Chapitre 3 Théorème de Thalès et sa «réciproque»

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1 Page 1 sur 10 Chapitre 3 Théorème de Thalès et sa «réciproque» Compétences : Exemples d'activités, commentaires :.Géogebra Observations. Agrandissement et réduction traités sauf aire et volume. Ex,33,34,37,39,41,46,47 p224 I3 DM N 3 : 49 p 224 DST N 3 poly 5/5 Démonstration : Activités 5 I. Rappels 1) Historique Activité 1 Annexe 1 On raconte que Thalès, mathématicien grec du Vie siècle av. J.-c., aurait appris aux Égyptiens à mesurer la hauteur de leurs pyramides: observant que sa canne et l'ombre de sa canne avaient la même longueur, il en déduisait qu'à cet instant, la hauteur d'une pyramide devait être égale à la longueur de son ombre.ce n'est qu'une légende: la méthode de mesure d'un objet par la longueur de l'ombre repose sur la propriété de géométrie plane qu'on étudie dans ce chapitre; on la nomme «propriété de Thalès» en hommage à ce savant qui est probablement le fondateur de la géométrie déductive grecque. Mais cette propriété était déjà bien connue des Babyloniens et des Égyptiens ( av. J.-c.) qui l'appliquaient en astronomie et en architecture. 2) Proportionnalité des longueurs dans un triangle Activité 2 1) Propriété de Thalès dans le triangle ABC : Si, dans un triangle ABC, M est un point du segment [AB], N est un point du segment [AC] et les droites (MN) et (BC ) sont parallèles, alors on a l égalité des quotients : 2)a) Calcul de AM 1 dm = 10 cm Je sais que A, M et B sont alignés, J en déduis que AM = AB - MB AM=10-4 AM=6 [AM] mesure 6 cm. b) Calcul de AN ABC est un triangle. M [ AB], N [ AC]. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Le théorème de Thalès me permet d écrire J utilise en particulier AM AN avec AB = 10, AM = 6 et AC = 8 6 AN 86 soit AN 4, [AN] mesure 4,8 cm c) Calcul de BC. J utilise en particulier AM MN avec AB = 10, AM = 6 et MN = 3 AB BC

2 soit BC 5 [BC] mesure 5 cm. 10 BC 6 Propriété admise en 4 e : Si, dans un triangle ABC, M est un point du segment [AB], N est un point du segment [AC] et les droites (MN) et (BC ) sont parallèles, alors on a l égalité des quotients : Annexe 2 ABC est un triangle M [ AB] N [ AC] (MN) // (BC) 3) Agrandissement ou réduction d une figure Activité 3 1) () BC //() () RS //() RS TU a) Je sais que (SR), (CB) ) et (TU) sont parallèles, coupées par une sécante (AT). ARS, ABC et ATU sont des angles correspondants. Or Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants sont égaux. J en déduis que ARS ABC ATU Je sais que (SR), (CB) ) et (TU) sont parallèles, coupées par une sécante (AU). ASR, ACB et AUT sont des angles correspondants. Or Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants sont égaux. J en déduis que ASR ACB AUT b)dans le triangle ABC, R [AB], S [AC], (SR) // (BC) et AR = RB Le théorème de Thalès me permet d écrire : AR AS RS J en déduis que : AR AB AS AC RS BC avec AR = RB soit AR 1 AB 2 et donc AR AS RS 1 2 Page 2 sur 10

