Chapitre 5 : Géométrie dans l'espace

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 5 : Géométrie dans l'espace"

Transcription

1 Source : site Bacamahts (G.Constantini) et Mathématiques 2 nde (Terracher) I. Règles de base de la géométrie dans l'espace Il existe une et une seule droite de l'espace passant par deux points distincts. Il existe un et un seul plan de l'espace passant par trois points non alignés. Si deux plans distincts ont un point commun, alors leur intersection est une droite. Tous les résultats de géométrie plane (Thalès, Pythagore, Th. Des milieux, etc...), sont applicables dans chaque plan de l'espace. Vocabulaire: Lorsque des points appartiennent à un même plan, on dit qu'ils sont coplanaires. Lorsque des droites sont contenues dans un même plan, on dit également qu'elles sont coplanaires. Remarque: Deux points, trois points sont toujours coplanaires. L'utilisation de ce qualificatif n'a donc de sens qu'à partir de quatre points. Problème : (servant d'exemple tout au long de la leçon) ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AB], J est le milieu de [AC], K est le milieu de [AD], M est le milieu de [BD], N est le milieu de [CD]. 1. Déterminer l'intersection des plans (ABC) et (IJK). 2. Démontrer que les droites (IJ) et (MN) sont parallèles. 3. Démontrer que la droite (IJ) est parallèle au plan (BCD). 4. Démontrer que les plans (IJK) et (BCD) sont parallèles. 5. Déterminer les droites D 1 et D 3 d'intersections des plans (ACM) et (BCD) puis (ACM) et (IJK) 6. Démontrer que D 1 et D 2 sont parallèles. Solution de la question 1: 2010 My Maths Space Page 1/5

2 II. Positions relatives de deux droites. Propriété : Deux droites de l'espace sont : Soit coplanaires (elles sont alors sécantes ou parallèles). Soit non coplanaires. ATTENTION : Dans l'espace, deux droites non parallèles ne sont pas nécessairement sécantes. Théorème: Deux droites parallèles à une même troisième sont Exemple : question 2 parallèles entre elles. III. Positions relatives d'une droite et d'un plan. Propriété: Une droite et un plan de l'espace sont : soit sécants soit parallèles. Théorème : Si une droite D est parallèle à une droite d'un plan P, Exemple : question 3 alors D est parallèle à P My Maths Space Page 2/5

3 IV. Positions relatives de deux plans. Propriété: Deux plans de l'espace sont : soit sécants soit parallèles. Théorème: Si deux droites sécantes (d'un plan) sont parallèles Exemple : question 4 à un autre plan, alors ces deux plans sont parallèles. Théorème : Deux plans parallèles à un même troisième sont Exemple : question 5 parallèles entre eux. Théorème 6 : Un plan Q sécant à deux plans (strictement) parallèles P 1 et P 2 les coupe suivant deux droites parallèles ( D 1 et D 2 ) Démonstration du théorème : D 1 et D 2 sont deux droites coplanaires (dans le plan Q), donc D 1 et D 2 sont soit parallèles, soit sécantes. Si elles sont sécantes, alors il existe un point M = D 1 Ç D 2 qui appartient à la fois à P 1 et P 2, ce qui est absurde puisque P 1 et P 2 sont strictement parallèles. Donc D 1 et D 2 sont parallèles My Maths Space Page 3/5

4 Exemple : question 6 V. Orthogonalité de deux droites définition: Deux droites D 1 et D 2 sont dites orthogonales si et seulement si leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires. Exemple: Montrer que, dans le cube ci-contre, les droites BE et GD sont orthogonales. Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles. Exemple: AE orthogonale à EF et AE orthogonale à HF et pourtant HF et EF ne sont pas parallèles. VI. Orthogonalité d'une droite et d'un plan Définition: On dit qu'une droite D 1 est orthogonale à un plan P lorsque D 1 est orthogonale à toute droite du plan P My Maths Space Page 4/5

5 Théorème: (important) Lorsqu'une droite est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan, elle est orthogonale à ce plan. ( ainsi deux droites sécantes suffisent!!! ) Exercice 1: Donner sur le cube, un exemple d'une droite D orthogonale à deux droites coplanaires mais qui n'est pas orthogonale au plan que ces deux droites définissent. Exercice 2: 1. En utilisant le triangle DHE montrer que AF est orthogonale à HD. 2. De même, en utilisant le triangle DHG, montrer que FC est orthogonale à HD. 3. En déduire que HD est orthogonale au plan ACF. VII. Plans perpendiculaires Définition: Deux plans P 1 et P 2 sont dits perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre. Exemples et remarques: Les plans CDFG et ABCD sont perpendiculaires car par exemple la droite DF qui est contenue dans la premier est orthogonale au second. Lorsque deux plans sont perpendiculaires, il existe dans chacun d'eux des droites non orthogonales à l'autre : par exemple, la droite (FC) n'est pas orthogonale au plan ABCD 2010 My Maths Space Page 5/5

