Chapitre 14 - Fonctions de plusieurs variables - Corrigés

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1 Chapire 4 Foncions de plusieurs variables Exercice : Si adme une limie, alors comme y) = x, 0) = cee limie es nécessairemen nulle De plus, si adme 0 pour limie en 0), alors la oncion, ) adme 0 pour limie en 0 Comme, ) = a+b, on obien nécessairemen que a + b > Réciproquemen, si a + b >, on a x, y) x, y) a x, y) b x, y) = x, y) a+b x,y) 0) donc par comparaison x, y) adme 0 pour limie en 0) Exercice : La oncion es coninues sur R \ { 0)} par composée de oncions coninues En l origine, on a x, y) x, y) x, y) 3/ = x, y) / 0 = 0), x,y) 0) donc la oncion es aussi coninue en 0), donc sur R La oncion es adme des dérivées parielles sur R \ { 0)} par composée de oncions de classe C En l origine, on a, 0) 0) = / +, ) 0) = donc adme une dérivée parielle par rappor à y, mais pas par rappor à x Exercice 3 : Pour on a, ) = donc n es pas coninue en 0) + = 0 = 0), 0 On uilise la déiniion des dérivées parielles On a, 0) 0) = 0 0 ) 0) donc adme des dérivées parielles en 0) e on a 0) = 0) = 0 = 0 0 Exercice 4 : La oncion es de classe C sur R \ { 0)} par composée de oncions de classe C Les dérivées parielles de sur R \{ 0)} son données par En l origine, on a, 0) 0) x, y) = x lnx + y ) + xx y ) x + y, x, y) = y lnx + y ) + yx y ) x + y = ln ) 0 ) 0) = ln ) 0 donc les dérivées parielles de en 0) exisen e son nulles Pour conclure, il au monrer que les dérivées parielles son coninues sur R On a x, y) x, y) ln x, y) ) + x, y) x,y) 0) donc la dérivée parielle de par rappor à x es coninue sur R De même, la dérivée parielle de par rappor à y es coninue sur R, donc es de classe C sur R /6

2 Exercice 5 : On uilise le changemen de variable u, v) = x + y, 3x + y) x, y) = v u, 3u v) La oncion F : R R déinie par F u, v) = v u, 3u v) es de classe C e on a On en dédui que u, v) = = x, y) u, v) + x, y) + 3 x, y) x, y) u, v) es soluion de E) = 0 = 0 Il exise donc h : R R de classe C elle que F u, v) = hv) pour ou couple u, v) R On conclu que les soluions de E) son les oncions x, y) R, x, y) = F u, v) = hv) = h3x + y) où h : R R es de classe C Exercice 6 : On uilise le changemen de variable u, v) = x + y, x + 3y) x, y) = 3u v, v u) La oncion F : R R déinie par F u, v) = 3u v, v u) es de classe C e on a On en dédui que u, v) = = 3 x, y) u, v) + x, y) x, y) x, y) u, v) es soluion de E) = F C es une équaion diérenielle d ordre en u que l on sai résoudre On en dédui qu il exise une oncion h : R R de classe C elle que u, v) R, F u, v) = hv) expu) Finalemen, les soluions de E) son les oncions x, y) R, x, y) = F u, v) = hx + 3y) expx + y) où h : R R es de classe C Exercice 7 : On uilise le changemen de variable x, y) = r cosθ), r sinθ)) La oncion F : R R déinie par F r, θ) = r cosθ), r sinθ)) es de classe C e on a θ On en dédui que r, θ) = x, y) θ = r sinθ) r, θ) + x, y) r, θ) θ x, y) + r cosθ) x, y) es soluion de E) θ = F C es une équaion diérenielle d ordre en θ que l on sai résoudre On en dédui qu il exise une oncion h : R R de classe C elle que u, v) R, F r, θ) = hr) exp θ) Finalemen, comme x > on a θ ] π, π [, les soluions de E) son les oncions ) y x, y) R, x, y) = F u, v) = h x + y exp Arcan, x)) /6

3 où h : R R es de classe C En noan g = h, on remarque que l ensemble des soluions de E) peu se réécrire x, y) = g x + y ) y exp Arcan x)) où g : R R es de classe C Exercice 8 : On uilise le changemen de variable x, y) = r cosθ), r sinθ)) La oncion F : R R déinie par F r, θ) = r cosθ), r sinθ)) es de classe C e on a r On en dédui que r, θ) = x, y) r = cosθ) r, θ) + x, y) r, θ) r x, y) + sinθ) x, y) es soluion de E) r = On en dédui qu il exise une oncion h : R R de classe C elle que u, v) R, F r, θ) = r + hθ) Finalemen, comme x > on a θ ] π, π [, les soluions de E) son les oncions y x, y) R, x, y) = F u, v) = x + y + h Arcan x)) En noan g = h Arcan, on remarque que l ensemble des soluions de E) peu se réécrire y x, y) = x + y + g x) où g : R R es de classe C Exercice 9 : On uilise le changemen de variable u + v u, v) = x + y, x y) x, y) =, u v ) La oncion F : R R déinie par F u, v) = u + v)/, u v)/) es de classe C e on a u, v) = x, y) = u, v) + ) x, y) + x, y) x, y) u, v) On dérive une seconde ois par rappor à v On obien F u, v) = v + )) x, y) u, v) v + + )) = ) 4 x, y) + x, y) 4 = ) 4 x, y) x, y) On en dédui que es soluion de E) F v = 0 x, y) u, v) v x, y) + x, y) On en dédui qu il exise deux oncions h, k : R R de classe C elles que u, v R, F u, v) = hu) + kv) Finalemen, les soluions de E) son les oncions x, y R, x, y) = hx + y) + kx y) où h : R R e k : R R son des oncions de classe C ) 3/6

