Espaces vectoriels. Chapitre 16. Sommaire

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1 Chapitre 16 Espaces vectoriels Sommaire 16.1 Espaces vectoriels et exemples fondamentaux Dénition Exemples fondamentaux Propriétés Combinaisons linéaires Sous-espace vectoriel Dénition et caractérisation Exemples Intersection et union de sous-espaces vectoriels Sous-espace vectoriel engendré Base d'un espace vectoriel Diérentes familles de vecteurs Base d'un espace vectoriel Dans ce chapitre, nous allons commencer l'algèbre linéaire. Il s'agit d'un domaine très vaste des mathématiques, complètement nouveau pour vous dans la théorie, bien que vous en connaissiez déjà très bien plusieurs exemples. Les espaces vectoriels sont une structure fondamentale. L'objectif premier de cette théorie est de dégager les propriétés communes que partagent des ensembles pourtant très diérents. Le nom vient d'un des ensembles les plus simples à visualiser : celui des vecteurs du plan. On peut, par exemple, additionner deux vecteurs du plan, et aussi multiplier un vecteur par un réel ; dans les deux cas le résultat reste dans l'ensemble des vecteurs. On retrouve cette propriété avec les espaces des fonctions continues, des matrices, des polynômes,... En revanche, cette propriété est fausse pour l'espace des fonctions monotones par exemple. Voyons alors comment dénir proprement un espace vectoriel et ce qu'on peut dire de ces espaces. Notation 16.1 Dans tout le chapitre, on note K le corps R ou le corps C. 160

2 16.1. ESPACES VECTORIELS ET EXEMPLES FONDAMENTAUX 16.1 Espaces vectoriels et exemples fondamentaux Dénition Dénition 16.1 (Lois de composition) Soit E un ensemble non vide. ˆ On dit que la loi + est une loi de composition interne sur E si (x, y) E 2, x + y E. ˆ On dit que la loi est une loi de composition externe de domaine K sur E si x E, λ K, λ x E. Exemple ˆ Si on se place sur M n (R), nous avons déni une loi de composition interne + et une loi de composition externe de domaine R dans le Chapitre 10. En eet, (M, N) M n (R) 2, M + N M n (R) et λ R, λ M = λm M n (R). ˆ En revanche, si on se place sur M n (R), n'est pas une loi de composition externe de domaine C car par exemple, si M M n (R), alors i M / M n (R). ˆ Si on se place sur l'espace des fonctions monotones sur R +, la loi + n'est pas une loi de composition interne. Par exemple f : x x et g : x 4x sont toutes les deux monotones sur R + en revanche, f + g : x (x 2) 2 n'est pas monotone sur R+. C'est à partir de ces deux types de lois que nous dénissons la notion d'espace vectoriel. Dénition 16.2 (Espace vectoriel sur K) On appelle espace vectoriel sur K (ou K-espace vectoriel), tout ensemble E non vide muni : ˆ d'un loi de composition interne notée + telle que : (a) (u, v) E, u + v = v + u (commutativité), (b) (u, v, w) E 3, (u + v) + w = u + (v + w) (associativité), (c) il existe un élément de E appelé neutre et noté 0 E, tel que : u E, u + 0 E = u, (d) tout élément u de E possède un opposé noté u, élément de E, vériant : u + ( u) = 0 E, ˆ d'une loi de composition externe de domaine K notée, telle que : (a) (λ, u, v) K E 2, λ (u + v) = λ u + λ v, (b) (λ, µ, u) K 2 E, (λ + µ) u = λ u + µ u, (c) (λ, µ, u) K 2 E, λ (µ u) = (λµ) u, (d) u E, 1 u = u. Dans toute la suite du chapitre, E désignera un espace vectoriel sur K. Cette dénition s'accompagne d'un vocabulaire spécique ainsi que de conventions de notations

