Chafa Azzedine- Faculté de Physique- USTHB

Transcription

1 1

2 Définition : La dynamique est une branche de la mécanique qui étudie les mouvements des corps dans l espace en fonction du temps en expliquant les causes qui les provoquent.

3 Historiquement, l étude des mouvements des planètes a permis d établir les lois cinématiques et dynamiques 3

4 II Principe d inertie Enoncé du principe h h h h v Conclusion: Si une particule n est soumise à aucune interaction: -Soit elle reste au repos -Soit elle continue à se déplacer suivant une droite et avec une vitesse constante 4

5 Référentiel d inertie ou Galiléen Les repères dans lesquels une particule libre se déplace à vitesse constante sont appelés repères Galiléen ou d inertie Ces repères sont soit au repos, soit animés d un mouvement de translation uniforme Exemple: Le repère lié au sol satisfait à la définition et est donc un bon repère d inertie 5

6 Quantité de mouvement : Notion de masse : Il faut analyser, d une manière dynamique, le mouvement d un corps. La cause qui modifie la grandeur ou la direction de la vitesse d un objet est: La force La masse est un coefficient qui distingue un objet d un autre. Elle caractérise l inertie du corps. C est-à-dire sa résistance à s opposer à tout changement provoqué par la vitesse. Elle est très importante lors de l étude dynamique. 6

7 Quantité de mouvement Elle est définie comme le :produit de la masse par la vitesse : P et v v P m v ( kgm / s) P : sont parallèles et dans le même sens Le principe d inertie s écrit : Une particule libre se déplace avec une quantité de mouvement constante dans un repère Galiléen 7

8 Au début les deux sont attachés par une ficelle La masse du disque O est double de celle du disque x Avant interaction pendant interaction Aprés interaction 8

9 On cherche la quantité de mouvement totale du système dans les trois phases Mo = Mx Pour déterminer la vitesse on calcule les distances parcourues entre deux positions successives de chaque masse Avant interaction : P m v m o o o 0 d o t Si do et dx sont les distances parcourues par chaque disque respectivement pendant le temps t : P m v m x x x x d x t P P P T o x Pendant interaction : P ' m v ' m o o o 0 d ' o t P ' m v ' m x x x x d ' x t P ' P ' P ' T o x 9

10 Aprés interaction : P ' m v ' m o o o 0 d ' o t P ' m v ' m x x x x d ' x t P " P " P " T o x mo=mx t=0.1 s Zones Avant Distances (cm) d0= 1cm dx= 1cm Vitesse (cm/s) Vo= 10 Vx=10 Quantité de mvt(kgm/s) Po=0mx Px=10mx Pendant d0 = 1.1cm dx = 1.cm Vo = 11 Vx =1 Po =mx Px =1mx aprés d0 = 1cm dx = 1cm Vo = 10 Vx =10 Po =0mx Px =10mx Echelle : 1 cm 10 mx (kgm/s) 10

11 Conclusion : La quantité de mouvement totale d un système isolé est constante P P ' P '' T T T dx P x do PP T o P x ' P o ' P T ' P x '' P o '' P T '' Avant interaction pendant interaction Aprés interaction 11

12 Ce principe de conservation de la quantité de mouvement est très important en physique. On peut également l écrire sous la forme: P P ' P '' P P P ' P ' T T T o x o x En mettant les grandeurs de chaque disque d un même côté on a: P P ' P ' P P P Avec : P P ' P Et : o o o o o x x x o P P ' P x x x Donc une interaction produit un échange de quantité de mouvement entre particules 1

13 Exemple: Un camion et une CV arrivent sur un croisement. Elles rentrent en collision et se déplacent dans une direction de 45 en restant collées l une à l autre. Un témoin affirme que le camion roulait à 80 km/h. Dit il la vérité? Camion M V C.V m v 45 V ' Solution : Le système est isolé donc il y conservation de la quantité de mouvement totale Avant la collision : P P P M V m v T c v Après la collision : P ' P ' P ' ( M m ) V ' T c v Conservation : P P ' M V m v ( M m ) V ' T T On décompose sur ox et oy ox : MV ( M m ) V 'cos (1) oy : mv ( M m ) V 'sin () mv sin M () /(1) tg45 1 v V 30 km / h impossible MV cos m 13

