Fonctions affines Problèmes du premier degré

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1 Fonctions affines Problèmes du premier degré FONCTIONS 5 Les savoir-faire du chapitre. Reconnaître l epression d une fonction affine, reconnaître une équation de droite.. Représenter graphiquement une fonction affine, tracer une droite.. Retrouver l epression d une fonction affine ou d une droite à partir du graphique.. Déterminer l epression d une fonction affine ou d une droite par le calcul.. Donner le sens de variation d une fonction affine..5 Déterminer le signe d une fonction affine..6 Résoudre un système et interpréter graphiquement. Le problème de Nabolos Dans le repère orthonormé(o ; I, J) ci-dessous, Nabolos a placé quatre points A, B, C et D et il est persuadé que les droites (AB) et(cd) sont parallèles. B ) Sauriez-vous lui prouver le contraire? ) Nabolos, convaincu par vos justifications, pense alors que les droites sont sécantes au point I(8 ; 58). A-t-il raison? Justifiez. A J O I D C 9

2 Savoir-faire - Méthodes. Reconnaître l epression d une fonction affine, reconnaître une équation de droite. ) Pour chacune des fonctions suivantes, dire s il s agit d une fonction affine (si c est le cas, préciser m et p).. f() = f() =.. f() =.. f() = ( ). 5. f() =. 6. f() = 7. ) Indiquer si l équation proposée est une équation de droites. Préciser le cas échéant l ordonnée à l origine et le coefficient directeur.. y =.. =.. y =.. y =.. Représenter graphiquement une fonction affine, tracer une droite. Pour représenter graphiquement une fonction affine (ou une droite) on peut faire un tableau de valeurs ou bien utiliser l ordonnée à l origine et le coefficient directeur. Deu points suffisent pour obtenir le tracé. ) Après avoir complété le tableau de valeurs, représenter graphiquement les fonctions affines f et f : f () = f () f () = f () 5 ) En utilisant l ordonnée à l origine et le coefficient directeur, représenter graphiquement les fonctions affines f et f définies par : f () = et f () = ) Représenter graphiquement les droites d 5 et d 6 dont les équations sont : y = et y = Chapitre F5. Fonctions affines Problèmes du premier degré

3 . Retrouver l epression d une fonction affine ou d une droite à partir du graphique. Si la droite est verticale, elle ne représente pas une fonction affine. Pour obtenir une équation de la droite, il suffit de lire c, l abscisse du point d intersection de la droite avec l ae des abscisses. L équation réduite de la droite est alors = c. Sinon, la droite représente une fonction affine. L équation réduite de la droite est de la forme y = m p. p est l ordonnée du point d intersection de la droite avec l ae des ordonnées. m est l accroissement des ordonnées (positif ou négatif) lorsque l on passe d un point de la droite à un autre point dont l abscisse est augmentée d une unité. Les fonctions représentées ci-contre sont des fonctions affines. Déterminer dans chaque cas, l epression de f() en fonction de (on notera les fonctions f, f,....) Donner les équations des droites correspondantes d 5 d d - d -5. Déterminer l epression d une fonction affine ou d une droite par le calcul. ) Déterminer l epression de la fonction affine f telle que f() = 9 et f( ) = ) Déterminer une équation de la droite (AB) avec A( ; ) et B( ; 7). Lorsque l on connaît les coordonnées( ; y ) et( ; y ) de deu points distincts d une droite, si =, la droite est parallèle à l ae des ordonnées. Son équation réduite est =. si =, la droite n est pas parallèle à l ae des ordonnées. Son équation réduite est de la forme y = m p. Le coefficient directeur se calcule comme suit : m = y y ou m = y y. On calcule l ordonnée à l origine p avec les coordonnées de l un ou l autre des points en résolvant une équation d inconnue p : y = m p ou y = m p Chapitre F5. Fonctions affines Problèmes du premier degré

4 . Donner le sens de variation d une fonction affine. Dresser le tableau de variations des fonctions affines suivantes : f () = sur R f () = sur R f () = sur [ ; ] f () f () f ().5 Déterminer le signe d une fonction affine. Dresser le tableau de signes des fonctions affines suivantes : f () = f () = 8 f () = f () f () f ().6 Résoudre un système et interpréter graphiquement. Lors de la résolution d un système de deu équations linéaires du premier degré à deu inconnues avec des coefficients non nuls, chaque équation peut se transformer en une équation réduite de droite. Résoudre un tel système revient à chercher les éventuels points d intersection de deu droites à partir de leurs équations réduites. Ces deu droites peuvent être : sécantes (coefficients directeurs différents). Le système a une unique solution. confondues (même équation réduite). Le système a une infinité de solutions. strictement parallèles. Le système n a aucune solution. Résoudre les systèmes suivants. 5 y = ) 5 y = ) 6 y = 9 y = Chapitre F5. Fonctions affines Problèmes du premier degré

