Seconde 3 DS1 expressions algébriques et fonctions Sujet 1

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1 Seconde 3 DS1 epressions algébriques et fonctions Sujet 1 Eercice 1 : (8 points) On donne plusieurs epressions d'une même fonction définie sur. Forme 1 : f() = 4( 5)² - 9 Forme : f() = ( 13)( 7) Forme 3 : f() = 4² ) Développer les formes 1 et ; vérifier que l'on obtient la forme 3. ) Quelle est la forme factorisée de f()? 3) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question posée. a) Résoudre l'équation f() = 0 Calculer f(0). c) Déterminer les antécédents de 9. d) Calculer l'image de. e) Résoudre l'équation f() = 91. Eercice : (3 points) Soit ABC un triangle isocèle tel que AB = BC =. On pose AC = a. Eprimer en fonction de a: 1) Le périmètre du triangle ABC ) La hauteur issue de B dans ce triangle 3) L'aire du triangle ABC. Eercice 3 : (4 points) Résoudre les équations : a) 1 = = 5 ² - 1 Eercice 4 : (5 points) Voici la représentation graphique d'une fonction f définie sur [-4;3]. 1) Déterminer graphiquement l'image de 3 et de -3 par f, puis f(0) et f(1). ) Résoudre graphiquement l'équation f() = 0, puis l'équation f() = -4. 3) Quelle formule convient pour f()? a) f() = -² + 6 f() = ² + 6 c) f() = ² d) f() = 3-6 1

2 Seconde 3 DS1 epressions algébriques et fonctions Sujet Eercice 1 : (8 points) On donne plusieurs epressions d'une même fonction définie sur. Forme 1 : g() = 9( + 3)² - 16 Forme : g() = (3 + 13)(3 + 5) Forme 3 : g() = 9² ) Développer les formes 1 et ; vérifier que l'on obtient la forme 3. ) Quelle est la forme factorisée de g()? 3) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question posée. a) Calculer g(0). Résoudre l'équation g() = 0 c) Déterminer les antécédents de 16. d) Calculer l'image de 3. e) Résoudre l'équation g() =. Eercice : (3 points) Soit LMN un triangle isocèle tel que LM = MN = 3. On pose LN = c. Eprimer en fonction de c : 1) Le périmètre du triangle LMN ) La hauteur issue de M dans ce triangle 3) L'aire du triangle LMN. Eercice 3 : (4 points) Résoudre les équations : a) + 1 = = + 4 ( + 1)( ) Eercice 4 : (5 points) Voici la représentation graphique d'une fonction f définie sur [-3;4]. 4) Déterminer graphiquement l'image de -3 et de 3 par f, puis f(0) et f(). 5) Résoudre graphiquement l'équation f() = 0, puis l'équation f() = 4. 6) Quelle formule convient pour f()? a) f() = -² f() = ² c) f() = ² d) f() = 3 + 6

3 Seconde 3 DS1 epressions algébriques et fonctions Sujet 1 Eercice 1 : (8 points) On donne plusieurs epressions d'une même fonction définie sur. Forme 1 : f() = 4( 5)² - 9 Forme : f() = ( 13)( 7) Forme 3 : f() = 4² ) Développer les formes 1 et ; vérifier que l'on obtient la forme 3. ) Quelle est la forme factorisée de f()? 3) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question posée. a) Résoudre l'équation f() = 0 Calculer f(0). c) Déterminer les antécédents de 9. d) Calculer l'image de. e) Résoudre l'équation f() = 91. 1) Forme 1 : f() = 4(² ) 9 = 4² = 4² Forme : f() = 4² = 4² Les formes 1 et développées correspondent bien à la forme 3. ) La forme factorisée de f() est la forme. 3) a) f() = 0 ( 13)( 7) = 0 (forme ) 13 = 0 ou 7 = 0 = 13 ou = 7 S = 3 ;7 f(0) = 4 0² = 91 (forme 3) c) On résout l'équation f() = -9 4( 5)² - 9 = -9 (forme 1 ) 4( 5)² = 0 ( 5)² = 0 = 5-9 a un seul antécédent : 5 d) f( ) = 4 ( )² = = (forme 1) e) f() = 91 4( 5)² - 9 = 91 (forme 1) 4( 5)² = 100 ( 5)² = 5 5 = 5 ou 5 = -5 = 10 ou = 0 S = {0;10} 3

4 Seconde 3 DS1 epressions algébriques et fonctions Sujet 1 Eercice : (3 points) Soit ABC un triangle isocèle tel que AB = BC =. On pose AC = a. Eprimer en fonction de a: 1) Le périmètre du triangle ABC ) La hauteur issue de B dans ce triangle 3) L'aire du triangle ABC. 1) P ABC = AB + BC + AC = 4 + a ) Soit H le milieu de [AC]. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H pour calculer la hauteur h = BH issue de B dans le triangle ABC. AB² = AH² + BH² 4 = a² 4 + h² h² = 4 a² 4 3) A ABC = AC BH h² = h = 16 a² 4 16 a² = a 16 a² = a 16 a² 4 Eercice 3 : (4 points) Résoudre les équations : a) 1 = = 5 ² - 1 a) 1 = ( 1)( + ) ( + ) ² ( + ) ² ² - ( + ) - ( + ) = 0 ( + 1) ( + ) = 0 ² + ( + ) = 0 = 0 = 0 et ( + ) 0 = 1 et 0 et - = 1 S = {1} 4