14 Notion de Force Joueur F Ballon Le tir du joueur sur le ballon provoque sa mise en mouvement. 1. La force permet de mettre en mouvement un corps 14

15 Tout corps qui n est soumis à aucune force : -Soit il reste au repos -Soit il se déplace suivant une droite avec une vitesse constante 15

16 Si un corps de masse m se déplace avec une vitesse force F alors : dp dv F m ma dt dt v est soumis à une 16

17 Nous avons vu que deux particules en interaction constituent un système isolé tel que : P P 1 P P Pendant un intervalle de temps t : 1 F F 1 t t 17

18 Remarques - Toutes ces lois sont valables dans tout repère Galiléen Soient deux repères Galiléens R1 et R et soit un mobile se déplaçant avec: Une vitesse v1 dans R1 et v dans R à un instant t Une vitesse v 1 dans R1 et v dans R à un instant t Et soit v la vitesse de R par rapport à R1 En appliquant la loi de composition des vitesses on a : A l instant t : v 1 v v A l instant t : v ' v ' v 1 18

19 P m ( v ' v ) La variation de quantité de mouvement dans R1 est : 1 1 P ' m ( v ' v ) La variation de quantité de mouvement dans R est : Donc on a: P m( v ' v ) m ( v ' v ) ( v v ) m v ' v P ' 1 1 P P ' - Dans le cas général un corps est soumis à plusieurs forces, la ème loi de Newton s écrit: F F ma t Plus connue comme la relation fondamentale de la dynamique R.F.D 19

20 Applications des lois de Newton: Poids au voisinage de la terre: Le poids est la force exercée par la terre sur le corps, il s écrit donc : P m a ( ème loi de Newton) On réalise pour cela deux expériences: 0

21 1 ère expérience : Chute libre sans vitesse initiale ème expérience : Chute avec vitesse initiale horizontale v 0 a a Après une étude cinématique des mouvements on constate que l accélération est constante dans les deux cas en sens et direction. Cette accélération est connue sous le nom d accélération de la pesanteur notée g. a a Exemple : A Alger g = 9.80 m/s Au pôle nord g = 9.83 m/s P = mg 1

22 Mouvement d un projectile au voisinage de la terre: y Mouvement horizontal: MRU a 0 x v v v cos x 0x 0 x( t ) v t cos 0 Mouvement vertical: MRUV a g y v ( t ) gt v sin y 0 1 y ( t ) gt v t sin 0 v 0 y O v 0 v v y v x v 0 x v y v v v x g y x x v0 cos v y tan v x v v x v y v v x Équation de la trajectoire v y v

23 y La hauteur maximale: La portée: v0 D sin g H v 0 g sin v 0 y v 0 H:hauteur maximale O v 0 x portée D x 3

24 y 60 La portée D varie avec l angle de tir pour une même vitesse initiale v 0. Elle est maximale pour =45 : D m ax v 0 g D 1 D x portée maximale D max 4

25 Loi de gravitation universelle: Terre (M) Corps en chute libre au voisinage du sol: P = mg Lune qui tourne autour de la terre : F = m a l corps (m) R r Sachant que R = 6400 km et r = km donc : Lune (ml) r R 60 5

26 En faisant le rapport des deux forces : P m g F m a l Or pour la lune le mouvement circulaire uniforme donc: 4 v a r r r T Sachant que g 10 m / s et que la période de rotation de la lune autour de la terre est T 4 heures on obtient : Donc : g a r R P m g m r F m a m R l Les forces sont donc proportionnelles à la masse et inversement proportionnelles au carré du rayon : m F r l 6

