Géométrie plane GÉOMÉTRIE. Le problème de Nabolos. Les savoir-faire du chapitre. (3, 5 ; 1) et (0, 25 ; 3, 25), puis j ai tracé le cercle de

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1 GÉOMÉTRIE Géométrie plane Les savoir-faire du chapitre. Lire les coordonnées d un point et placer un point connaissant ses coordonnées.. alculer les coordonnées du milieu d un segment.. alculer la longueur d un segment. Le problème de Nabolos ans un repère orthonormé, j ai placé les points, et de coordonnées respectives, 5 ;, 5,, 5 ; et, 5 ;, 5, puis j ai tracé le cercle de diamètre[]. Ensuite, j ai démontré que le point n était pas sur ce cercle. omment ai-je fait?

2 S entraîner Savoir-faire - Méthodes. Lire les coordonnées d un point et placer un point connaissant ses coordonnées. Sur le graphique ci-dessous, lire les coordonnées des points,,, E, F, O, I et J J I E 4 5 F Sur le graphique ci-dessus, placer les points G ; 5, H ; 4, K ; 4 et L 6 ;.. alculer les coordonnées d un milieu. On considère un repère du plan O, I, J et deux points E5 ; et F ;. éterminer les coordonnées du milieu du segment[ef].. alculer la longueur d un segment. On considère un repère orthonorméo, I, J et deux points 5 ; et ;. alculer la longueur. hapitre G. Géométrie plane

3 oordonnées d un point. Sur les figures ci-dessous, lire les coordonnées des points, et, puis placer les points et E de coordonnées respectives; et ;. 4. Sur chacune des figures ci-dessous, donner le nom du point de coordonnées ;, puis placer le point de coordonnées,. oordonnées d un milieu. On considère un repère du plano, I, J et trois points E 5;, F; et G 4;. éterminer les coordonnées du point K milieu du segment[ef]. éterminer les coordonnées du point L milieu du segment[eg]. éterminer les coordonnées du point M milieu du segment[fg]. 4. ans le plan muni d un repèreo; I, J, on considère les points, et de coordonnées respectives ;, 4; et;. éterminer les coordonnées du point R milieu du segment[]. éterminer les coordonnées du point S milieu du segment[]. éterminer les coordonnées du point T milieu du segment[]. 5. ans le plan muni d un repèreo; I, J, on considère les points et de coordonnées respectives, 6; 4, 7 et 6, ; 5, 9.éterminer les coordonnées du milieu du segment[]. 6 On considère un repère O, I, J et quatre points M ;, N ;, P ; et Q ;. émontrer que MNQP est un parallélogramme. 7 On considère un repère du plan O, I, J et deux points E5 ; et F ;. éterminer les coordonnées du point H symétrique du point E par rapport au point F. 8 ans le plan muni d un repèreo; I, J, on a placé les points, et de coordonnées respectives ;, 5 ; et;. 4 éterminer les coordonnées des points, E et F, milieux respectifs de[],[] et[]. 9 ans le plan muni d un repère O; I, J, on a placé les points et de coordonnées respectives 4 58; 4 59 et 99; éterminer les coordonnées du point d intersection du segment[] avec sa médiatrice. ans le plan muni d un repèreo; I, J, on a placé les points et M de coordonnées respectives ; et;. éterminer les coordonnées du point tel que M soit le milieu du segment[]. ans le plan muni d un repère O; I, J, on a placé les points E et F de coordonnées respectives 6, 9;, et; 4, 6. éterminer les coordonnées du point symétrique de E par rapport au point F. hapitre G. Géométrie plane

4 ans le plan muni d un repère O; I, J, on a placé les points, et N de coordonnées respectives ; 4, 4 5 ; 7 et 5 6 ;. alculer les coordonnées du milieu de [N]. alculer les coordonnées du point tel que N soit un parallélogramme. istance entre deux points. ans un repère orthonormé O; I, J tel que OI = cm, on a placé les points, et de coordonnées respectives ; 5, ; 4 et4;. alculer les distances, et. rrondir au millimètre. 4. ans un repère orthonormé O; I, J tel que OI = cm, on a placé les points M, N et P de coordonnées respectives4;, ; et ;. alculer les distances MN, MP et NP. rrondir au millimètre. 5. On considère un repère orthonormé O; I, J tel que OI = cm. On a placé les points et de coordonnées respectives 6, 4;, et, ; 4, 5. alculer la distance au millimètre près. 6 On considère un repère orthonorméo; I; J. Le point ; 4 est-il sur le cercle de centre ; et de rayon 8? 7 À partir des informations de la figure ci-dessous calculer les coordonnées du point X. Géométrie sans repère 9 Soit un triangle tel que = 6, = 8 et =. On place le point du segment[] tel que : = 4. Faire la figure et montrer que est un triangle rectangle. La perpendiculaire à passant par coupe[] en E. Expliquer pourquoi les droites et E sont parallèles, puis alculer E. On prend pour unité de longueur le centimètre. Soit le cercle de centre O et de rayon 6. [] est un diamètre du cercle et est un point de ce cercle tel que = 6. I désigne le milieu de [] et J le milieu de []. Les droites IJ et O se coupent en K. Les droites K et se coupent en Q. Faire une figure soignée. émontrer que O est un triangle équilatéral. émontrer que K est le milieu de[o]. 4 Quelle est la mesure de l angle KO? Justifier. 5 émontrer que Q est un triangle isocèle. ans le triangle M, déterminer la médiatrice du segment [], le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité. Quelle est la tangente au cercle en? O E K J F M O I X 8 On considère le plan muni d un repère orthonormé O; I, J. Le point ; appartient-il au cercle de centre 5; 7 et de rayon 5? Le point ; est-il sur la médiatrice de[oj]? Quelle est la nature du triangle? 4 Soit 4;. Quelle est la nature du triangle J? est un triangle tel que le cercle de centre passant par est tangent à la droite. émontrer que la droite est tangente en au cercle de centre passant par. Le point est sur le cerclce. Tracer la tangente au cercle en. d 4 hapitre G. Géométrie plane