Droites et plans dans l espace

Droites et plans dans l espace Droites et plans dans l espace Positions relatives de deux plans Définition Deux plans de l espace sont strictement s ils n ont aucun point en commun. Positions relatives de deux plans Plans Deux plans

Plus en détail

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Propriété : Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment. Si un point est

Plus en détail

Test E22 NOM : Classe :...

Test E22 NOM : Classe :... Test E22 NOM : Classe :... Exercice 1: ABCDEFGH est le cube ci-contre. 1. a) Donner deux droites parallèles. ---------------------------------------------------------- b) Donner deux droites sécantes.

Plus en détail

Position relative de droites et plans

Position relative de droites et plans TS Position relative de droites et plans Cours Rappels : Un plan est défini par : - Trois points non alignés ou - Deux droites sécantes ou - Deux droites strictement parallèles Si un plan contient deux

Plus en détail

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE DROITES ET PLANS DE L'ESPACE I. Positions relatives de droites et de plans 1) Positions relatives de deux droites Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires.

Plus en détail

DROITES ET PLANS DE L ESPACE

DROITES ET PLANS DE L ESPACE Chapitre 15 DROITES ET PLANS DE L ESPACE Les schémas du mathématicien, comme ceux du peintre ou du poète, doivent être beaux ; les idées, comme les couleurs ou les mots, doivent s'assembler de façon harmonieuse.

Plus en détail

un repère orthonormé de l espace.

un repère orthonormé de l espace. Terminale S GEOMETRIE Ch 13 DANS L ESPACE. Soit ( O ; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. I) Droites et plans dans l espace : Propriété 1 : Soient A et B deux points de l espace. AB est l ensemble

Plus en détail

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE 1 DROITES ET PLANS DE L'ESPACE I. Positions relatives de droites et de plans 1) Positions relatives de deux droites Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non

Plus en détail

Chapitre 8 : Droites et plans de l espace - Vecteurs. Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. Elles ont un point commun.

Chapitre 8 : Droites et plans de l espace - Vecteurs. Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. Elles ont un point commun. Chapitre 8 : Droites et plans de l espace - Vecteurs I Positions relatives de droites et de plans Positions relatives de deux droites Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires

Plus en détail

Géométrie dans l espace.

Géométrie dans l espace. Géométrie dans l espace. I. Perspective cavalière a) Définition On appelle plan frontal tout plan vu de face Une ligne de fuite est une droite perpendiculaire aux plans frontaux Ex : sur la représentation

Plus en détail

Seconde Chap 8 Géométrie dans l espace 1/7 GEOMETRIE DANS L ESPACE.

Seconde Chap 8 Géométrie dans l espace 1/7 GEOMETRIE DANS L ESPACE. Seconde Chap 8 Géométrie dans l espace 1/7 GEOMETRIE DANS L ESACE. I. Solides. 1. atrons Un patron d un solide est une figure géométrique plane, en un seul morceau, qui permet d obtenir le solide après

Plus en détail

COURS. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l angle droit est appelé hypoténuse.

COURS. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l angle droit est appelé hypoténuse. EC 4A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES THEOREMES DE PYTHAGORE ET DE THALES COURS Objectifs du chapitre : Déterminer des longueurs dans un triangle en utilisant le théorème de Pythagore ou de Thalès. Démontrer

Plus en détail

Géométrie dans l Espace

Géométrie dans l Espace Géométrie dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Perspective cavalière 2 2 Droites et plans de l Espace 3 2.1 Règles d incidence............................................

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. I- Droites et plans de l espace : Rappels des règles de base Par deux points distincts de l espace, passe une unique droite. Par trois points non alignés passe un

Plus en détail

G É O M É T R I E D A N S L E S P A C E. Tétraèdre

G É O M É T R I E D A N S L E S P A C E. Tétraèdre 2 nde. 2003/2004. Ch.6 Géométrie dans l espace. J. TAUZIEDE. G É O M É T R I E D A N S L E S P A C E. I- PERSPECTIVE CAVALIERE ET REGLES D INCIDENCE. 1 ) Perspective cavalière. Dans une représentation

Plus en détail

3 ème BREVET : théorème de Thalès

3 ème BREVET : théorème de Thalès Exercice 1 1 Tracer en triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 5 cm et AC = 3 cm. Placer le point D sur [AB] tel que BD = 4 cm. Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par D, elle coupe [BC] en E.