27 D apres la loi de l action et la réaction (3 ème loi de Newton): F F F F 1 1 Comme M F et F 1 r m r Terre M R F 1 r Mm Alors : F 1 r F Lune m Newton a rajouter une constante de proportionnalité G N. kg. m 11 7

28 11 G N. kg. m : est appelée constante de gravitation La force appliquée par la terre sur la lune est : Mm F 1 G u r Lune m u F F 1 u ' Terre M La force appliquée par la lune sur la terre est : F G Mm r u ' 8

29 - 3 ème loi de Kepler (loi des périodes): Si l orbite est circulaire, pour chaque planète on a: M m v 4 F G m mr r r T Mm 4 1 G m r 1 1 F r T F Mm 4 G m r r T T T 3 = r r 9

30 - Satellite géostationnaire : Terre (M) Corps au niveau du sol: Mm1 F 1 G m g 1 0 R Satellite à une hauteur h du niveau du sol: corps (m) R r Satellite (m ) F F 1 Mm F G m g r En faisant le rapport des deux forces : G G Mm r Mm R m g mg R R g ( h )= g = g r ( R + h )

31 Forces de contact C est la force exercée entre deux corps qui sont en contact l un avec l autre. Nous allons étudier ces forces à travers certains exemples. Exemple 1: un objet de masse m au repos sur un plan horizontal C A l équilibre : P + C = 0 C = -P P C : Représente la somme de toutes les petites forces de contact entre le corps et le sol (réaction du sol) 31

32 Exemple : Démarrage d une course sur un plan horizontal a C En mouvement on écrit : P + C = ma C = ma - P P C ma -P Module de C: C = (m a) + P Remarque: P est constant C dépend de ma 3

33 Exemple 3: Démarrage d une voiture ou moto sur un plan horizontal C 1 a C En mouvement on écrit : P + C + C = ma C = C + C = ma - P 1 1 C P C 1 C ma P C (ou C) est appelée force motrice 33

34 Exemple 4: Voiture dans un virage avec une vitesse constante: Relation fondamentale de la dynamique P + C = ma C = ma - P C ma n v a 0 T cte a v / R N C -P P a n 34

35 Forces de frottements: On étudie ces forces à travers certains exemples: Exemple 1: corps de masse m sur un plan horizontal au repos: On tire un corps de masse m, au repos, avec une force F sans le déplacer C y P + F + C = 0 C = -F - P C C C x P F -P -F On définit le coefficient de frottement statique par: C x ox : F - C 0 x C F x F s = s = C y oy : C - P = 0 y C = P y P Donc il faut une force F F = 0 s P pour qu il y ait mouvement. 35

36 Exemple : corps de masse m sur un plan horizontal en mouvement : Soit un corps en mouvement sur lequel on applique une force F C C x C y P a F P + F + C = m a C = m a - P - F -F C ma -P On définit le coefficient de frottement dynamique (ou de glissements) par: d C C x y ox : F - C = m a x C = F - m a x oy : C - P = 0 y C = P y g F - m a P 36

37 Si le mouvement est uniforme, la vitesse est constante donc a = 0 P + F + C = 0 C = -P - F C x F g C P y C C x C y P F 37

38 Exemple 3: corps de masse m sur un plan incliné au repos: y Py C C x α 0 α 0 P P x C y v α 0 x On lève le plan incliné sans que le corps ne bouge jusqu à un angle limite 0 P + C = 0 C = -P On définit le coefficient de frottement statique par: s C x ox : P - C 0 x x = C y oy : C - P = 0 y y P C x y = C = P x y Px s P y mg mg sin cos 0 0 s tg 0 38

39 Remarques: -On refait l expérience avec différentes masses : α 0 α 0 α 0 on constate que s ne dépend pas de la masse -On refait l expérience avec différents corps de nature différentes : α 1 α α 3 on constate que s dépend de la nature des corps en contact. 39

40 Exemple 4: corps de masse m sur un plan incliné en mouvement: Si on prend un angle supérieur à 0 il y mouvement P + C = m a C = m a - P y C -P C x C C y v Px ma On définit le coefficient de frottement de glissements par: Py α P α x d C C x y ox : P - C ma x x oy : C - P = 0 y y g g sin a g cos 40

