I INTRODUCTION II ECHANTILLONS. Master 1 ESTIMATION Mars 2009

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1 Maste 1 ESTIMATION Mas 009 I INTRODUCTION Das so live, Le jeu de la sciece et du hasad, Daiel Schwatz, cite cette aecdote d'u aglais qui déaque à Calais et qui apecevat ue femme ousse, coclut : Ties, les façaises sot ousses...nous ios de so eeu, mais ie souvet ous avos du mal à l'évite ; il cite lui même le cas d'u ami mathématicie, qui le ecote à Pais u samedi et lui dit :..Tu e vas plus à la campage le samedi? ; plus loi il imagie u chiugie, auteu d'ue ouvelle techique opéatoie qui écit aux 1000 pemies patiets qui e ot ééciée ; il eçoit 100 époses : 75 sot tès satisfaits, 5 o ; il évalue doc la popotio de succès à 75%, à pati de cet échatillo. Cepedat le doute le saisit : que sot deveus les 900 autes patiets, qui 'ot pas épodu? Répose : ils sot mots des suites de l'opéatio...no commet. O comped doc le polème qui se pose : o est souvet ameé à décie ue populatio à pati d'u échatillo, soit pace que teste la populatio etièe est impossile, o e peut iteoge chaque électeu su ses itetios pou costuie u sodage, soit pace que le test peut détuie l'échatillo ; o voit mal u faiquat d'ampoules teste leu duée de vie e les laissat toutes allumées jusqu'à leu usue complète. C'est l'ojet de l'iductio ; les statisticies appellet iféece la démache qui cosite à passe du paticulie, c'est-à die de l'échatillo, au gééal, c'est-à die à la populatio-mèe. Les tests statistiques pemettet de saisi les éffets des uctuatios d'échatilloage et de épode à la questio fodametale : que valet les ifomatios issues d'u échatillo? pemettet-elles de décie la populatio? Aisi se pose de faço cuciale le choix de l'échatillo, et otammet la costuctio d'u échatillo epésetatif de la populatio. O e peut pas teste la populatio façaise pa les pesoes dot le om commece pa u A;ou les étudiats d'u cetai cous i e peat ceux du pemie ag ( quad il y e a..) i ceux du deie ag. Ces échatillos évoqués sot dits iaisés, e ce ses qu'ils diffèet systématiquemet de la populatio ; ils e sot pas epésetatifs. La seule faço satisfaisate du poit de vue théoique, pou évite le iais, est que l'appateace d'u élémet à l'échatillo e dépede e aucu cas d'ue caactéistique de cet élémet (pemièe lette du om, place das l'amphithéâte,..), mais poviee uiquemet du hasad, d'u tiage aléatoie, où chaque idividu a la même poailité d'ête choisi. Si l'o veut teste si la soupe est coectemet salée, et si elle a été ie mélagée, o aua la même coclusio e goûtat das la mamite, ou das l'assiette de quelqu'u. Das de omeux sodages, o utilise u échatilloage plus sophistiqué que le tiage au sot : o pocède pa states, e xat à l'avace le ome d'idividus qui devot avoi tel âge, sexe, catégoie socio-pofessioelle, etc. Mais à l'itéieu de chaque sous-goupe, les idividus eteus devot ésulte d'u tiage au sot. La statistique est asée su le fait que les doées osevées sot des éalisatios de vaiales aléatoies ; aisi les valeus osevées das ue populatio costituet éalisatios idépedates d'ue vaiale aléatoie X suivat ue loi de poailité P; ou ue éalisatio du -uplet (X 1; X ; :::; X ) où les X i sot des vaiales aléatoies idépedates et de même loi, P ( i:i:d: idépedates et idetiquemet distiuées). O ote (x 1; x ; :::; x ) u échatillo de taille ou pa extesio (X 1; X ; :::; X ) : Pa exemple, si l'o désie teste la duée de vie d'ue ampoule das ue populatio de taille 10000; u échatillo de taille 10 sea oté (X 1; X ; :::; X 10 ) ; où X 1 est la duée de vie de l'ampoule N 1; etc. Si l'expéiece ous doe pou la pemièe ampoule ue duée de vie de 500 heues, alos x 1 500: A pati de ote échatillo, ous pouos calcule diveses caactéistiques, comme la moyee de l'échatillo, et ous checheos à estime la moyee icoue de la populatio. Pou estime u paamète icou d'ue populatio, o peut se xe deux types d'ojectifs : soit echeche ue estimatio sous la fome d'u ome et o pale alos d'estimatio poctuelle, soit echeche u itevalle qui cotiee le paamète icou, avec u isque d'eeu coseti, et o pale alos d'itevalle de coace (fouchette). II ECHANTILLONS Nous supposeos das la suite que l'o pocède à u échatilloage aléatoie, c'est-à die que tous les idividus d'ue populatio de taille N ot été uméotés et que l'o a tié au sot ( < N) omes pami les eties de 1 à N; pou costitue u échatillo aléatoie de taille : O peut effectue le tiage de deux faços doat lieu à deux types d'échatillos. 1. U échatillo est dit exhaustif (du lati épuise, au ses épuise toutes les possiilités), s'il est costitué sas emise et o exhaustif s'il est costitué avec emise.. Das le cas d'u tiage o exhaustif (avec emise), il y a idépedace ete les tiages. 3. Das le cas d'échatillos exhaustifs costitués à pati d'ue populatio ie de taille N; il 'y a pas idépedace. O déit alos le taux de sodage T : Si le taux de sodage est sufsammet petit ( T 0:05), o peut assimile (comme das la situatio N d'u schéma de Beoulli) u échatillo exhaustif à u esemle de valeus ésultat de tiages idépedats. 4. Covetio : les ésultats éocés das ce chapite supposet pa défaut que les échatillos cosidéés sot soit o exhaustifs soit exhaustifs avec u taux de sodage : T N iféieu ou égal à 5%: Das le cas cotaie, pou des populatios ies, de taille N; si 0:05N; o deva utilise u coectif qui sea pécisé. page 1

2 ESTIMATION III ESTIMATION PONCTUELLE 1. ESTIMATEUR Supposos que los d'u cocous compotat 1000 cadidats, o ait coigé 100 copies. Si ote échatillo de 100 copies a pou moyee 10:85; cette valeu uméique costitue ue estimatio "atuelle" de la moyee icoue de la populatio des copies. Déitio : cosidéos ue populatio et u paamète icou de cette populatio (pa exemple sa moyee). U estimateu est ue foctio f qui à chaque échatillo tié au hasad, (X 1; X ; :::; X ) associe u ome, f (x 1; x ; :::; x ) qui costitue ue estimatio du paamète : L'estimateu est oté ; c'est ue vaiale aléatoie qui déped de l'échatillo. Das ote exemple pécédet u estimateu de la moyee m des otes est : M c X 1 + X + ::: + X 100 et m 10:85 ue 100 estimatio de cette moyee. O auait pu pede comme estimateu la médiae des X i ( i vaiat de 1 à 100); ou ecoe tout simplemet la ote de la pemièe copie tiée au hasad. O comped que ces difféets estimateus e sot pas équivalets et l'o va déi diveses caactéistiques d'u estimateu de faço à choisi celui qui pemetta d'otei ue estimatio la plus poche possile du paamète icou.. BIAIS O appelle iais d'u estimateu, la difféece E ; ete l'espéace de et : Le iais est positif si ted à suestime et égatif das la cas cotaie. O otea que la vaiale aléatoie qui epésete l'eeu d'estimatio s'écit : E + E ; le pemie {z } {z } teme epésetat les uctuatios de autou de so espéace (eeu aléatoie) et le deuxième teme epésetat le iais (eeu systématique). O chechea des estimateus sas iais, e gadat à l'espit l'impotace d'autes citèes comme la vaiace. 