3 CHAPITRE 16. ESPACES VECTORIELS Dénition 16.3 (Vecteur et scalaire) ˆ Les éléments de E sont appelés les vecteurs et sont notés avec l'alphabet latin. ˆ Les éléments de K sont appelés les scalaires et sont notés avec l'alphabet grec. ˆ La loi est appelée multiplication par un scalaire. Remarque 16.1 (Abus de notation) Pour plus de lisibilité, et lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on adopte les abus de notation suivant : ˆ λu à la place de λ u (mais attention, jamais uλ), ˆ u v à la place de u + ( v), Attention en revanche à ne pas confondre 0 E E et 0 K! Avant d'étudier des exemples de tels espaces, démontrons une propriété importante. Propriété 16.1 (Unicité) E possède un unique neutre et chaque vecteur possède un unique opposé Exemples fondamentaux 1. K n est un K-espace vectoriel, si on le muni des lois suivantes : ˆ loi de composition interne + : ˆ loi de composition externe : L'élément neutre de cet espace vectoriel est L'opposé de l'élément (x 1,..., x n ) est Cas particulier : lorsque n = 1, on travaille dans C ou dans R. Ainsi, R est un R-espace vectoriel si on le muni de l'addition et de la multiplication usuelle. 2. K[X] est un K-espace vectoriel 162 Cours ECS1

4 16.1. ESPACES VECTORIELS ET EXEMPLES FONDAMENTAUX 3. R N est un R-espace vectoriel 4. F(I, R) est un R-espace vectoriel 5. M n,p (K) est un K-espace vectoriel Remarque 16.2 (C ou R espace vectoriel) Un C-espace vectoriel est un R-espace vectoriel mais la réciproque est fausse! Exercice Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des espaces vectoriels sur R? 1. N. 2. L'ensemble des réels compris entre 0 et Les fonctions continues sur l'intervalle [0, 1] Propriétés Voyons maintenant quelques propriétés importantes des espaces vectoriels. La propriété suivante donne des règles de calculs qui découlent directement de la dénition d'un espace vectoriel mais qui sont beaucoup plus manipulables

5 CHAPITRE 16. ESPACES VECTORIELS Propriété 16.2 (Règles de calcul) Soient (u, v) E 2 et (λ, µ) K 2. On a : 1. λ 0 E = 0 E, 2. 0 u = 0 E, 3. λ ( u) = ( λ) u, en particulier ( 1) u = u, 4. λ (u v) = λ u λ v, 5. (λ µ) u = λ u µ u, ( n ) 6. λ K, (u 1,..., u n ) E n : λ u k = λ u k, ( k=1 k=1 n ) 7. u E, (λ 1,..., λ n ) K n : λ k u = λ k u. k=1 k=1 Propriété 16.3 (Produit nul) Soit (λ, u) K E. On a alors : λ u = 0 E (λ = 0 ou u = 0 E ). Remarque 16.3 Cela implique directement que si u 0 E alors λ u = µ u λ = µ ou que si λ µ, alors λ u = µ u u = 0 E Combinaisons linéaires Pour terminer cette section, nous allons introduire la notion de combinaison linéaire qui a une grande importance en algèbre linéaire. Dénition 16.4 (Combinaison linéaire) Soit (u 1,..., u n ) E n. On appelle combinaison linéaire de u 1,..., u n tout vecteur u de la forme : u = λ k u k où (λ 1,..., λ n ) K n. k=1 Exemple (5, 6, 9) est une combinaison linéaire de (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1) car (5, 6, 9) = 5 (1, 0, 0) + 6 (0, 1, 0) + 9 (0, 0, 1). 2. P = 7X 3 6X + 1 est une combinaison linéaire de 1, X et X 2 car P = 7 X 2 + ( 6) X Exercice Montrer que (0, 7) est une combinaison linéaire de (2, 3) et de (1, 2). 2. Montrer que 2X 2 X + 3 n'est pas une combinaison linéaire de (X 1) 2 et de X. 164 Cours ECS1

