectangle?

4 Définition de fonction On introduit du blé Processus de fabrication du pain On obtient du pain A une quantité de farine donnée, on fait correspondre un nombre de pains. Définition 1 Une fonction est un processus faisant correspondre à un nombre un autre nombre. 2 3 Fonction Ce processus, nous allons l appeler f (comme fonction). On introduit le nombre 2. On lui fait correspondre le nombre 3. On note f : 2 3 ou f(2) = 3. Images et antécédents Définition 2 La fonction f associe à x un unique réel appelé image de x par la fonction f. f : x l unique image de x Rappel : l image de x par la fonction f est notée f(x). Définition 3 On appelle antécédent de y par f tout réel x tel que f(x) = y. f : un antécédent de y y Remarque : un réel y peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents par la fonction f. Exemples Faire des phrases traduisant les notations suivantes en utilisant les mots image ou antécédent : f( 3) = 5 ; f(0) = f(8) = 1 ; f(7) = 1.

5 Courbe représentative Définition 4 On appelle courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère (O, I, J) l ensemble des points M de coordonnées (x; f(x)). Exemple 1 Compléter : f(2) =... f( 1) =... f(... ) = 4 f :... 0 Exemple 2 x -0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 f(x) -2-0,5 0 0,6 0,8 0,6 0-0,3 0 1,3 2 Réaliser la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé d unité 4 cm. Définition 5 Soit f une fonction dont la courbe représentative C f est donnée. La variable est donnée sur l axe des abscisses. Définition 6 Soit f une fonction dont la courbe représentative C f définition est l ensemble des abscisses des points de la courbe. est donnée. L ensemble de Exemple Soit la fonction f dont la courbe représentative est donnée ci-dessous : L ensemble de définition est l ensemble des valeurs comprises entre -4 et 9. On le note [ 4; 9]. On appelle cet ensemble un intervalle Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux valeurs : la borne inférieure et la borne supérieure.

6 Calculer l image d un nombre Exemple Soit f la fonction définie sur [ 3; 7] par f(x) = 2x + 1 x Calculer l image de 0 par f. 2. Calculer l image de 3 par f. 3. Calculer f( 3). 4. Calculer f(1). Soit a un nombre réel qui appartient à l ensemble de définition de la fonction f. Pour calculer l image de a par f : on remplace x par a dans la formule ; on effectue les calculs en respectant les priorités opératoires. Remarque : Si le nombre a est négatif, on lui ajoute des parenthèses pour éviter les problèmes avec le signe. Calculer les antécédents d un nombre Exemple 1 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 3x 7. Déterminer les éventuels antécédents de 2 par f. Exemple 2 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x Déterminer les éventuels antécédents de 2 par f. 2. Déterminer les éventuels antécédents de 8 par f. Exemple 3 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (2x 3)(7 x). Déterminer les éventuels antécédents de 0 par f. Soit b un nombre réel. Pour calculer les antécédents de b par f, il faut résoudre algébriquement l équation f(x) = b. Remarque : Revoir le thème d étude n 2 : Résolution algébrique d équations.

7 Résoudre graphiquement une équation Exemple Soit f la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. 1. Déterminer l ensemble de définition de la fonction f. 2. Donner le nombre de solutions de l équation f(x) = 0, Résoudre l équation f(x) = Résoudre l équation f(x) = Résoudre l équation f(x) = 0, 3. Soit b un nombre réel. Résoudre graphiquement l équation f(x) = b revient à déterminer graphiquement tous les antécédents du nombre b par la fonction f. Capacités à maîtriser pour ce thème C11. Traduire le lien entre deux quantités par une formule. C12. Pour une fonction définie par un tableau de données, identifier la variable et éventuellement l ensemble de définition. C13. Pour une fonction définie par un tableau de données, déterminer l image d un nombre. C14. Pour une fonction définie par un tableau de données, déterminer des antécédents d un nombre. C15. Pour une fonction définie par une courbe, identifier la variable et éventuellement l ensemble de définition. C16. Pour une fonction définie par une courbe, déterminer l image d un nombre. C17. Pour une fonction définie par une courbe, déterminer des antécédents d un nombre. C18. Pour une fonction définie par une formule, identifier la variable et éventuellement l ensemble de définition. C19. Pour une fonction définie par une formule, déterminer l image d un nombre. C20. Pour une fonction définie par une formule, déterminer des antécédents d un nombre. C21. Résoudre graphiquement une équation.

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