41 Exemple 5: corps de masse m dans un fluide Quand un corps se déplace dans un fluide avec de petites vitesses, il est soumis à une force de frottement proportionnelle à la vitesse f = -kv f v F f = -kv La relation fondamentale de la dynamique donne: F + f = m a v En projetant dans le sens du mouvement on a : dv F - f = m a Avec: a= On obtient : dt dv F - kv = m dt 41

42 Cette relation s écrit sous la forme : dv m + kv = F dt Résolution de cette équation, la solution s écrit comme: v(t) = v p ( t ) v ( t) s. s. m Avec dv v () t p est la solution particulière telle que v est constante donc 0 dt F kv = F v (t) = p p k et est la solution sans second membre telle que v () t F = 0 S.S.m dv m + kv = 0 dt v t Ae () s. s. m k t m 4

43 Et enfin : v() t k m Ae k t m En prenant comme conditions aux limites t = 0 s, v(0) =0 m/s k A m La vitesse en fonction du temps s écrit comme: Avec: v l k m et k m k t m v( t) (1 e ) v (1 e ) l m v l k v( m / s) t t( s) 5 43

44 Forces élastiques: Mouvement rectiligne sinusoidal o i M x Dans ce type de mouvement sinusoïdal l abscisse x du point M s écrit: x( t) A sin( t ) Amplitude Phase à l origine pulsation T est la période 44

45 Position: x( t) A sin( t ) dx Vitesse : v( t ) A cos( t ) dt dv d x Accélération : a( t) A sin( t ) dt dt On constate que a( t) A sin( t ) x(t) a( t) x( t) Ou encore : d x dt x 0 45

46 Interprétation dynamique: F Si m est la masse du corps animé du mouvement rectiligne sinusoïdal il est soumis à une force: F ma m xi Cette force est opposée au déplacement x, elle tend à ramener le corps au point O: On l appelle force de rappel F ma m xi kxi F 46

47 Mouvement d un corps suspendu à un ressort k 0 O F F Position d équilibre : P 0 P F kx mg x 0 0 mg k Ressort à vide x 0 x Equilibre P 47

48 En mouvement : F P m a P F m a mg k ( x x ) ma kx m a 0 k 0 d x k a x x dt m O F F Ressort à vide x 0 C est donc un mouvement x sinusoïdal Equilibre P x P 48

49 Moment cinétique Moment cinétique d une particule Soit une particule de masse m animée d une vitesse v en rotation par rapport à un point O. Le moment cinétique de m par rapport à O est: L = r p = m r v Le module de L est: L = r p sin(r, p) = m r v sin L r L r et L p v 49

50 Remarque: On rappelle que le moment d un vecteur V par rapport à un point O est: O r V = O A V v/o A En regardant la définition du moment cinétique, L = OM p = r p On peut dire que L est le moment de p par rapport à O L = r p = p/o 50

51 Théorème du moment cinétique : IL s agit de trouver la dérivée du moment cinétique L = r p Donc: dl d(r p) dr dp = p r dt dt dt dt dl dp = r r F dt dt dl = F/o dt Théorème : La dérivée du moment cinétique d une particule, par rapport au temps est égale au moment de la force qui lui est appliquée au même point. 51

52 Analogie avec la deuxième loi de Newton : Rectiligne L dp F = dt Rotation F /o p/o = d dt p/o Le théorème du moment cinétique est donc une traduction de la deuxième loi de Newton en terme de moments 5

53 Forces centrales : Définition d une force centrale : Une force centrale est celle dont la direction passe toujours par un point fixe O (centre de force). r F Dans tout ces cas on a: r//f r F = 0 dl = 0 L = constante dt O Sous l action d une force centrale, la moment cinétique par rapport au centre de force est constant 53

54 Applications: - ème loi de Kepler (loi des aires): 54