Plus en détail

Géométrie dans l Espace

Géométrie dans l Espace Géométrie dans l Espace Année scolaire 006/007 Table des matières 1 Vecteurs de l Espace 1.1 Extension de la notion de vecteur à l Espace............................. 1. Calcul vectoriel dans l Espace......................................

Plus en détail

CHAPITRE 6 Les vecteurs

CHAPITRE 6 Les vecteurs A/ Vecteurs Cours de Mathématiques Classe de Seconde Chapitre 6 Les Vecteurs CHAPITRE 6 Les vecteurs 1) Définition et exemples a) Définition Soient deux points A et B. On appelle vecteur AB "la flèche"

Plus en détail

DEMONTRER. 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment. 2) Démontrer que deux droites sont parallèles

DEMONTRER. 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment. 2) Démontrer que deux droites sont parallèles DEMONTRER 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment 2) Démontrer que deux droites sont parallèles 3) Démontrer que deux droites sont perpendiculaires 4) Démontrer qu un triangle est rectangle

Plus en détail

Géométrie de l espace :niveau 10èSciences I-Généralités

Géométrie de l espace :niveau 10èSciences I-Généralités :niveau 10èSciences I-Généralités La géométrie élémentaire de l'espace est née du souci d'étudier les propriétés de l'espace dans lequel nous vivons. Les objets élémentaires de cette géométrie sont les

Plus en détail

Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme.

Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Devoir Maison A rendre le mercredi 2 mai 2nde 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Calculer les coordonnées du point D. 2/ a)

Plus en détail

Décrire la méthode utilisée pour trouver le nombre de rosiers nécessaires.

Décrire la méthode utilisée pour trouver le nombre de rosiers nécessaires. 3 ème A IE3 théorème de Thalès 2015-2016 S1 Utiliser la figure suivante pour démontrer que les droites (TU) et (RS) sont parallèles. Calculer ensuite RS. UT = 3,5 cm OT = 3 cm OU = 2,7 cm OR = 7,2 cm OS

Plus en détail

Fiche d exercices 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace

Fiche d exercices 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace Fiche d exercices 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace Droites et plans de l espace Exercice SABC est un tétraèdre, la droite (SA) est orthogonale au plan (ABC), le triangle ABC est rectangle en

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

Brevet Blanc n 1. Mathématiques

Brevet Blanc n 1. Mathématiques Brevet Blanc n 1 Novembre 2010 Mathématiques Durée de l'épreuve : 2h00 Le candidat répondra sur une copie L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur. Activités

Plus en détail

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace Terminale S Ch.8 PARTIE Géométrie dans l'espace Ú La perspective cavalière C'est un ensemble de règles permettant de représenter un volume dans un plan; ce n'est pas ce que nous voyons dans la réalité.

Plus en détail

Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB

Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB Chapitre 3 La notion de vecteurs CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Vecteurs Définition de la translation qui transforme un point A du plan en un point B. Vecteur AB associé. Égalité de deux vecteurs

Plus en détail

Créer des figures dynamiques en 3 dimensions avec GeoGebra 5

Créer des figures dynamiques en 3 dimensions avec GeoGebra 5 Créer des figures dynamiques en 3 dimensions avec GeoGebra 5, 1/46 I. Pour débuter...3 IV. 9. Obtenir une sphère ou un cône tronqué...21 I. 1. Téléchargement...3 V. Illustration d'exercices...22 I. 2.

Plus en détail

Cours géométrie dans l espace

Cours géométrie dans l espace I. Solides usuels : volume et section par un plan avé droit yramide Tétraèdre a b c V = abc Si le plan est parallèle à une arête, la section est un rectangle. V = 1 Base hauteur Si est parallèle à la base,

Plus en détail

THEOREMES DES MILIEUX DROITES PARALLELES Corrigés 1/9

THEOREMES DES MILIEUX DROITES PARALLELES Corrigés 1/9 DROITES PARALLELES Corrigés 1/9 Corrigé 01 Corrigé 02 On sait que ABC est un triangle, que I est le milieu de [ AB ] et J le milieu de [ BC ]. (IJ) est donc parallèle à la droite (BC). Corrigé 03 On sait

Plus en détail

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace Terminale S Ch.6 Géométrie dans l'espace La perspective cavalière C'est un ensemble de règles permettant de représenter un volume dans un plan; ce n'est pas ce que nous voyons dans la réalité. En effet,

