CCP TSI 2011 sous reserves erreurs polices

Transcription

1 CORRIGE CCP TSI 2011 sous reserves erreurs polices PROBLEME 1 MICROPHONES 1 ère partie étude d un condensateur I.1 Soit le plan infini chargé xoy. est un vecteur donc il appartient aux plans de symétrie des charges (M,, et ( M, ) : Les charges sont invariantes par translation selon Ox et Oy donc E ne dépend ni de x, ni de y Le plan z=0 est un plan de symétrie des charges donc E z (z) = - E z (-z). I.2 Eq de Maxwell-Gauss div( = = 0 en tout point hors du plan xoy Donc = 0 : le champ est uniforme de part et d autre du plan z=0 On considère un cylindre d axe z z, de rayon R, se trouvant entre les plans z et z ( z>0). Le théorème de Gauss donne : = E z (z) πr 2 E z (-z) πr 2 = 2 E z (z) πr 2 = σ πr 2 /ε 0 D où pour z>0, = ; Pour z <0, =. z x y - I.3 en z = 0 : la distribution doit être traitée comme une distribution volumique uniforme, sur une épaisseur très faible ; le plan z=0 est un plan de symétrie des charges, donc le champ en un point de ce plan doit appartenir à ce plan. Il est donc nul. I.4 Avec la convention V(z=0) = 0 : z>0, V = ; Pour z <0, V = E(z) V(z) z z I.6 en appliquant le théorème de superposition Pour z < : (M) = =[ - ( ) ( )] = z Pour < z < : (M) = =[ ( ) ( )] = (M) Pour z > d : (M) = =[ ( ) + ( )] =

2 I.7 entre les armatures V = ddp U = V(e/2) V(-e/2) = norme de E E = U/e I.8 U = 10 V, e = 10 µm E = 10 6 V/m il y a un grand risque de claquage du condensateur I.9 σ = U = capacité C = = AN : C = F I.10 Densité volumique d énergie électrique w e = = I.11 Equation de Maxwell-Ampère = µo + ε o µ o Entre les armatures : la densité de courant est nulle, n est pas nul, donc n est pas nul. I.12 soit (S) le disque d axe Oz, de rayon r, délimité par le cercle (C)..dl =. ds d où B(r,z).2πr = ε o µ o πr² En utilisant les résultats précédents : B(r,z) = I.13 Densité volumique d énergie magnétique w m = = ( ) 2 I.14 les effets magnétiques sont négligeables devant les effets électriques ssi w m <<w e Soit, quel que soit r : ω²q² << ω²q² << ε o µ o S ω² << 4 ω<<c/ I.15 AN ω << rad/s Les fréquences audibles étant comprises entre 20 et Hz, les effets magnétiques seront toujours négligeables. I.16 i i = C puissance : P = u.i = u I.17 Energie électrique totale emmagasinée dans le condensateur : W e = ½ C u² = = = w e e S I.18 Variation d énergie électrostatique à charge constante : dw e = de = F.de d où F = La force exercée par l opérateur doit compenser l attraction électrostatique entre les deux armatures, en norme F = F a. Le vecteur force exercé sur l armature supérieure est = -.

3 I.19 champ créé par l armature inf sur l armature sup : = L armature sup porte la charge Q et est donc soumise à la force Q : on retrouve bien la même expression pour.

4 2 ème Partie Microphone électrostatique onde Q(t) -Q(t) y 0 e P a + p(t) P a y(t) I.20 Force électrique exercée par armature droite sur armature gauche = = + Le premier terme correspond à la force constante exercée lorsque l armature gauche est au repos, elle est compensée par un dispositif non représenté : seul le deuxième terme sera conservé. I.21 force de pression subie par l armature gauche : = [P a + p(t) - P a ] S = p(t) S I.22 PFD projeté sur Oy m = - ky - a + + p(t) S (1) I.23 Microphone au repos : = quand y = 0 et i = 0 Lorsque le microphone vibre, sa capacité est : C = I.24 i(t) = = car i(t) est le courant de charge du condensateur. = + R i(t) = + R I.25 en simplifiant l équation précédente : y(t) = R i(t) + q/ C o = Ri(t) + (2) I.26 en notation complexe (1) devient : m = - k - a j + + S D où = I.27 en notation complexe (2) devient = I.28 en combinant (1) et (2) : = Après calculs : = avec E 0 =

5 L amplitude du courant dépend de la fréquence de la surpression Pour supprimer cette dépendance on choisit R >> soit = R ; k>>aω et m, soit = k/jω et kr >> : on a alors = : le rapport i/p est bien indépendant de la fréquence. 3 ème Partie Microphone électrodynamique I.30 Lorsque la membrane bouge, la bobine conductrice est mobile dans un champ magnétique : apparition d une fem induite et d un courant induit (circuit fermé). Cas de Lorentz Force élémentaire de Laplace : = i ^ = i.dl.b = - i dl.b Résultante de la force de Laplace sur la bobine : = - i 2.B I.31Champ électromoteur dans la bobine : = ^ = ^ B =.B Fem induite e = =. dl = 2.B Loi des mailles e = R i(t) + L (3) I.32 Force de pression : = [-(P a + p(t)) + P a ] S = - p(t) S I.33 PFD projeté sur Oz m = - kz - - i 2.B - p(t) S (4) I.34 en notation complexe : 2.B = (R + = (3) I.34 en notation complexe m (jω)² = - k 2.B - S (4) D où = - I.36 en éliminant z des deux équations complexes : - 2.B = D où : = I.37 l amplitude du courant dépend de la fréquence. Pour que cela ne soit pas le cas on choisira R >> Lω, β >> mω et β >> k/ω sur la gamme de fréquence utilisée, on aura alors : =

