DURÉE 1h 50. Devoir n 5 - ALGEBRE
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- Catherine St-Laurent
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1 EX 1. Calcul numérique 3 e - Contrôle d acquisitions 1er Trimestre Novembre Soit A = 1 ( ) et B = 3 4 MATHÉMATIQUES 3e Devoirs n 5 (Algèbre) et n 6 (géométrie) Les deux devoirs sont à faire sur des copies différentes. On mettra les copies l une dans l autre. La calculatrice est autorisée et indispensable. Le soin, la clarté d'expression et de rédaction ainsi que la qualité des constructions et du langage mathématique seront pris en compte. DURÉE 1h 50. Devoir n 5 - ALGEBRE Les Relatifs - Les fractions En faisant apparaître les différentes étapes de calcul, écrire A et B sous la forme d une fraction la plus simple possible.. Calculer les quatre-cinquièmes de 8 35 On appellera C le résultat donné sous forme de fraction la plus simple possible. 3. Montrer que la somme A + B + C est un nombre entier. EX. Calcul numérique Les puissances 7 x 10 x 35 x 10 5 x (10 ) Soit D = 0, et E = -3 Calculer D et E. Donner l écriture scientifique de D et de E. -3. EX 3. Calcul numérique et littéral A - On donne les deux programmes de calculs suivants : Programme 1 a) Choisir un nombre b) Multiplier ce nombre par 3 c) Retrancher 5 d) Elever au carré e) Retrancher 5 Programme a) Choisir un nombre b) Multiplier ce nombre par 3 c) Retrancher 10 d) Multiplier par le triple du nombre choisi. 1) Appliquer les deux programmes aux nombres suivants et vous compléterez le tableau avec les résultats trouvés sans justifications. a) Le nombre choisi est 7 ; b) Le nombre choisi est -5 ; c) Le nombre choisi est 3 nombre Programme1 Programme 7-5 /3 ) Démontrer, en utilisant les développements, que si on choisit le même nombre x, les programmes 1 et, appliqués à x, aboutissent toujours au même résultat. 1/3
2 B- Développer et réduire : a) (3x + 5)² + 7x (x ) et b) (11x -3)(x 1) - (6x - 1)² C- Equations : Résoudre les équations : 1 ) x + 37 = 11 et ) -4x + 13 = x + 37 EX 1. PYTHAGORE patron pyramide Devoir n 6 - GEOMETRIE Le dessin ci-contre représente une pyramide SABC de hauteur SA = 6 cm et dont la base est un triangle ABC avec AC = 5 cm, AB = 3 cm et BC = 4 cm Les triangles SAB et SAC sont rectangles en A. 1. Calculer les longueurs SB et SC (on donnera la valeur exacte puis la valeur approchée au mm près).. Montrer que le triangle ABC est rectangle en B. 3. Calculer l aire du triangle ABC puis le volume de la pyramide SABC. 4. Dessiner un patron de cette pyramide. Rappel : Le Volume d une pyramide est base x hauteur 3 EX.THALES Sur la figure ci-contre, qui n est pas en vraie grandeur : IR = 8 cm RP = 10 cm IP = 4, 8 cm IM = 4 cm IS = 10 cm IN = 6 cm IT = 6 cm (On ne demande pas de refaire la figure) 1. Démontrer que les droites (ST) et (RP) sont parallèles.. En déduire ST. 3. Les droites (MN) et (ST) sont-elles parallèles? Justifier. EX 3.THALES Soit Cle cercle de centre O dont le diamètre EF mesure 10 cm. Une droite D, passant par le point F, coupe de cercle Cen un point G tel que FG 6 cm. La figure ci-contre n est pas dessinée en vraie grandeur. 1. Faire la figure en vraie grandeur.. a) Expliquer pourquoi le triangle EFG est un triangle rectangle en G. b) Démontrer que EG = 8 cm. 3. H est le point du segment [FG] tel que : FH = 5, 4 cm et K le point du segment [EF] tel que FK = 9 cm. Les droites (EG) et (HK) sont-elles parallèles? Justifier la réponse donnée. H /3
