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1 AVERTISSEMENT Ce document est le fuit d un long tavail appouvé pa le juy de soutenance et mis à disposition de l ensemble de la communauté univesitaie élagie. Il est soumis à la popiété intellectuelle de l auteu au même tite que sa vesion papie. Ceci implique une obligation de citation et de éféencement los de l utilisation de ce document. D aute pat, toute contefaçon, plagiat, epoduction illicite entaîne une pousuite pénale. Contact SCD INPL: mailto:[email protected] LIENS Code de la popiété intellectuelle. Aticles L Code de la popiété intellectuelle. Aticles L L

2 École doctoale IAEM Loaine DFD Automatique et Poduction Automatisée Institut National Polytechnique de Loaine Estimation et diagnostic de systèmes non linéaies décits pa un modèle de Takagi-Sugeno THÈSE pésentée et soutenue publiquement le 24 novembe 29 pou l obtention du Doctoat de l Institut National Polytechnique de Loaine Spécialité Automatique, Taitement du Signal et des Images, Génie Infomatique pa Dalil Ichalal Composition du juy Pésident : Jean-Piee Babot Pofesseu à l ENSEA Rappoteus : Thiey-Maie Guea Pofesseu à l Univesité de Valenciennes et du Hainaut-Cambésis Didie Geoges Pofesseu à Genoble-INP Examinateus : Moustapha Ouladsine Pofesseu à l Univesité Aix Maseille III Didie Maquin Pofesseu à l INPL (Diecteu de thèse) José Ragot Pofesseu à l INPL (Co-diecteu de thèse) Benoît Max Maîte de conféences à l INPL (Co-encadant de thèse) Cente de Recheche en Automatique de Nancy UMR 739 Nancy-Univesité CNRS 2, avenue de la foêt de Haye Vandœuve-lès-Nancy Tél.+33 () Fax +33 ()

3 Mis en page avec la classe thloia.

4 À ma gand mèe À mes tès ches paents À mes soeus Et à la mémoie de mes gand paents i

5 ii

6 Measue what is measuable and make it measuable what is not so. Galileo Galilei. iii

7 iv

8 Remeciements Les tavaux pésentés dans ce mémoie de thèse ont été effectués au sein du goupe thématique sûeté de fonctionnement et diagnostic des systèmes (SURFDIAG) du Cente de Recheche en Automatique de Nancy (CRAN). Je voudais saisi cette occasion pou expime ma gatitude enves mes diecteus de thèse, Monsieu Didie Maquin, Monsieu José Ragot et Monsieu Benoît Max, qui m ont accueilli au sein de leu équipe de echeche et qui m ont offet la possibilité d évolue. Je les emecie pou la confiance, l appui et la libeté qu ils m ont témoigné, l intéêt gandissant qu ils ont poté su mes tavaux, leus encouagements et leus disponibilités duant ces années. Je dois die que c était un honneu pou moi de tavaille avec des pesonnes d excellentes compétences et éputations, au niveau national et intenational. Sans oublie leus valeus humaines et leus bonne humeu qui font de chaque enconte des moments tès agéables. Mon passage au CRAN a été une aventue passionnante en quête de savoi et compéhension du monde qui nous entoue. Cela constitue pou moi une fomidable expéience su le plan scientifique et le plan humain. Je emecie paticulièement Monsieu J-P. Babot, Pofesseu à l ENSEA à Cegy Pantoise, d avoi accepté de faie patie du juy de thèse et de m avoi fait l honneu de le pésidé. J adesse toute ma econnaissance à Monsieu Thiey-Maie Guea, Pofesseu à l Univesité de Valenciennes et du Hainaut Cambésis, pou son acceptation d ête appoteu su mes tavaux, je le emecie vivement de sa lectue appofondie et ses emaques enichissantes et constuctives. J expime ma pofonde gatitude à Monsieu Didie Geoges, Pofesseu à l Institut National Polytechnique de Genoble, pou sa lectue minutieuse, ses emaques petinentes et ses suggestions pou la pousuite des tavaux et leus applications à dives domaines dont nous avons eu l occasion de discute pa téléphone. J ai été tès touché pa la pésence de Monsieu Mustapha Ouladsine, Pofesseu à l Univesité Aix Maseille 3, qui était mon encadant de maste, d avoi fait patie de mon juy de thèse et d avoi examiné mes tavaux. J ai été tès honoé de pésente mes tavaux de thèse devant un juy de cette envegue. Je vous emecie infiniment. Je emecie également mes amis et collègues de laboatoie et de l équipe SURFDIAG, en paticulie les amis de la "mythique" salle info : Rodolfo, Sege, Yvon, Julien, Anca, Faah et tous les autes que je n ai pas cité, pou l ambiance conviviale qu ils ont su enteteni et les bons et joyeux moments passés autou d un café à discute de tous et de ien. Que tous les amis avec qui j ai patagé ces tois années à Nancy touvent ma pofonde gatitude, meci pou les soiées spécial danse kabyle et pou tout. v

9 Je ne pouais temine ces emeciements sans mentionne les secétaies, en paticulie Majoie Schwatz et Caole Couie pou vos disponibilités et vote efficacité enobée d une couche pemanente de jovialité. Enfin, je emecie toute ma famille (d Algéie et de Fance), en paticulie mes paents, ma gand mèe et mes soeus pou leus encouagements et leus soutient malgé la distance. vi

10 Table des matièes Liste des publications 3 Chapite 1 Intoduction généale Chapite 2 Généalités et position du poblème 2.1 Intoduction Obsevateus de systèmes dynamiques Obsevabilité des systèmes non linéaies Pincipes de conception des obsevateus d état des systèmes non linéaies Obsevateus à gains linéaies Obsevateus à stuctue vaiable Obsevateus obtenus apès tansfomation des équations d état Modèle de Takagi-Sugeno Appoche pa secteus non linéaies Stabilité des systèmes de Takagi-Sugeno Obsevateus pou les systèmes de Takagi-Sugeno Vaiables de décision mesuables (VDM) Vaiables de décision non mesuables (VDNM) Motivations et position du poblème Conclusion Chapite 3 Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM 3.1 Intoduction Fomulation du poblème vii

11 Table des matièes 3.3 Obsevateu lipschitzien Pemièe appoche Deuxième appoche Estimation d état pa injection multiple de la sotie Conclusion patielle Appoche pa le théoème de la valeu moyenne Discussion Obsevateu L Appoche pa incetitudes bonées Appoche pa "incetitudes constantes" Appoche pa atténuation des petubations Discussion Estimation d état des systèmes T-S à VDNM incetains Pemièe appoche Deuxième appoche Discussions Conclusions Chapite 4 Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM 4.1 Intoduction Repésentation T-S à VDNM en pésence d entées inconnues Conception d obsevateu à entées inconnues pa découplage Appoche pa condition de Lipschitz Constuction de l obsevateu pa l appoche L Estimation des entées inconnues Obsevateu à entées inconnues pa l appoche du théoème de la valeu moyenne Cas paticulie : mesues non affectées pa les entées inconnues Conception d obsevateus PI Vaiables de décision mesuables Vaiables de décision non mesuables Conception d obsevateus PMI Stuctue de l obsevateu Vaiables de décision mesuables viii

