Chapitre 5 : Géométrie dans l'espace

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1 Source : site Bacamahts (G.Constantini) et Mathématiques 2 nde (Terracher) I. Règles de base de la géométrie dans l'espace Il existe une et une seule droite de l'espace passant par deux points distincts. Il existe un et un seul plan de l'espace passant par trois points non alignés. Si deux plans distincts ont un point commun, alors leur intersection est une droite. Tous les résultats de géométrie plane (Thalès, Pythagore, Th. Des milieux, etc...), sont applicables dans chaque plan de l'espace. Vocabulaire: Lorsque des points appartiennent à un même plan, on dit qu'ils sont coplanaires. Lorsque des droites sont contenues dans un même plan, on dit également qu'elles sont coplanaires. Remarque: Deux points, trois points sont toujours coplanaires. L'utilisation de ce qualificatif n'a donc de sens qu'à partir de quatre points. Problème : (servant d'exemple tout au long de la leçon) ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AB], J est le milieu de [AC], K est le milieu de [AD], M est le milieu de [BD], N est le milieu de [CD]. 1. Déterminer l'intersection des plans (ABC) et (IJK). 2. Démontrer que les droites (IJ) et (MN) sont parallèles. 3. Démontrer que la droite (IJ) est parallèle au plan (BCD). 4. Démontrer que les plans (IJK) et (BCD) sont parallèles. 5. Déterminer les droites D 1 et D 3 d'intersections des plans (ACM) et (BCD) puis (ACM) et (IJK) 6. Démontrer que D 1 et D 2 sont parallèles. Solution de la question 1: 2010 My Maths Space Page 1/5

2 II. Positions relatives de deux droites. Propriété : Deux droites de l'espace sont : Soit coplanaires (elles sont alors sécantes ou parallèles). Soit non coplanaires. ATTENTION : Dans l'espace, deux droites non parallèles ne sont pas nécessairement sécantes. Théorème: Deux droites parallèles à une même troisième sont Exemple : question 2 parallèles entre elles. III. Positions relatives d'une droite et d'un plan. Propriété: Une droite et un plan de l'espace sont : soit sécants soit parallèles. Théorème : Si une droite D est parallèle à une droite d'un plan P, Exemple : question 3 alors D est parallèle à P My Maths Space Page 2/5

3 IV. Positions relatives de deux plans. Propriété: Deux plans de l'espace sont : soit sécants soit parallèles. Théorème: Si deux droites sécantes (d'un plan) sont parallèles Exemple : question 4 à un autre plan, alors ces deux plans sont parallèles. Théorème : Deux plans parallèles à un même troisième sont Exemple : question 5 parallèles entre eux. Théorème 6 : Un plan Q sécant à deux plans (strictement) parallèles P 1 et P 2 les coupe suivant deux droites parallèles ( D 1 et D 2 ) Démonstration du théorème : D 1 et D 2 sont deux droites coplanaires (dans le plan Q), donc D 1 et D 2 sont soit parallèles, soit sécantes. Si elles sont sécantes, alors il existe un point M = D 1 Ç D 2 qui appartient à la fois à P 1 et P 2, ce qui est absurde puisque P 1 et P 2 sont strictement parallèles. Donc D 1 et D 2 sont parallèles My Maths Space Page 3/5

4 Exemple : question 6 V. Orthogonalité de deux droites définition: Deux droites D 1 et D 2 sont dites orthogonales si et seulement si leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires. Exemple: Montrer que, dans le cube ci-contre, les droites BE et GD sont orthogonales. Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles. Exemple: AE orthogonale à EF et AE orthogonale à HF et pourtant HF et EF ne sont pas parallèles. VI. Orthogonalité d'une droite et d'un plan Définition: On dit qu'une droite D 1 est orthogonale à un plan P lorsque D 1 est orthogonale à toute droite du plan P My Maths Space Page 4/5

5 Théorème: (important) Lorsqu'une droite est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan, elle est orthogonale à ce plan. ( ainsi deux droites sécantes suffisent!!! ) Exercice 1: Donner sur le cube, un exemple d'une droite D orthogonale à deux droites coplanaires mais qui n'est pas orthogonale au plan que ces deux droites définissent. Exercice 2: 1. En utilisant le triangle DHE montrer que AF est orthogonale à HD. 2. De même, en utilisant le triangle DHG, montrer que FC est orthogonale à HD. 3. En déduire que HD est orthogonale au plan ACF. VII. Plans perpendiculaires Définition: Deux plans P 1 et P 2 sont dits perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre. Exemples et remarques: Les plans CDFG et ABCD sont perpendiculaires car par exemple la droite DF qui est contenue dans la premier est orthogonale au second. Lorsque deux plans sont perpendiculaires, il existe dans chacun d'eux des droites non orthogonales à l'autre : par exemple, la droite (FC) n'est pas orthogonale au plan ABCD 2010 My Maths Space Page 5/5