3 Feuille de correction (avec barème) à mettre dans la copie (ne pas coller). Nom: Prénom: Classe: Exercices Objectifs Notation EX 1 Les relatifs - Les fractions... sur 4,5 pt { 1,5 ; 1,5 ;1; 0,5 } EX Puissances... sur 3,5 pt { 1 ; 1,5 ; 1 } EX 3 A) Programme - calculer... sur 4,5 pt { ;,5 } B) Développer Réduire... sur 3,5 pt { 1,5 ; } C) Equations... sur 3 pt { 1,5 ; 1,5 } Qualité de la rédaction... sur 1 pt Total ALGÈBRE... sur 0 Exercices Objectifs Notation EX 1 Pythagore et patron sur 8 pt { ; ; ; } EX Thalès sur 5 pt { ; 1,5 ; 1,5 } EX 3 Thalès sur 5,5 pt { 1,5 ; 1,5 ; 1 ; 1,5 } Qualité de la rédaction... sur 1,5 pt Total GÉOMÉTRIE... sur 0 3/3
4 EX 1. Calcul numérique Correction du Devoir Devoir n 5 - ALGEBRE Les Relatifs - Les fractions 1. En faisant apparaître les différentes étapes de calcul, écrire A et B sous la forme d une fraction la plus simple possible A = 1 ( )=1 ( ) = 1- = - = (1,5 pt) B = 1 = 5 1 = Calculer les quatre-cinquièmes de = x = 6 1 (1,5 pt) On appellera C le résultat donné sous forme de fraction la plus simple possible x 7 x 5 7 C = x = = (1 pt) x 4 x 3. Montrer que la somme A + B + C est un nombre entier A + B + C = + + = + + = = 4 (0,5 pt) EX. Calcul numérique Les puissances Calculer D et E. D = 0, = ,80 = ,80 (1 pt) 7 x 10 x 35 x 10 E = -3 5 x (10 ) x 10 5 x 10 4 = = x -6 = 14 x 10 [4-(-6)] 5 10 = 14 x ou (1,5 pt) Donner l écriture scientifique de D et de E. D = x10 4 (écriture scientifique) (0,5 pt) E = 14 x = 1,4 x (écriture scientifique) (0,5 pt) EX 3. Calcul numérique et littéral A - On donne les deux programmes de calculs suivants : Programme 1 a) Choisir un nombre b) Multiplier ce nombre par 3 c) Retrancher 5 d) Elever au carré e) Retrancher 5 Programme a) Choisir un nombre b) Multiplier ce nombre par 3 c) Retrancher 10 d) Multiplier par le triple du nombre choisi. 4/3
5 1) Appliquer les deux programmes aux nombres suivants et vous compléterez le tableau avec les résultats trouvés sans justifications. a) Le nombre choisi est 7 ; nombre Programme1 Programme b) Le nombre choisi est -5 ; 7 (7x3-5)²-5 =16²-5= (7x3-10) x 1 =11 x 1= = 31 c) Le nombre choisi est 3-5 (-5x3-5)²-5 =(-0)²-5= (-5x3-10) x 1 =(-5) x (-15) = ( pt) = /3 6 ( x3-5)²-5 =(-3)²-5= ( x3-10) x 1 =(-8) x = = -16 ) Démontrer, en utilisant les développements, que si on choisit le même nombre x, les programmes 1 et, appliqués à x, aboutissent toujours au même résultat. Programme 1 : (xx3-5)² - 5 = (3x 5)² -5 = (9x² +5 -x3xx5) -5 = = 9x² +5-30x -5= 9x² -30x (1,5 pt) Programme : (xx3-10)x3x = (3x -10)3x= 9x² -30x (1 pt) On constate donc que les programmes 1 et donnent le même résultat 9x² -30x B- Développer et réduire : a) (3x + 5)² + 7x (x ) = (9x² x) + (7x² 14x) = 9x² x + 7x² 14x = 16x² +16x +5 (1,5 pt) b) (11x -3)(x 1) - (6x - 1)² = (11x² -11x -3x +3) (36x² +1-1x) C- Equations : Résoudre les équations : 1 ) x + 37 = 11 soit x = ; x = -6 ; x = -6/ ; x = -13 (1,5 pt) = 11x² -11x -3x +3-36x² -1 +1x = -5x² -x + ( pt) ) -4x + 13 = x + 37 soit -4x x = x x ; 13 = 6x + 37 ; = 6x ; -4 = 6x ; -4/6 = x ; x = -4 (1,5 pt) 5/3