12 4.5.3 Vaiables de décision non mesuables Discussion et emaques Conclusion Chapite 5 Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts 5.1 Intoduction Définitions et généalités Défauts et modélisation État de l at Objectif Diagnostic de fautes pa obsevateus à entées inconnues Défauts d actionneus Défauts de capteus Discussions et conclusion Diagnostic pa obsevateus PI et PMI Discussions et conclusion Diagnostic pa fomalisme H Fomulation du poblème Conception du généateu de ésidus Diagnostic obuste de fautes Commande toléante aux défauts Intoduction Etat de l at Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie Statégie de commande toléante aux défauts Objectif Vaiables de décision mesuables Vaiables de décision non mesuables : utilisation de la méthode pa petubation Vaiables de décision non mesuables : utilisation de la méthode pa le théoème de la valeu moyenne Conclusion ix

13 Table des matièes Chapite 6 Pespectives 6.1 Stabilité des modèles de Takagi-Sugeno Diagnostic de fautes Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie Utilisation d un obsevateu Popotionnel-Multi-Integal Commande toléante aux défauts utilisant l appoche pa incetitudes bonées Aute stuctue de la commande toléante aux défauts Commande pa etou d état toléant aux défauts : défauts de capteus Commande toléante aux défauts pa fomalisme H Chapite 7 Conclusion généale Annexes Annexe A Calcul de la constante de Lipschitz Annexe B Inégalités Linéaies Maticielles (LMIs) B.1 Ensembles convexes B.2 Fonctions convexes B.3 Inégalités Linéaies Maticielles (LMIs) B.3.1 Obtention des LMI B.4 Quelques poblèmes classiques LMIs B.4.1 Poblème de faisabilité B.4.2 Poblème de valeu pope (EVP : Eigenvalue Poblem) B.4.3 Poblème de valeu pope généalisée (GEVP : Genealized Eigeinvalue Poblem) B.5 Résolution des LMI x

14 Annexe C Régions LMIs C.1 Exemples de égions LMI Index 237 Bibliogaphie 239 xi

15 Table des matièes xii

16 Table des figues 3.1 Evolution de l eeu d estimation d état Bas manipulateu aticulé pa un moteu DC (a) Etats du système et du modèle T-S. (b) Fonctions d activation Etats éels et leus estimés (a) États du système et leus estimés (b) Soties du système et leus estimées (a) Fonctions d activation et leus estimées (b) Vaiable de pémisse et son estimée Schémas mécanique et électique du moteu à couant continu séie Entées du moteu DC séie Etats du modèle non linéaie et du modèle T-S Etats du moteu et leus estimés Compaaison ente les obsevateus à VDM et à VDNM Avion VTOL JSF X Schéma du système commandé Signaux de commande délivés pa le contôleu Etats de l avion : position hoizontale, vitesse hoizontale et position veticale Etats de l avion : vitesse veticale, position angulaie et vitesse angulaie Pousuite de la tajectoie x e f Pousuite de la tajectoie y e f Etats éels et leus estimés Etats éels et leus estimés Évolution d une fonction candidate de Lyapunov le long d une tajectoie d un modèle Domaine de stabilité pouvé pou m = 1 et m = Compaaison des deux appoches A et B pou k = 3(* Appoche A o Apoche B) Entée de commande u(t) du système Evolution dans le temps de l eeu d estimation d état Soties éelles (taits continus) et estimées (pointillés) Eeus d estimation d état Σ A (t) et Σ B (t) Etats éels (tait continu bleu) et estimés (pointillés) Compaaison des eeus d estimation d état obtenues avec le théoème 3.17 (tait continu bleu) et avec le théoème 3.1 (tait en pointillés ouge) xiii

17 Table des figues 4.1 Pincipe de l obsevateu à entée inconnue Oigines des entées inconnues Synchonisation à base d obsevateus Plan de phase x 1 (t) et x 2 (t) Plan de phase x 1 (t) et x 3 (t) Plan de phase x 2 (t) et x 3 (t) Etats du système et leus estimés Eeus d estimation d état Message envoyé et son estimation Eeu d estimation d état en pésence de buit de mesue Message estimé en pésence de buit de mesue Pincipe de l obsevateu Popotionnel Multi-Intégal (PMI) Evolution tempoelle des fonctions d activation µ 1 et µ Entées inconnues et leus estimées pa l obsevateu PI Entées inconnues et leus estimées pa l obsevateu PMI Eeus d estimation d état obtenues avec pa l obsevateu PI Eeus d estimation d état obtenues avec pa l obsevateu PMI Pincipe du banc d obsevateus GOS pou la détection de défauts d actionneus Pincipe du banc d obsevateus DOS pou la détection de défauts d actionneus Pincipe du banc d obsevateus GOS pou la détection de défauts de capteus Pincipe du banc d obsevateus DOS pou la détection de défauts de capteus Pincipe du diagnostic Résidus en pésence des défauts capteus f 1 et f Schéma de détection de défauts d actionneus Résidus en pésence des défauts f 1 et f Entées estimées sans défaut Schéma de généation obuste de ésidus Défauts et ésidus coespondants Défauts (tait pointillé) et leus estimés (tait continu) Achitectue FTC Achitectue de la commande toléante pa pousuite de tajectoie Défaut et son estimé - commande sans défaut et commande toléante Eeus d estimation d état et de pousuite de tajectoie Compaaison ente les états du système de éféence (sans défaut), états du système avec défaut et sans FTC et états du système avec FTC Schéma de diagnostic obuste xiv

18 Notations Matices et vecteus I n (I) Matice identité de dimension n (esp. de dimension appopiée) n () Matice nulle de dimension n (esp. de dimension appopiée) P > (P < ) Matice P symétique, définie positive (esp. symétique, négative) P T Tansposée d une matice P P 1 Invese de la matice P [ λ max (P)(λ min ] (P)) Valeu pope maximale (esp. minimale ) de P M11 M 12 ( ) M 22 Matice symétique, le symbole ( ) epésente M T 12 Ensembles N R R + Ensemble des enties natuels Ensemble des nombes éels Ensemble des nombes éels positifs Aconymes BMI LMI LTI MIMO SISO T-S T-S à VDM T-S à VDNM UIO PI PMI Inégalité maticielle bilinéaie (Bilinea Matix Inequality) Inégalité maticielle linéaie (Linea Matix Inequality) Linéaie à Temps Invaiant Entée multiple sotie multiple (Multiple Input Multiple Output) Mono-entée mono-sotie (Single Input Single Output) Takagi-Sugeno Takagi-Sugeno à Vaiables de Décision Mesuables Takagi-Sugeno à Vaiables de Décision Non Mesuables Obsevateu à entées inconnues (Unknown Input Obseve) Popotionnel-Intégal Popotionnel-Multi-Intégal 1