3. ESTIMATEUR SANS BIAIS a. U estimateu est sas iais si E : E clai, la moyee des valeus de l'estimateu das tous les échatillos de même taille est égale à la valeu du paamète das la populatio. Exemple impotat : l'estimateu X X 1 + X + ::: + X qui à u échatillo de taille associe la moyee de l'échatillo est u estimateu sas iais de la moyee m de la populatio.. Les gads échatillos : u estimateu est asymptotiquemet sas iais si lim E :!+1 Exemple : o cosidèe que le temps d'attete X ete deux ames de méto est ue vaiale aléatoie qui suit ue loi uifome su u itevalle [a; ] ; les oes a et état icoues. Soiet X 1 ; X ::; X u échatillo de valeus mutuellemet idépedates et Z Mi(X 1 ; X ::; X ) u estimateu de a: O admet que E (Z) a+ +1 : Z est-il iaisé? 4. ESTIMATEUR EFFICACE O otea qu'u estimateu sas iais 'est pas ue gaatie d'otei ue estimatio de satisfaisate ; si la vaiace de est gade, o peut se touve assez malchaceux avec l'échatillo pélevé et otei ue estimatio éloigée de : Il est doc impotat que la vaiace de soit aussi faile que possile. a. Déitio : est u estimateu efcace de s'il est sas iais et s'il possède la vaiace la plus faile des estimateus sas iais. O pale de meilleu estimateu sas iais (BUE : est uiased estimato).. Si 1 et sot deux estimateus sas iais, o dia que 1 est plus efcace que si V 1 < V : c. Estimateu liéaie : o a vu que X 1 X 1+ 1 X + ::: + 1 X est u estimateu de la moyee de la populatio ; cet estimateu est liéaie ca c'est ue comiaiso liéaie des osevatios de l'échatillo, du type : a 1 X 1+ a X + ::: + a X : d. Estimateu BLU E ( est liea uiased estimato) : u estimateu BLU E est u estimateu liéaie sas iais de vaiace miimale. O peut éamois touve u estimateu o liéaie plus efcace qu'u estimateu BLUE. 5. ERREUR QUADRATIQUE MOYENNE U estimateu sas iais peut avoi ue gade vaiace et pose alos upolème : si 1 est u estimateu sas iais de et si est u aute estimateu légèemet iaisé, mais avec V < V 1 ; quel estimateu choisi? O déit la pécisio d'u estimateu e mesuat sa dispesio autou de la vaie valeu icoue de : a. Déitio : l'eeu quadatique moyee est déie pa : EQM E :. Relatio ete eeu quadatique et iais :

3 Maste 1 E E V + E E +E E h E + E E E h ca E E i ESTIMATION i +E E 0 et E est ue costate. E coclusio : l'eeu quadatique moyee est la somme de la vaiace de et du caé du iais : E V + E c. Remaque : pou u estimateu sas iais, l'eeu quadatique moyee est la vaiace, ca E : 6. ESTIMATEUR ET GRANDS ECHANTILLONS CONVERGENT U estimateu est dit coveget (ves ) si covege ves quad ted ves l'ii, c'est à die si la poailité que s'écate de ted ves 0 quad ted ves l'ii : quel que soit " > 0; lim P 0:!+1 L'esemle des valeus que peut pede l'estimateu das tous les échatillos de même taille doit se essée autou de la valeu du paamète de la populatio, quad la taille de l'échatillo augmete. O otea que si est u estimateu coveget, alos g costituea u estimateu coveget de g () ; pou toute foctio g de R das R cotiue. 