6 Devoir n 6 - GEOMETRIE EX 1. PYTHAGORE patron pyramide Le dessin ci-contre représente une pyramide SABC de hauteur SA = 6 cm et dont la base est un triangle ABC avec AC = 5 cm, AB = 3 cm et BC = 4 cm Les triangles SAB et SAC sont rectangles en A. 1. Calculer les longueurs SB et SC (on donnera la valeur exacte puis la valeur approchée au mm près). Dans le triangle SAB, rectangle en A, en appliquant le théorème de Pythagore on obtient : SB² = SA² +AB² ; SB² = 6² +3² = = 45 SB = 45 6,7 cm au mm près. (1 pt) De même dans le triangle SAC, rectangle en A, en appliquant le théorème de Pythagore on obtient : SC² = SA² +AC² ; SC² = 6² +5² = = 61 SB = 61 7,8 cm au mm près. (1 pt). Montrer que le triangle ABC est rectangle en B. Le triangle ABC est un triangle du maçon «3-4-5» (on sait donc qu il est rectangle mais il faut tout de même le démontrer de nouveau!). AC est le plus grand côté : AC² = 5² = 5 AB² + BC² = 3² +4² = = 5 D une part on a AC² = 5 et d autre part AB² + BC² = 5. Ceci prouve que AC² = AB² + BC² et, d après la réciproque de Pythagore, que le triangle ABC est rectangle en B ( pt) 3. Calculer l aire du triangle ABC puis le volume de la pyramide SABC. Pour calculer l aire d un triangle rectangle il faut multiplier les deux côtés de l angle droit et diviser par Aire(ABC) = BA x BC = 3 x 4 = 6 cm² (1 pt) Volume(SABC)= aire de base X 3 hauteur = 6 x 6 = 1 cm³ (1 pt) 3 6/3
7 4. Dessiner un patron de cette pyramide EX.THALES Sur la figure ci-contre, qui n est pas en vraie grandeur : IR = 8 cm RP = 10 cm IP = 4, 8 cm IM = 4 cm IS = 10 cm IN = 6 cm IT = 6 cm (On ne demande pas de refaire la figure) 1. Démontrer que les droites (ST) et (RP) sont parallèles. Les points I,R,S et I,P,T sont alignés dans le même ordre. IR IS ou 0,8 ; IP IT 4,8 6 = 0,8 IR IP Comme = 0,8, d après la réciproque de Thalès IS IT ceci prouve que les droites (ST) et (RP) sont parallèles. ( pt) 7/3
8 . En déduire ST. Puisque les droites (ST) et (RP) sont parallèles, on peut appliquer le théorème direct de Thalès dans le triangle IST, avec les parallèles (ST) et (RP) : IR IS RP IP 8 = soit ST IT Les droites (MN) et (ST) sont-elles parallèles? Justifier. 10 ; 8 x ST = 10 x 10 ; ST = 100/8 = 1,5 cm (1,5 pt) ST Les points S,I,N et T,I,M sont alignés dans le même ordre. IM 4 IN 6 3 et = IT 6 3 IS 10 5 Comme (1,5 pt) IM IT IN IS, les droites (MN) et (ST) ne sont pas parallèles d après la contraposée de Thalès EX 3.THALES Soit Cle cercle de centre O dont le diamètre EF mesure 10 cm. Une droite D, passant par le point F, coupe de cercle Cen un point G tel que FG 6 cm. La figure ci-contre n est pas dessinée en vraie grandeur. 1. Faire la figure en vraie grandeur (1,5 pt). a) Expliquer pourquoi le triangle EFG est un triangle rectangle en G (1,5 pt) Si on joint un point G d un cercle aux extrémités E et F d un diamètre alors on obtient un triangle rectangle en G H b) Démontrer que EG = 8 cm (1 pt) Théorème de Pythagore dans le triangle EFG, rectangle en G : EF² = EG² + GF² ; 10² = EG² + 6² ; 100 = EG² + 36 ; = EG² 64 = EG² ; EG = 64 = 8 cm 3. H est le point du segment [FG] tel que : FH = 5, 4 cm et K le point du segment [EF] tel que FK = 9 cm. Les droites (EG) et (HK) sont-elles parallèles? Justifier la réponse donnée. Les points F,H,G et F,K,E sont alignés dans le même ordre D une part, D autre part, FH FG FK FE FH Comme FG parallèles. (1,5 pt) 5,4 = 0,9 6 9 = 0,9 10 FK ceci prouve, d après la réciproque de Thalès, que les droites (EG) et (HK) sont FE 8/3
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