LEÇON N 38 : 38.1 Réflexion et médiatrice

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1 LEÇON N 38 : Réflexion du plan échangeant deux points donnés ; médiatrice, régionnement associé. pplications au triangle et au cercle (cercle circonscrit, angle inscrit,...). Pré-requis : ngles orientés de vecteurs, mesurés modulo 2π ; Relation de Chasles, projection orthogonale ; Définition d une isométrie, produit scalaire. On se place dans un plan affine euclidien P orientés Réflexion et médiatrice Définition 1 : Soient d une droite de P, M un point de P et H le projeté orthogonal de M sur d. On appelle réflexion d axe d l application s d : P P : M M, où M est tel que MM = 2 MH. M H M d Proposition 1 : Une réflexion est involutive et c est une isométrie. Puisque s d (M) = M tel que MM = 2 MH, on a en particulier que (MM ) d, et H est aussi le projeté orthogonal de M sur d car H d et M, H, M sont alignés. D où s d (M ) = M tel que M M = 2 M H = 2 M M + 2 MH = 4 HM + 2 MH = 2 HM M M = 2 MH M = M, donc s d s d est l identité, et s d est bien involutive. Sur la figure ci-contre, on considère deux points et situés hors d une droite d, leurs symétriques et par rapport à cette droite, D la droite parallèle à d passant par, C le point d intersection de ( ) et D, et le symétrique de par rapport à (C ). On note encore H et H les projetés orthogonaux respectifs de et sur d. C D d Puisque D d et (C ) = ( ) d, on sait que (C ) D. Enfin, puisque D, on en déduit que le triangle C est rectangle en C. Le symétrique est donc sur ( C) = D, on en déduit que C est le milieu de [ ]. Puisque ( C) D, ( ) est la médiatrice de [ ], d où =.

2 2 Réflexions du plan échangeant deux points donnés Par hypothèses, d et D sont parallèles, H est le milieu de [ ] et H H = C = C, donc la récproque du théorème des milieux nous permet d affirmer que H est le milieu de [ ]. De plus, H est aussi le milieu de [ ], donc le quadrilatère est un parallélogramme, d où =. Par conséquent, = =, et le résultat est démontré. Proposition 2 : Une réflexion échange les angles orientés en leurs opposés. Soient,, C trois points distincts de P. On primera les images des points par la réflexion considérée. lors par la relation de Chasles, on trouve que ( C, ) = ( C, ) + (, ) + (, C ) + ( C, ) + (, ) [2π] = ( C, ) + (, ) + (, C ) + ( C, ) + (, ) [2π] = ( C, ) + (, ) + (, C ) + ( C, ) + (, ) [2π] = ( C, ) ( C, ) ( C, ) [2π] = ( C, ) 2( C, ) [2π] ( C, ) = ( C, ) [π]. C La formule d l-kashi appliquée aux deux triangles C et C (dont les côtés ont même mesure puisqu une réflexion est une isométrie) nous permet de voir que les angles géométriques  et  sont les mêmes (ils ont même cosinus). L égalité modulo π devient alors une égalité modulo 2π (sinon l un des angles pourrait être aigu et l autre obtu), et le résultat s en trouve démontré. C Théorème 1 : Soient, P distincts. lors il existe une unique droite telle que la réflexion par rapport à échange en. Donc () et est appelée médiatrice de []. Soit une telle droite. Par définition d une réflexion, () et I, milieu de [] (puisque = 2 I et I est le projeté orthogonal de sur ), donc est la perpendiculaire à () passant par I. Réciproquement, la perpendiculaire à () passant par I est bien un axe de réflexion échangeant et Régionnement associé Théorème 2 : (médiatrice de []) est l ensemble des points équidistants de et. Soit M un point vérifiant M = M. lors M 2 = M 2, donc M 2 M 2 = 0, qui est équivalent à 0 = ( M M)( M+ M) = (2MI) avec I milieu de []. Donc (produit scalaire) () (M I), et d après le théorème précédent, la seule droite perpendiculaire à () passant par I est, donc M. Réciproquement, si M, on a M = s ()s (M) = M.