3 Dans le triangle ATU, B [AT], C [AU], (CB) // (UT ) et AR = RB = BT AT AU TU Le théorème de Thalès me permet d écrire : AT AU TU AT 3 J en déduis que : avec AR = RB = BT soit AB 2 et donc AT AU TU 3 2 2) a) Nous remarquons que les mesures des angles des triangles ABC et ARS sont égales et que les longueurs des côtés du triangle ARS sont 2 fois plus petites que les longueurs du triangle ABC. b) Nous remarquons que les mesures des angles des triangles ABC et ATU sont égales et que les longueurs des côtés du triangle ATU sont 3 fois plus grandes que les longueurs du triangle ABC. 2 3) Le triangle ARS est une réduction du triangle ABC, les mesures des angles sont égales et les longueurs des côtés du triangle ARS sont 2 fois moins grandes que celles du triangle ABC ; le coefficient de réduction est ici égal à 1 2. Le triangle ATU est un agrandissement du triangle ABC, les mesures des angles sont égales et les longueurs des côtés du triangle ATU sont 3 2 fois plus grandes que celles du triangle ABC ; le coefficient d agrandissement est ici égal à 3 2. Le coefficient d agrandissement ou de réduction est aussi appelé l échelle. Définition : Une figure est une réduction ou un agrandissement d une autre figure semblable lorsque leurs longueurs sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est appelé l échelle. On a une réduction lorsque le coefficient de proportionnalité est strictement inférieur à 1. On a un agrandissement lorsque le coefficient de proportionnalité est strictement supérieur à 1. Propriété admise : Les mesures des angles, le parallélisme et la perpendicularité sont conservés lors d un agrandissement ou d une réduction. Annexe 3 D ' D D C B A est une réduction de DCBA. (DC)//(AB) A ' A C ' C B ' B (D C ) // (A B ) A' B ' kab, A' D ' kad, B ' C ' kbc, C ' D ' kcd Page 3 sur 10

4 II. Théorème de Thalès 1) Observation Activité 4 Géogebra Coller Annexe 4 1)2)3)4)5)6)7)8) 9) Les quotients AM AB, AN AC, MN sont égaux,on peut le prouver uniquement dans le cas ou M est un BC point du segment [AB],et N est un point du segment [AC]. ( voir propriété admise en 4 e ). 10) On conjecture que quel que soit la position des points. 2) Une démonstration Activité 5 * - Démonstration dans la configuration 3 1)2) 3) Je sais que le symétrique de (MN) par rapport à A est (M N ) Or, le symétrique d une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle. J en déduis que (MN) //(M N ). Je sais que (BC) //(NM) et que (MN) //(M N ) Or deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. J en déduis que (BC)//(N M ). 4) Le symétrique de [AN] par rapport à A est [AN ] Or, le symétrique d un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. J en déduis que AN = AN Le symétrique de [AM] par rapport à A est [AM ] Or, le symétrique d un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. J en déduis que AM = AM Le symétrique de [MN] par rapport à A est [M N ] Or, le symétrique d un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. J en déduis que MN = M N 5) M,A, B et N,A,C sont alignés, le symétrique de M par rapport à A est M et le symétrique de N par rapport à A est N. Or la symétrie centrale conserve l alignement. J en déduis que M,A,M B et N,A,N,C sont alignés Si, dans un triangle ABC, M est un point du segment [AB], N est un point de [AC] et AM ' AN ' M ' N ' (M N ) // (BC ), Le théorème de Thalès me permet d écrire : 6) Donc Page 4 sur 10

5 3) Théorème de Thalès (Démontrée dans la configuration 3 admis dans les 2 autres configurations) Théorème de Thalès : Soient : Deux droites (d) et (d ) sécantes en un point A. Deux points B et M de la droite (d), distincts du point A. Deux points C et N de la droite (d ), distincts du point A. Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors on a : Annexe 5 Configuration 1 Dans la configuration formée par les triangles AMN et ABC, B, N et A sont alignés ainsi que C, N et A. Configuration 2 (MN) et (BC) sont parallèles. AM AB AN MN AC BC Configuration 3 Page 5 sur 10

6 Cas particulier : Dans les conditions de Thalès milieux :, si de plus M est le milieu de [AB], on retrouve deux des théorèmes des 2 ème Théorème des milieux : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d un côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. Annexe 6 ABC est un triangle. M est milieu de [AB]. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. N milieu de [AC]. 1 er Théorème des milieux (Partie B) : Dans un triangle, si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. Annexe 7 ABC est un triangle. M est milieu de [AB]. N est milieu de [AC]. MN BC 2 4) Applications du Théorème de Thalès a) Pour calculer une longueur Activité 6 Dans la configuration formée par les triangles ERF et EAG, Les points R,E et G sont alignés ainsi que les points F, E et A. (RF) // (GA). Le Théorème de Thalès me permet d écrire : ER EF RF EG EA GA Page 6 sur 10

