1 Les fonctions affines

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1 Page 1/5 Les polynômes 1 Les fonctions affines 1.1 Activité Activité 1 On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 3x. 1. Représenter la courbe C f de la fonction f sur la calculatrice. Quel semble être le sens de variation de la fonction f sur R? Justifier le sens de variation de f.. Déterminer l image de 3 par f.. Déterminer l antécédent de 0 et en déduire le signe de f(x) suivant les valeurs de x, résumez le résultat dans un tableau de signe. 5. Résoudre f(x) Ce qu il faut savoir 1..1 Définition Définition On appelle une fonction affine f, une fonction définie sur un intervalle par f(x) = a x+b. Sa représentation graphique est une droite, c est la droite d équation y = ax+b. 1.. Représentation graphique Pour tracer la droite il suffit de deux points (trois c est mieux pour vérifier). Pour déterminer un point qui appartient à cette droite il suffit de choisir un x et de calculer f(x) correspondant. Par exemple : reprenons la fonction f telle que f(x) = 3x; on choisit x = donc f(1) = 3 = donc on peut placer le point A ( ; ) et on recommence avec x = 0 on obtient le point B (0 ; ) ; ainsi on peut tracer la droite (AB) qui est la représentation graphique de la fonction f. Une méthode graphique On considère la fonction affine f telle que f(x) = ax+b, où a,b désignent deux nombres réels. On commence par placer le point P (0 ; b) (en effet f(0) = b), puis en partant de ce point on avance de 1 horizontalement dans le sens positif et on monte de a (si a > 0) ou on descend de a (si a < 0), on obtient un deuxième point S. La représentation graphique de la fonction f est donc la droite (PS) Sens de variation d une fonction affine On considère la fonction affine f telle que f(x) = ax+b, où a,b désignent deux nombres réels. Si a > 0 : alors la fonction affine f est croissante. Si a < 0 : alors la fonction affine f est décroissante. 1.. Signe de ax+b Notons que ax + b = 0 quand x = b a f(x) = ax+b. et en utilisant le sens de variation de la fonction f définie par Si a > 0 Si a < 0 x b/a + Signe de f(x) 0 + x b/a + Signe de f(x) + 0

2 Page /5 1.3 Exercices Exercice 1 On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 5x. 1. Déterminer le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation sur R.. Déterminer l image de par f.. Dresser le tableau de signes de f et résoudre f(x) 0. Exercice On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 3x Déterminer le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation sur R.. Déterminer l image de par f.. Dresser le tableau de signes de f et résoudre f(x) 0. Exercice 3 Résoudre les inéquations suivantes. a. 3x+1 0 ; b. x+ 0 ; c. x 5 0 ; d. 5x 0. Exercice Les droites d 1,d,d 3, données sur la figure ci-dessous, sont les représentations graphiques des fonctions affines f 1,f,f 3. 5 d 1 3 d d 3 1. Donner, en justifiant par des calculs ou des traits de construction, une expression de chacune des fonctions affines f 1,f,f 3.. Donner, sans justifier, le signe de f 1 (x). 3. Résoudre f 1 (x) 0.. Résoudre f 3 (x) Résoudre f (x) 1 par lecture graphique puis par calcul. Exercice 5 Les droites d 1,d,d 3, données sur la figure ci-dessous, sont les représentations graphiques des fonctions affines f 1,f,f 3.