6 16.2. SOUS-ESPACE VECTORIEL 16.2 Sous-espace vectoriel La dénition d'un espace vectoriel est relativement longue et donc assez peu manipulable. En pratique, on travaille très rarement avec elle directement. En revanche, comme on a pu le voir dans l'exercice 1 pour les fonctions continues, il est plus facile de démontrer qu'un sous-ensemble d'un espace vectoriel est un espace vectoriel. Nous allons maintenant dénir la notion de sous-espace vectoriel qui repose sur cette idée. Les exemples fondamentaux de la partie précédente sont maintenant considérés comme connus. Ce sont des espaces vectoriels de référence. Ainsi, en exercice, sauf si cela est demandé explicitement, vous n'avez pas besoin de redémontrer qu'il s'agit d'espaces vectoriels. La notion de sous-espace vectoriel va alors nous permettre, à partir de ces gros espaces vectoriels de référence, d'étudier plus simplement d'autres espaces vectoriels (qui seront des sous-ensembles de ces derniers) Dénition et caractérisation Dénition 16.5 (Sous-espace vectoriel) On appelle sous-espace vectoriel de E toute partie F de E vériant : 1. F, 2. F est stable par + : (u, v) F 2, u + v F, 3. F est stable par : (λ, u) K F, λu F. Exemple ˆ 0 E et E sont des sous-espaces vectoriels de E. ˆ Les fonctions continues de [0, 1] dans R forment un sous-espace vectoriel de F([0, 1], R). Avant d'aller plus loin dans les exemples, voyons une propriété qui nous permettra de donner une caractérisation des sous-espaces vectoriels plus manipulable. Propriété 16.4 (Elément neutre) Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors F est aussi un espace vectoriel sur K. Son élément neutre est de plus 0 F = 0 E. Remarque 16.4 Nus avons entre-autre montré qu'un sous-espace vectoriel contient toujours le vecteur nul. Théorème 16.1 (Caractérisation des sous-espaces vectoriels) Soit F une partie de E. F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si : 1. 0 E F, 2. (λ, µ) K 2, (u, v) E 2, λu + µv F (stabilité par combinaison linéaire). Remarque 16.5 (Combinaison linéaire) Par récurrence, on déduit facilement du précédent théorème que si (u 1,..., u n ) F n, alors toute combinaison linéaire de u 1,..., u n est dans F

7 CHAPITRE 16. ESPACES VECTORIELS Méthode 16.2 (Montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel) La plupart du temps, pour montrer qu'un ensemble F est un espace vectoriel, on montre que c'est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de référence E par la caractérisation précédente : 1. On pose E est un on rappelle que c'est un espace vectoriel de référence. 2. On montre que F E. 3. On montre que 0 E F. 4. On montre F est stable par combinaison linéaire Exemples Voici quelques exemples et contre-exemples importants à retenir. 1. Sous-espaces vectoriels de K n : 2. Sous-espaces vectoriels de K[X] : 3. Sous-espaces vectoriels de R N : 166 Cours ECS1

8 16.2. SOUS-ESPACE VECTORIEL 4. Sous-espaces vectoriels de F(I, R) : Exercice Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels? 1. {(x, y) R 2 tq x + y = 1} 2. {(x, y) R 2 tq xy = 0} 3. {(x, y) R 2 tq x + y Z} 4. {(a, 2a, 3a), a R} Intersection et union de sous-espaces vectoriels Certaines opérations sur les ensembles se comportent bien avec les espaces vectoriels. C'est le cas de l'intersection. Propriété 16.5 (Stabilité par intersection) Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, alors F G est un sous-espace vectoriel de E. Exemple Si on pose F = {(x, y, z) R 3 z = 0} et G = {(x, y, z) R 3 x = 0} alors, F G = est un sous espace vectoriel de R 3. Exercice Montrer que l'ensemble des polynômes réels admettant a et b comme racines est un sous-espace vectoriel de R[X]. On peut généraliser ce résultat à une intersection quelconque. Propriété 16.6 (Stabilité par intersection quelconque) Si (F 1,..., F n ) est une famille de n sous-espaces vectoriels de E, alors i I F i est un sous-espace vectoriel de E. Remarque 16.6 (Attention à l'union) Les propriétés précédentes sont fausses pour l'union. Exercice Donner un exemple de deux sous-espaces vectoriels dont l'union n'est plus un sous-espace vectoriel. 2. Plus généralement, montrer que pour F et G deux sous-espaces vectoriels de E, on a : F G sous-espace vectoriel de E F G ou G F