7 Calcul de ER J utilise en particulier : ER 1,8 6 4,8 Soit 1,8 6 ER 4,8 Soit ER 2,25 [ER] mesure 2,25cm. Calcul de FR J utilise en particulier : 1,8 RF 4,8 8 Soit 1,8 8 FR 4,8 Soit FR 3 [FR] mesure 3 cm. b) Pour partager un segment Activité 7 c) Pour prouver que deux droites ne sont pas parallèles Activité 8 1) (MN) et ( BC) semblent parallèles. Page 7 sur 10

8 3) Comparons AM AN et AB AC AM 3 AB AN 5 7 AC 12 AM AN Ces quotients ne sont pas égaux. 3) «Dans la configuration formée par les triangles AMN et ABC, les points A,B et M sont alignés ainsi que les points A, C et N. Si les droites (BC) et (MN) étaient parallèles, on pourrait appliquer le théorème de Thalès On aurait donc : AM AN Cette égalité n étant pas vérifiée, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles» Conséquence du théorème de Thalès (Contraposée du théorème de Thalès) : Soient : Deux droites (d) et (d ) sécantes en un point A. Deux points B et M de la droite (d), distincts du point A. Deux points C et N de la droite (d ), distincts du point A. Si deux des rapports,, sont différents alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles. Remarques : Le terme «contraposé» n est pas à retenir. dans les démonstrations on peut dire que c est le Théorème de Thalès qui nous permet de démontrer que deux droites ne sont pas parallèles. III. «Réciproque» du Théorème de Thalès Activité 9 1) Les dessins vérifient l ensemble des conditions sauf le cas du dessin d Anthony. En effet la condition : OA OB OA 2 n est pas vérifiée. OC OD OC 3 et OB 6 OD 5 2) J observe que (AB) et (CD) sont parallèles sur le dessin de Sébastien et de Clémentine. 3) Non, sur le dessin de Marie les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles. Les points O, B et D de la droite (d ) sont alignés dans le même ordre que les points O, A et C de la droite (d) sur les dessins de Sébastien et de Clémentine. Ce qui n est pas le cas sur le dessin de Marie. Les points O, B et D de la droite (d ) ne sont pas alignés dans le même ordre que les points O, A et C de la droite (d). «Réciproque» du théorème de Thalès admis : Soient : Deux droites (d) et (d') sécantes en un point A. Deux points B et M de la droite (d), distincts du point A. Deux points C et N de (d'), distincts du point A. Si AM AN et si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Page 8 sur 10

9 Annexe 8 Dans la configuration formée par les triangles AMN et ABC, Configuration 1 AM AB AN AC Configuration 2 Les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre. Configuration 3 (BC) et (MN) sont parallèles. Remarques : Constater l égalité des rapports ne suffit pas, il faut aussi vérifier que les points sont dans le même ordre. Cas particulier : Dans les conditions de la «réciproque» de la propriété de Thalès, si M est le milieu de [AB] et N le milieu de [AC], on retrouve l un des théorèmes des milieux : 1 er Théorème des milieux (Partie A): Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté. Annexe 9 ABC est un triangle. Les droites (MN) et (BC) M est milieu de [AB]. sont parallèles N est milieu de [AC]. Page 9 sur 10

10 Application pour prouver que deux droites sont parallèles : Activité 10 AM AN Comparons et AM 3, = = AB 4, AM AN Je constate que : AN 2, AC 3, Dans la configuration formée par les triangles AMN et ABC, les points N, A et C sont alignés dans le même ordre que les points M, A et B. Alors d après la «réciproque» du théorème de Thalès, nous concluons que les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Page 10 sur 10