5 Reconnaître une fonction affine Déterminer une fonction affine. Parmi les epressions suivantes, lesquelles définissent une fonction affine? Justifier. ) f() = ) u() = ) g() = 5 7 5) v() = 5 () ) h() = ( ) 6) m() = (5). Dans chaque cas, indiquer si la situation peut être modélisée à l aide d une fonction affine. ) A la longueur d un rectangle de largeur cm, on associe son périmètre. ) Au pri, en euros, d un article, on associe le pri après une réduction de 5 %. ) Au côté, en cm, d un carré, on associe l aire du carré en cm. Représenter une fonction affine 7. Déterminer les fonctions f, f, f, f et f 5 représentées par les droites D, D,D,D et D 5. D 5 D D D D 8. Même énoncé que l eercice précédent. On donne le graphique ci-contre. ) Quelle est l ordonnée à l origine de cette droite? ) Quel est le coefficient directeur de cette droite?. En utilisant un tableau de valeurs, représenter, dans un repère les fonctions affines définies par : ) f() = ) u() = ) g() = 5 5) v() = ) h() = 6) t() = 5. Représenter en utilisant le coefficient directeur et l ordonnée à l origine, dans un repère, les fonctions affines définies par : ) f() = ) u() = 5 ) g() = 5) v() = ) h() = 5 6) t() = D D D D D 5 9. Même énoncé que l eercice précédent. D D 5 D 6. Représenter, dans un repère, les fonctions affines définies par : ) f() = ) u() = ) g() = 6 5) v() = ) h() = 6) t() = 5 D D Chapitre F5. Fonctions affines Problèmes du premier degré

6 . Dans chacun des cas, déterminer la fonction affine f qui vérifie : ) f() = et f( ) = 5 ) f( ) = et f() =. Dans chacun des cas, déterminer la fonction affine g qui vérifie : ) g() = et g() = ) g() =, 6 et g( ) =, 7. Dans un repère, une fonction affine f est représentée par la droite (AB) avec A( ; 6) et B(; 6). ) Déterminer ( une epression algébrique de f. ) Le point C ; ) est-il aligné avec A et B? Déterminer l ordonnée à l origine de la droite d ci-contre. Signe et variation d 8 À partir du tableau de signes suivants : f() ) donner les signes des nombres suivants : f(5) f( ) f( 7) ) résoudre les inéquations suivantes : f() > f() f() < ) Proposer deu fonctions qui admettent ce tableau de signes. 9 On considère la fonction f définie sur R par f() = 7. ) Dresser son tableau de signes. ) Quel est le signe de f sur l intervalle I = [; ]? ) Proposer un intervalle du type J = [n; n], avec n entier naturel, où la fonction f change de signe. À partir de la représentation graphique ci-dessous de la fonction affine f : ) déterminer l epression algébrique de la fonction f ; ) déterminer le tableau de signes de la fonction.. Déterminer le sens de variation des fonctions affines définies par les epressions suivantes : ) f() = ) u() = 8 ) g() = 5 5) v() = 5( ) ) h() = 7 6) t() = 7 5. Dresser le tableau de variations sur [ ; ] des deu fonctions définies par les epressions suivantes : ) f() = ) g() = Dresser les tableau de signes des fonctions affines définies par : ) f() = 9 ) g() = ) h() = ) m() =,, 7.5 On considère la fonction f définie sur R par f() =. ) Dresser son tableau de signes. ) Sans faire de calcul, que dire du signe de : a) f(, 9)? b) f(, 57)? Equations de droites. Indiquer si l équation proposée est une équation de droites. Préciser l ordonnée à l origine et le coefficient directeur le cas échéant. ) y = ) = ) y = 5 7 5) y = 5 5 ) = 6) y = 5 Vérifier si le point C(; 7) appartient à chacune des droites dont les équations sont données ci-dessous. ) y = ) y = ) y = ) y = Chapitre F5. Fonctions affines Problèmes du premier degré