Plus en détail

MILIEUX ET PARALLELES DANS UN TRIANGLE. CORRECTION(s) EXERCICES SERIE 1

MILIEUX ET PARALLELES DANS UN TRIANGLE. CORRECTION(s) EXERCICES SERIE 1 THEME : Correction MILIEUX ET PARALLELES DANS UN TRIANGLE CORRECTION(s) EXERCICES SERIE 1 Exercice : Soit ABC un triangle. Soit D le milieu de [BC]. Soit M le milieu de [AD]. Les parallèles à la droite

Plus en détail

Un cours en 3D! Xavier Hallosserie. juin 2011

Un cours en 3D! Xavier Hallosserie. juin 2011 Un cours en 3D! Lycée Blaise Pascal - Longuenesse juin 2011 Mode d emploi Toutes les figures peuvent être activées et manipulées à la souris. Un clic droit fait apparaître le menu de visualisation en 3D.

Plus en détail

M : Zribi. 4 ème Maths Cour. Produit scalaire dans l espace : Définition:

M : Zribi. 4 ème Maths Cour. Produit scalaire dans l espace : Définition: Produit scalaire dans l espace : Définition: Soit A, B et C trois points, le produit scalaire des vecteurs AB et AC est le réel défini par : AB AC = si AB = 0 ou AC = 0 AB AC = si AB 0 et AC 0 Conséquence

Plus en détail

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux

Plus en détail

CHAPITRE II GEOMETRIE DANS L ESPACE

CHAPITRE II GEOMETRIE DANS L ESPACE CHAPITRE II GEOMETRIE DANS L ESPACE COURS 1) Définitions, notations et premières propriétés Les points dans l espace sont notés, comme ceux du plan, par des lettres majuscules : A, B, C,. Les droites dans

Plus en détail

Géométrie vectorielle et analytique dans l'espace, cours, terminale S

Géométrie vectorielle et analytique dans l'espace, cours, terminale S Géométrie vectorielle et analytique dans l'espace, cours, terminale S F.Gaudon 21 mars 2013 Table des matières 1 Vecteurs de l'espace 2 1.1 Extension de la notion de vecteur à l'espace.........................

Plus en détail

DROITES ET PLANS DANS L ESPACE

DROITES ET PLANS DANS L ESPACE DROITES ET PLANS DANS L ESPACE Cours Terminale S 1. Positions relatives de droites et de plans 1) Positions relatives de deux droites Propriété 1 : Deux droites de l espace sont soit coplanaires (dans

Plus en détail

Droites et plans dans l espace

Droites et plans dans l espace Droites et plans dans l espace Positions relatives de deux plans Deux plans de l espace sont strictement s ils n ont aucun point en commun. Positions relatives de deux plans Plans Deux plans peuvent être

Plus en détail

NOM : GEOMETRIE DANS L ESPACE 1ère S

NOM : GEOMETRIE DANS L ESPACE 1ère S Exercice 1 On donne A(2 ; 1 ; 3), B(1 ; 2 ; 0), C( 2 ; 1 ; 2) et D( 1 ; 2 ; 5). 1) ABCD est-il un parallélogramme? Un rectangle? 2) Calculer les coordonnées de l isobarycentre du quadrilatère ABCD. Figure

Plus en détail

2 nde FICHE n 11 Les grands principes de géométrie dans l espace

2 nde FICHE n 11 Les grands principes de géométrie dans l espace 2 nde FICHE n 11 Les grands principes de géométrie dans l espace I. Représenter l espace Dans cette leçon, sauf précisions contraires, nous allons plus particulièrement étudier l octaèdre IKLMNJ cidessous

Plus en détail

MON CAHIER DE VACANCES n 1. MATHEMATIQUES 3 ème 2

MON CAHIER DE VACANCES n 1. MATHEMATIQUES 3 ème 2 MON CAHIER DE VACANCES n 1 MATHEMATIQUES 3 ème 2 Ce cahier appartient à. Ce cahier est à rapporter le vendredi 6 Novembre 201, à Mme Viault. Les exercices sont à rédiger, sur ce livret, le plus sérieusement

Plus en détail

I-ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

I-ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) BREVET BLANC 1_DECEMBRE 2011 I-ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) Exercice 1 : (4 pts) Soit les expressions 1) Calculer A et B en détaillant les étapes du calcul et écrire le résultat sous la forme d'une

Plus en détail

Exercices sur la géométrie. Exercice 1 : Polynésie 14

Exercices sur la géométrie. Exercice 1 : Polynésie 14 Exercices sur la géométrie Exercice 1 : Polynésie 14 Dans un repère orthonormé de l espace, on considère les points A( 5; 5;2 ), B( 1;1;0 ), C 0;1;2 1. Déterminer la nature du triangle BCD et calculer

Plus en détail

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité.

