MATHÉMATIQUE MAT Prétest C. Corrigé

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1 MATHÉMATIQUE MAT-5111 COMPLÉMENT ET SYNTHÈSE II Prétest C Corrigé Préparé par : France Joyal et Yves Robitaille Vérifié par : Paul Huard et Gilles Viau Novembre 008

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3 Question 1 Soient deu fonctions dont voici les règles : ( + 1) f ( ) ( 3) (1 + 3 ) g( ) ( 1) a) Quelle est la règle de la composée ( ) f ( ) g f g( ) ( + 1) g ( 3) ( + 1) 1+ 3 ( 3) ( + 1) 1 ( 3) ( 3) (3 + 3) + ( 3) ( 3) ( + 1) ( 3) ( 3) ( 3) ( ) ( 3) ( ) ( 3) 4 ( 3) 4 ( 3) 4 ( 3) ( 3) 4 4( 3) 4( 3) Réponse : Page 1

4 b) Quelle est la règle de la composée f g( ) ( ) g( ) f g f ( ) (1 + 3 ) f ( 1) (1 + 3 ) + 1 ( 1) (1 + 3 ) 3 ( 1) (1 + 3 ) ( 1) + ( 1) ( 1) (1 + 3 ) ( 1) 3 ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) 4 ( 1) 4 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) Réponse : c) Quelle est l image de la composée f g() Puisque f g( ) alors f g() Page

5 Question a) 8 < < 0 Solution 1 Solution Par Décomposition de facteurs Par la formule ± b b 4ac a Produit 0 et somme 8 i 10 0 et ( ) ( ) Donc + 10 < 0 Soit + 0 ou 10 0 ou 10 b ± b 4ac a a 1 b 8 c 0 ± ( 8) ( 8) 4(1i 0) 8 ± (1) 8 ± ± Dans les deu cas on retrouve ou 10 Donc vérifions avec des nombres stratégiques : 0 (zéro), - et 10 Si 0 0 8(0) < < 0 0 < 0 VRAI Si ( ) 8( ) < < 0 0 < 0 FAUX Si (10) < < 0 0 < 0 FAUX Réponse a) : ], 10 [ Page 3

6 b) b b b -4-4 r 6 4 r 3 Cas # Cas #1 4 r 3 4 b r b r 7 b 1 r 7 b Réponse b) : R ou ou { R 0,5 ou 3,5 } c) ( ) + 4 < 8 ( ) < 8-4 ( ) < 4 -(-) < 4² -(-) < 16 (-) > > > -14 Donc b et > -14 Ici on a une restriction car l intérieur de la ne peut pas être négatif. Donc -(-)r0 - + r0 - r - b (En divisant par -1 on change le sens de l inégalité) Réponse c) -14 R Page 4

7 Question 3 a) Si B est le point milieu de CE alors CB BE et donc CE CB mcb i mce mcdi mca Selon le Th.8 mcbi ( mcb) mcdi mca i 8 i 5 ( Posons mcb) Donc mcb 10 b) mbc a, mce ab et mcd a + b A a B Soit AC a + b D O C ab E m ACi mce mbci mcd Selon le Th.81 ( + ) i ab a i a b i ab a + ab a + ab a ab a ab ab ab b a Donc la mac + 1 b Page 5

8 Question 4 D y - 3 z E - 5 A - 3 C + 4 B V Dans le ABC Selon le Th.1 (Pythagore) a + b c ( 3) + ( + 4 ) + ( 5) [ ] ( ) Soit - 0 ou À rejeter À conserver Puisque 11 alors on pourra en déduire que D y 8 z A 8 E 6 11 C 15 B V Pour la valeur de y Th.1 (Pythagore) 8² + 6² y² y² 100 y² ± 100 y² 10 y ( 10 est à rejeter ) Pour la valeur de z Th.1 (Pythagore) 8² + 11² z² z² 185 z² ± 185 z² 13,6 z ( 13,6 est à rejeter ) Page 6

9 Question5 Soient les fonctions f ( ) g( ) f() a) VRAI ou FAUX L image est R g() b) VRAI ou FAUX 5 1 Les coordonnées du sommet sont, 4 b ( 5) 5 a (1) f ( ) g( ) y f c) VRAI ou FAUX L image de f() est 1, 4 d) ( ) i( ) ( ) f ( ) g( ) ( 3) Voir ligne noire sur le graphique e) VRAI ou FAUX car dom / { } f ( ) R et dom ( ) g( ) f R Page 7

10 Question 6 f()-g() f() f() + g() Question 7 g() -3 cos ( ) - h() - - p gë h() -3 cos (-1(+p) )- g() a cos b( -h ) + k h() a + b gë h() a cos b( -h ) + k a -3 b 1 h 0 k - a -1 b -p a -3 b -1 h -p k - A -3 3 A -3 3 π π Période π Ordonnée -p (-3,14) Période π b 1 b 1 Déphasage h 0 Pente -1 Déphasage h -p Translation V k - Translation V k Fréquence Fréquence P π P π Réponses a) VRAI b) FAUX gë h() c) VRAI d) VRAI e) FAUX f) VRAI g() h() Page 8