19 Notations 2

20 Liste des publications Revues intenationales et nationales avec comité de lectue Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "State estimation of Takagi-Sugeno systems with unmeasuable pemise vaiables", IET Contol Theoy & Applications. (papie accepté) Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Multi-obsevateus à entées inconnues pou un système de Takagi-Sugeno à vaiables de décision non mesuables". e-sta, Sciences et Technologies de l Automatique, evue électonique de la SEE, volume 6, numéo 2, 29. Communication sélectionnée de la 5ème Conféence Intenationale Fancophone d Automatique, Bucaest, Roumanie, 3 5 Septembe, 28. Conféences intenationales avec comité de lectue Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Design of obseves fo Takagi-Sugeno systems with immeasuable pemise vaiables : an L 2 appoach ". 17th IFAC Wold Congess, Seoul, Koea, July 6 11, 28. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Robust obseve design fo uncetain Takagi- Sugeno model with unmeasuable decision vaiables : an L 2 appoach". 16th Mediteanean Confeence on Contol and Automation, MED 8, Ajaccio, Cosica, Fance, June 25 27, 28. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Multi-obsevateus à entées inconnues pou un système de Takagi-Sugeno à vaiables de décision non mesuables". 5ème Conféence Intenationale Fancophone d Automatique, Bucaest, Roumanie, 3 5 Septembe, 28. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D. "State estimation of nonlinea systems using multiple model appoach". Ameican Contol Confeence, ACC 29, St. Louis, Missoui, USA, June 1-12, 29. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D. "Simultaneous state and unknown inputs estimation with PI and PMI obseves fo Takagi-Sugeno model with unmeasuable pemise vaiables". 17th Mediteanean Confeence on Contol and Automation, MED 9, Thessaloniki, Geece, June 24-26, 29. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D. "State and unknown input estimation fo nonlinea systems descibed by Takagi-Sugeno models with unmeasuable pemise vaiables". 17th Mediteanean Confeence on Contol and Automation, MED 9, Thessaloniki, Geece, June 24-26, 29. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D. "Fault diagnosis in Takagi-Sugeno nonlinea 3

21 Liste des publications systems". 7th IFAC Symposium on Fault Detection, Supevision and Safety of Technical Pocesses, SAFEPROCESS 29, Bacelona, Spain, June 3th - July 3d, 29. Aticle sélectionné pou le pix Paul Fank, dans la catégoie papie théoique. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "An appoach fo the state estimation of Takagi- Sugeno models and application to senso fault diagnosis". 48th IEEE Confeence on Decision and Contol, Shanghai, P.R. China, Decembe 16-18, 29. Conféences nationales avec comité de lectue Ichalal D., Maquin D., Ragot J., "Diagnostic des systèmes non linéaies pa appoche multimodèle". Wokshop Suveillance, Sûeté et Sécuité des Gands Systèmes, 3SGS 8, Toyes, Fance, 4 5 juin 28. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Design of obseves fo Takagi-Sugeno discetetime systems with immeasuable pemise vaiables". 5th Wokshop on Advanced Contol and Diagnosis, ACD 27, Genoble, Fance, Novembe 15 16, 27. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Conception d obsevateus pou un modèle de Takagi-Sugeno à vaiables de décision non mesuables". 9th Intenational confeence on Sciences and Techniques of Automatic contol and computing engineeing, STA 27, Sousse, Tunisia, Novembe 5 7, 27. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Conception de multi-obsevateus à vaiables de décision non mesuables". 2ème Jounées Doctoales / Jounées Nationales MACS, JD-JN-MACS 27, Reims, Fance, 9-11 juillet 27. Tavaux en cous d évaluation Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Fault Toleant Contol fo Takagi-Sugeno systems with unmeasuable pemise vaiables by tajectoy tacking". IEEE Intenational Symposium on Industial Electonics, Bai, Italy, July 4-7, 21. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Obseve based actuato fault toleant contol fo nonlinea Takagi-Sugeno systems : an LMI appoach". 18th Mediteanean Confeence on Contol and Automation, MED 1, Maakech, Moocco, June 23-25, 21. 4

22 1 Intoduction généale L étude d un système éel (automobiles, avions, centales nucléaies, éacteus chimiques, systèmes économiques...) passe pa une phase de modélisation visant à obteni une epésentation mathématique pemettant de décie son fonctionnement. Les modèles linéaies ont été étudiés depuis de tès nombeuses années. En effet, l hypothèse de linéaité des elations entéessoties d un système pemet d élaboe simplement un modèle appoximant son compotement. Ce type de modèles a été lagement étudié dans difféents contextes : l identification, l estimation d état, la commande et le diagnostic. Cependant, de tels modèles ne pemettent la epésentation du compotement d un système qu autou d un point de fonctionnement donné, l hypothèse de linéaité n étant véifiée que dans une zone esteinte de l espace de fonctionnement. Sachant que les systèmes éels sont de natue non linéaie, les systèmes de commande et de diagnostic développés su la base de modèles linéaies founissent des pefomances dégadées dès qu on s éloigne du point de fonctionnement. Afin d amélioe les pefomances des systèmes, il est impéatif de pende en considéation les non-linéaités dans la phase de modélisation. Cela pemet de décie le compotement d un système éel su une lage plage de fonctionnement avec une meilleue pécision compaée à celle obtenue avec des modèles linéaies. Les systèmes de commande et de diagnostic élaboés sont alos plus pefomants que ceux développés à pati de modèles linéaies. L inconvénient pincipal des modèles non linéaies éside dans la complexité de leus stuctues du point de vue mathématique, ce qui les end difficilement exploitables. Pou cette aison, les tavaux su les systèmes non linéaies n ont pas un cade généal, comme c est le cas pou les modèles linéaies, mais taitent des classes spécifiques de modèles non linéaies, comme pa exemple les systèmes lipschitziens, les systèmes bilinéaies, les systèmes LPV. Dans de nombeux tavaux su la commande des systèmes dynamiques, le vecteu d état est supposé accessible à la mesue. O, su un plan patique, une telle hypothèse n est pas toujous véifiée. En effet, pou des aisons techniques et/ou économiques, il est difficile, voi impossible, de mesue la totalité des vaiables d état du système, d où la nécessité d estime ces denièes à pati d un jeu de données d entées-soties. Le besoin de connaîte entièement les vaiables 5

23 Chapite 1. Intoduction généale d état du système est souvent une nécessité dans les phases de modélisation ou d identification, de diagnostic et de commande des systèmes. Tous ces poblèmes nécessitent la connaissance des infomations intenes d un système, non accessibles à la mesue, ce qui met le poblème de la conception d obsevateus au cœu du poblème généal de contôle des systèmes. Les pemies tavaux elatifs au poblème de econstuction d état ont été dédiés aux systèmes linéaies dont la stuctue est peu complexe [Luenbege, 1971]. De nombeux ésultats théoiques ont été alos poposés et sont lagement utilisés en commande et en diagnostic. Les méthodes de diagnostic de fonctionnement de systèmes à base de modèles linéaies ont atteint actuellement une cetaine matuité [Getle, 1998], [Patton et al., 1989], [Isemann, 27], [Ding, 28]. Cependant, la linéaité des modèles de epésentation du pocessus à suveille constitue une hypothèse fote qui limite la potée des ésultats que l on peut obteni. De plus, l extension diecte des méthodes développées dans le contexte des modèles linéaies au cas des modèles non linéaies quelconques est délicate. De nombeuses techniques ont été alos dédiées à l estimation d état de classes paticulièes de systèmes non linéaies (filte de Kalman étendu, obsevateu à gands gains, obsevateus basés su des tansfomations sous une fome canonique d obsevabilité,...) [Kalman, 196], [Chen et Patton, 1999a]. Cependant, ces techniques sont pafois difficiles à applique à cause des containtes imposées. De plus, la ichesse des ésultats obtenus pou les systèmes linéaies n est que tès peu exploitable dans le contexte des systèmes non linéaies. La statégie de econstuction d état poposée dans ce mémoie de thèse utilise une technique de modélisation visant à obteni un modèle tenant compte des non-linéaités du système et offant une stuctue simple et facilement exploitable du point de vue mathématique. Cette appoche pote le nom généal d appoche multimodèle. Celle ci s appuie su l utilisation d un ensemble de sous-modèles de stuctues simples, chaque sous-modèle décivant le compotement du système dans une "zone de fonctionnement" paticulièe. Ces sous-modèles sevent alos à la desciption du compotement dynamique global du système en utilisant des fonctions non linéaies (fonctions poids) définissant la contibution de chaque sous-modèle. La capacité des multimodèles à epésente ou à appoche le compotement dynamique d un système éel a été lagement econnue. En effet, d une pat, ils offent la possibilité de décie des compotements non linéaies tès complexes avec une stuctue simple inspiée des modèles linéaies. D aute pat, leu stuctue paticulièe pemet l extension de cetains ésultats obtenus dans le cade des systèmes linéaies (voi chapite 4 de [Tanaka et Wang, 21]). Plusieus types de multimodèles ont été intoduits ces denièes années : multimodèles à états découplés et multimodèles à état unique connu sous le nom de modèle de Takagi-Sugeno (T-S). Les multimodèles à états découplés sont epésentés pa un ensemble de sous-modèles linéaies epésentant chacun le compotement du système autou d un point de fonctionnement. Ces sous-modèles évoluent indépendamment les uns des autes. La desciption du compotement global du système est caactéisée pa la pondéation, via des fonctions non linéaies, des difféentes soties des sous-modèles. Ce type de modèles intoduit une cetaine flexibilité dans les poblèmes d identification, ca les vecteus d état des sous-modèles peuvent ne pas avoi la même dimension contaiement aux modèles T-S [Ojuela et al., 28], [Filev, 1991]. Cependant, une concaténation des difféents sous-modèles pemet de amene le modèle global à un modèle T-S paticulie où les non-linéaités n appaaissent que su l équation de sotie. Les modèles T-S sont les plus étudiés dans la littéatue, ils sont décits pa un ensemble de sous-modèles patageant un vecteu d état unique [Takagi et Sugeno, 1985]. Deux catégo- 6