9 CHAPITRE 16. ESPACES VECTORIELS Sous-espace vectoriel engendré Dans cette partie, nous allons construire des sous-espaces vectoriels à partir de vecteurs de E. Dénition 16.6 (Sous-espace engendré par une famille de vecteurs) Pour n N, on considère (x i ) 1 i n une famille de vecteurs de E. L'ensemble des combinaisons linéaires de cette famille de vecteur est appelée sous-espace de E engendré par les (x i ). On le note V ect(x 1,..., x n ). Propriété 16.7 (V ect est un sev) Avec les notations de la dénition précédente, V ect(x 1,..., x n ) est un sous-espace vectoriel. C'est même le plus petit sous-espace vectoriel de E (au sens de l'inclusion) contenant tous les vecteurs x i (autrement dit, tout sous-espace vectoriel contenant tous les vecteurs x i contient V ect(x 1,..., x n )). Exemple K n [X] est le sous-espace vectoriel de K[X] engendré par la famille de vecteurs (1, X, X 2,..., X n ). Exercice Exprimer les ensembles suivants comme l'espace vectoriel engendré par une certaine famille de vecteurs : 1. K 3 vu comme K-espace vectoriel. 2. C vu comme R-espace vectoriel. 3. {(x, y, z) R 3 x + y z = 0} vu comme R-espace vectoriel. Exercice Soient (x 1, x 2 ) deux vecteurs de E et (λ, µ) deux scalaires avec λ 0. Montrer que Exercice retenir V ect(x 1, x 2 ) = V ect(λx 1 + µx 2, x 2 ). Soit F le sous-espace vectoriel de R 3 engendré par les vecteurs (1, 1, 2) et (2, 1, 1). Montrer qu'il existe trois réels a, b et c tel que F = {(x, y, z) R 3 ax + by + cz = 0}. On dit que l'on a ainsi déterminé une équation du sous-espace vectoriel F. Méthode 16.3 (Déterminer l'équation d'un sous-espace vectoriel) Pour déterminer l'équation d'un sous-espace engendré par une famille de vecteurs (e i ), on adopte le plan d'étude suivante : 1. On écrit d'abord que X = (x 1,..., x p ) V ect(e 1,..., e n ) est équivalent à X = λ 1 e λ n e n. 2. On transforme cette équation en système à p équations d'inconnues les λ i. 3. On résout ce système par le pivot de Gauss. 4. Si on ne trouve aucune condition sur les x i pour obtenir une unique solution (λ 1,..., λ n ) alors V ect(e 1,..., e n ) = R p (donc pas d'équation). Si on obtient une (ou plusieurs conditions) sur les x i, c'est cette (ce sont ces) condition(s) qui nous donnent l'équation du sous-espace vectoriel Base d un espace vectoriel Nous allons maintenant nous intéresser à des familles de vecteurs bien particulières, qui nous aiderons à construire des sous-espace vectoriel de manière optimale. 168 Cours ECS1

10 16.3. BASE D'UN ESPACE VECTORIEL Diérentes familles de vecteurs Famille génératrice Dénition 16.7 (Famille génératrice) Pour n N, on dit qu'une famille (x i ) 1 i n de vecteurs de E est génératrice de E si V ect(x 1,..., x n ) = E. On dit aussi que les x i engendrent E. Méthode 16.4 (Montrer qu'une famille est génératrice) Pour montrer qu'une famille (x i ) est génératrice d'un espace vectoriel E, on pose un vecteur x E quelconque et on exhibe une combinaison linéaire des x i égale à x. Exemple La famille des (e i ) 1 i n où e i est le n-uplet dont toutes les coordonnées sont 0 sauf la ième qui vaut 1, est génératrice de K n. 2. La famille (1, X, X 2, X 3 ) est génératrice de K 3 [X]. 3. La famille (1) est génératrice de K. 4. Il n'existe pas de famille nie génératrice de F(I, R). Remarque 16.7 (Sur ou sous-famille) ˆ Toute sur-famille dans E d'une famille génératrice de E est encore génératrice de E. ˆ Une famille de E reste génératrice si on retire les vecteurs qui s'écrivent comme combinaison linéaire des autres (à l'exclusion de lui-même). Exemple La famille (1, X, X 2 ) est génératrice de K 2 [X] donc la famille (1, X, X 2, X + X 2 ) l'est aussi. La famille (1, X + 2, X) est génératrice de K 1 [X] mais on peut enlever X + 2 et la famille (1, X) reste génératrice de K 1 [X]. Exercice On pose F = {P K 2 [X] P (2 X) = P (X)}. 1. Montrer que F est un espace vectoriel. 2. Trouver une famille de 2 vecteurs génératrice de F. Famille libre, famille liée Dénition 16.8 (Famille libre, famille liée) Pour n N, on dit qu'une famille (x i ) 1 i n de vecteurs de E est libre dans E si (λ 1, λ 2,..., λ n ) K n, λ i x i = 0 λ 1 = λ 2 = = λ n = 0. i=1 On dit aussi que les x i sont linéairement indépendants. Si la famille n'est pas libre, on dit qu'elle est liée