11 Question 8 hypothèse CAE est un angle eterne au cercle de centre O conclusion m CAE mce mbd C B A Il peut y avoir d autres solutions à ce numéro. Vérifiez avec votre enseignant. O Indice BE D E Affirmations mbd (1) m AEB mce () m CBE (3) m EBA 180 m CBE mce (4) m EBA 180 (5) m AEB + m EBA + m BAE 180 mbd mce (6) m BAE 180 mbd mce (7) m BAE mbd mce (8) m BAE mbd mce (9) m BAE + mce mbd (10) m BAE mce mbd (11) m CAE Théorème 77 Théorème 77 Théorème 1 Justifications Substitution de () dans (3) Théorème 5 Substitution de (1) et (4)dans (5) Isolement de Car BAE CAE BAE dans (6) cqfd Page 9

12 Question 9 hypothèse Soit un cercle de centre O et deu arcs congrus ( mab mef ) conclusion mab mef A B O F E Affirmation Justification (1) moa mob moe mof par définition d un rayon de cercle () m AOB mab Théorème 76 (3) m EOF mef Théorème 76 (4) (5) (6) (7) mab mef m AOB m EOF AOB EOF mab mef Par Hypothèse En substituant () et (3) dans (4) Théorème 16 Par isométrie AOB EOF cqfd Page 10

13 Question > 4t 64t t + t > ( t t ) ( t t ) > > 4 4 t 16t + 15 < 0 Ici il y a deu façons de trouver la valeur de t : Soit par décomposition de facteurs Soit par la formule des «zéros» t 16t + 15 < 0 ( t 1) i ( t 15 ) < 0 ( a 1 b 16 c 15) a Soit que ( t 1 ) < 0 ou ( t 15 ) < 0 ( 16) ± ( 16) ( 4ii 1 15) t 1 < 0 t 15 < 0 ( 1) t > 1 t < 15 b b ac ± 4 16 ± ± t > 1 16 ± t < 15 Dans les deu cas, nous trouvons 1 et 15. ï ] 1, 15 [ ï Donc le projectile est resté tout près de 14 s dans les airs. Page 11

14 Question 11 L intérieur d une ne peut pas être négatif. 6 8c > 300 Ici il y a une restriction 6 8c 150 > 500 8c 150 > 0 8c 150 > 83,33 8c 150 > 0 8c 150 > 6944,44 8c > 150 8c > 8194, 44 c > 156, 5 c > 104,3 La restriction n aura aucune influence sur la réponse. Ils doivent donc vendre 105 barres de chocolat. Question 1 D ABC CDF Proportionnalité Petit côté AB DF AB@DF Moyen côté BC CD BC@CD Grand côté AC CF AC@CF B A 1,8cm,5cm C 5,75 cm O E F mab mbc mac K mdf mcd mcf Th. 50a) K mab 1,8, 5 mdf 5,75 mcf K K mcf Donc 0,3130, 0,098 et 7,1875 K Aire Aire Aire CDF ABC CDF Aire K ABC 1,53 15,61cm 0,098 Th. 50c) mcfimde Aire CDE Aire d'un triangle 7,19imDE 15,61 mde 4,34cm Page 1

15 Question 13 Voici les coordonnées des points dans un plan cartésien. Les solutions sont détaillées ci-dessous. O : ( 4, 4 ) A : ( 0, 1 ) B : ( 4, 9 ) C : ( -0,47 ; 6,4 ) D : ( 8,47 ; 1,76 ) E : (, 5 ) mac A : ( 0, 1 ) C : ( 0, 47 ; 6, 4 ) mac ( 0, 47 0) + (6, 4 1) d mac + ( 0, 47) (5, 4) 5, 6 mbd B : 4, 9 D : 8, 47 ; 1,76 ( ) ( ) mbd (8, 47 4) + (1, 76 9) mbd + (4, 47) ( 7, 4) 8,51 mce C : ( 0, 47; 6,4 ) E : (, 5 ) mac ( + 0, 47) + (5 6, 4) mac + (, 47) ( 1, 4), 76 Page 13

16 Les coordonnées du point A et B A et B sont les points d intersections entre le cercle O et la droite d. Par substitution de d dans O y + 1 ( 4) ( 4) + y 5 ( 4) + ( + 1 4) 5 ( 4) + ( 3) ( ) d Soit 5 0 ou y + 1 y y (0) + 1 y (4) + 1 y 1 y 9 ( ) ( ) Donc A: 0, 1 et B: 4, 9 Équation de la droite CD 1 m et le point 0: (4, 4 ) y y1 m 1 4 y 4 ( y 4) 1( 4) y y y + 6 Coordonnées du point E Par le Th. 71 E est le point milieu de AB y y + y E : (, 5 ) 5 Page 14

17 Coordonnées de C et de D Les points d intersections entre le cercle et de la droite CD 1 y ( ) + ( y ) ( ) ( 4) a 1 b 8 c 4 ± b b ac a ( 8) ( 8) (4 1 4) ( ± ) 4 ± ii (1) 8± 64 ( 16) (1) 8± 80 8± , , 47 Donc 0,5 8,5 1 Pour trouver y 1 et y 1 y y1 ( 4 5 ) + 6 y y y 6,4 1 y y y y y ( ) ,76 Donc C : ( -0,47 ; 6,4 ) D : ( 8,47 ; 1,76 ) Page 15