Cours d électromagnétisme EM15-Champ magnétique

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1 Cous d électomagnétisme EM15-Champ magnétique Table des matièes 1 Intoduction 2 2 Action d un champ électomagnétique su une paticule chagée Foce de Loentz Mouvement d une paticule chagée Calcul du champ magnétique céé pa un couant Couant filifome Loi de Biot et Savat Règle du tie-bouchon Définition et continuité Lignes de champ magnétique 4 5 Le champ magnétique est un pseudo-vecteu 4 6 Syméties et invaiances Invaiances Syméties et antisyméties lan de symétie lan d antisymétie Calcul du champ pa méthode intégale 7 8 Réféences 9 1

2 Electomagnétisme EM15-Champ magnétique 1. Intoduction 1 Intoduction Voici venu le temps de pale de la deuxième "composante" du champ électomagnétique, le champ magnétique. Les pemièes manifestations de celui-ci viennent des aimants qui, en céant un champ magnétique, pemettent d attie des objets à eux. Nous allons plutôt voi ici que l existence du champ magnétique peut ête pouvée pa son effet su une paticule chagée. Sinon, nous étudieons dans ce chapite des champ magnétostatique, c est à die céé pa des couants dont les caactéistiques ne dépendent pas du temps. Ce chapite se constuit comme celui su le champ électostatique, ce paallèle nous pemetta pobablement de passe moins de temps su des notions déjà vu (distibutions, invaiances, syméties,...) 2 Action d un champ électomagnétique su une paticule chagée 2.1 Foce de Loentz Une chage q soumis à un champ électomagnétique subit une foce constituée de deux paties : Une patie électique, il s agit de la foce de Coulomb : f e = q E ; Une patie magnétique, qui s écit f m = q v B ; L ensemble de ces deux foces constitue la foce de Loentz : f = q( E + v B ) (1) f m B Avec f la foce de Loentz (N), q la chage qui subit la foce (C), E le champ électique (V.m 1 ), v la vitesse de la paticule (m.s 1 ) et B le champ magnétique (voi 2.1 pou son unité). q v Figue 1 Foce de loentz Ainsi, si seul un champ magnétique ègle dans une égion de l espace, on peut le détecte pa la foce f m que subit une paticule chagée. Cette foce f m est aussi l occasion de la pale de l unité du champ magnétique : [B] = [f m] [q][v] (2) = M L T 2 I T L T 1 (3) = M I 1 T 2 (4) B s expimea donc en kg.a -1.s -2, on voit ainsi que la notion de couant électique sea impotante dans la céation de champ magnétique. Mais l unité communément utilisé est le Tesla (T), voici quelques odes de gandeu de champ magnétique : Champ magnétique teeste : T Aiment pemanent : 0.1T 2

3 Electomagnétisme EM15-Champ magnétique 2.2 Mouvement d une paticule chagée Electoaimant : 10T 2.2 Mouvement d une paticule chagée dans un champ électomagnétique Cette section pouait faie l objet d un cous entie (C est le cas dans le pogamme de CSI), mais ce chapite seait plutôt à place dans le cous de mécanique (mais il appaaît dans les lives d électomagnétisme). Nous allons ésume les ésultats essentiels : Le champ électique pemet d accélée unifomément les paticules chagées (voi la deuxième loi de Newton appliquée à une paticule) : on utilise ceci dans les oscilloscopes analogiques pou accélée les électons qui sotent du canon, ou bien dans les accéléateus de paticules. Ce champ peut également dévie la tajectoie des paticules (tajectoie paabolique), on utilise ceci dans les oscilloscopes analogiques pou les déviations hoizontale et veticale du spot. Le champ magnétique, selon ses conditions d applications, pemet de faie cicule une paticule chagée su une tajectoie ciculaie (la tajectoie la plus généale est une hélice). La vitesse n est pas modifiée, ca la patie magnétique de la foce de Loentz ne tavaille pas (application du théoème de l énegie cinétique). 3 Calcul du champ magnétique céé pa un couant 3.1 Couant filifome Dans ce chapite, nous étudieons le champ magnétique céé pa des couants filifomes, c est à die des couants passant dans des fils conducteus dont l épaisseu est négligeable. Mais il existe aussi des couants sufaciques et des couants volumiques (pa exemple, pou un couant volumique, on définit une densité volumique de chages ρ d qui se déplacent à la vitesse v et un vecteu densité volumique de couant j = ρ d v ). 3.2 Loi de Biot et Savat Biot et Savat sont deux physiciens fançais du 19 ème siècle. 3

