Déterminants. 1 Formes n-linéaires sur E = K n. Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr

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1 le 8 Février 200 UTBM MT2 Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Déterminants K = R ou C. E un K-esp. vect. (on sait que dans le cas d un espace vectoriel de dimension finie n, quitte à choisir une base, on peut identifier E et K n.) Formes n-linéaires sur E = K n. Définition. i) Une application ϕ : E n K est dite forme n-linéaire si ϕ est linéaire par rapport à chaque variable : - v, u,..., u n E, ϕ(u,..., u i, u i + v, u i+,..., u n ) = ϕ(u,..., u i, u i, u i+,..., u n ) + ϕ(u,..., u i, v, u i+,..., u n ) - u,..., u n E, λ K, ϕ(u,..., u i, λ.u i, u i+,..., u n ) = λ.ϕ(u,..., u i, u i, u i+,..., u n ). ii) Une forme n-linéaire est dite antisymétrique si i < j, ϕ(u,..., u i, u i,..., u j, u j+,..., u n ) = ϕ(u,..., u i, u j,..., u i, u j+,..., u n ). iii) L ensemble des formes n-linéaires antisymétriques sur K est noté A n (K) (c est un K-espace vectoriel). Proposition.2 Soit ϕ une forme n-linéaire sur E alors : ϕ antisymètrique ϕ alternée (i.e. x i = x j avec i j = ϕ(x, x 2,..., x n ) = 0. Preuve. = ) Supposons ϕ symétrique. Alors ϕ(x,..., x i,.., x j,.., x n ) = ϕ(x,..., x j,.., x i,.., x n ) donc, si x i = x j on a ϕ(x,..., x i,.., x j,.., x n ) = 0. =) Si ϕ alternée alors ϕ(x,..., x i + x j,.., x j + x i,.., x n ) = 0. Mais ϕ(x,..., x i + x j,.., x j + x i,.., x n ) = ϕ(x,..., x i,.., x j,.., x n ) + ϕ(x,..., x j,.., x i,.., x n ) + ϕ(x,..., x i,.., x i,.., x n ) + ϕ(x,..., x j,.., x j,.., x n ) et ϕ(x,..., x i,.., x i,.., x n ) = ϕ(x,..., x j,.., x j,.., x n ) = 0. Donc ϕ est antisymétrique. CQFD

2 2 2 Déterminant. 2. définition. E K esp.vect. de dimension n. Soit B = {e, e 2,..., e n } une base de E. Soit ϕ : E n K une forme n-linéaire alternée. Soit (x, x 2,..., x n ) E n. Étudions ϕ(x, x 2,..., x n ) en tenant compte de B. On a :! x =a,.e + a 2,.e a n,.e n,! x 2 =a,2.e + a 2,2.e a n,2.e n,...! x n =a,n.e + a 2,n.e a n,n.e n. Alors ϕ(x, x 2,..., x n ) = ϕ(a,.e a n,.e n, a,2.e a n,2.e n,,..., a,n.e a n,n.e n ) = n i = a i,ϕ(e i, n i 2 = a i 2,2e i2,..., n i a n= i n,ne in ) = n i = a n i, i 2 = a i 2,2ϕ(e i, e i2,..., n i n = a i n,ne in ) = n i = a n i, i 2 = a i 2,2... n i a n= i n,nϕ(e i, e i2,..., e in ) Mais ϕ(e i, e i2,..., e in ) = 0 dès que i k = i k avec k k, donc ϕ(x, x 2,..., x n ) = n σ S n a σ(), a σ(2),2...a σ(n),n ϕ(e i, e i2,..., e in ) où S n est l ensemble des permutations de (,..., n) (i.e. les bijections de {,..., n} dans {,..., n}) Pour σ S n, on pose ϵ σ, la signature de σ : ϵ σ = ( ) k où k est le nombre de permutations de 2 termes nécessaires dans (σ(), σ(2),..., σ(n)) pour obtenir (, 2,..., n). Exemples 2. σ = ( ) est une permutation de (, 2, 3, 4, 5, 6) donne ϵ σ = ( ) 4 =. Conclusion : ϕ(x, x 2,..., x n ) = σ S n ϵ σ a σ(), a σ(2),2...a σ(n),n.ϕ(e, e 2,..., e n ) avec ϕ(e, e 2,..., e n ) K. On en déduit le Théorème 2.2 Soit E K e.v. muni d une base B = {e, e 2,..., e n }. L espace vectoriel sur K des formes n-linéaires alternée définie sur E est de dimension. Chaque forme n-linéaire alternée ϕ 0 est uniquement déterminée par la donnée de ϕ 0 (e, e 2,..., e n ) = k 0 K.