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité. ❶ - Vecteurs I-- Définition d un vecteur Définition : Lorsqu on choisit deux points distincts M et N dans cet ordre, on définit : - une direction : celle des droites parallèles à (MN) ; - un sens : de

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Géométrie (barycentre et produit scalaire dans l espace)

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Géométrie (barycentre et produit scalaire dans l espace) Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Géométrie barycentre et produit scalaire dans l espace) Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 24 avril 2011 1. frederic.demoulin

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail

PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) COLLÈGE LA PRÉSENTATION BREVET BLANC Février 2010 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES classe de 3 e Durée : 2 heures Présentation et orthographe : points Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments

Plus en détail

Fiche 1 Calcul vectoriel dans R 2 et R 3

Fiche 1 Calcul vectoriel dans R 2 et R 3 Université Paris, IUT de Saint-Denis Année universitaire 0-0 Licence Pro MDQ Géométrie Fiche Calcul vectoriel dans R et R Dans les exercices suivants, on suppose le plan muni d un repère orthonormal (O,,

Plus en détail

Seconde Chapitre 1 «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 5

Seconde Chapitre 1 «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 5 Seconde Chapitre 1 «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 5 I) s usuels 1) Objets droits bre et nature des faces bre de sommet bre d arêtes Cube Pavé droit ou Parallélépipède rectangle Volume Exercice 1

Plus en détail

CORRECTION DU BREVET BLANC N 1 DE JANVIER 2010 7 21 = 7 21 = 1 3 18. Exercice n 2 : 4(3x 2) + 2(5 x) = 8 soit donc : 12 x 8 + 10 2x = 8

CORRECTION DU BREVET BLANC N 1 DE JANVIER 2010 7 21 = 7 21 = 1 3 18. Exercice n 2 : 4(3x 2) + 2(5 x) = 8 soit donc : 12 x 8 + 10 2x = 8 CORRECTION DU BREVET BLANC N 1 DE JANVIER 2010 ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice n 1 : A = 5 21 + 3 7 1 3 = 5 21 + 9 21 7 21 = 7 21 = 1 3 ; B = 2 3 + 2 7 C = - 5 12 3 2 = - 5 12 14 9 = 2 3 + 2

Plus en détail

Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7

Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7 Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7 Exercice 1 : ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) 1. (3x + 5)² = (3x) 2 + 2 3x 5 + 5 2 = 9x² + 30x + 25 2. 4(4 + 1) = 20 (4 + 1)(4 2) = 10 (4 + 1)² =

Plus en détail

DIPLOME NATIONAL DU BREVET BREVET BLANC N 2 EPREUVE DE MATHEMATIQUES

DIPLOME NATIONAL DU BREVET BREVET BLANC N 2 EPREUVE DE MATHEMATIQUES DIPLOME NATIONAL DU BREVET BREVET BLANC N 2 EPREUVE DE MATHEMATIQUES L usage de la calculatrice est autorisé. Durée : 2 heures. Le barème tient compte de la qualité de la rédaction et de la présentation

Plus en détail

Ex 8 : Angles orientés de vecteurs. Ex 9 : Vrai ou faux. Ex 10 : Entre deux droites. Ex 11 : Entre une droite et un plan

Ex 8 : Angles orientés de vecteurs. Ex 9 : Vrai ou faux. Ex 10 : Entre deux droites. Ex 11 : Entre une droite et un plan Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace : exercices page Produit scalaire dans l'espace Pour les exercices à 4, on considère le cube ci contre de côté a. M, N, P et I sont les milieux respectifs

Plus en détail

Volume d une boule = 4 3 π r3

Volume d une boule = 4 3 π r3 Page 1 sur 5 Figure : Calcul d aires : exemple Parallélogramme Rectangle... Base hauteur Triangles base hauteur 2 Aire du parallélogramme ABCD = DC AE pour repérer la hauteur et la base, j ai repassé l

Plus en détail

3. Positions relatives d'une droite et d'un plan... p4. l'espace.

3. Positions relatives d'une droite et d'un plan... p4. l'espace. plans de l'espace. 1. Règle d'incidence... p2 6. Parallélisme entre droites... p12 2. Positions relatives de 2... p2 7. Parallélisme entre droite et plan... p13 3. Positions relatives d'une droite et d'un

