BAC BLANC DE MATHÉMATIQUES TERMINALES ES et L CORRECTION SUCCINCTE. Coefficients 5, 7 ou 4. Année scolaire

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1 BA BLAN DE MATHÉMATIQUES TERMINALES ES et L ORRETION SUINTE oefficients, ou Année scolaire - Durée heures Page sur 8 pages Année

2 EXERIE. ommun à tous les candidats sur points Un club de remise en forme propose, outre l accès aux salles de musculation, des cours collectifs pour lesquels un supplément est demandé lors de l inscription. Une fiche identifie chaque membre et son type d abonnement : avec ou sans cours collectif. Une étude sur les profils des membres de ce club a montré que : % des membres sont des hommes. % des membres sont inscrits aux cours collectifs. Parmi les femmes, membres de ce club, seulement % ne sont pas inscrites aux cours collectifs. On choisit une fiche au hasard et on considère les évènements suivants : H : «la fiche est celle d un homme», F : «la fiche est celle d une femme», : «la fiche est celle d un membre inscrit à des cours collectifs».. Donner les probabilités suivantes : p(h), p F (), p F () et les reporter sur un arbre pondéré modélisant la situation qui sera complété au cours de la résolution de l exercice. p(h)=, (énoncé) ; p F ()=, (énoncé) ; p F ()= p F ()=,9 p(h)=, H p H ()=, p H ()=,8 p(f)=, F p F ()=,9 p F ()=,. a. Déterminer p(f ). p(f )=p F () p(f)=,,9=,. b. Montrer que p(h )=,8. On ap()=,, d après la formule des probabilités totales :p()=p(f )+p(h )=,+p(h ) et donc p(h )=,,=,8 c. On tire la fiche d un homme, quelle est la probabilité que celui-ci soit inscrit aux cours collectifs? On cherche : p H ()= p(h ) p(h) =,8, =, d. ompléter l arbre pondéré de la question. Voir l arbre. On choisit au hasard une fiche d un membre non inscrit aux cours collectifs. Quelle est la probabilité que ce soit celle d un homme? (donner la valeur décimale arrondie au centième). On cherche p (H) : p (H)= p(h ). Or p()= p()=,, de mêmep(h )=p(h) p H ()=, p() et donc p (H)=,,,9 Durée heures Page sur 8 pages Année

3 EXERIE. ommun à tous les candidats sur points PARTIE A L objet de cet exercice est l étude de deux fonctions intervenant dans un modèle économique. La courbe ( ) f donnée en page suivante est la représentation graphique, dans un repère orthogonal du plan, de la fonction f définie sur l intervalle [ ; ] par : f (x)=e,x+,. De même, la courbe ( g ) est la représentation graphique de la fonction g définie sur l intervalle [ ; ] par : g(x)=,x+,.. On appelle h la fonction définie par h(x) = f (x) g(x). a. alculer h (x) oùh désigne la fonction dérivée de la fonction h sur l intervalle [ ; ]. h(x)=f (x) g(x)=e,x+,,x,.h (x)=f ( x) g (x)=,e,x+,, b. Étudier le signe de h (x) pour x appartenant à l intervalle [ ; ]. En déduire que la fonction h est strictement monotone sur cet intervalle. Pour tout x appartenant à l intervalle [ ; ] e,x+. >, et donc pour tout x [;]h (x)<la fonction h est donc strictement décroissante sur [ ; ]. c. Justifier que l équation h(x) = admet une solution unique α sur l intervalle [ ; ] et donner à l aide d une calculatrice une valeur approchée de α à près (on ne demande pas de justification sur la méthode d obtention de cette valeur). h est continue sur [ ; ] car dérivable sur cet intervalle, elle est strictement décroissante sur [ ; ], h(). et h().9 donc [h(); h()] et donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation h(x)= admet une unique solution α [;] La calculette donne α, d. Déduire de l étude précédente les valeurs arrondies à des coordonnées du point d intersection F de ( f ) et ( g ). L équation h(x) = est équivalente à l équation f (x) = g(x), α est donc solution de f (x) = g(x), et donc F(α; f (α)) soit au centième F(, ;, 9). Dans la suite du problème, on prendra α =, et f (α)=g(α)=,9. PARTIE B a. Soient les points ( ; f (α)) et E(α ; ). Donner une valeur arrondie à de l aire du rectangle OFE exprimée en unités d aire. L aire en question est coloriée en jaune sur le graphique, elle vaut : A = α f (α), 8, 88 ua b. Interpréter graphiquement le nombre α α f (x) dx. f (x) dx correspond graphiquement à l aire de la partie du plan située entre l axe des abscisses, la courbe représentative de f et les droites d équation x = et x = α α c. Montrer que f (x) dx= ( f (α) e, ) et en donner la valeur arrondie au centième., Une primitive def estf(x)= α [, e,x+. et donc f (x)dx = ] α, e,x+. =, [f (x)]α, d où α f (x) dx= ( f (α) e, ) 9,, La fonction f définie dans la PARTIE A représente la fonction de demande d un produit ; elle met en correspondance le prix f (x) exprimé en milliers d euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à acheter les consommateurs à ce prix. La fonction g définie dans la PARTIE A est la fonction d offre de ce produit ; elle met en correspondance le prix g(x) exprimé en milliers d euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à vendre à ce prix les producteurs. Durée heures Page sur 8 pages Année