7. Echatilloage de la moyee (su u exemple) a. Exemple : Soit ue populatio de 5 étudiats dot les otes à u exame de statistique sot les suivates : 1 ; ; 5 ; 7 ; 10 (su 10). Cosidéos l'expéiece aléatoie qui cosiste à péleve u échatillo aléatoie (sas emise) de taille ( ou 3 ou 4 das les calculs qui suivet) et otos X la vaiale aléatoie, appelée moyee d'échatillo qui à chaque échatillo de taille associe sa moyee. Calculos esuite l'espéace de X. Cela suppose d'exhie tous les échatillos, de calcule leus moyees espectives et d'effectue la moyee de ces moyees. O a calculé pa ailleus, la moyee 5 et la vaiace 10:8 de la populatio. i. Echatillos de taille, sas emise : Il y a A échatillos de taille ayat tous la même poailité, ; d'ête choisis. Il y a 0 moyees à calcule, e 0 fait 10;ca les échatillos (1; ) et (; 1) ; pa exemple, ot la même moyee. Echatillos et moyees (1; ) (1; 5) (1; 7) (1; 10) (; 5) (; 7) (; 10) (5; 7) (5; 10) (7; 10) (; 1) (5; 1) (7; 1) (10; 1) (5; ) (7; ) (10; ) (7; 5) (10; 5) (10; 7) : 1: :5 3:5 4: :5 8:5 O peut alos doe la distiutio d'échatilloage de la moyee (modalités x i et effectifs i ). x i 1:5 3 3:5 4 5:5 4:5 6 7:5 8:5 i 4 1: :5 + 3:5 + 4: :5 + 8:5 La moyee des x i est : E X 5: 0 O ote que 5 est la moyee de la populatio. ii. Echatillos de taille 3 (sas emise) : Il y a A échatillos, o e exhie 10, chacu e doat 6 pa pemutatio. TAILLE 3 Ech. (1; ; 5) (1; ; 7) (1; ; 10) (1; 5; 7) (1; 5; 10) (1; 7; 10) (; 5; 7) (; 5; 10) (; 7; 10) (5; 7; 10) x i :7 3:3 4:3 4:3 5:3 6 4:7 5:7 6:3 7:3 O touve pou la moyee des échatillos de taille 3 : E X 3 5 Bila échatillos exhaustifs : TAILLE TAILLE 3 TAILLE 4 E X V X E X 3 V X 3 E X 4 V X 4 5 4:05 5 1:8 5 0:675 iii. Echatillos o exhaustifs de taille : Il y a 5 5 échatillos de ce type. TAILLE (1; ) (1; 5) (1; 7) (1; 10) (; 5) (; 7) (; 10) (5; 7) (5; 10) (7; 10) (; 1) (5; 1) (7; 1) (10; 1) (5; ) (7; ) (10; ) (7; 5) (10; 5) (10; 7) (1; 1) (; ) (5; 5) (7; 7) (10; 10) page 3 E X V X 5 5:4 {z } TAILLE AVEC REMISE

4 4 ESTIMATION iv. Coclusio : O a costaté su tous os exemples que la moyee des moyees est égale à celle de la populatio, mais que la vaiace des moyees est plus petite que celle de la populatio et qu'elle dimiue avec la taille de l'échatillo. IV DISTRIBUTION D'ECHANTILLONAGE DE LA MOYENNE 1. Notatios Soit ue populatio de taille N (ou iie) su laquelle est déi u caactèe quatitatif oté X ayat das cette populatio pou moyee et pou écat-type. E pélevat au hasad u échatillo de taille, ous céos ue suite de vaiales aléatoies idépedates, de même distiutio que X; otées X 1 ; X ; :::; X et peat espectivemet pou valeus les valeus pises pa X su chacu des idividus de l'échatillo.. Déitio O déit la vaiale aléatoie otée X, appelée moyee d'échatillo et déie pa : X X 1 + X + ::: + X Nous allos détemie la moyee, la vaiace et l'écat-type de la moyee d'échatillo. 3. Espéace Pa liéaité de P l'espéace, o a : E X 1 E (Xi ) ;mais E (X i ) et doc E X 1 : La moyee d'échatillo est u estimateu sas iais de la moyee de la populatio. La moyee de la vaiale aléatoie X est toujous égale à la moyee de la populatio mèe, celle d'où l'échatillo a été pélevé. 4. Vaiace et écat-type V X V X1 + X + ::: + X 1 V (X 1 + X + ::: + X ), de plus les vaiales X i état idépedates la vaiace est additive et o a : V X 1 P V (Xi ) 1 ca V (X i ) V (X) ; o e déduit : X 1 p : O ote que l'écat-type de la vaiale X dimiue quad la taille de l'échatillo augmete, e clai plus la taille de l'échatillo est gade, plus X "se cocete" autou de la moyee de la populatio. 