Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables

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1 Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables

2 Lois universelles de la physique des milieux continus conservation de la masse bilan de quantité de mouvement bilan de moment cinétique bilan d énergie (entropie) 2/43

3 Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement

4 Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement

5 Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement

6 Masse On suit un ensemble de particules de masse dm contenue initialement dans le volume dv en X Ω 0 dm = ρ 0 (X ) dv champ de masse volumique initiale. L élément de volume dv devient dv en x Ω t à l instant t mais la masse contenue dans dv est la même, par définition du point matériel dm = ρ(x, t) dv dm = ρ 0 (X )dv = ρ(x, t) dv = Constante masse totale m(m) = ρ 0 (X ) dv = Ω 0 ρ(x, t) dv Ω t Quantité de mouvement, moment cinétique 6/43

7 Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement

8 Vitesses Vitesse d une particule en mouvement V (X, t) := d Φ Φ(X, t) = (X, t) dt t représentation matérielle/lagrangienne de la vitesse Quantité de mouvement, moment cinétique 8/43

9 Vitesses Vitesse d une particule en mouvement V (X, t) := d Φ Φ(X, t) = (X, t) dt t représentation matérielle/lagrangienne de la vitesse C est aussi la vitesse instantanée de la particule se trouvant à la position x à l instant t v (x, t) := V (Φ 1 (x, t), t) représentation spatiale/eulérienne de la vitesse Quantité de mouvement, moment cinétique 9/43

10 Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement

11 Quantité de mouvement Soit (t) Ω t un sous domaine matériel de M à l instant t Ω t (t) ρ(x, t)v (x, t) dv = Quantité de mouvement, moment cinétique 11/43

12 Quantité de mouvement Soit (t) Ω t un sous domaine matériel de M à l instant t Ω t ρ(x, t)v (x, t) dv = ρ 0 v (Φ(X, t), t) dv (t) 0 = ρ 0 V (X, t) dv 0 Quantité de mouvement, moment cinétique 12/43

13 Quantité d accélération Soit (t) Ω t un sous domaine matériel de M à l instant t A () = d ρ(x, t)v (x, t) dv dt (t) = d ρ 0 (X )V (X, t) dv dt 0 Ω t En l absence de discontinuités, Quantité de mouvement, moment cinétique 13/43

14 Quantité d accélération Soit (t) Ω t un sous domaine matériel de M à l instant t Ω t A () = d ρ(x, t)v (x, t) dv dt (t) = d ρ 0 (X )V (X, t) dv dt 0 En l absence de discontinuités A () = ρ 0 (X ) dv (X, t) dv 0 dt = ρ 0 (X ) V (X, t) dv 0 t = ρ 0 (X )A (X, t) dv 0 = ρ(x )a (x, t) dv Quantité de mouvement, moment cinétique 14/43

15 Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement

16 Moment cinétique Soit (t) Ω t un sous domaine matériel de M à l instant t et un point O de l espace, fixe dans le référentiel R P Ω t O OP ρ(x, t)v (x, t) dv OP = x x 0 Quantité de mouvement, moment cinétique 16/43

17 Moment dynamique Soit (t) Ω t un sous domaine matériel de M à l instant t et un point O de l espace, fixe dans le référentiel R P Ω t O d OP ρ(x, t)v (x, t) dv dt Quantité de mouvement, moment cinétique 17/43

18 Torseur dynamique Soit (t) Ω t un sous domaine matériel de M à l instant t et un point O de l espace, fixe dans le référentiel R P Ω t O torseur dynamique pour le domaine : {O, d ρ(x, t)v (x, t) dv, d OP ρ(x, t)v (x, t) dv} dt (t) dt Quantité de mouvement, moment cinétique 18/43

19 Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement

20 Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement

21 Relation fondamentale de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts appliqués (référentiel galiléen) d ρv dv = R dt d OP ρv dv = M dt 0 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus 21/43

22 Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement

23 Un théorème de transport f (x, t) fonction tensorielle sur Ω t continue dans sa représentation spatiale/eulérienne, dérivable/t, (t) Ω t un domaine matériel d ρ(x, t)f (x, t) dv = dt Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus 23/43