4 On appelle prix d équilibre du marché le prix pour lequel la quantité demandée par les consommateurs est égale à celle offerte par les producteurs. On note p le prix d équilibre et q la quantité échangée sur le marché à ce prix. Dans la situation étudiée on a donc :f (q )=g(q ).. Déduire des résultats donnés dans la PARTIE A les valeurs deq et de p. D une façon évidente, q =α et p =f (α) voir questions A--c et A--d.. Tous les consommateurs qui étaient prêts à payer au-dessus du prix p réalisent une économie. Le montant économisé par les consommateurs, appelé surplus des consommateurs, vaut par définition s exprime ici en milliers d euros. a. Sur le graphique ci dessous (à rendre avec la copie) : indiquer les valeurs q et p sur les axes de coordonnées ; hachurer le domaine dont l aire s écrit : q f (x) dx p q b. alculer, en milliers d euros, le surplus des consommateurs. Le surplus des consommateurs est égal à q q f (x) dx A, milliers d euros. f (x) dx p q. Il y 9 9 prix 8 8 g p =f (α) F f E - O quantité x - q =α Durée heures Page sur 8 pages Année

5 EXERIE. ommun à tous les candidats sur points Le nombre d arbres d une forêt, en milliers d unités, est modélisé par la suite (u n ) où u n désigne le nombre d arbres, en milliers, au cours de l année ( + n). En, la forêt possède arbres. Afin d entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d entretien des forêts décide d abattre chaque année % des arbres existants et de replanter arbres.. Montrer que la situation peut être modélisée par : u = et pour tout entier naturel n par la relation : u n+ =,9u n + Le nombre d arbres abattus (en milliers) au cours de l année (+n) est,u n, il en reste donc,9u n, on replante milliers d arbres chaque année, le nombre d arbres l année (+n+) est donc u n+ =,9u n + en milliers.. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n a. Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison,9. ( ) v n+ = u n+ = (,9u n +) =,9u n =,9,9 u n =,9( u n ) =,9v n La suite (v n ) est donc géométrique de premier terme v = = et de raison,9. b. alculer v. Déterminer l expression dev n en fonction de n. v = = et pour tout entier n ; v n =,9 n c. Démontrer que pour tout entier naturel n, u n = (,9) n u n = v n = (,9) n. Déterminer le nombre d arbres de la forêt en. On donnera une valeur approchée arrondie à l unité. On cherche u soit u =,9,9 soit environ arbres.. a. Vérifier que pour tout entier naturel n, on a l égalité u n+ u n =, (,9) n.. u n+ u n =,9 n+ (,9 n )=,9 n,9 n+, il vient : u n+ u n =,9 n (,9)=,,9 n b. En déduire la monotonie de la suite.. Pour tout entier n,,9 n >, la suite (u n ) est donc croissante. Déterminer la limite de la suite (u n ). Interpréter. <,9<donc lim n +,9n =d où lim n +,9n =et donc tendre vers lim u n =, le nombre d arbres va donc n +. On cherche à déterminer l année à partir de laquelle le nombre d arbres de la forêt aura dépassé de % le nombre d arbres de la forêt en. Pour cela on construit l algorithme suivant. VARIABLES N EST_DU_TYPE NOMBRE U EST_DU_TYPE NOMBRE DEPASSEMENT EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME N PREND_LA_VALEUR U PREND_LA_VALEUR 8 DEPASSEMENT PREND_LA_VALEUR.*U 9 TANT_QUE (U<DEPASSEMENT) FAIRE DEBUT_TANT_QUE N PREND_LA_VALEUR N+ U PREND_LA_VALEUR.9*U+ FIN_TANT_QUE AFFIHER N FIN_ALGORITHME a. ompléter les lignes 8 et de cet algorithme pour pouvoir répondre à la question.(recopier les lignes concernées sur votre copie) voir au dessus b. A l aide de votre calculatrice donner l année cherchée.la machine donne pour n = u =,, le nombre d arbres dépassera en. Durée heures Page sur 8 pages Année