5. A etei : Si l'o extait d'ue populatio d'espéace et d'écat-type u échatillo de taille ; la moyee de cet échatillo est ue vaiale aléatoie de moyee et d'écat-type p : E X V X X 6. Flash-Back : TCL Le théoème cetal limite pemet d'afme que la distiutio de la moyee d'échatillo ted ves ue loi omale au fu et à mesue que la taille de l'échatillo augmete et ce sas aucue hypothèse su la loi paete (loi de la populatio). Si la loi paete a pou moyee et pou écat-type, la moyee d'échatillo de taille ; otée X ; suit appoximativemet la loi N ; p : L'appoximatio est jugée satisfaisate losque la taille de l'échatillo est d'au mois 30: Patique : si l'o ote Z X ; la poailité P (a Z ) a pou valeu appochée F () F (a) ;quad est assez gad, p F désigat la foctio de épatitio de la loi omale cetée éduite. 7. Petits échatillos ( < 30) : distiutio de Studet Das le cas de petits échatillos, ous devos suppose que la loi de la populatio est omale, pou afme que la moyee d'échatilloage suit ue loi omale. Mais il susite u polème : l'estimatio de pa S 'est pas ale, ca elle vaie top d'u échatillo à l'aute ; le TCL e s'applique pas et o doit utilise la distiutio de Studet (W.S.Gosset, statisticie qui tavaillait das la asseie iladaise Guiess). Rappel : Si l'échatilloage s'effectue à pati d'ue populatio omale La vaiace est icoue La taille de l'échatillo est petite ( < 30). alos : T X suit ue loi de Studet à 1 ddl (degé de lieté). cf exemple itevalle de coace 3c. S p p 4

5 Maste 1 ESTIMATION 8. Execice a. Ue machie automatique poduit des pièces dot le poids moye est de 5 g avec u écat-type de 0:5g. Le cotôle de qualité fait péleve 100 pièces. Calcule la poailité que la moyee d'u échatillo de taille 100 soit iféieue ou égale à 5:01g: (épose : 65:54%). Détemios u itevalle ceté su la moyee tel qu'o puisse afme qu'avec ue poailité de 95% cet itevalle cotiet le poids moye. Solutio : l'itevalle que ous chechos est déi pa : z 0:05 Z z 0:05 ; avec P (Z z 0:05 ) 97:5; ce qui doe : z 0:05 1:96, 1:96 X 1:96 soit 1:96 X 1:96 soit X 1:96p X + 1:96p soit ici : p p 5 1:96 0:5 p :96 0:5 p 100 soit l'itevalle : [4: 951 ; 5: 049] : O attiue à cet itevalle le iveau de coace de 95% de cotei la vaie valeu de ; ce qui sigie que pou 95% des échatillos de taille 100 pélevés das cette populatio la moyee de la populatio se touve das l'itevalle calculé (o dit aussi 19 fois su 0): 9. O a étali pécédemmet que : E X et X 1 p ; o e déduit que X est u estimateu (poctuel) sas iais de (moyee de la populatio). 10. Tois estimateus à coaîte : Moyee, Vaiace et popotio. a. Moyee : Le polème est églé : X est u estimateu poctuel sas iais de et l'estimatio sea otée : X (moyee de l'échatillo).. Vaiace et Ecat-type : i. Estimateu sas iais Si o ote S u estimateu sas iais de la vaiace, o atted de lui : E S. O est teté de pese que la vaiace d'échatillo, 1 P Xi X ; pouait tei ce ôle, mais cet estimateu est "iaisé" ; si l'o extait de omeux échatillos d'ue populatio de vaiace, o costatea qu'e moyee la vaiace d'échatillo sea iféieue à la vaie valeu : O démote que la moyee des vaiaces de tous les échatillos de