24 ies peuvent ête considéées selon la natue des vaiables intevenant dans les fonctions poids. En effet, ces vaiables, appelées vaiables de décision ou vaiables de pémisse, peuvent ête connues (entée ou sotie du système,...) ou inconnues (état du système,...). La catégoie des modèles T-S à vaiables de décision mesuables (VDM) a fait l objet de nombeux développements dans dives domaines et notamment en commande, stabilisation, estimation d état [Tanaka et Wang, 21], diagnostic. En evanche, la seconde catégoie est tès peu exploée, en paticulie dans le domaine de la conception d obsevateus et de leu exploitation pou le diagnostic. L obtention d un modèle T-S pa l application de la méthode des secteus non linéaies conduit souvent à inclue l état dans les vaiables de décision [Nagy et al., 29b]. Oute les avantages offets pa le modèle T-S, le modèle à vaiables de décision non mesuables pemet d avoi une epésentation exacte d un modèle non linéaie expimé sous une fome généale, la possibilité de epésente une classe plus lage de systèmes non linéaies, et d utilise un seul modèle pou la conception d un système de diagnostic (localisation des défauts de capteus et d actionneus) en s appuyant su des bancs d obsevateus. Ces difféents points seont taités en détail dans le chapite suivant. L objectif du tavail pésenté dans cette thèse est d exploite la stuctue T-S à vaiables de décision non mesuables (VDNM), afin de concevoi des obsevateus d état pou les systèmes non linéaies. Pa la suite, le poblème de l estimation d état en pésence d entées inconnues est taité. Les obsevateus ainsi développés sont utilisés pou la conception d une statégie de diagnostic pou systèmes non linéaies pemettant la détection, la localisation et l estimation des défauts. Ces infomations sont ensuite exploitées pou élaboe des commandes toléantes aux défauts. On popose ainsi d étende un cetain nombe de ésultats connus pou les systèmes T-S à VDM au cas des systèmes VDNM. Oganisation de la thèse Le mémoie est oganisé de la façon suivante. Le pemie chapite pésente quelques notions de base su l obsevabilité des systèmes non linéaies ainsi que les pincipales appoches de conception d obsevateus. Les modèles de Takagi-Sugeno sont ensuite intoduits en pécisant leu intéêt pou l étude des systèmes non linéaies. Un bef appel su des ésultats potant su la stabilité, la stabilisation et la conception d obsevateus pou systèmes T-S est pésenté, en mettant en exegue deux classes de modèles T-S : les modèles à vaiables de décision mesuables et les modèles à vaiables de décision non mesuables. Cette denièe classe fea l objet de la majeue patie des tavaux qui seont pésentés dans ce mémoie. Dans le chapite 3, un ensemble d appoches complémentaies pou la conception d obsevateus pou les systèmes T-S sont poposées. La complémentaité des appoches éside dans les conditions d application de chaque méthode. En effet, un ensemble de méthodes est basé su la satisfaction d hypothèses issues de la condition de Lipschitz des fonctions d activation du système T-S, d autes méthodes s appuient su les techniques d optimisation L 2 afin de s affanchi de l hypothèse de Lipschitz. Les méthodes développées dans le chapite 3 sont étendues au chapite 4 à des systèmes pésentant des entées inconnues. Cela est éalisé pa l utilisation, dans un pemie temps, de containtes stuctuelles afin de découple totalement ou patiellement l influence des entées 7

25 Chapite 1. Intoduction généale inconnues de l eeu d estimation d état. Dans le cas de découplage patiel, les techniques de minimisation L 2 sont utilisées dans le but de éduie l influence de la patie non découplée des entées inconnues su l eeu d estimation d état. Dans un second temps, dans l objectif de s affanchi des containtes stuctuelles, des obsevateus Popotionnel-Intégal (PI) et Popotionnel-Multi-Intégal (PMI) sont utilisés. L avantage de ces obsevateus est la possibilité d estime simultanément l état du système ainsi que les entées inconnues. Le poblème du diagnostic des systèmes non linéaies pa l appoche multimodèle en utilisant la stuctue T-S est abodé dans le chapite 5. Tois méthodes à base d obsevateus sont alos poposées. Une pemièe appoche epose su l utilisation d un obsevateu à entées inconnues pa découplage assuant un découplage patiel de l estimation vis-à-vis des défauts affectant le système. Une seconde appoche exploitant les obsevateus PI et PMI est ensuite exposée. Elle pemet de founi diectement l estimation des défauts, pa conséquent, les tâches de détection et de localisation sont éalisées. Oute l objectif du diagnostic, cette technique touve également un intéêt impotant dans les poblèmes de conception de commandes toléantes aux défauts. Enfin, une appoche inspiée du poblème standad de commande H est pésentée. Elle est basée su la minimisation de l influence des petubations et la maximisation de l influence des défauts su les ésidus, ce qui evient à un poblème min/max. Afin de ésoude ce poblème, nous avons intoduit un filte stable linéaie et défini un vecteu de ésidus vituels, ce qui a pemis de tansfome le poblème min/max en un simple poblème de minimisation. Une extension au poblème de commande toléante aux défauts est poposée à la fin du chapite 5. L appoche est basée su la pousuite de tajectoie d un modèle de éféence décivant le bon fonctionnement du système. Dans ce cas, la commande compend un teme coespondant à la commande nominale du système à laquelle sont ajoutés des temes tenant compte l estimation de l état et des défauts. 8

26 2 Généalités et position du poblème Sommaie 2.1 Intoduction Obsevateus de systèmes dynamiques Obsevabilité des systèmes non linéaies Pincipes de conception des obsevateus d état des systèmes non linéaies Obsevateus à gains linéaies Obsevateus à stuctue vaiable Obsevateus obtenus apès tansfomation des équations d état Modèle de Takagi-Sugeno Appoche pa secteus non linéaies Stabilité des systèmes de Takagi-Sugeno Obsevateus pou les systèmes de Takagi-Sugeno Vaiables de décision mesuables (VDM) Vaiables de décision non mesuables (VDNM) Motivations et position du poblème Conclusion