6 EXERIE. Pour les candidats de ES n ayant pas la spécialité Maths et pour le candidat de L sur points et exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte. [ On considère une fonction f définie et dérivable sur l intervalle ; ]. Le plan est muni d un repère orthonormal. La courbe ( ) f représentée ci-contre est celle de la fonction f. ( ) Les points A( ; ), B ( ; e) et ( ; ) appartiennent à la courbe ( ) f f. Le point de la courbe ( ) f d abscisse ( ) a une ordonnée strictement positive. La tangente (T ) en A à la courbe ( ) f passe par le - point D( ; ). La tangente en B à la courbe ( ) (T ) - f est parallèle à l axe des abscisses. - - ocher la bonne réponse, aucune justification n est demandée Une réponse exacte rapporte point. Une réponse fausse enlève, point. L absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée est ramenée à zéro.. On note f () le nombre dérivé de la fonction f en. Quelle est sa valeur? a. f ()= b. f ()= c. f ()=. À quel intervalle appartient le réel I = f (x) dx? a. [ ; ] b. [ ; ] c. [ ; 9]. La tangente (T) a pour équation? a. y =x+ b. y = x+ c. y =x. Parmi les trois courbes ci-dessous, l une est la représentation graphique de la fonction dérivée f de la fonction f. Laquelle? a. La courbe ( ) b. La courbe ( ) c. La courbe ( ). Parmi les trois courbes[ ci dessous, l une est la représentation graphique d une primitive F de la fonction f, F étant définie sur l intervalle ; ]. Laquelle? a. La courbe ( ) b. La courbe ( ) c. La courbe ( ) O O O Durée heures Page sur 8 pages Année

7 EXERIE. Pour les candidats de ES ayant la spécialité Maths sur points Partie A On note Γ le graphe représenté ci-dessous et M sa matrice obtenue en prenant les sommets dans l ordre alphabétique. La matrice M est également donnée. B E G F H M 8 = A D Dire, en justifiant votre réponse, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :. Le graphe Γ est connexe. Γ est connexe car par exemple la chaîne A B G H D E F passe par tous les sommets et donc il existe un chaîne reliant toute paire de sommets.. Le graphe Γ contient un sous-graphe complet d ordre. Le sous graphe constitué des sommetsa E et D est complet donc Γ contient un sous graphe complet d ordre.. Il est possible de parcourir ce graphe en passant une fois et une seule par chaque arête. Pour que cela soit possible, il faudrait que le graphe Γ qui est connexe n ait que deux et deux seulement sommets de degrés impairs, ore est de degré, H est de degré, A est de degré et D est de degré, donc ce graphe n admet pas de chaîne eulérienne.. Il existe au moins un chemin de longueur qui relie chaque sommet à chacun des sept autres sommets du graphe. Le nombre de chemins de longueur qui relie le sommet numéro i au sommet numéro j est donné par le coefficient a i,j de la matrice M, pour qu il existe au moins un chemin de longueur qui relie chaque sommet à chacun des sept autres sommets du graphe, il faut et il suffit que tous les coefficients de la matrice M soient non nuls, à part les coefficients de sa diagonale, c est le cas, donc existe au moins un chemin de longueur qui relie chaque sommet à chacun des sept autres sommets du graphe.. il y a chemins de longueur qui relient le sommet E à chacun des huit sommets du graphe. Pour cela, on ajoute tous les coefficients de la ième ligne dem, il vient =, on en déduit qu il a chemins qui relient E à tous les sommets du graphe. Partie B Le graphe précédent représente un réseau de lignes d autobus. Les sommets du graphe désignent les arrêts. Les poids des arêtes sont les durées de parcours, en minutes, entre deux arrêts (correspondances comprises). Durée heures Page sur 8 pages Année

8 G F B E H 9 A D Déterminer, à l aide de l algorithme de Dijkstra, la durée minimum pour aller de l arrêt A à l arrêt H et donner un trajet correspondant.on représentera cela dans un tableau A B D E F G H Marqués A A A A A A 8 B A A A A ; B A A ; B ; A E A ; B ; ; E A E G A ; B ; ; E ; G E G A ; B ; ; E ; G ; D F A ; B ; ; E ; G ; D ; F On lit les étiquettes H F E B A soit en lisant à l envers : Le poids minimum est donc minutes, la chaîne de poids minimum est par exemple : A B E F H Durée heures Page 8 sur 8 pages Année

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