taille 'est pas la vaiace de la populatio. O a : 1 P 1 P Xi X (Xi ) X 1 P (Xi ) + X P (Xi ) X soit e développat : 1 P (Xi ) + X X P (X i ) 1 P (Xi ) X ; il este 1 P à pede l'espéace des deux memes, et à utilise la liéaité : E Xi X 1 P E (X i ) E X 1 P 1 ; o coige ce iais e posat : S 1 1 P 1 P Xi X Xi X et o a alos : E S : O doit etei : U estimateu sas iais de la vaiace de la populatio est la vaiace d'u échatillo aléatoie de taille déie pa : S 1 X Xi X 1 qui doe comme estimatio de la vaiace : S 1 où 1 P xi X désige la vaiace calculée su l'échatillo ; o otiet comme estimatio de l'écat-type : S 1. O ote que S > : ii. Calculatice La calculatice statistique fouit à pati de doées d'u échatillo, l'écat-type de l'échatillo, oté X (avec os otatios ) et l'estimatio de l'écat-type de la populatio, otée S X (avec os otatios s). Rete das ue liste l'échatillo de taille 3; (10 ; 0 ; 50) ; das le meu Calcul 1vaiale o otiet : X 16:9967 et S X ' 0:8167 ; o véie que S X ' 3 X ' 16: ' 0:816 6: iii. Execice coigé Pa u sodage effectué aupès d'u échatillo de 178 cades supéieus, o a oteu u eveu auel moye de e, avec u écat-type de 7684 e, l'ojectif état d'estime le eveu auel de tous les cades supéieus. Estime poctuellemet le salaie moye et l'écat-type du salaie moye des cades de la populatio. page 5

6 6 ESTIMATION Coigé : O sait que le salaie moye de l'échatillo est u estimateu sas iais du salaie moye de la populatio, doc o estimea le salaie moye de la populatio pa : E X ; o ped comme estimateu de la vaiace de la populatio, S ; la vaiace d'échatillo déie pa : S e 1 et doc pou l'écat-type : S : c. Estimatio d'ue popotio O s'itéesse à la popotio p des idividus d'ue populatio ayat ue caactéistique doée. O démote que p peut ête estimée pa p; la popotio d'idividus ayat cette caactéistique das u échatillo de taille ; cet estimateu état sas iais. d. BILAN : Paamète à estime Estimateus Moyee : X Vaiace : S 1 P Xi X 1 1 ; écat-type calculé su l'échatillo de taille Ecat-type S 1 popotio : p p (popotio d'échatillo), avec E (p) p V INTERVALLE DE CONFIANCE 1. Itoductio. Les estimatios poctuelles e fouisset pas d'ifomatio su la pécisio des estimatios, c'est-à die qu'elles e tieet pas compte de l'eeu possile attiuale aux uctuatios d'échatilloage, o deux échatillos disticts doet pesque cetaiemet des valeu difféetes pou l'estimatio. Il s'agit toujous d'estime u paamète icou, mais au lieu de lui attiue ue valeu uique e faisat appel à u estimateu poctuel, de costuie u itevalle aléatoie qui pemette de ecouvi, avec ue cetaie ailité, la vaie valeu du paamète estimé. Cet itevalle aléatoie déped de l'échatillo. Avat de péleve l'échatillo, o assige à l'itevalle aléatoie ue poailité de cotei la vaie valeu de. O attiue souvet à cette poailité, décidée au péalale, la valeu de 95%: Ue fois l'échatillo pélevé, o otiet u itevalle xe (o aléatoie) auquel o attiue le iveau de coace de 95%; de cotei la vaie valeu de : a. Niveau de coace Si P (a ) 1 ; cette poailité otée (1 ) souvet expimée e poucetage s'appelle le iveau de coace de l'itevalle. Ce iveau est décidé au péalale et peut ête aussi élevé (poche de 100%) que l'o veut. O choisit souvet 5%;ce qui doe u iveau de coace de 95%:. Le seuil de isque La poailité ; expimée e poucetage, est appelée le iveau de