27 Chapite 2. Généalités et position du poblème 2.1 Intoduction Comme nous l avons appelé pécédemment, les modèles linéaies sont valables que tès localement. S il est nécessaie d obteni un modèle pécis su une lage plage de fonctionnement, on se toune natuellement ves le fomalisme non linéaie. Le passage du linéaie au non linéaie nécessite l utilisation d outils théoiques tès difféents (on peut gossièement die que l on passe de l algèbe à l analyse). On étudiea pa exemple la notion d obsevabilité et quelques méthodes de synthèse d obsevateus dans ce chapite. Une méthode pou pouvoi conseve cetains outils connus dans le cade linéaie est d utilise le fomalisme de Takagi- Sugeno qui sea pésenté dans ce chapite intoductif. Enfin, on pésente le cade, les enjeux et les objectifs de cette thèse. 2.2 Obsevateus de systèmes dynamiques Il est féquemment nécessaie d estime cetaines vaiables décivant l état d un système qui ne sont pas diectement mesuables pou des aisons techniques ou économiques. Ce poblème touve une solution pa l utilisation de "capteus logiciels" appelés généalement obsevateus. La constuction d un obsevateu, afin d estime ces vaiables, s appuie su un modèle mathématique epésentant le compotement du système. Les obsevateus d état touvent leu intéêt dans plusieus domaines et notamment en commande des systèmes, en supevision et en diagnostic de fautes. Plusieus statégies de commande utilisent l état du système afin de calcule la loi de commande pemettant au système d accompli sa mission. Comme le vecteu d état n est pas toujous mesuable diectement, un obsevateu est alos nécessaie pou l estime. Dans le domaine de la supevision, l opéateu humain a besoin de connaîte l évolution dans le temps de cetaines vaiables d un système physique pou pende une décision. Pa exemple, un pilote d avion a besoin de connaîte, ente autes, l altitude et la vitesse de l avion. Pou un éacteu chimique, la suveillance de l évolution des concentations pemet de détemine le moment où cetains poduits doivent ête ajoutés. Un obsevateu d état peut ête utilisé afin d estime ces concentations à chaque instant. Les obsevateus d état ont également une place impotante dans les poblèmes de diagnostic des systèmes dynamiques. En effet, de nombeuses méthodes de détection, localisation et estimation de défauts à base de modèle utilisent le concept d obsevateu afin de génée des ésidus sensibles aux défauts. Un système dynamique peut ête epésenté pa les équations suivantes : ẋ(t) = f(x(t),u(t)) (2.1) y(t) = h(x(t), u(t)) (2.2) où x(t) R n epésente le vecteu d état, u(t) R n u est l entée du système et y(t) R n y epésente la sotie du système. Les fonctions f et h sont généalement non linéaies. Un obsevateu d état est un système ayant pou entées l entée du système u(t) et sa sotie y(t), et ayant pou sotie le vecteu d état estimé ˆx(t) : 1 ż(t) = κ(z(t), u(t), y(t)) (2.3) ˆx(t) = ρ(z(t), u(t), y(t)) (2.4)

28 2.3. Obsevabilité des systèmes non linéaies tel que l eeu d estimation d état e(t) = x(t) ˆx(t) tende asymptotiquement ves zéo : e(t) = x(t) ˆx(t) quand t (2.5) L objectif dans la conception d un obsevateu est de détemine les fonctions κ(z(t), u(t), y(t)) et ρ(z(t),u(t),y(t)) afin d assue la convegence de l eeu d estimation d état ves zéo. Un point cucial, qui doit ête étudié au péalable, est de se demande s il est possible de econstuie l état x(t) du système à pati des entées et des soties. En d autes temes, touve les conditions sous lesquelles l état x(t) est accessible i.e. établi les conditions d existence de l obsevateu. Ce poblème pote le nom de poblème d obsevabilité et sea étudié dans la section suivante. 2.3 Obsevabilité des systèmes non linéaies Étudie l obsevabilité consiste à établi les conditions sous lesquelles l état du système peut ête déteminé à pati des entées et des soties mesuées. Le poblème d obsevabilité pésenté, pa exemple, dans [Fossad et Nomand-Cyot, 1993; Besançon, 27], utilise la notion d indiscenabilité. Soient y u(t) et y 1 u(t), (t ), des signaux de sotie généés pa l application d une entée u(t) au système (2.1)-(2.2) avec deux conditions initiales difféents x() = x et x() = x 1 espectivement. Alos x et x 1 sont dits indiscenables si : y u(t) = y 1 u(t), t (2.6) Le système (2.1)-(2.2) est dit obsevable s il ne possède pas de couple d états initiaux distincts {x,x 1 } indiscenables. Pou les systèmes mono-entée mono-sotie, le concept d obsevabilité peut ête énoncé de la manièe suivante : supposons que u et y sont mesués. On définit deux vecteus contenant les déivées successives pa appot au temps de y et u : ȳ(t) = ( y ẏ ÿ y (n 1) ) T ū(t) = ( u u ü u (n 1) ) T (2.7) (2.8) Chaque déivée de la sotie peut ête expimée en fonction de l état x et de ū, ce qui pemet d écie : y (i) = ψ i (x,ū) (2.9) La déivée pa appot au temps de y (i) est donnée pa : [ ] [ ] y (i+1) ψi (x,ū) ψi (x,ū) dū = f(x,u)+ x ū dt = ψ i+1(x,ū) (2.1) On définit l opéateu linéaie M f comme suit : ( M f ψ ) [ ] [ ] ψi (x,ū) ψi (x,ū) dū (x,ū) = f(x,u)+ x ū dt (2.11) 11

29 Chapite 2. Généalités et position du poblème les déivées pa appot au temps de la sotie y définies pa ȳ peuvent alos s écie sous la fome : ȳ = υ(x,ū) (2.12) où : υ(x,ū) = ( h(x, u) ( M f ψ ) (x,u) M n 1 f Si υ(x,ū) est invesible i.e. υ 1 (x,ū) existe, alos :. ) ψ (x,u) (2.13) x = υ 1 (ȳ,ū) (2.14) alos le système (2.1)-(2.2) est dit obsevable. De plus, si le jacobien : Ω(x,ū) = υ(x,ū) x (2.15) de υ(x,ū) est invesible pou x = x, alos il existe un voisinage autou de x où υ(x,ū) est invesible, ce qui coespond à l obsevabilité locale i.e. x est discenable de tous les points dans le voisinage de x. L étude de l obsevabilité des systèmes multi-entées multi-soties s effectue de manièe similaie. De nombeux poblèmes concenant l obsevabilité des systèmes non linéaies, notamment les cas où l entée de commande intevient dans l étude de l obsevabilité (pesistance de l entée) et les poblèmes d obsevabilité des entées sont étudiés. Ces points ne sont pas détaillés et le lecteu intéessé poua se éfée à [Fossad et Nomand-Cyot, 1993; Besançon, 27]. Dans le cade des systèmes linéaies invaiants dans le temps, un système est dit obsevable si la détemination de l état x(t) du système est obtenue de façon unique à pati d un ensemble de k obsevations des soties. L existence d un obsevateu pou les systèmes linéaies se déduit du calcul du ang du citèe de Kalman : O = C CA. CA k 1 (2.16) Le système est obsevable si et seulement si ang(o) = n. Le citèe de Kalman se déduit diectement de υ(x,ū). 2.4 Pincipes de conception des obsevateus d état des systèmes non linéaies Le but de cette section est de pésente quelques appoches tès étudiées dans la littéatue, ces denièes années, elatives à la conception d obsevateus pou les systèmes non linéaies. 12