7 Indiquer si l équation proposée est celle d une droite parallèle à un ae du repère et préciser lequel, le cas échéant. ) y = 5 7 ) y = 5 ) =, 5 5) y = 7 ) y = 6) y =. Déterminer une équation de chacune des droites tracées dans le repère ci-dessous. D D D D 5. Même énoncé que l eercice précédent. D D D D D 6 6. Déterminer l équation réduite de la droite passant par les deu points proposés. ) A(; 5) et B(; ) ) G(; 6) et H(; 8) ) C(8; ) et D(; ) ) K(; ) et L(; 7) 7. Tracer dans un même repère les droites d équations réduites proposées. ) y = ) y =, 5 ) y = 5) y = 5 ) y = 6) y = 5 8. Même consigne qu à l eercice précédent. ) y = ) = 5 ) y = 5) y = ) y = 6) = y Droites parallèles, droites sécantes 9 Soit (D) la droite d équation y = 5. Donner une équation réduite pour chaque type de droite suivante. ) droite sécante à (D) ; ) droite parallèle à (D) ; ) droite parallèle à (D) et passant par A(; ) ; ) droite sécante à (D) et passant par A. Décrire la position relative des droites d équations suivantes. ) y = 5 ) = 5) y = 7 ) y = ) y = 5 6) y = Les droites (AB) et(d) sont-elles parallèles? ) A(5; ), B(7; ) et(d) : y = 5 ) A(9; 8), B(77; 8) et(d) : y = 6 Les points A, B et C sont-ils alignés? ) A(; 6), B(6; ) et C(; ) ; ) A(; 7), B( ; 9) et C(; ) ; ) A( ; 6), B( ; ) et C(; 7) ; On considère les points A et B de coordonnées respectives (; 5) et( ; ). Déterminer y, ordonnée du point C de coordonnées (; y) tel que A, B et C soient alignés..6 Déterminer le nombre de solutions des systèmes. = y = 5 ) ) = y = y = 5y = 9 ) ) y = 6 6 9y = Pour chacun des systèmes suivants : déterminer le nombre de solutions; résoudre les systèmes ayant des solutions. Interpréter graphiquement les solutions. y = y = ) ) y = y = 5 Chapitre F5. Fonctions affines Problèmes du premier degré 5

8 6.6 Résoudre les systèmes suivants : y = 5 7y = 6 ) ) 8 5y = 7 y = Dans un repère, tracer les droites : d : y = d : y = Conjecturer graphiquement les coordonnées de leur point d intersection K. Vérifier par le calcul que les coordonnées lues sont eactes. 8.6 À l aide du graphique ci-dessous, donner les solutions des systèmes suivants. On considère la figure cicontre où les dimensions sont données en cm et les aires en cm. ABCD est un rectangle. Le triangle DCF est rectangle en D. On donne AB = ; AF = 6; DF =. ) Eprimer AD en fonction de. ) Montrer que l aire du rectangle ABCD est de. ) Calculer l aire du triangle DCF en fonction de. ) Pour quelle valeur de, l aire du rectangle ABCD est-elle égale à l aire du triangle DCF? Voici deu tableau de signes : 6 A D F B C ) y = y = ) y = y = ) y = Problèmes. Approfondissement y = f() g() 6 9 La fonction f définie par : f() = ( )() () est-elle une fonction affine? Justifier. f est une fonction affine telle que f(6) = et f() = 6. Que vaut f(789)? La fonction f : est-elle une fonction affine? Une piscine propose une carte d abonnement à e qui permet de profiter d un tarif d entrée de,e. Sans la carte, l entrée est à,9e. On note le nombre d entrées à la piscine. Soient f() le pri total à payer en fonction de avec la carte et g() le pri total à payer en fonction de sans la carte. ) Eprimer f() et g() en fonction de. ) Déterminer la formule la plus intéressante selon le nombre d entrées à la piscine. ) Proposer une fonction vérifiant chacun des tableau de signes. ) À l aide de ces tableau, résoudre : f() g() < ) Peut-on comparer f et g? Si oui, sur quel(s) intervalle(s)? 5 Dans un club de gym, il y a deu formules possibles : Formule A : abonnement mensuel de 8e, et 5epar séance ; Formule B : abonnement mensuel de e, et,75e par séance. Soit le nombre de séances mensuelles d un abonné. ) A quel ensemble appartient-il? ) Eprimer en fonction de le pri payé P A avec la formule A et le pri P B avec la formule B. ) Combien doit-on faire de séances pour que la formule B soit plus avantageuse? 6 Chapitre F5. Fonctions affines Problèmes du premier degré