4 Electomagnétisme EM15-Champ magnétique 3.3 Règle du tie-bouchon Cette loi donne, pa intégation, le champ magnétique céé en un point M distant de d un couant d intensité I ciculant le long d une ligne L : B = ˆ d ˆ B = L µ 0 I 4π dl M M 3 (5) I db M avec µ 0 la peméabilité magnétique du vide, constante physique. On donne généalement la valeu de µ 0 ainsi : µ 0 = 4π 10 7 SI. Cette constante est elié à 0 et c pa la fomule suivante : c 2 = 1 0 µ 0 dl L Figue 2 Loi de Biot et Savat Notons que cette loi donnant l expession du champ infinitésimal céé pa une potion de cicuit n est qu un atifice de calcul : on ne peut pas isolé une potion de cicuit pacouu pa un couant (alos qu on peut isole des chages électiques dans le cas du champ électostatique). 3.3 Règle du tie-bouchon Cette loi de Biot et Savat pemet de savoi dans quel sens est le champ magnétique. Le tiède fomé des vecteus dl, M et B doit ête diect. C est la ègle du tie-bouchon qui s applique (on fait toune le pemie vecteu ves le deuxième, si ce sens de otation est la doite, on visse le tie-bouchon, le champ magnétique est dans le sens de ce vissage). 3.4 Définition et continuité du champ magnétique Le champ magnétique céé pa un couant filifome est continu et défini patout sauf aux points su lesquels le ou les couants passent (des considéations mathématiques pemettent de pouve cela). 4 Lignes de champ magnétique Comme pou le champ E si on tace des lignes oientées suivant le champ magnétique et su lesquelles celui-ci est tangent, on obtient les lignes de champ magnétique. On appelle souvent le dessin de ces lignes un specte magnétique. La figue 3 vous monte un specte bien connu. 5 Le champ magnétique est un pseudo-vecteu Contaiement au vecteu champ électique, le vecteu champ magnétique est un pseudovecteu, son sens dépend de l oientation de l espace. Ceci povient de l appaition d un poduit vectoiel notamment dans la loi de Biot et Savat. Ce poduit vectoiel est un poduit de deux vais vecteus (vecteus dont la diection ne dépend pas de l oientation de l espace). 4

5 Electomagnétisme EM15-Champ magnétique 6. Syméties et invaiances B S N B Figue 3 Specte magnétique d un aimant doit On dit que l espace est oienté dans le sens diect losque les tois vecteus de sa base sont oientés dans le sens des tois doigts de la main doite (pouce : u x, index : u y, majeu : u z ). Ceci a une impotance losque nous allons abode les syméties, ca un plan de symétie tansfome la base diecte en base indiecte, et le vecteu champ magnétique changea de sens de pat et d aute de ce plan. 6 Syméties et invaiances Comme pou le champ électostatique, des éflexions su les syméties et les invaiances pemettent de simplifie la echeche du champ magnétique céé pa une distibution de couants. 6.1 Invaiances ou considée celles-ci, on pocède de la même manièe que pou le champ électique, on place un point M qui egade la distibution, puis on le déplace pa tanslation le long de la distibution ou pa otation autou d elle. Si le point M voit la même distibution, il y a invaiance et le champ magnétique au point M ne dépenda pas de la coodonnée qui "poduit" l invaiance. 5

6 Electomagnétisme EM15-Champ magnétique 6.2 Syméties et antisyméties 6.2 Syméties et antisyméties lan de symétie enons une distibution de couant dont on peut touve un plan de symétie et calculons le champ magnétique en un point M de ce plan. db db db ' Si une distibution de couants admet un plan de symétie, alos le champ B est focément othogonal à ce plan. dl dl' ' Cela signifie que l existence d un seul plan de symétie nous pemet de touve la diection du champ magnétique. π Figue 4 Champ magnétique et plan de symétie db M M M' db M' On peut également monte qu en deux point M et M symétiques pa appot à un plan de symétie de la distibution, le champ magnétique en M est l opposé du symétique du champ B en M. dl dl' ' π Figue 5 Champ magnétique anti-symétique avec un plan de symétie Le champ magnétique change de sens à la tavesée du plan de symétie (on en a palé dans la section 5). 6