5 Seconde 3 DS1 epressions algébriques et fonctions Sujet = 5 ² ( + 1)( 1) ( + 1) ( + 1)( 1) - 5 ( + 1)( 1) = ( + 1)( 1) - + ( + 1)( 1) = 0 = = 0 et ( + 1)( 1) 0 = 1 et -1 et 1 S = Eercice 4 : (5 points) Voici la représentation graphique d'une fonction f définie sur [-4;3]. 1) Déterminer graphiquement l'image de 3 et de -3 par f, puis f(0) et f(1). ) Résoudre graphiquement l'équation f() = 0, puis l'équation f() = -4. 3) Quelle formule convient pour f()? a) f() = -² + 6 f() = ² + 6 c) f() = ² d) f() = 3-6 1) Pour lire l'image de 3 par f, on détermine l'ordonnée du point d'abscisse 3 de la courbe : f(3) = 6 De même f(-3) = 0 f(0) = -6 et f(1) = -4 ) Pour résoudre graphiquement l'équation f() = 0, on détermine les abscisses des point de la courbe dont l'ordonnée est 0 : soit -3 et Les solutions de l'équation f() = 0 sont -3 et. Pour résoudre graphiquement l'équation f() = -4, on détermine les abscisses des point de la courbe dont l'ordonnée est -4 : soit - et 1 Les solutions de l'équation f() = -4 sont - et 1. 3) La formule qui convient pour f() est : f() = ² + 6 En effet, elle est la seule à vérifier : f(0) = -6; f(1) = -4; f(-3) = 0; f() = 0; f(-) = -4; f(1) = -4. 5

6 Seconde 3 DS1 epressions algébriques et fonctions Sujet Eercice 1 : (8 points) On donne plusieurs epressions d'une même fonction définie sur. Forme 1 : g() = 9( + 3)² - 16 Forme : g() = (3 + 13)(3 + 5) Forme 3 : g() = 9² ) Développer les formes 1 et ; vérifier que l'on obtient la forme 3. ) Quelle est la forme factorisée de g()? 3) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question posée. a) Calculer g(0). Résoudre l'équation g() = 0 c) Déterminer les antécédents de 16. d) Calculer l'image de 3. e) Résoudre l'équation g() =. 1) Forme 1 : f() = 9(² ) 16 = 9² = 9² Forme : f() = 9² = 9² Les formes 1 et développées correspondent bien à la forme 3. ) La forme factorisée de g() est la forme 3. 3) a) g(0) = = 65 (forme 3) g() = 0 (3 + 13)(3 + 5) = 0 (forme ) = 0 ou = 0 = ou = S = ; c) On résout l'équation g() = -16 9( + 3)² - 16 = -16 9( + 3)² = 0 (forme 1) ( + 3)² = 0 = a un seul antécédent : -3 d) g( 3) = 9 ( 3)² = = (forme 3) e) g() = 9( + 3)² - 16 = (forme 1) 9( + 3)² = 18 ( + 3)² = + 3 = ou + 3 = - = -3 + ou =- 3 - S = {-3 - ;-3 + } 6

7 Seconde 3 DS1 epressions algébriques et fonctions Sujet Eercice : (3 points) Soit LMN un triangle isocèle tel que LM = MN = 3. On pose LN = c. Eprimer en fonction de c : 1) Le périmètre du triangle LMN ) La hauteur issue de M dans ce triangle 3) L'aire du triangle LMN. 1) P LMN = LM + MN + LN = 6 + c ) Soit H le milieu de [LN]. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle LHM rectangle en H pour calculer la hauteur h = MH issue de M dans le triangle LMN. LM² = MH² + LH² 9 = c² 4 + h² h² = 9 c² 4 3) A LMN = LN MH h² = h = 36 c² 4 36 c² = c 36 c² = c² 4 36 c² Eercice 3 : (4 points) Résoudre les équations : a) + 1 = = + 4 ( + 1)( ) a) + 1 = ( + 1)( ) ( ) ² ( ) ² ² + ( ) - - ( ) = 0 ( 1) ( ) = 0 ² - ( ) = 0 = 0 - = 0 et ( ) 0 = -1 et 0 et S = {-1} 7

8 Seconde 3 DS1 epressions algébriques et fonctions Sujet = + 4 ( + 1)( ) 3( + 1) ( )( + 1) ( )( + 1) + 4 ( + 1)( ) = ( )( + 1) + 1 ( )( + 1) = = 0 et ( )( + 1) 0 = -1 et et -1 S = Eercice 4 : (5 points) Voici la représentation graphique d'une fonction f définie sur [-3;4]. 1) Déterminer graphiquement l'image de -3 et de 3 par f, puis f(0) et f(). ) Résoudre graphiquement l'équation f() = 0, puis l'équation f() = 4. 3) Quelle formule convient pour f()? a) f() = -² f() = ² c) f() = ² d) f() = = 0 1) Pour lire l'image de -3 par f, on détermine l'ordonnée du point d'abscisse -3 de la courbe : f(-3) = -6 De même f(3) = 0 f(0) = 6 et f() = 4 ) Pour résoudre graphiquement l'équation f() = 0, on détermine les abscisses des point de la courbe dont l'ordonnée est 0 : soit - et 3 Les solutions de l'équation f() = 0 sont - et 3. Pour résoudre graphiquement l'équation f() = 4, on détermine les abscisses des point de la courbe dont l'ordonnée est 4 : soit -1 et Les solutions de l'équation f() = 4 sont -1 et. 3) La formule qui convient pour f() est : f() = -² En effet, elle est la seule à vérifier : f(-3) = -6; f(-) = 0 f(0) = 6; f(-1) = 4; f(1) = 6; f() = 4; f(3) = 0. 8