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

1. Tracer un triangle ABC et placer le point M milieu de [AB]. Soit le point N symétrique

1. Tracer un triangle ABC et placer le point M milieu de [AB]. Soit le point N symétrique 4 ème D DS4 triangles : milieux, parallèles sujet 1 2009-2010 Agrandissement - réduction NOM : Prénom : Note : 20 Objectif Acquis En cours Non Acquis d acquisition Connaître et utiliser les théorèmes relatifs

Plus en détail

ESPACE. Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d Alexandrie. Index

ESPACE. Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d Alexandrie. Index Index I- Premières observations dans l'espace:... 2 I-1- Patrons de cube... 2 I-1-1- Un cube... 2 I-1-2- Des patrons?...2 I-1-3- Surface... 3 I-1-4- Volume... 3 I-1-5- Numéroter un dé... 3 I-2- un parallélépipède

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE PRODUIT SCLIRE DNS L'ESPCE Dans tout ce chapitre, les bases ou repères considérés sont orthonormés. Pour des révisions sur le produit scalaire dans le plan, voir le cours de première. 1. Définition du

Plus en détail

Chapitre : VECTEURS SESSION ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure.

Chapitre : VECTEURS SESSION ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure. SESSION 2006 Chapitre : VECTEURS 1 ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure. D. Le FUR 1/ 21 2 ABCD est un parallélogramme de centre

Plus en détail

4 ème C IE5 triangles : milieux, parallèles sujet NOM : Prénom : Note : ème C IE5 triangles : milieux, parallèles sujet

4 ème C IE5 triangles : milieux, parallèles sujet NOM : Prénom : Note : ème C IE5 triangles : milieux, parallèles sujet NOM : Prénom : ABC est un triangle rectangle en A. Le point I est le milieu du segment [BC]. Le point J est le milieu du segment [AB]. Démontrer que les droites (IJ) et (AB) sont perpendiculaires. Note

Plus en détail

Le théorème de Thalès

Le théorème de Thalès Le théorème de Thalès Programmes : 4 e : - Triangles, milieux et parallèles : théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d un triangle - Triangles déterminés par 2 droites parallèles coupant deux demi-droites

Plus en détail

MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé.

MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé. COMPOSITION SECONDE MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE Durée de l épreuve : 2 h 00 L usage de la calculatrice est autorisé. Toutes les réponses devront être justifiées. Exercice 1 Soit la fonction

Plus en détail

VECTEURS EXERCICES CORRIGES

VECTEURS EXERCICES CORRIGES Exercice n 1. VECTEURS EXERCICES CORRIGES On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O, et I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [ED]. En utilisant les lettres de la figure citer :

Plus en détail

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11 Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et

Plus en détail

Géométrie 1 Vecteurs Translation et vecteurs

Géométrie 1 Vecteurs Translation et vecteurs Géométrie 1 Vecteurs Translation et vecteurs Compétences Construire l image d un point (d une figure) par une translation Exemples 1 à 5 Connaître le vocabulaire lié aux vecteurs Exemples 6 et 7 Utiliser

Plus en détail

Théorème de Varignon. Par Mathtous

Théorème de Varignon. Par Mathtous Théorème de Varignon Par Mathtous En regardant ici ou là sur Internet, j'ai remarqué que la démonstration de ce célèbre théorème est, sinon fausse, du moins incomplète : il n'est pas exact que deux droites

Plus en détail

CORRECTION BREVET BLANC

CORRECTION BREVET BLANC Partie numérique Exercice 1 : CORRECTION BREVET BLANC Question 1 : on teste les trois valeurs en remplaçant x par la valeur. La solution est Question 2 : Les solutions sont et -2 Question 3 : on fait deux

Plus en détail

I. Propriétés de géométrie analytique.

I. Propriétés de géométrie analytique. I. Propriétés de géométrie analytique. Activité 1 Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), a. Distance entre deux points. Dans un repère orthonormée (O ; I ; J) on considère deux point A(2 ; 1) et B(5 ;

Plus en détail

Polygones, triangles et quadrilatères

Polygones, triangles et quadrilatères Polygones, triangles et quadrilatères I) Les polygones 1) Définition : Un polygone est une figure fermée composée de plusieurs segments (au moins trois). 2) Vocabulaire a) Les côtés Chaque segment qui

Plus en détail

ORTHOGONALITE DANS ESPACE

ORTHOGONALITE DANS ESPACE ORTHOGONALITE DANS ESPACE Exercice n 1 1 ) Déterminer la mesure de l angle FGB 2 ) a)donner la nature du triangle BEG. Justifier votre réponse b)donner la mesure de l angle EBG Exercice n 2 Dans l espace,