3 Réflexions du plan échangeant deux points donnés 3 Conséquence : Cela fournit un procédé de construction de la médiatrice de un segment [] : en effet, si l on trace deux cercles de centres et ayant un même rayon suffisamment grand pour qu il se croisent, les deux points d intersection en question sont sur, d où! Définition 2 : On appelle P (resp. P ) le demi-plan ouvert de frontière contenant (resp. ). Théorème 3 : (i) {M P M < M} = P ; (ii) {M P M > M} = P ; (iii) {M P M = M} =. (i)-(ii) Soit H le projeté orthogonal de M sur () et I le milieu de []. lors M 2 M 2 = ( M M)( M + M) = (2MI) = 2( IH + HM) = 2 IH = 2 IH car,, I, H sont alignés et () (HM). Il vient donc que M < M IH < 0 H ]I) M P et on montre de même que M > M M P. (iii) cf. théorème pplication u triangle Proposition 3 : Soient C un triangle, I (resp. J) le milieu de [] (resp. [C]). lors (IJ) (C). Soit H le projeté orthogonal de sur (C). Le triangle HC est rectangle en H, donc J = JC = JH (en effet, si K désigne le symétrique de H par rapport à J, HCK est un rectangle et donc ses diagonales ont même longueur et se coupent en leur milieu J). Donc J est sur la médiatrice de [H]. On montre de la même manière que I y est aussi. Cette médiatrice n est donc autre que la droite (IJ), donc perpendiculaire à (H) qui est elle-même perpendiculaire à (C). D où le résultat. Proposition 4 : Les trois médiatrices d un triangle non plat sont concourantes en un point. Soit C un triangle non plat. Les médiatrices de [] et de [C] sont concourantes en un point O, car () (C). lors O O = O et O O = OC. On en déduit que {O} = O = OC O, où est la médiatrice de [C].

4 4 Réflexions du plan échangeant deux points donnés Conséquence : On peut construire le cercle passant par trois points non alignés, et C en traçant les médiatrices de [], [C] et [C]. Leur intersection donne le centre de ce cercle u cercle Théorème 4 (théorème de l angle inscrit) : Soient M,, trois points distincts d un cercle de centre O, et T un point de la tangente en. lors ( O, O) = 2( M, M) (mod 2π) et ( O, O) = 2( T, ) τ M O T Considérons les médiatrices de [M] et de [M]. Puisqu une réflexion transforme un angle de vecteurs en son opposé, nous avons, nous avons par application des réflexions d axe et : ( M, MO) = ( M, O) et ( M, MO) = ( M, O). insi, par la relation de Chasles, nous avons ( O, O) = ( O, M) + ( M, MO) + ( MO, M) + ( M, O) (mod 2π) = ( M, MO) + ( M, MO) + ( MO, M) + ( MO, M) (mod 2π) = 2( M, MO) + 2( MO, M) (mod 2π) = 2( M, M) On a aussi 2( T, ) = 2( T, O) + 2( O, ) = π + 2( O, ) (mod 2π), et puisque la somme des angles orientés du triangle isocèle O est égale à π, on a 2( O, ) = π ( O, O) (mod 2π), d où 2( T, ) = π + 2( O, O) = π + π ( O, O) = ( O, O) Corollaire 1 : Soient quatre points,, C, D du plan P distincts. Ils sont alignés ou cocycliques si et seulement si ( C, C) = ( D, D) (mod π). " " : Si alignés, l égalité est immédiate. Supposons alors,, C, D cocycliques et notons O le centre du cercle obtenu. lors le théorème 1 nous assure que 1 2 ( O, 1 O) = ( C, C) (mod π) et 2 ( O, O) = ( D, D) D où ( C, C) = ( D, D) (mod π). (mod π), " " : Notons α la mesure principale de ( C, C), de sorte que ( C, C) = α (mod π) et ( D, D) = α (mod π). D où C, D Γ α π (cf. leçon n 31) et donc, par la proposition 1,C, D () si α = 0 (mod π) et les quatre points sont alignés, ou alors C, D C avec C cercle passant par et, et les quatre points sont cocycliques.

5 Réflexions du plan échangeant deux points donnés 5 On pourra donner en applications complémentaires la droite de Simpson et le point de Miquel, que nous trouverons en leçon n 31, ou encore l exercice suivant : Exercice : Soient 1, 2 et 3 trois droites concourantes. Trouver un triangle C tel que ces trois droites en soient les médiatrices. Convenons tout d abord u = O O et v = O 1 O 1 (ce qui implique d ailleurs que v = O 2 O 2 par construction de 1 et 2 ). 1. Puisqu on sait grâce à la proposition 4 que les trois sommets du triangle se trouvent sur un même cercle dont le centre est l intersection commune des trois médiatrices, que l on note O, on construit un cercle de centre O et de rayon quelconque. 2. Nous construirons, et C tels que 1 soit la médiatrice de [], 2 celle de [C] et donc 3 celle de [C]. Soit f = s 1 s 2 s 3. Dans ce cas, on a f() = s 1 s 2 s 3 () = s 1 s 2 (C) = s 1 () =, et puisque f(o) = O et f(), on en déduit que f = s (O). 3. Soit alors M P. Nous allons construire M = f(m) = s 1 s 2 s 3 (M). D après ce qui précède, (O) est la médiatrice de [MM ]. près construction de M (à partir d un point M choisi dans le plan), on obtient donc (O). 4. Puisque (O) et C, on en déduit : C (O) = {}. Les points et C s en déduisent. On peut remarquer que pour chaque rayon choisi, il y a 2 choix pour le point. Mais l infinité de rayons possible impliquent que ce problème a une infinité de solutions. Illustrons tout de même cet exercice : M M O C M 3 M 2