9 Ý Ý S entraîner 6 Boulétos achète des ingrédients pour faire des crêpes. Il dépense 8 euros, fait crêpes et part les vendre sur le marché, 7 centimes la crêpe, pour financer un voyage scolaire en Grèce. ) S il réussit à vendre 5 crêpes, quel sera son bénéfice? Et s il n en vend que? ) Déterminer l epression de la fonction B qui, à un nombre de crêpes vendues associe le bénéfice B(). ) Dresser le tableau de signes de B(). Quel renseignement donne-t-il à Boulétos? 7 La droite ci-dessous représente la fonction p qui donne le pri p() d une course de tai en fonction du nombre de kilomètres parcourus Pri en euros km ) Eprimer le pri p() en fonction de. ) Pour un autre tai, le pri t() d une course en fonction du nombre de kilomètres admet pour epression t() = 8. a) Représenter, sur le graphique, la fonction t. b) Déterminer graphiquement, à partir de quelle distance, le tarif t() est plus avantageu. 8 Trois amis désirent se faire livrer des pizzas à l occasion d une fête qu ils organisent. Chez Pasqualito, on leur propose,6 e la pizza et 8,e pour la livraison. «La livraison est trop chère,» dit Margarita. Chez Nabolito, on leur propose 5, e la pizza et,e pour la livraison. «Elles sont trop chères ces pizzas» dit Quatrefromage. «De toutes façons, ça nous fera le même pri» remarque Calzone. Combien nos trois amis avaient-ils l intention d acheter de pizzas? 9 Un ticket de bus coûte,e. On peut aussi prendre un abonnement annuel de e ; le trajet coûte alors e. ) On note le nombre de trajets en bus effectués dans l année. Donner l epression de la fonction : f qui à associe le pri total sans abonnement ; g qui à associe le pri total avec abonnement. ) Donner l epression réduite de h() = f() g(). Que représente h()? ) Représenter les fonctions f, g et h sur l écran d une calculatrice. ) A partir de combien de trajets effectués dans l année l abonnement est-il intéressant? Justifier par un calcul. 5 On donne le tableau de signes d une fonction affine : f() ) Compléter les pointillés avec les symboles<ou>. f( 5)... f()... f()... ) Un élève affirme qu avec ce seul tableau de signes, il peut comparer f(6) avec f(7). Comment faitil? ) Un autre élève affirme qu il peut donner le signe de f(5) f(). Comment fait-il? 5 Voici la représentation graphique d une fonction affine f. Déterminer, par le calcul, la valeur eacte de y. 5 y O - 7 Chapitre F5. Fonctions affines Problèmes du premier degré 7

10 5 Soit ABCD un rectangle et M un point de[ab] tel que AM =. Le point E est le projeté orthogonal de M sur [CD]. On sait de plus, que DC = 6 et AD =. A M D E C 6 Montrer que les fonctions suivantes sont affines en les écrivant sous la forme «ab» : f : MB g : périmètre(amed) h : Aire(AME) u : Aire(BMC) k : Aire(AMEC) 5 Au bar de la poste, 5 amis profitent de la terrasse au soleil. Ils ont commandé cafés et thés. Le serveur leur demande,e. Ils sont rejoints par amis qui commandent cafés et thé. Cette fois-ci, le serveur leur demande 7,e. Afin que les amis puissent payer chacun leur part, déterminer le pri d un thé et le pri d un café. 5 Solde Amira va faire les boutiques. Elle achète dans un même magasin deu tee-shirts et une jupe pour 9,7e. La semaine suivante, elle reçoit un teto du magasin pour des ventes privées : réduction de 5 % pour les teeshirts et de % sur les jupes. Elle décide de faire des cadeau à sa mère et ses sœurs et achète 6 tee-shirts et jupes. Elle paye 7,56e. Quelle somme ces ventes privées lui ont-elles fait économiser? B 55 De grandes coordonnées Dans un repère (O; I, J) d unité graphique cm, tracer la droite passant par les points A( 98; ) et B( 89; 888). La construction sera soigneusement justifiée. 56 ALGO Que fait l algorithme ci-dessous : Variables et y sont des nombres entiers Traitement Tant que y < 5 y prend la valeur prend la valeur Fin Tant que Sortie Afficher 57 ALGO On considère la fonction affine f définie sur R par : f() = Soit M un point de coordonnées( M ; y M ). Compléter l algorithme ci-contre afin qu il teste si le point M est ou n est pas sur la représentation graphique D de la fonction f. Variables M et y M sont des nombres réels Entrées Saisir les valeurs de M, y M Traitement Si... Alors afficher :... Sinon, afficher :... 8 Chapitre F5. Fonctions affines Problèmes du premier degré