3 3 D où la Définition 2.3 Soit E K e.v. muni d une base B = {e, e 2,..., e n } (donc E = K n ). La forme n-linéaire ϕ 0 définie par ϕ 0 (e, e 2,..., e n ) = est appelée déterminant dans la base B = {e, e 2,..., e n } donc det B : E n K (V, V 2,..., V n ) σ S n ϵ σ x σ(), x σ(2),2...x σ(n),n x,i où i {, 2,..., n}, V ib = x 2,i.... x n,i Exemples 2.4 Soit E K-e.v. de base B = {e, e 2, e 3 }. x B = 2, x 2B = 0, x 3B = Propriétés du déterminant. Propriétés 2.5 Soit E un K-e.v. muni d une base B = {e, e 2,..., e n }. i) Si B = (e, e 2,..., e n) est une autre base de E alors det B (V,..., V n ) = det B (B). det B (V, V 2,..., V n ) (admis). ii) Si V i = 0 alors det B (V, V 2,..., V n ) = 0 (exo.). iii) Si V i = λ.v j (i j) pour λ K alors det B (V, V 2,..., V n ) = 0 (exo.). iv) Important (exo.) :det B (V,..., V i + j i λ j.v j,..., V n ) = det B (V,..., V i,..., V n ). i.e. On ne change pas le calcul du déterminant lorsqu on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres. Exercice 2.6 E = K 2 de base B = {e, e 2 }. Soient x = a.e + b.e 2 et y = c.e + d.e 2. det(x, y) = B Corollaire 2.7 Soit B une base finie de E. a b c d =? {u, u 2,..., u n } libre det B (u, u 2,..., u n } 0.

4 4 Preuve. =) Evident d après les propriétés. = ) u, u 2,..., u n libres donc F = {u, u 2,..., u n } est une base de E donc donc det F (B) 0. CQFD det B (F). det(b) = det(b) =, F B 3 Déterminant d une matrice carrée et mode de calcul. Définition 3. Soit A = (a i,j ) i,j n M n (K) alorsdet(a) = dans la base canonique de K n des n vecteurs colonnes de A. Propriétés 3.2 Soit A, B M n (K). a) det(a) = det( t A). (le vérifier pour A M 3 (R)) b) λ K, det(λ.a) = λ n. det(a). (exo.) c) det(a.b) = det(a). det(b). (le vérifier pour A, B M 3 (R)) d) A inversible det(a) 0, et, si A inversible, det(a ) = det(a). (exo.) a,... a,n a n,... a n,n est le déterminant e) Si A et B sont semblables (i.e. P Gl n (K)/B = P.A.P ) alors det B = det A. (exo.) La réciproque est fausse. Définition 3.3 Soit A M(K). Pour i, j n, on appelle mineur A i,j de la matrice A, le déterminant de la matrice obtenue à partir de A en supprimant le i ième ligne et la j ième colonne. Exemples 3.4 Si A = Application 3.5 Rang d une famille de vecteurs : F = { 3 3, 4 5, 7 8, 6 6 }. 2 2

5 5 Proposition 3.6 (calcul de déterminant) a - Développement par rapport à la k ième ligne det(a) = n ( ) k+j.a k,j.a k,j. j= b - Développement par rapport à la k ième ligne det(a) = n ( ) k+i.a i,k.a i,k. i= Exercice 3.7 Vérifier la proposition précédente pour A M 3 (K). Exemples 3.8 A = Application 3.9 déterminant d une matrice triangulaire (en exo.). Comment simplifier le calcul? i) Si les lignes (ou les colonnes) sont liées, le déterminant est nul. ii) Si on échange 2 lignes ou 2 colonnes, le déterminant change de signe. iii) Si on ajoute à une colonne (resp. une ligne), une combinaison linéaire des autres colonnes (resp. lignes),le déterminant ne change pas. Exemples Déterminant d un endomorphisme. E K e.v. Soient f End(E) et B = {e, e 2,..., e n } une base de E. On sait que M f,b = ( f(e ) B f(e 2 ) B... f(e n ) B ). Soit B = {e, e 2,..., e n}, une autre base de E alors donc det(m f,b ) = det(m f,b ). M f,b = P B,B.M f,b.p B,B,

6 6 On peut donc poser la Définition 4. E K e.v. Soient f End(E) et B = {e, e 2,..., e n } une base de E. On définit le déterminant de f par det(f) := det(m f,b ) = det(f(e ) B, f(e 2 ) B,..., f(e n ) B ) Proposition 4.2 Soit f End(E) alors Preuve. Claire puisque et f bijectif det(f) 0. f bijective M f,b inversible M f,b inversible det(m f,b ) 0. CQFD