30 2.4. Pincipes de conception des obsevateus d état des systèmes non linéaies Obsevateus à gains linéaies Les pemies tavaux se appotant au poblème de conception d obsevateu d état pou des systèmes non linéaies emontent aux années 197, où l auteu de [Thau, 1973] popose une méthode basée su l utilisation des techniques de Lyapunov. Les systèmes considéés sont de la fome : { ẋ(t) = Ax(t)+ f(x(t),u(t)) (2.17) y(t) = Cx(t) où x(t) R n est le vecteu d état, u(t) R n u epésente le vecteu d entée et y(t) R n y est le vecteu de sotie. A R n n est une matice d état connue et f(x(t),u(t)) R n est une fonction non linéaie vectoielle dépendant de x(t) et de u(t) et satisfaisant la condition de Lipschitz : f(x(t),u(t)) f( ˆx(t),u(t)) < γ x(t) ˆx(t) (2.18) L obsevateu poposé dans Thau [1973] est une extension de l obsevateu de Luenbege, poposé dans [Luenbege, 1971], et ayant la fome : { ˆx(t) = A ˆx(t)+ f( ˆx(t),u(t))+L(y(t) ŷ(t)) (2.19) ŷ(t) = C ˆx(t) La dynamique de l eeu d estimation d état e(t) = x(t) ˆx(t) s écit : ė(t) = (A LC)e(t)+ f(x(t),u(t)) f( ˆx(t),u(t)) (2.2) L objectif est de détemine L de manièe à assue la convegence ves zéo de l eeu d estimation d état. Le ésultat suivant, donné dans [Thau, 1973], founit des conditions de convegence de l eeu d estimation d état. Théoème 2.1. ([Thau, 1973]) Etant donné le système (2.17) et son obsevateu (2.19). Si : γ < λ max(q) λ min (P) (2.21) où P R n n et Q R n n sont des matices symétiques et définies positives qui véifient l équation de Lyapunov : (A LC) T P+P(A LC) = Q (2.22) alos lim t e(t) =. Le théoème 2.1 founit une pocédue pou véifie la stabilité de la dynamique de l eeu d estimation apès choix de L. Cependant, cette méthode ne pemet pas la synthèse de l obsevateu. Si γ est la constante de Lipschitz de la fonction f(x(t),u(t)), il n existe pas de elation ente le choix de L et la condition (2.21), ce qui pose un poblème pou le placement des pôles de (A LC). Pou plus de détails, un exemple expliquant ce poblème est donné dans [Raghavan et Hedick, 1994]. Dans [Raghavan et Hedick, 1994], les auteus founissent un algoithme de echeche du gain L qui pemet d assue la stabilité de la dynamique de l eeu d estimation. 13

31 Chapite 2. Généalités et position du poblème Théoème 2.2. ([Raghavan et Hedick, 1994]) Étant donné le système (2.17) et son obsevateu (2.19), s il existe ε >, P R n n et Q R n n des matices symétiques et définies positives qui véifient l équation de Riccati : ( A T P+PA+P γ 2 I 1 ) ε CT C P+I + Q = (2.23) alos le gain de l obsevateu L = 1 ε PCT stabilise la dynamique de l eeu d estimation d état pou toute fonction f avec une constante de Lipschitz γ. La méthode est basée su une echeche itéative de ε. Pou des valeus impotantes de la constante de Lipschitz, l équation de Riccati (2.23) peut ne pas admette de solution. Les auteus ont alos poposé une méthode pa tansfomation linéaie z(t) = T x(t) elaxant cette difficulté. Dans [Petew et al., 26], il est monté que, dans cetains cas, l équation de Riccati (2.23) n admet pas de solution, même si la paie (A,C) est obsevable. Un ésultat intéessant a été poposé pa la suite dans [Rajamani, 1998] pou la détemination du gain L de l obsevateu (2.19) : Théoème 2.3. ([Rajamani, 1998]) Le système (2.19) est un obsevateu pou (2.17) si : 1. (A LC) est obsevable. 2. le gain L est déteminé de manièe à assue la stabilité de la matice (A LC). 3. min σ min (A LC jωi) > γ (2.24) ω R + Ce ésultat peut ête pésenté en utilisant le fomalisme H de la manièe suivante ([Rajamani, 1998]) : si (A LC) 1 < 1 (2.25) γ Définissons les vaiables suivantes : ω(t) = f(x(t),u(t)) f( ˆx(t),u(t)) (2.26) ζ(t) = e(t) = x(t) ˆx(t) (2.27) ν(t) = L(y(t) ŷ(t)) (2.28) ϕ(t) = y(t) ŷ(t) (2.29) Le membe de gauche de l inégalité (2.25) epésente la nome H du tansfet de ω(t) et ν(t) ves ζ(t) donné sous la fome standad : ż(t) = Az(t)+ [ ] [ ] ω(t) I n I n (2.3) ν(t) [ ζ(t) ϕ(t) ] = [ In C ] [ n z(t)+ n ny n ny n ][ ω(t) ν(t) ] (2.31) Cette appoche a été utilisée écemment dans [Petew et al., 26] pou la conception d obsevateus pou les systèmes lipschitziens (2.17), puis elle a été étendue aux systèmes pésentant 14

32 2.4. Pincipes de conception des obsevateus d état des systèmes non linéaies des entées inconnues dans [Petew et al., 25a] et pou le diagnostic de défauts de capteus pou systèmes non linéaies. Les inconvénients pincipaux de ce type d appoches ésident dans la majoation de l eeu d estimation d état en utilisant la condition de Lipschitz, ce qui peut pésente un cetain caactèe consevatif. De plus, si la constante de Lipschitz est impotante, les gains obtenus pa ces méthodes peuvent ende l obsevateu tès sensible aux buits de mesue. Le poblème des gands gains liés à la majoation de Lipschitz a été étudié dans [Acak et Kokotovic, 21] où les auteus utilisent le citèe du cecle et supposent que la non-linéaité satisfait la condition de monotonie suivante : ( ) ( ) f f T + > (2.32) x x Des conditions de convegence de l eeu d estimation d état ves zéo sont alos établies sous la fome d inégalités maticielles linéaies non stictes. Une extension de ce ésultat a été poposée pou les systèmes à plusieus non-linéaités monotones. Cependant, la condition (2.32) limite la classe de systèmes pouvant ête étudiés. Une aute appoche poposée dans [Ibi, 27] utilise également le citèe du cecle avec des injections multiples de la sotie dans les non-linéaités. La condition de monotonie des nonlinéaités n est plus nécessaie. En evanche, la connaissance de la distibution du vecteu d état dans les non-linéaités est equise. Les méthodes pésentées pécédemment chechent à détemine un gain constant L de l obsevateu (2.19). Une généalisation à un gain vaiable en fonction de l entée du système est poposée dans [Tsinias, 199]. L équation définissant le gain s écit alos : L(u(t)) = c(u(t))m 1 C (2.33) où c est un scalaie positif constant et (u(t)) ainsi que M sont à détemine de manièe à satisfaie les conditions suivantes : µt M f(x,u) µ x c 1 µ 2 (2.34) νt M f(x,u) ν x (u) µ 2 (2.35) c 2 (u) (2.36) pou des scalaies positifs c 1 et c 2 et x R n, u R n u, µ R n, ν R n. Ces denies sont choisis de manièe à assue la convegence de l eeu d estimation d état ves zéo. Dans [Tsinias, 199], une aute fome du gain est poposée en intoduisant l état estimé : L( ˆx,u) = ( ˆx,u)M 1 C (2.37) Le pincipe de la détemination de L( ˆx,u) epose su l hypothèse {Ke(C) {}}. Ce ésultat a été utilisé dans [Adjallah et al., 1994] pou la détection de défauts. 15

