Chapitre 9 : Equations différentielles

Transcription

1 Terminale STID Chapitre 9 : Equations différentielles C est au XVIIe siècle avec la dérivation et l intégration de Newton et Leibniz qu apparait la notion d équations différentielles. Elles sont issues de problèmes de géométrie et de mécanique. Il faut attendre le XVIIIe siècle pour voir les premières méthodes classiques de résolution. Avec le développement des sciences, la résolution des équations différentielles devient une branche importante des mathématiques et interviennent dans de nombreux domaines dont la SVT, l astronomie, l économie et la physique. I. Introduction aux équations différentielles Définition : Equation différentielle Une équation différentielle est une relation entre une variable réelle x ou t, une fonction qui dépend de cette variable f et un certain nombre de ses dérivées successives f, f, f () Résoudre une telle équation signifie déterminer toutes les fonctions qui satisfont cette relation. Exemple : On cherche à résoudre l équation différentielle y (x) = x. Grâce à la notion de primitive, on sait que y(x) = x + c où c est une constante réelle. On remarque qu il y a une infinité de solutions, dépendantes de la constante c. Si on impose la contrainte du type y(0) = 1 (condition initiale), on obtient : y(0) = 0 + c = c. Or y(0) = 1 donc par identification c = 1. Dans le cas d équation différentielle et condition initiale, il y a une unique solution y(x) = x + 1. Remarque : Dans la suite, on écrira la solution f plutôt que y. 1

2 Terminale STID II. Equation différentielle du type y + ay = b A. Solution générale de l équation différentielle y + ay = 0 On considère l équation différentielle y + ay = 0 (appelée équation différentielle linéaire homogène d ordre 1 à coefficient constant) où a est un réel et y une fonction dérivable de la variable x définie sur R f(x) = ke ax où k R Démonstration : On considère une fonction f quelconque définie et dérivable sur R tel que f est solution de (E). On pose la fonction g définie et dérivable par produit sur R par g(x) = f(x)e ax. g (x) = f (x)e ax + af(x)e ax = (f (x) + af(x))e ax pour tout x R Or la fonction f est solution de (E), donc f (x) + af(x) = 0, ainsi g (x) = 0 pour tout x R. On en déduit que g (x) = 0 et donc g(x) = k pour tout x R (où k est une constante). Or g(x) = f(x)e ax, d où f(x)e ax = k et donc f(x) = ke ax pour tout x R. On a montré que toutes les solutions de (E) sont nécessairement de la forme f(x) = ke ax x R Exemple 1 : Résoudre l équation différentielle : y y = 0 Les solutions sont de la forme f(x) = ke x où k est une constante réelle. Exemple : Résoudre l équation différentielle : y = 5y Cette équation différentielle s écrie y + 5 y = 0. Les solutions sont de la forme f(x) = ke 5 x où k est une constante réelle. B. Solution générale de l équation différentielle y + ay = b On considère l équation différentielle y + ay = b (appelée équation différentielle linéaire d ordre 1 à coefficient constant) où a 0 est un réel et y une fonction dérivable de la variable x définie sur R f(x) = ke ax + b a où k R Exemple : Résoudre l équation différentielle : y + y = 4 Les solutions sont de la forme f(x) = ke x + 4 = ke x + où k est une constante réelle.

3 Terminale STID C. Unicité de la solution sous condition initiale Propriété (Cauchy-Lipschitz) : Soient x 0, y 0 a 0 et b des réels donnés, l équation différentielle y + ay = b admet une unique solution f dérivable sur R vérifiant f(x 0 ) = y 0. Exemple : Résoudre l équation différentielle y 1 y = dont la solution f vérifie f(0) = 1. - Les solutions de l équation différentielle sont de la forme f(x) = ke 1 x 4 où k est une constante réel. - On obtient une infinité de solution, en fonction de k, dont en voici quelques représentations : - Parmi toutes ces courbes, une seule passe par la point de coordonnées (0; 1) correspondant à la condition initiale f(0) = 1 D où f(x) = 5e 1 x 4 pour tout t R. f(0) = 1 ke = 1 k 4 = 1 k = 5

4 Terminale STID III. Equation différentielle du type y + ω y = 0 A. Solution générale On considère l équation différentielle y + ω y = 0 où ω 0 est un réel et y une fonction deux fois dérivable de la variable x définie sur R f(x) = λ cos(ωx) + μ sin(ωx) où λ, μ R Exemple 1 : Résoudre l équation différentielle : y + 4y = 0 L équation peut s écrire y + y = 0, on a donc ω =. Les solutions sont de la forme f(x) = λ cos(x) + μ sin(x) où λ et μ sont des constantes réelles. Exemple : Résoudre l équation différentielle : 7y + y = 0 L équation peut s écrire y + 7 y = 0 ou encore y + ( 1 ) y = 0, on a donc ω = 1. Les solutions sont de la forme f(x) = λ cos ( 1 x) + μ sin (1 x) où λ et μ sont des constantes réelles. Remarque : Il peut arriver qu il soit nécessaire de transformer l écriture de la solution. f(x) = λ cos(ωx) + μsin (ωx) en f(x) = A cos(ωx + φ) ou f(x) = A sin(ωx + φ) Pour cela, on utilisera les formules de trigonométrie suivantes : cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) et sin(a + b) = cos(a) sin(b) + sin(a) cos(b) Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = cos ( x ) + sin (x ), on peut transformer f de manière à n avoir que des cosinus ou des sinus : Ou encore f(x) = ( cos (x ) + 1 sin (x )) f(x) = (cos ( π 6 ) cos (x ) + sin (π 6 ) sin (x )) f(x) = cos ( π 6 x ) f(x) = ( cos (x ) + 1 sin (x )) f(x) = (sin ( π ) cos (x ) + cos (π ) sin (x )) f(x) = sin ( π + x ) 4

5 Terminale STID A. Unicité de la solution sous condition initiale Propriété (Cauchy-Lipschitz) : L équation différentielle y + ω y = 0 admet une unique solution f définie sur R vérifiant deux conditions initiales données. Remarque : En général les conditions initiales sont de la forme { f(x 0) = y 0 f (x 1 ) = y 1 ou { f(x 0) = y 0 f(x 1 ) = y 1 Exemple : Résoudre 4y + π y = 0 dont la solution f verifie { f (1) = 1. Résolution de l équation différentielle générale : L équation (E) peut se mettre sous la forme y + ( π ) y = 0. Donc les solutions sont sous la forme :. Utilisation de la première condition : f(x) = λ cos ( π x) + μ sin (π x) f ( 1 ) = 0 f ( 1 ) = λ cos (π 4 ) + μ sin (π ) = λ + μ 4 = (λ + μ) Sachant que f ( 1 ) =, on obtient λ + μ = 1.. Utilisation de la seconde condition : f (x) = π λ sin (π x) + π μ cos (π x) f ( 1 ) = π λ sin (π 4 ) + π μ cos (π 4 ) = π λ + π μ = π ( λ + μ) 4 Sachant que f ( 1 ) = 0, on obtient λ + μ = 0 4. Résolution du système : λ + μ = 1 { λ + μ = μ = 1 λ = {λ μ = 1 { μ = 1 5. On en conclut que la solution est f(x) = 1 cos (π x) + 1 sin (π x) pour tout x R. On peut demander ensuite de mettre f sous la forme f(x) = cos ( π 4 + π x) ou f(x) = sin (π 4 + π x). 5