Plus en détail

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE «La géométrie est l'art de raisonner juste sur des figures fausses.» René Descartes (1596-1650) Table des matières I. Représentation en perspective cavalière... 1 II. Solides usuels

Plus en détail

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Exercice 1 Ecrire un programme de construction de la figure suivante. On utilisera seulement deux mesures : le rayon du cercle est 8 cm, la largeur d

Plus en détail

S13. Autour des théorèmes de PYTHAGORE et THALES

S13. Autour des théorèmes de PYTHAGORE et THALES CRPE S1. Autour des théorèmes de PYTHAGORE et THALES Mise en route A. Dans chaque exercice, une configuration à reconnaître une propriété à connaitre une démonstration à rédiger 1. ARC est un triangle

Plus en détail

Activités numériques

Activités numériques Sujet et correction Stéphane PASQUET, 25 juillet 2008 2008 Activités numériques Exercice On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre. a) Multiplier ce nombre pas 3. b) Ajouter le carré

Plus en détail

Chapitre 8 : Géométrie dans l espace

Chapitre 8 : Géométrie dans l espace Chapitre 8 : Géométrie dans l espace Seconde 11 Mme FELT 1 2 I Représentation dans l espace 1. Perspective cavalière La perspective cavalière est une convention mathématique de représentation des solides

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

TD d exercices de Géométrie dans l espace.

TD d exercices de Géométrie dans l espace. TD d exercices de Géométrie dans l espace. Exercice 1. (Brevet 2006) Pour la pyramide SABCD ci-contre : La base est le rectangle ABCD de centre O. AB = 3 cm et BD = 5cm. La hauteur [SO] mesure 6 cm. 1)

Plus en détail

PAGE 1 EXERCICES VOCABULAIRE. 6 ème EXERCICES VOCABULAIRE : droites parallèles droites perpendiculaires. Exercice 1. Réponse

PAGE 1 EXERCICES VOCABULAIRE. 6 ème EXERCICES VOCABULAIRE : droites parallèles droites perpendiculaires. Exercice 1. Réponse Exercice 1 Les droites (AF) et (DC) sont sécantes. Les droites (BE) et (DC) sont sécantes. Les droites (EF) et (DC) ne sont pas sécantes. Les droites (AB) et (DC) ne sont pas sécantes. Construire une figure

Plus en détail

Mathématiques AL2 - Vecteurs. AL2 Vecteurs FC - Exercices -

Mathématiques AL2 - Vecteurs. AL2 Vecteurs FC - Exercices - Mathématiques AL2 - Vecteurs AL2 Vecteurs FC - Exercices - Page 1 sur 9 Page 2 sur 9 Mathématiques AL2 - Vecteurs Page 3 sur 9 Mathématiques AL2 - Vecteurs Page 4 sur 9 Mathématiques AL2 - Vecteurs Page

Plus en détail

Exercices de géométrie analytique

Exercices de géométrie analytique Exercice 1 Exercices de géométrie analytique (1) Déterminer les coordonnées des vecteurs représentés dans la base ( i, j ) () Déterminer les coordonnées des vecteurs représentés dans la base ( j, i ) ()

Plus en détail

Nom : VECTEURS 2nde. Exercice 1. ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des égalités vectorielles possibles sur cette figure.

Nom : VECTEURS 2nde. Exercice 1. ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des égalités vectorielles possibles sur cette figure. Exercice 1 ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des égalités vectorielles possibles sur cette figure. Illustration D. Le Fur 1/?? Exercice 2 ABCD est un parallélogramme de centre

Plus en détail

JUIN : EXERCICES DE REVISIONS

JUIN : EXERCICES DE REVISIONS . Les fonctions JUIN : EXERCICES DE REVISIONS y 30 0 0-8 -7-6 - - 0 3 4 6 7 8 x -0 - -0 0 Fonction n : f(x) = y = 30x Fonction n : f(x) = y = -x³ + 3x² + x - 3 Fonction n 3 : f3(x) = y = -x + 30 Fonction

Plus en détail

Bases et repères. Coordonnées d'un vecteur dans une base, d'un point dans un repère

Bases et repères. Coordonnées d'un vecteur dans une base, d'un point dans un repère I Les vecteurs du plan, de l'espace Dans le plan P Soit O un point du plan, i et j deux vecteurs non colinéaires. On dit que : i, j est une base du plan vectoriel P O, i, j est un repère de P Bases et

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Corrigé des exercices sur les vecteurs. Septembre 2010