3 Page 3/5 5 d 1 3 d d 3 1. Donner, en justifiant par des calculs ou des traits de construction, une expression de chacune des fonctions affines f 1,f,f 3.. Donner, sans justifier, le signe de f 1 (x). 3. Résoudre f (x) 1 par lecture graphique puis par calcul. Exercice 6 Deux villes A et B sont séparées par une rivière comme sur la figure ci-contre. Déterminer la position du point C pour que la distance entre A et B soit minimale sachant que le pont pour traverser la rivière a pour direction une droite perpendiculaire à l axe des abscisses. Le second degré.1 Définition 6 A D C B On se donne trois nombres réels a,b,c tels que a 0. On appelle un polynôme du second degré une fonction p de la forme suivante. p(x) = a x +b x+c Exemples : f telle que f(x) = x 3x+1 est un polynôme du second degré tel que a =, b = 3 et c = 1. La fonction g telle que g(x) = x +7x est un polynôme du second degré tel que a =, b = 7 et c = 0. La fonction h telle que h(x) = x 3 est un polynôme du second degré tel que a = 1, b = 0 et c = 3.. Résolution de ax +bx+c = 0 Propriété Soit l équation E du second degré ax +bx+c = 0, telle que a,b,c sont des nombres réels où a 0. On note = b ac. Dans ces conditions : 1. Si < 0 alors l équation E n admet pas de solution réelle.. Si = 0 alors l équation E admet une unique solution x 0 dite double telle que x 0 = b. 3. Si > 0 alors l équation E admet deux solutions distinctes x 1 = b+ On appelle aussi une solution de ax +bx+c = 0, une racine de ax +bx+c. s appelle le discriminant de l équation E. Remarque et x = b.

4 Page /5 1. Si < 0 alors l expression ax +bx+c ne se factorise pas.. Si = 0 alors l expression ax +bx+c se factorise et ax +bx+c = a(x x 0 ). 3. Si > 0 alors l expression ax +bx+c se factorise et ax +bx+c = a(x x 1 )(x x )..3 Tableau de variation On considère le polynôme du second degré f définie sur R par f(x) = ax +bx+c. On note α = b et β = c a α (ou β = f(α)). Si a > 0 Si a < 0 x α + f ց ր β x α + β f ր ց. Signe de ax +bx+c, où a 0 Propriété On note S(x) = ax +bx+c, où a 0. On note = b ac. Dans ces conditions : 1. Si < 0 alors S est du signe de a.. Si = 0 alors 3. Si > 0 (on suppose x 1 < x ) alors x x 0 + Signe de S(x) Signe de a 0 Signe de a x x 1 x + Signe de S(x) Signe de a 0 Signe de a 0 Signe de a On dit aussi que S : ax +bx+c est du signe de a à l extérieur des racines et du signe opposé à a à l intérieur..5 Exercices Exercice 7 On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 3x +x Dresser le tableau de variation de la fonction f sur R.. Résoudre f(x) = Résoudre f(x) 0. Exercice 8 On considère la fonction g définie sur R par g(x) = 3x x. 1. Dresser le tableau de variation de la fonction g sur R.. Résoudre g(x) = Résoudre g(x) 0. Exercice 9 On considère la fonction h définie sur R par h(x) = 3x x Dresser le tableau de variation de la fonction h sur R.. Résoudre h(x) = Résoudre h(x) > 0.

5 Page 5/5 Exercice 10 On considère la fonction g définie sur R par g(x) = 3x 6x+. Un logiciel de calcul formel a donné le résultat ci-contre. 1. Dresser le tableau de variation de la fonction g sur R.. Justifier le résultat donné par le logiciel. 3. Résoudre g(x) 0. Exercice 11 On considère la fonction u définie sur R par u(x) = x x+. 1. Dresser le tableau de variation de la fonction u sur R.. Résoudre u(x) = Résoudre u(x) 0. Exercice 1 On dispose de 150 mètres de grillage pour clôturer, de façon rectangulaire, un champs situé au bord d une rivière (on ne clôture pas le côté situé au bord de la rivière comme sur la figure). On appelle x la longueur en mètre d un côté perpendiculaire à la rivière. 1. Expliquer pourquoi 0 x 75.. Justifier que l aire du champs est donnée par a(x) = 150xx sur [0 ; 75]. champ rivière 3. En utilisant la calculatrice et en indiquant les étapes de la démarche, donner les valeurs dexpour lesquelles l aire du champs est égale à 500 m.. Déterminer par calcul les solutions de a(x) = Calculer x pour que l aire du champs soit maximale et donner l aire correspondante.