isque. epésete la poailité de se tompe e afmat que l'itevalle de coace cotiet le paamète : désige la poailité pou que l'itevalle que l'o détemie e cotiee pas la vaie valeu du paamète. c. Le choix La détemiatio d'u itevalle de coace ous place devat u choix difcile : soit efuse u isque élevé, mais alos otei u itevalle "gossie" et de peu d'itéêt, soit accepte u isque élevé et otei u ecademet assez pécis. O peut die qu'avec u iveau de coace de 100%;l'itevalle [0; 0] cotieda vote ote de patiel...mais l'itéêt d'u tel ésultat est faile... d. Exemple : Soit X la vaiale aléatoie coespodat à la valeu hedomadaie des achats de la méagèe de 50 as... Supposos que l'itevalle de coace à 95% soit ]455:10 ; 495:40[ et que l'itevalle de coace à 99% soit ]448:73 ; 501:77[ ; cela sigie que 95% des échatillos de taille doeot ue valeu das l'itevalle ]455; 10 ; 495:40[ et que 99% d'ete eux ue valeu das l'itevalle ]448:73 ; 501:77[. O otea évidemmet que plus le iveau de coace exigé est gad, plus l'amplitude de l'itevalle est gade. 3. Itevalle de coace d'ue moyee a. Ecat-type de la populatio cou Pou 30 ; I x z p ; x + z p z état calculé avec la loi omale : P z Z z 1 ; Z suivat la loi N (0; 1) ; Rappel : P z Z z F z 1, F désigat la foctio de épatitio de la loi omale cetée éduite. 6

7 Maste 1 ESTIMATION O etieda que pou 0:05; z 1:96 (véie das la tale de la foctio de épatitio de la loi omale cetée éduite).. Ecat-type de la populatio icou i. O commece pa faie ue estimatio poctuelle S de l'écat-type de la populatio, e utilisat l'écat-type calculé das l'échatillo : S 1 et o fait le même tavail : I X z p ; X + z p Remaque : S p p 1 ii. Exemple : epeos le salaie des cades (9iii) et chechos ue estimatio du salaie moye pa u itevalle de coace à 95%. Le théoème cetal limite ous dit que si 30; la vaiale X a ue distiutio appoximativemet omale avec comme paamète la moyee m de la populatio et comme écat-type estimép S 577: 56; que ous avos déjà calculé. O a doc : P X 1:96 S p m X + 1:96 S p 0:95: O appelle mage d'eeu la demi amplitude de l'itevalle : 1:96 S p 1:96577: : 0; ce qui doe u itevalle de coace : : 0 m : 0 soit : 4071: 98 m 4986: 0 Pou 95% des échatillos de taille 178, le eveu auel moye est au plus à e du eveu auel moye de tous les cades. L'itevalle calculé ous doe aiso 19 fois su 0. c. Petit échatillo ( < 30) pélevés das ue populatio omale i. I X t ; p ; X + t ; p ii. Exemple : o a testé 5 efats de 3 à 6 as pélevés au hasad das ue populatio et o a elevé le temps X de éactio (e cetième de secode) à cetais stimuli. o suppose que ce temps oéit à ue loi omale. Détemie u itevalle de coace à 98%: O doe la moyee d'échatillo X 100:48 et l'écat-type d'échatillo, S 19:09; ce qui doe p S 19:09 3: 5 8 cetièmes de secode. 0:01 et 4 ; la tale doe t ; t 0:01;4 ' :49; soit u itevalle de coace : I X t ; p ; X + t ; p [100:48 :49 3: 8 ; 100:48 + :49 3: 8] [90: 97 ; 109: 99]. d. Fluctuatio d'échatilloage d'ue popotio i. Itoductio et otatios O pélève au hasad u échatillo de gade taille d'ue populatio dot les élémets possèdet das ue popotio p u caactèe qualitatif. Su cet échatillo de taille ;o oseve ue popotio que ous oteos p d'élémets possèdat ce caactèe ; p est ue estimatio poctuel de p et ous otos P l'estimateu de p: ii. Règle p 5 Si (1 p) 5 la distiutio de