24 Un théorème de transport f (x, t) fonction tensorielle sur Ω t continue dans sa représentation spatiale/eulérienne, dérivable/t, (t) Ω t un domaine matériel d ρ(x, t)f (x, t) dv = d f (x, t)ρ(x, t)dv dt dt = d F (X, t)ρ 0 (X )dv dt 0 d = 0 dt (F (X, t))ρ 0(X )dv = ḟ (x, t)ρ(x, t)dv F (X, t) := f (Φ(X, t), t) dérivée particulaire ou en suivant le mouvement : d dt F (X, t) = d f f f (Φ(X, t), t) =.v + dt x t = ḟ (x, t) Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus 24/43

25 Un théorème de transport Formellement, pour un domaine matériel (t), on dérive sous le signe somme (grâce à la conservation de la masse) d ρf dv = (ḟ ρdv + f dt {}}{ ρdv ) = ρḟ dv autres formules de transports plus générales (Reynolds...) Application au moment dynamique (en l absence de discontinuités...) d dt OP ρv dv = OP ρa dv Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus 25/43

26 Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement

27 Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement

28 Il existe une Champs de forces une densité massique f (x, t) de forces R dist = ρf (x, t) dv Exemple : accélération de la pesanteur (unité N.kg 1 m.s 2 ) f := g hypothèse simplificatrice : f ne dépend pas du domaine Représentation des efforts 28/43

29 Il existe une Champs de forces une densité massique f (x, t) de forces R dist = ρf (x, t) dv Exemple : accélération de la pesanteur (unité N.kg 1 m.s 2 ) f := g hypothèse simplificatrice : f ne dépend pas du domaine une densité massique de couples M dist 0 = (OP ρf + ρm ) dv i.e. le moment des forces volumiques + des couples volumiques intrinsèques (électromagnétisme) simplification : m = 0 Représentation des efforts 29/43

30 Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement

31 Efforts surfaciques Ω t efforts de contact sur Ω t R surf = t (x, Ω t, t) ds Ω t Ω t vecteur densité surfacique de forces / vecteur contrainte (unité N.m 2 ) Représentation des efforts 31/43

32 Efforts surfaciques Ω t efforts sur? Ω t Représentation des efforts 32/43

33 Efforts surfaciques Ω t efforts sur? Représentation des efforts 33/43

34 Efforts surfaciques Ω t efforts surfaciques sur R surf = t (x,, t) ds Le pari de remplacer les efforts de champ à courte distance par des efforts surfaciques remplacer une action non locale par une action locale; en pratique, décroissance rapide des forces de cohésion ( 10 atomes) Représentation des efforts 34/43

35 Efforts surfaciques Ωt densité surfacique de forces R surf = t (x,, t) ds densité surfacique de couples M surf 0 = (x x 0 ) t (x,, t) ds hypothèse : pas de densité surfacique de couples intrinsèque (milieu non polaire) Représentation des efforts 35/43

36 Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement

37 Lois d Euler du mouvement d ρv dv = R dt Ω t d OP ρv dv = M dt 0 Ω t Représentation des efforts 37/43

38 Lois d Euler du mouvement d ρv dv = dt Ω t d OP ρv dv = dt Ω t + ρ(x, t)f (x, t) dv + t (x, Ω t, t) ds Ω t Ω t OP ρ(x, t)f (x, t) dv Ω t OP t (x, Ω t, t) ds Ω t Elles s appliquent à tout sous domaine Ω t. On a besoin des deux équations! Référentiel non galiléen : mettre les forces d inertie dans f Représentation des efforts 38/43

39 Espace et référentiels Représentation des efforts 39/43

40 Espace et référentiels Représentation des efforts 40/43

41 Espace et référentiels Représentation des efforts 41/43

42 Changements de référentiel référentiel (E, E), point de l espace x, un autre référentiel (E, E ) changement de référentiel galiléen x = Q 0.x + v 0 t, t = t t 0 changement de référentiel euclidien commodité : Q (t 0 ) = 1 x = Q (t).x + c (t), t = t t 0 Représentation des efforts 42/43

43 Changements de référentiel référentiel (E, E), point de l espace x, un autre référentiel (E, E ) changement de référentiel galiléen x = Q 0.x + v 0 t, t = t t 0 changement de référentiel euclidien x = Q (t).x + c (t), t = t t 0 commodité : Q (t 0 ) = 1 grandeurs invariantes par changement de référentiel grandeurs objectives scalaires vecteurs m = m m = m f (x, t ) = Q (t).f (x, t) Représentation des efforts 43/43

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