Chapitre 7 : Les fonctions affines

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1 Chapitre 7 : Les fonctions affines En mathématiques, il existe plusieurs types de fonction. Cependant, il y a des fonctions très simples à étudier. Nous allons voir donc les fonctions dont la représentation graphique est une droite. I. Définitions et représentation d une fonction affine Définition : Fonction affine On appelle une fonction f affine En particulier, lorsque b = 0, En particulier, lorsque a = 0, Exemple : Voici différentes fonctions : f(x) = 2x La fonction f g(x) = 5x + 2 La fonction g h(x) = 5 La fonction h i(x) = 4x La fonction i j(x) = 1 La fonction j k(x) = 2(x 4) + 2x + 4 La fonction k La courbe représentative d une fonction affine est En particulier lorsqu on a une fonction linéaire, c est 1

2 Remarque : Si b = 0, la fonction f(x) = ax est une fonction linéaire traduisant II. Déterminer une fonction affine 1 Soit (d) la droite représentant la fonction f: x ax + b où a et b sont deux réels, dans un repère du plan. La droite (d) passe par le 2 Soit (d) la droite représentant la fonction f: ax + b où a et b sont deux réels, dans un repère du plan. On considère deux points distincts A et B de (d). Le coefficient a : a = Remarque : On peut noter (souvent en physique), la variation en x et y par Δx = Δy = Par conséquent on peut noter que a = Δy, ou encore Δy = aδx. Δx 2

3 Exemple : Voici différente représentation de fonction affine, retrouver a et b : Fonction f Fonction g Fonction h III. Variation d une fonction affine Soit f: x ax + b une fonction affine. a < 0 si et seulement si la fonction f est a = 0 si et seulement si la fonction f est a > 0 si et seulement si la fonction f est 3

4 IV. Tableau de signe A) Signe d une fonction affine L objectif est d étudier l évolution du signe des fonctions affines de la forme f(x) = ax + b. Étudier le signe d une expression c est déterminer l ensemble des valeurs de l inconnue x pour lesquels cette expression est strictement positive, strictement négative ou nulle. On suppose que a 0, en effet dans le cas contraire la fonction affine est constante f(x) = b. Donc le signe de f est du signe de b. f(x) = ax + b On cherche lorsque f(x) = 0 f(x) = 0 ax + b = 0 Conclure en traçant un tableau de signe Vocabulaire : La valeur de x qui annule l expression ax + b s appelle Exemples : Dressons le tableau de signe des fonctions f(x) = 4x + 2 et g(x) = 3x 6 On cherche lorsque f(x) = 0 On cherche lorsque g(x) = 0 B) Signe d une fonction quelconque Étudier le signe d une expression f(x) c est déterminer l ensemble des valeurs de l inconnue x pour lesquels cette expression est strictement positive, strictement négative ou nulle. 4

5 Dresser le tableau de signe de la fonction f ci-dessus représenté. V. Equations du 1 er degré Définition : Equation du 1 er degré Une équation du 1 er degré est une équation Exemple : Voici différentes équations du 1 er degré : 2x 1 = 2 3y + 3 = 0 Définition : Solution Les valeurs de l inconnue qui rendent Exemple : 3 est solution de l équation 2x 1 = 2, puisque 2 Remarque : 5

6 On garde une égalité vraie lorsqu on ajoute, enlève ou multiplie un nombre réel aux deux membres d une égalité. Et, on garde une égalité vraie lorsqu on divise un nombre réel non-nul aux deux membres. Cas particulier : 1. 0 x = x = 0 Exemple : Voici différentes équations du 1 er degré : 1. Résoudre x 3 = 8 2. Résoudre 2(x + 2) 3(2x 1) = 4(2 x) VI. Inéquations du 1 er degré Définition : Inéquation du 1 er degré Une inéquation du 1 er degré est une inéquation qui peut Les valeurs de l inconnue qui rendent l inégalité vraie L ensemble des solutions sont. Exemple : Voici différentes inéquations du 1 er degré : 2x 1 < 2 3y Exemple : 3 est solution de l inéquation 2x 1 < 3, puisque 2 6

7 Remarque : On garde une inégalité vraie lorsqu on ajoute ou enlève un nombre réel aux deux membres d une inégalité. Cependant attention, on garde une inégalité vraie lorsqu on multiplie ou divise par un nombre réel strictement positif. Dans le cas contraire, si on multiplie ou divise par un nombre réel strictement négatif on change l inégalité. Cas particulier : 1. 0 x < x 0 Exemple : Voici différentes inéquations : 1. Résoudre x 3 > 8 2. Résoudre 3x 5 1 7