33 Chapite 2. Généalités et position du poblème Obsevateus à stuctue vaiable Une aute catégoie d obsevateus utilisant l idée de stuctue vaiable a été lagement étudiée dans la littéatue [Slotine et al., 1987; Walcott et Zak, 1987; Bejaano et al., 28]. L idée est d ajoute un teme dépendant de l eeu de sotie pemettant de compense des incetitudes de modélisation. Ce teme peut ête considéé comme un gain vaiable qui commute ente la valeu zéo si l eeu de sotie est nulle et une valeu dépendante de cette eeu de sotie dans le cas où cette denièe est non nulle. Pa appot aux méthodes pésentées pécédemment, la connaissance d un modèle exact n est plus nécessaie. En evanche, une hypothèse stuctuelle su la fonction non linéaie f(x(t), u(t)) est imposée ; cependant, cette hypothèse s avèe difficile à satisfaie en pésence d incetitudes paamétiques. Les commutations du teme additionnel constituent un inconvénient majeu de ces appoches ca elles engendent un phénomène de boutement (Chatteing) qui est un égime oscillatoie haute féquence. Ce poblème a été taité dans [Dawson et al., 1992] pa un aute choix du teme additionnel Obsevateus obtenus apès tansfomation des équations d état Les méthodes de conception d obsevateus pou les systèmes non linéaies basées su une tansfomation ont fait l objet de nombeux tavaux. Les tansfomations non linéaies effectuées su l état d un système visent à é-écie le système en effectuant un changement de coodonnées de façon à ce que l eeu d estimation d état s écive sous une fome linéaie. L étude de la convegence de cette eeu est alos simplifiée. L estimation du vecteu d état initial s obtient alos pa la tansfomation invese. Linéaisation exacte L appoche pa linéaisation vise à tansfome un système initialement défini pa : { ẋ(t) = f(x(t)) y(t) = h(x(t)) (2.38) où x(t) R n et y(t) R, sous la fome canonique d obsevabilité donnée pa les équations suivantes : { ż(t) = Az(t)+φ(y(t)) (2.39) y(t) = Cz(t) où ϕ 1 (y(t)) 1. A =....., ϕ(y(t)) =.., C = ( 1 ) (2.4) 1 ϕ n (y(t)) et φ(y(t)) est une fonction de la vaiable y(t). Un obsevateu de la fome : { ẑ(t) = Aẑ(t)+φ(y(t))+L(y(t) ŷ(t)) y(t) = Cẑ(t) (2.41) 16

34 2.4. Pincipes de conception des obsevateus d état des systèmes non linéaies peut alos ête synthétisé. Ainsi, la dynamique de l eeu d estimation d état e(t) = z(t) ẑ(t) s écit : ė(t) = (A LC)e(t) (2.42) On emaque que l équation difféentielle (2.42) est linéaie. Si la paie (A,C) est obsevable, il est possible de place les pôles de la matice (A LC) afin d assue une stabilité asymptotique ou exponentielle. Ce ésultat a d abod été établi pou les systèmes mono-soties. Puis une généalisation aux systèmes multi-soties a été poposée dans [Kene et Isidoi, 1983] en généalisant les tansfomations comme suit : z(t) = T(x(t)) (2.43) v(t) = W(y(t)) (2.44) La tansfomation du système (2.38) sous la fome du système (2.39) est basée su l algèbe de Lie. Le poblème est alos énoncé de la façon suivante : s il existe des tansfomations de l état et de la sotie (2.43)-(2.44) (pou le cas multi-soties) tansfomant le système (2.38) en (2.39), alos un obsevateu de la fome (2.41) peut ête synthétisé. L état ˆx(t) du système oiginal est obtenu pa la tansfomation invese ˆx(t) = T 1 (ẑ(t)). Dans [Kelle, 1987], une extension de cette technique a été effectuée en considéant le poblème des systèmes non autonomes. En effet, l appoche visant à tansfome un système sous une fome canonique d obsevabilité a été initialement développé pou les systèmes autonomes. Pou les systèmes non autonomes, la fonction φ dépend non seulement de la sotie mais également du vecteu ū(t) contenant les déivées pa appot au temps de l entée u(t) du système. On a alos φ(y(t),ū(t)) où : ū(t) = ( u u ü u (n) ) (2.45) Les tansfomations T et W dépendent alos également de l entée et de ses déivées. Une pemièe limite qu on constate facilement est que la conception de l obsevateu nécessite de connaîte les n pemièes déivées pa appot au temps de l entée u(t). De nombeux tavaux ont été éalisés afin de donne une méthode de éalisation ou des conditions d existence des tansfomations T et W. On peut cite, pa exemple, [Glumineau et al., 1996] où les auteus poposent des conditions nécessaies et suffisantes d existence de la tansfomation T pou les systèmes mono-soties ; ce ésultat a également été généalisé aux systèmes multi-soties. Dans [Phelps, 1991], une méthode a été poposée pou la echeche de telles tansfomations pou les systèmes autonomes. Dans la majoité des tavaux menés dans le contexte de la tansfomation d un système non linéaie sous la fome canonique d obsevabilité, les auteus supposent que la sotie est linéaie pa appot à l état. [Kazantzis et Kavais, 1998] ont cependant taité le cas des systèmes mono-soties non linéaies. Les inconvénients de ces appoches basées su les tansfomations de l équation d état en une fome canonique d obsevabilité, ésident dans le fait que, d une pat, la classe de systèmes non linéaies pouvant ête tansfomée ou pou qui une tansfomation existe est tès limitée et, d aute pat, les tansfomations sont difficiles à mette en œuve. Technique d immesion Afin de éduie les inconvénients de l appoche pécédente, la technique d immesion a été utilisée dans [Levine et Maino, 1986; Ticlea, 26; Besançon, 27]. Elle est basée su l idée 17