Corrigé des exercices sur les vecteurs. Septembre 2010 Septembre 2010 Exercice 1 Soient un triangle ABC et les points I et J tels que AI = 1 AB et AJ = 3 AC 3 1 Exprimer le vecteur BJ en fonction des vecteurs BA et AC. 2 Exprimer le vecteur IC en fonction

Plus en détail

Seconde 1 Géométrie dans l espace. page n

Seconde 1 Géométrie dans l espace. page n Seconde 1 Géométrie dans l espace. page n 1 Dans le plan, il existe autant de polygones réguliers distincts qu'il y a d'entiers supérieurs ou égaux à trois. Mais, dans l'espace, Euclide a démontré qu'il

Plus en détail

GYMNASE DU BUGNON LAUSANNE Mai 2010. EXAMEN D ADMISSION DE L ÉCOLE DE MATURITÉ 2 ème ANNÉE MATHÉMATIQUES OPTION SPÉCIFIQUE

GYMNASE DU BUGNON LAUSANNE Mai 2010. EXAMEN D ADMISSION DE L ÉCOLE DE MATURITÉ 2 ème ANNÉE MATHÉMATIQUES OPTION SPÉCIFIQUE GYMNASE DU BUGNON LAUSANNE Mai 2010 EXAMEN D ADMISSION DE L ÉCOLE DE MATURITÉ 2 ème ANNÉE MATHÉMATIQUES OPTION SPÉCIFIQUE Date : 7 mai 2010 Durée : 3 h Matériel mis à disposition par le gymnase : - Matériel

Plus en détail

DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE - EXERCICES CORRIGES SERIE 3

DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE - EXERCICES CORRIGES SERIE 3 THEME : DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE - EXERCICES CORRIGES SERIE 3 Exercice 14 : O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Soient A',B' et C' les milieux des côtés respectifs [BC],

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. : la perspective cavalière Pour représenter un objet de l espace par une figure plane, on adopte un mode de représentation appelé «perspective cavalière» qui est

Plus en détail

4. Géométrie analytique du plan

4. Géométrie analytique du plan GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DU PLAN 35 4. Géométrie analytique du plan 4.1. Un peu d'histoire René Descartes (La Haye en Touraine, 31/3/1596 - Stockholm, 11/2/1650) La géométrie analytique est une approche de

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace Géométrie dans l espace Mabrouk Brahim Université Virtuelle de Tunis 2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l espace comme une continuation de ceux vus en

Plus en détail

Annales sur la géométrie dans l espace

Annales sur la géométrie dans l espace Annales sur la géométrie dans l espace Exercice I : France juin 200 Soient a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que : OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O, OA = OB = OC

Plus en détail

PREMIERS PAS DANS L ESPACE

PREMIERS PAS DANS L ESPACE REMIERS AS DANS L ESACE I - Généralités La géométrie élémentaire e l espace est née u souci étuier les propriétés e l espace ans lequel nous vivons. Les objets élémentaires e cette géométrie sont les points,

Plus en détail

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,

Plus en détail

*Exercice : Dans quel sens faut-il plier une feuille de papier A4 pour obtenir un cylindre de volume maximal? Quel est ce volume?

*Exercice : Dans quel sens faut-il plier une feuille de papier A4 pour obtenir un cylindre de volume maximal? Quel est ce volume? *Exercice : Dans quel sens faut-il plier une feuille de papier A4 pour obtenir un cylindre de volume maximal? Quel est ce volume? Exercice : La France a une surface de 550 000 km. Elle est souvent comparée

Plus en détail

3 e Révisions Pythagore

3 e Révisions Pythagore 3 e Révisions Pythagore Pour prendre un bon départ. Compléter le tableau suivant en utilisant la figure Triangle Rectangle en Théorème de Pythagore ACI C AI² = AC² + CI² DEI CHI HIM JLM JLK JKM HJK GFH

Plus en détail

Fragments de géométrie du triangle

Fragments de géométrie du triangle Fragments de géométrie du triangle Pierre Jammes (version préliminaire du 2 août 2013) 1. Dénitions On donne ici les dénitions des principaux objets mis en jeu dans le début du texte. Dans le plan euclidien,

Plus en détail

1 er Devoir Commun de Mathématiques 2nde

1 er Devoir Commun de Mathématiques 2nde NOM PRENOM : Classe : 1 er Devoir Commun de Mathématiques nde Jeudi 13/1/01 Le soin, la rigueur entreront pour une part non négligeable dans l évaluation. Les 6 exercices sont indépendants. Vous pouvez

Plus en détail