P p (1 est appoximativemet omale, sa moyee est p et so écat-type " # p (1 p) p (1 p) iii. Itevalle de coace : I p z ; p + z e. Exemple : U pocessus de faicatio poduit e moyee ue popotio de :5% de tasistos défectueux. Quelle est la poailité pou que su 00 tasistos cotôlés, au mois 8 soit défectueux? Coigé : p 00 0: et (1 p) 00 0: ; o e déduit que la distiutio de P est appoximativemet omale ;avec E P p (1 p) 0:05 (1 0:05) 0:05 et (p) ' 0 :0 110 ; o cheche la poailité d'e avoi 00 page 7 p) :

8 8 ESTIMATION au mois 8 su 00; soit uepopotiosupéieu ou égale 4%. Calculos la poailité : P P 0:04 P Z 1 F (1: 36) ' 1 0:9131 ' 0: :04 0:05 0:0 110 f. Execices : i. Su aissaces, o oseve gaços. Détemie u itevalle de coace au seuil de 5% du taux de masculiité. Répose : [0:503; 0:58] : ii. A la suite d'u sodage aléatoie, potat su 1000 électeus, ue popotio de 31% de d'itetios de vote s'est dégagée e faveu du cadidat X.Doe u itevalle de coace à 95% du poucetage des itetios de vote pou ce cadidat das l'esemle de la populatio. Répose : [0:81; 0:339] VI LEARNING BY DOING 1. Repede l'execice du salaie des cades et doe u itevalle de coace au seuil de 99%. Commete.. Repede le même execice avec u échatillo de taille Commete. 3. "Pas facile de tasmette des valeus à ses efats" Il essot d'u sodage éalisé aupès de 1009 paets au Quéec, que 77 d'ete eux juget difcile de tasmette des valeus duales à leus efats. 1. a. Estime poctuellemet la popotio de paets touvat difcile de tasmette des valeus duales à leus efats.. Doe ue estimatio de cette popotio pa u itevalle de coace à 95%. Das la patique, o etiet : Paamète à estime Estimatio calculée su l'échatillo Moyee : m X Vaiace : S 1 ; écat-type de l'échatillo de taille popotio : p p (popotio das l'échatillo) L'estimateu de la moyee est sas iais et coveget : E X m et V Pou l'écat type o a itoduit u coectif ca 'est pas sas iais. VIIRESUME : Itevalle de coace VII.1 PROPRIETES X! 0 si ted ves +1: I Il est ceté su la valeu de l'estimateu poctuel calculé su l'échatillo. I Il a ue amplitude qui tiet compte de l'eeu d'échatilloage. Ses oes sot : estimatio eeu d'échatilloage, cette eeu dépedat des uctuatios de l'estimateu. I Il a u iveau de coace, appelé seuil de coace. Ce seuil, oté 1 ; est xé au dépat ; il epésete la poailité que l'itevalle ecade le paamète. plus le seuil est gad, plus la poailité que l'itevalle cotiee le paamète estimé est gade. O ped souvet 1 0:95 (iveau de coace 95%) : u itevalle de coace au seuil 95%, sigie que si l'o pélève u gad ome d'échatillo de même taille, 95% des itevalles de coace calculés cotieet la vaie valeu du paamète. VII. PRATIQUE 1. MOYENNE a. Ecat-type de la populatio cou Pou 30 ; X z p ; X + z p avec : P z Z z 1 ; Z suivat la loi N (0; 1) ; O etieda que pou 0:05; t 1:96 (véie das la tale de la foctio de épatitio de la loi omale cetée éduite).. Ecat-type de la populatio icou 8

9 Maste 1 ESTIMATION O commece pa faie ue estimatio poctuelle S de l'écat-type de la populatio, e utilisat l'écat-type calculé su l'échatillo : S 1 et o fait le même tavail avec S : I X z p ; X + z p Remaque : S p p 1 c. < 30, populatio omale et écat-type de la populatio icou I X t ; p ; X + t ; p. PROPORTION Pou ue populatio telle que : p 5 (1 p) 5, I " p z p (1 p) # p (1 p) ; p + z page 9