4 Exercice 0 : D après le cours, on a F ) = x +, y + ) + x +, y + ) Si la oncion vériie la relaion de l énoncé, alors la oncion F es nulle, donc F 0) = ce qui donne le sens direc avec la première quesion Réciproquemen, si es soluion de l équaion aux dérivées parielles, on a d après la première quesion que F = 0 On en dédui que F es consane Comme F 0) = on obien que F es nulle, d où le résula Exercice : En dérivan par rappor à la relaion de l énoncé, on obien x, y)x + x, y)y = αα x, y), ce qui donne le résula en prenan = Réciproquemen, on ixe x, y) R e on considère la oncion ϕ : R + R, ϕ) = x, y) α x, y) La oncion ϕ es de classe C En calculan sa dérivée comme dans la quesion e en uilisan l hypohèse, on rouve que ϕ es soluion de l équaion diérenielle y = α/)y Comme y) = on en dédui par unicié de la soluion d un problème de Cauchy, que ϕ = ce qui monre la réciproque Exercice : i) Les soluions son x, y) = e xy + 3x + C avec C R ii) Les soluions son x, y) = e x y + y + C avec C R iii) Il n y a pas se soluion iv) Les soluions son x, y) = e x + sinxy) + C avec C R Exercice 3 : La oncion es coninue sur le ermé borné T, donc elle adme un maximum e un minimum global sur T On déermine les poins criiques de sur l ouver 0 y T U = {x, y) R x > y > x + y < } Après résoluion, l applicaion adme un unique poin criique en /3, /3) e on a 3, = 3) 7 Les poins de T s écriven ),, 0) e, ) avec 0 Or, 0) = ) =, ) = 0 x On conclu que le maximum de es /7 e es aein en /3, /3) Le minimum de es 0 e es aein sur les poins du bord de T 4/6

5 Exercice 4 : La oncion es coninue sur le ermé borné C = [ π/], donc elle adme un maximum e un minimum global sur C On déermine les poins criiques de sur l ouver U =] π/[ Après résoluion, l applicaion adme un unique poin criique en π/3, π/3) e on a π 3, π ) 3 = Les poins de C s écriven ),, 0),, π/), π/, ) avec 0 π/ Or, 0) = ) = 0 andis que, π ) ) ) π π =, = sin) sin + = sin) cos) = sin) On en dédui que le maximum de sur C es / e son minimum es 0 Finalemen, le maximum de es 3 3/8 e es aein en π/3, π/3) Le minimum de es 0 e es aein sur [ π ] [ {0} {0} π ] { π, π )} Exercice 5 : La oncion es coninue sur le ermé borné C = [ ], donc elle adme un maximum e un minimum global sur C On déermine les poins criiques de sur l ouver U =] [ Après résoluion, l applicaion n adme pas de poins criiques sur U Les exremums de la oncion son donc aeins sur C Les poins de C s écriven ),, 0),, ),, ) avec 0 On a, 0) =, ) = 3 +, ) = 3,, ) = 3 + En éudian ces oncions, on obien que le maximum de es e es aein en, 0) e, ) Son minimum es /3 3) e es aein en / 3) Exercice 6 : La oncion es coninue sur le ermé borné D, donc elle adme un maximum e un minimum global sur D On déermine les poins criiques de sur l ouver U = {x, y) R x + y < 4} Après résoluion, l applicaion adme un unique poin criique en 0) e on a 0) = 0 Les poins de C s écriven cos), sin)) avec 0 π On a cos), sin)) = 6 cos 4 ) + 6 sin 4 ) 8cos) sin)) = 8 sin ) + 8 sin) + 8 En posan X = sin), il au donc déerminer le maximum e le minimum de la oncion X 8X + 8X + 8 pour X Après une éude de oncion, on en dédui que le maximum de es 0 e es aein en π π cos, sin, ) )) cos 3π ) 5π cos, sin ) )), sin e 3π Le minimum de es 8 e es aein en ), e )) 5π,, cos ) ) 7π, sin )) 7π 5/6

6 Exercice 7 : La oncion es coninue sur le ermé borné D, donc elle adme un maximum e un minimum global sur D y Exercice 8 : On peu supposer qu une des sommes du riangle se rouve en, 0) Un riangle sur le cercle C peu se représener par y β α 0 D x x On déermine les poins criiques de sur l ouver U = {x, y) R x < y < x } Après résoluion, l applicaion adme un unique poin criique en 0) e on a 0) = 0 Les poins de T s écriven, ) e, ) avec Or, ) = e, ) = 4 + En éudian la seconde oncion, on conclu que le maximum de es e es aein sur {, ) R } { )} Le minimum de es 0 e es aein en 0) On inrodui donc l ensemble ermé borné T = {α, β) R 0 α β π} Le périmère du riangle dessiné ci-dessus es donné par ) ) )) α β α β α, β) = sin + sin + sin La oncion es coninue sur le ermé borné T, donc elle adme un maximum e un minimum global sur T On déermine les poins criiques de sur l ouver U = {α, β) R 0 < α < β < π} Après résoluion, l applicaion adme un unique poin criique en π/3, 4π/3) e on a π 3, 4π ) = Les poins de T s écriven, ), ), π) avec 0 π Or, ) = ) =, π) = 4 sin 4 < 3 ) 3, donc le maximum de es 3 3 e es aein en π/3, 4π/3) En revenan au problème de dépar, on rouve que les riangles inscris dans le cercle unié de périmère maximal son les riangles équilaéraux Leur périmère vau 3 3 6/6