7 Electomagnétisme EM15-Champ magnétique 7. Calcul du champ pa méthode intégale lan d antisymétie db db db ' enons une distibution de couant dont on peut touve un plan d antisymétie et calculons le champ magnétique en un point M de ce plan. Si une distibution de couants admet un plan d antisymétie, alos le champ B est contenu dans ce plan. dl π' dl' ' Figue 6 Champ magnétique et antisymétie db M db M' M M' On peut également monte qu en deux point M et M symétiques pa appot à un plan d antisymétie de la distibution, le champ magnétique en M est le symétique du champ B en M. dl dl' ' Figue 7 Champ magnétique symétique avec un plan d antisymétie Remaque Contaiement au champ E qui possédait les mêmes syméties que ses souces, le champ B est antisymétique pa appot à un plan si ce plan est un plan de symétie pou les couants. 7 Calcul du champ pa méthode intégale π' On considèe un fil infiniment long pacouu pa un couant d intensité I. On cheche le champ magnétique céé en un point M distant de du fil. Ci-conte, voici le schéma de la situation. On utilisea les coodonnées cylindiques dans ce poblème. dz e z O I z e R α M db Figue 8 Schéma de situation pou le calcul du champ magnétique céé pa un fil infini 1. Syméties et invaiances : Le plan pependiculaie au fil passant pa M est un plan 7 α

8 Electomagnétisme EM15-Champ magnétique 7. Calcul du champ pa méthode intégale d antisymétie de la distibution, le champ magnétique doit ête contenu dans ce plan. De plus, la ègle du tie bouchon indique que le sens du champ magnétique est le même que celui du vecteu e θ (la base e, e θ, e z est diecte). Il y a invaiance pa otation autou du fil et pa tanslation suivant l axe Oz (fil infini), le champ magnétique ne dépend que de. Finalement : B (M) = Bθ () e θ 2. Champ magnétique élémentaie : Comme nous l avons fait pou le champ électostatique, nous allons calcule le champ magnétique céé pa un élément infinitésimal de fil, puis nous sommeons su l ensemble du fil infini. D apès la loi de Biot et Savat, on a : d B = µ 0 I 4π dl M M 3 = µ 0 I dz 4π ez M M 3 (6) Expimons le poduit vectoiel de cette expession : On a : M = O + OM = z ez + e (7) Donc : ez 0 M = 0 0 = e θ (8) 1 z On a aussi : Et : cos α = M = R R = cos α (9) z = tan α (10) dz = d(tan α) (11) dz = (1 + tan 2 α)dα (12) dz = cos 2 dα α (13) Utilisons (8) et (13) dans (6), l expession de la loi de Biot et Savat : d B = µ 0 I 4π cos 2 α 3 dα e θ (14) cos 3 α d B = µ 0 I cos α dα e θ (15) 3. Intégation : Il suffit à pésent de somme de façon continue tous les champs élémentaies céés pa les éléments infinitésimaux dl du fil infini. Les bones d intégation conceneont α puisque c est le paamète que nous avons choisi de gade. Afin de considée un fil infini, nous devons intége α de π/2 à π/2. Mais comme la situation est symétique de pat et d aute du point O, nous pouvons intége ente 0 et π/2 et multiplie le champ obtenu pa 2. 8

9 Electomagnétisme EM15-Champ magnétique 8. Réféences Ce qui donne : ˆ B θ () = fil ˆ µ 0 I cos α π/2 dα = π/2 = 2 µ 0 I [sin α]π/2 0 = µ 0 I 2π ˆ µ 0 I cos α π/2 dα = 2 0 µ 0 I cos α dα (16) Le champ magnétique céé pa un fil infini s écit : 8 Réféences µ 0 I B (M) = eθ (17) 2π "Electomagnétisme CSI" -.Kempf - Editions Béal 2003 ; "hysique Cous compagnon CSI" - T.Cousin / H.eodeau - Editions Dunod 2009 ; "Electomagnétisme 1èe année MSI-CSI-TSI" - JM.Bébec - Editions Hachette ; "Cous de physique, électomagnétisme, 1.Electostatique et magnétostatique" - D.Codie - Editions Dunod ; 9