11 CHAPITRE 16. ESPACES VECTORIELS Méthode 16.5 (Montrer qu'une famille est libre, montrer qu'une famille est liée) ˆ Pour montrer qu'une famille (x i ) 1 i n est libre, on pose un n-uplet (λ 1,..., λ n ) quelconque vériant λ k x k = 0 et on montre, en tirant le maximum d'informations de k=1 cette égalité, qu'alors forcément, λ 1 = = λ n = 0. ˆ Pour montrer qu'une famille (x i ) 1 i n est liée, il sut d'exhiber une combinaison linéaire des x i (λ 1,..., λ n ) non triviale (c'est à dire avec au moins un λ i non nul) égale à 0 E. Exemple ˆ La famille (x, x) pour x E est liée. ˆ La famille (u, v, w) avec u = (1, 2, 1), v = (1, 1, 1) et w = (0, 1, 1) est libre dans R 3. ˆ La famille (cos, sin, 1) est libre dans F(R, R). ˆ La famille (1, X, X 2 ) est libre dans K 2 [X]. ˆ La famille des (e i ) 1 i n précédemment dénie est libre dans K n. Remarque 16.8 ˆ Toute sous-famille d'une famille libre est libre. ˆ Toute sur-famille d'une famille liée est liée. ˆ Toute famille contenant le vecteur nul est liée. ˆ Une sur-famille d'une famille libre n'est pas forcément libre. Exercice Les familles suivantes sont-elles libres ou liées? 1. {(2, 1), ( 1, 3), (0, 2)} dans R f 1 (x) = cos(x), f 2 (x) = x cos(x), f 3 (x) = sin(x) et f 4 (x) = x sin(x) dans F([0, 2π], R). Exercice Montrer que la famille (x i ) est libre si et seulement si aucun des vecteurs x i ne s'écrit comme combinaison linéaire des autres. En déduire une CNS pour que la famille soit liée Base d'un espace vectoriel Lorsqu'on assemble les deux notions précédentes, on obtient une base. Dénition 16.9 (Base) Pour n N, on dit qu'une famille (x i ) 1 i n de vecteurs de E est une base de E si elle est libre dans E et génératrice de E. Exemple ˆ La famille (1, X, X 2 ) est une base de K 2 [X]. On l'appelle la base canonique. ˆ La famille (e i ) 1 i n est une base de K n. On l'appelle la base canonique. Exercice La famille (1, i) est-elle une base de C comme R-espace vectoriel? Et de C comme C-espace vectoriel? La propriété suivante est d'une importance considérable en algèbre linéaire. C'est même globalement pour cette raison qu'on s'intéresse aux bases d'espaces vectoriels. 170 Cours ECS1

12 16.3. BASE D'UN ESPACE VECTORIEL Théorème 16.2 (Décomposition unique dans une base) Soit E un espace vectoriel et (x i ) 1 i n une base de E. Tout vecteur de E s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des x i. Autrement dit, pour tout x E, il existe un unique n-uplet (λ 1,..., λ n ) K n tel que x = λ i x i. k=1 Les λ i sont appelées les composantes du vecteur x dans la base. Exemple ˆ Les composantes de (x 1,..., x n ) dans la base canonique de K n sont x 1, x 2,..., x n. ˆ Les composantes de P = a k X k dans la base canonique sont a 0,..., a n. k=1 Exercice Montrer que la famille (X 2 + 1, X 2 + X 1, X2 + X) est une base de K 2 [X]. Méthode 16.6 (Montrer qu'une famille est une base) Pour montrer qu'une famille (x i ) est une base de E, on peut : ˆ soit montrer que la famille est libre et génératrice par les méthodes précédentes. ˆ soit montrer qu'un vecteur x E quelconque s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des x i (en exhibant cette combinaison et en démontrant qu'elle est unique). Exercice Trouver une base V1 On note F = {M M 2 (R) AM = MA} avec A = ( Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M 2 (R). 2. Déterminer une base de F. Exercice Trouver une base V2 Déterminer une base du sous-espace vectoriel suivant : F = {(x, y, z) R 3 x + 5y 3z = 0 et x 4y + 2z = 0}. ). Méthode 16.7 (Exhiber une base d'un sous-espace vectoriel déni par son équation) Pour exhiber une base d'un sous-espace vectoriel déni par son équation, 1. On considère une élément X quelconque du sous-espace vectoriel. 2. On écrit toutes les équations sous un même système (les inconnues sont les coordonnées de X) et on le résout par le pivot de Gauss. 3. Si le système n'a qu'une unique solution, alors le sous-espace est réduit à un point (c'est forcément le sous-espace nul). Sinon, on a dû faire appel à des variables auxiliaires. On écrit alors les solutions sous forme de combinaisons linéaires grâce aux variables auxiliaires. 4. Les vecteurs obtenus dans l'écriture en combinaison linéaire forment donc une famille génératrice. Il sut de montrer que la famille est également libre