5 Problèmes. pprofondissement est un parallélogramme. est le symétrique de par rapport à et E est le milieu de[]. éterminer les coordonnées des points, E et dans le repère;, 4 Voici le patron d une pyramide E dans un repère orthonormé;,. éterminer les coordonnées de chacun des points : E E E E 4 E E E 4 8 ans un plan muni d un repère orthonormé O; I, J, on place les points suivants : N, 6;, 8 E 4;, 4 Z, 4; 7, Faire une figure. alculer les longueurs des côtés du triangle NEZ. émontrer que le triangle NEZ est rectangle. 4 alculer les coordonnées du milieu K de [NZ]. 5 est le symétrique de E par rapport à K. a Placer le point. b émontrer que NZE est un rectangle. c alculer l aire du rectangle NZE. d alculer l aire du triangle NEZ. 6 La droite perpendiculaire à NZ passant par le point E coupe NZ en M etn en U. a ompléter la figure. b Utiliser l aire du triangle NEZ pour calculer EM. c alculer NM. d En déduire MZ. E 5 est un parallélogramme, I est le milieu de [], E est le symétrique de par rapport à I. Faire une figure. hoisir un repère et montrer que est le milieu de [E] 6 Nature du triangle ans un plan muni d un repère O; I, J, on considère les points M, E et R de coordonnées respectives : ; ; ; Faire une figure. alculer les longueurs des trois côtés de MER. Quelle est la nature de ce triangle? 7 Médiatrice ans le repère orthonormé O; I, J d unité cm, on considère les points suivants : 6; ; 4 ; Faire une figure. Prouver que le triangle est rectangle. On appelle K le milieu du segment[]. a alculer les coordonnées de K. b Prouver que K appartient à la médiatrice de [O]. 9 Un classique Sur la figure ci-dessous, on considère le carré de côté et les triangles équilatéraux I et V. On se place dans le repère;,. I alculer les coordonnées des points I et V. arré et triangle isocèle ans le plan muni d un repère orthonormé O; I, J, on a placé les points suivants : S, ;, 8;, 6 W, ; 8 P, 6;, alculer les longueurs des trois côtés de SW. Montrer que le triangle SW est isocèle rectangle. alculer les coordonnées des milieux des segments [S] et[wp]. 4 Montrer que SWP est un carré. V hapitre G. Géométrie plane 5

6 Théorème de Varignon Soit quatre points du plan,, et. I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [],[],[] et[] du quadrilatère. PRTIE : conjecture Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique. Faire une figure. éplacer les points,, ou. Que peut-on conjecturer? Pour la démontrer, on choisit de définir un repère et d exprimer les coordonnées des points dans ce repère. PRTIE : un cas particulier Soit le repère ;,. ans cette partie, les points sont disposés comme sur la figure ci-dessous, aux nœuds du réseau. onner les coordonnées des points,, et. alculer les coordonnées des milieux I, J, K et L. émontrer la conjecture de la partie précédente dans ce cas particulier. PRTIE : cas général Soit le repère;, et on notea; b les coordonnées du point dans ce repère. alculer les coordonnées des milieux I, J, K et L en fonction de a et b. émontrer la conjecture. PRTIE : sans coordonnées omment pouvait-on démontrer ce théorème sans utiliser les coordonnées? LGO ompléter l algorithme suivant pour qu il affiche les coordonnées du point I milieu de[mn]. Variables : x M, y M, x N, y N : réels Entrées : Saisir les valeurs de... Traitement : x I prend la valeur... y I prend la valeur... Sortie : fficher... 6 hapitre G. Géométrie plane