6 PROBLEME II SISMOGRAPHE HORIZONTAL 1ère partie : Référentiels non galiléens II.1 Les directions des axes O 2 x 2 O 2 y 2 O 2 z 2 sont fixes par rapport aux axes O 1 x 1 O 1 y 1 O 1 z 1. On choisit souvent O 2 x 2 // O 1 x 1, O 2 y 2 // O 1 y 1, O 2 z 2 // O 1 z 1 Les dérivées des vecteurs sont égales dans (R 1 ) et (R 2 ) car ils sont en translation l un par rapport à l autre = = ) R1 = = ) R2 = ) R1 = - + D où + De même + II.2 les accélérations sont égales lorsque est nulle, càd quand O 2 a un mvt rectiligne et uniforme dans (R 1 ) : (R 1 ) est alors en translation rectiligne et uniforme par rapport à (R 2 ) II.3 (R 1 ) est galiléen si le principe d inertie s applique dans ce référentiel cad ssi tout point matériel isolé ( ou pseudo-isolé) a un mouvement rectiligne et uniforme dans (R 1 ). Exemples, dans un ordre décroissant du caractère galiléen : Copernic, Kepler, géocentrique, terrestre : ces référentiels peuvent être considérés comme galiléens si on peut négliger l effet des forces d inertie (expériences de durée «courte»), si on peut considérer leur mouvement comme rectiligne et uniforme dans le référentiel «immédiatement plus galiléen» que celui considéré. soit un point matériel isolé, en mvt dans (R 1 ) galiléen, on a alors, donc si la condition de II.2 est remplie comme ce résultat est vérifié par tout point matériel isolé, (R 2 ) est galiléen. II.4 si la condition de II.2 n est pas remplie : = m = m [ + ] Si le point M est isolé, soit, alors = -, (R 2 ) n est pas galiléen. Dans (R 2 ) la relation fondamentale de la dynamique s écrit alors m = - On pose ie = -m force d inertie d entraînement.

7 2 ème partie : Sismographe horizontal O II.5 Actions mécaniques sur la barre quand le sol ne vibre pas : Poids m appliqué en G de moment O = - ½ L mgsin( ) Liaison en O, de moment nul en projection sur Oz car sans frottement Frottements de moment résistant - α A l équilibre la somme des moments est nulle donc sin( ) = 0. L équilibre stable correspond à = 0. II.6 La barre est en rotation autour d un axe fixe dans un référentiel galiléen. Le th du moment cinétique projeté sur l axe Oz s écrit : J = 1/3 m L² = - ½ L mgsin( - α pour de petits angles : 1/3 m L² = - ½ L mg - α soit + + =0 Energie cinétique de la barre en rotation autour d un axe fixe E c = ½ J ² Théorème de la puissance cinétique : = (- ½ L mgsin( - a ) on obtient bien la même équation. II.7 la solution générale de l équation différentielle est de la forme exp(rt) r vérifie l équation caractéristique r² + + = 0 le discriminant est = ( ² - régime critique = 0 soit = régime pseudo-périodique < 0 soit < régime apériodique > 0 soit > C est en régime critique que le retour à la position d équilibre est le plus rapide. II.8 soit un petit élément de barre, sa masse est : dm = Il est soumis à la force d inertie d entraînement = - dm a(t), de moment par rapport à l axe Oz : d ie = [ ^ ]. = [ r ^ (- dm a(t) ) ]. = r dr a(t) cos( Moment résultant par rapport à l axe Oz : M ie = = ½ m L a(t) cos( ) Le moment de la force résultante - m a(t) appliquée en G est : dr

8 ^(- m a(t) ) = ½ m L a(t) cos( ), on retrouve le même résultat. II.9 Théorème du moment cinétique projeté sur Oz, dans le référentiel lié au bâti : J = 1/3 m L² = - ½ L mgsin( - α + ½ m L a(t) cos( ) A l équilibre tan θ = a/g, soit θ = a/g dans le cas des petites oscillations (pas dit dans énoncé) II.10 En régime sinusoïdal permanent, en notation complexe, dans le cas des petites oscillations : [ - 1/3 m L² ω² + j α ω + ½ L mg ] = ½ m L a o e (jωt) d où θ o e jφ = D où θ o = ΙΙ. 11 Φ = - 2 arctan ( ) II. 12 fréquences faibles : ω << θ o = II.13 fréquences élevées : ω >> θ o = avec qui est l amplitude du déplacement du sol.