35 Chapite 2. Généalités et position du poblème d immesion de l espace d état initial dans un état de dimension supéieue au lieu d utilise un difféomophisme. L objectif est donc de touve une tansfomation injective. Cela élagit la classe de systèmes non linéaies pouvant ête étudiés. Une aute manièe de tansfome un système non linéaie sous la fome canonique d obsevabilité est d utilise une tansfomation appoximative. Dans [Nicosia et al., 1989], les auteus poposent d appoxime le système non linéaie : pa un aute système : ẋ(t) = f(x(t),u(t)) (2.46) y(t) = h(x(t)) (2.47) ẋ(t) = f(x(t), u(t)) (2.48) y(t) = h(x(t)) (2.49) où les fonctions f et h difféent seulement de f et h dans le second teme et les temes supéieus de leus séies de Taylo espectives au voisinage des points de fonctionnement. Le but est de pouvoi touve une appoximation du système assuant l existence d une tansfomation sous la fome canonique d obsevabilité. Dans cette appoche, quand les conditions d existence de tansfomations sous la fome canonique ne sont pas satisfaites, une fome appoximative canonique d obsevabilité est obtenue comme suit : ż(t) = Az(t) + ϕ(y(t)) + χ(z(t)) (2.5) y(t) = Cz(t) (2.51) où χ(z(t)) est une fonction non linéaie ne pouvant pas ête éliminée apès la tansfomation. Dans [Lynch et Botoff, 1997], les auteus poposent une appoche pou la conception d un obsevateu pou le système (2.5)-(2.51) pa minimisation de l influence du teme χ(z(t)) su l eeu d estimation d état. Pa la suite, cette appoche pa tansfomation appoximative a été généalisée aux systèmes multi-soties dans [Lynch et Botoff, 21]. 2.5 Modèle de Takagi-Sugeno Les modèles de Takagi-Sugeno (T-S) constituent une epésentation mathématique tès intéessante des systèmes non linéaies ca ils pemettent de epésente tout système non linéaie, quelle que soit sa complexité, pa une stuctue simple en s appuyant su des modèles linéaies intepolés pa des fonctions non linéaies positives ou nulles et bonées. Ces modèles pemettent de epésente de manièe pécise les systèmes non linéaies. Ils ont une stuctue simple pésentant des popiétés intéessantes les endant facilement exploitables du point de vue mathématique et pemettant l extension de cetains ésultats du domaine linéaie aux systèmes non linéaies. Un système non linéaie peut ête modélisé sous la fome généale : { ẋ(t) = f(x(t),u(t)) (2.52) y(t) = h(x(t),u(t)) 18

36 2.5. Modèle de Takagi-Sugeno où x(t) R n est le vecteu d état, u(t) R n y epésente le vecteu d entée et y(t) R n y est le vecteu de sotie. Comme pécisé dans l intoduction, la difficulté d étude des modèles de la fome (2.52) a conduit à l étude de classes paticulièes epésentant seulement un ensemble esteint de systèmes non linéaies. La epésentation des systèmes non linéaies intoduite dans [Takagi et Sugeno, 1985] constitue une altenative intéessante dans le domaine de la commande, de l obsevation et du diagnostic des systèmes non linéaies. Un modèle de Takagi-Sugeno est composé d un ensemble fini de modèles linéaies inteconnectés gâce à des fonctions non linéaies véifiant la popiété de somme convexe (2.54). La fomulation mathématique des modèles T-S est donnée pa les équations : ẋ(t) = µ i (ξ(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = µ i (ξ(t))(c i x(t)+d i u(t)) (2.53) Les sous-modèles sont définis pa des matices connues A i R n n, B i R n n u, C i R n y n et D i R n y n u. Les fonctions d activation µ i (ξ(t)) sont des fonctions non linéaies dépendant du paamète ξ(t) pouvant ête mesuable (pa exemple l entée u(t) ou la sotie y(t) du système) ou non mesuable (l état x(t) du système). Ces fonctions satisfont la popiété de somme convexe : µ i (ξ(t)) 1, i = 1,..., µ i (ξ(t)) = 1, t (2.54) Afin d obteni un modèle T-S (2.53), on peut cite tois appoches lagement utilisées dans la littéatue. La pemièe appoche epose su les techniques d identification. La stuctue du modèle ainsi que les fonctions d activation sont tout d abod choisies a pioi. En utilisant des jeux de données d entées-soties écoltées à pati des mesues effectuées su le système éel, des techniques d identification sont ensuite mises en place. Pou plus de détails, le lecteu poua se éfée à [Gasso, 2]. La seconde appoche epose su la linéaisation du modèle non linéaie (2.52) autou de plusieus points de fonctionnements. Des sous-modèles linéaies sont alos obtenus pou chaque zone de fonctionnement. En utilisant des techniques d optimisation afin de minimise l eeu quadatique de sotie, les fonctions d activation peuvent ête généées [Akhenak, 24]. La toisième appoche est basée diectement su la connaissance analytique du modèle non linéaie (2.52). Elle est connue sous le nom de tansfomation pa secteus non linéaies [Tanaka et Wang, 21]. Contaiement aux deux appoches pécédentes qui donnent une appoximation du modèle non linéaie (2.52), cette toisième méthode founit un modèle T-S (2.53) epésentant de manièe exacte le modèle non linéaie (2.52) dans un compacte de l espace d état. Le tavail pésenté dans ce mémoie de thèse utilise majoitaiement l appoche pa secteus non linéaies. 19

37 Chapite 2. Généalités et position du poblème Appoche pa secteus non linéaies Considéons le modèle non linéaie : { ẋ(t) = f(x(t),u(t)) y(t) = h(x(t),u(t)) Il est aisé de é-écie la système (2.55) sous la fome LPV suivante : { ẋ(t) = F(x(t),u(t))x(t)+G(x(t),u(t))u(t) y(t) = H(x(t), u(t))x(t) + K(x(t), u(t))u(t) (2.55) (2.56) où F, G, H et K sont des fonctions non linéaies dépendant de x(t) et u(t) et définies su des domaines de x(t) et de u(t). D une manièe généale, on nomme la vaiable de pémisse ξ(t) = [x(t) T u(t) T ] T, le système (2.56) devient : { ẋ(t) = F(ξ(t))x(t)+G(ξ(t))u(t) (2.57) y(t) = H(ξ(t))x(t)+K(ξ(t)) Soit k le nombe de fonctions non linéaies pésentes dans le système (2.57). On les note f i, i = 1,...,k. Supposons qu il existe un compact C des vaiables ξ(t) où les non-linéaités sont bonées : f i [ f i min, f i max], i = 1,...,k (2.58) où : Les non-linéaités f i peuvent alos s écie de la manièe suivante [Moèe, 21] : f i (ξ(t)) = fmin i wi (ξ(t))+ f maxw i i 1 (ξ(t)) (2.59) w i = f i max f i (ξ(t)) f i max f i min w i 1 = f i(ξ(t)) f i min f i max f i min (2.6) Les fonctions d activation µ i (ξ(t)), i = 1,..., sont obtenues à pati des fonctions w i et wi 1 pa : µ i+i +i i k 2 k 1(ξ(t)) = k Le nombe de sous-modèles est égal à 2 k. j=1 w j i j (ξ(t)) (2.61) 2.6 Stabilité des systèmes de Takagi-Sugeno La stabilité des systèmes non linéaies epésentés pa un modèle de Takagi-Sugeno a fait l objet de nombeux développements. La stuctue paticulièe de ce type de modèle a pemis l extension de l étude de la stabilité des systèmes linéaies au cas des systèmes non linéaies. Soit un système de Takagi-Sugeno autonome, epésenté pa : 2 ẋ(t) = µ i (ξ(t))a i x(t) (2.62)

38 2.6. Stabilité des systèmes de Takagi-Sugeno Théoème 2.4. Le système (2.62) est dit quadatiquement stable s il existe une matice P R n n symétique et définie positive telle que les conditions suivantes soient véifiées pou i = 1,..., : A T i P+PA i < (2.63) Démonstation. Elle s appuie su le choix d une fonction de Lyapunov candidate V(x(t)) = x(t) T Px(t) où P = P T >. L utilisation de la popiété de somme convexe des fonctions de Lyapunov pemet l obtention de conditions, à ésoude simultanément, fomulées en temes d inégalités linéaies maticielles (LMIs). On peut note que l intepolation de sous-modèles stables n est pas nécessaiement stable. Tanaka et al. [1998] ont monté que si le nombe de sous-modèles est impotant, il est difficile de touve une matice commune P satisfaisant simultanément les LMIs. Les tavaux qui ont suivi ont poté su la éduction du pessimisme des conditions poposées dans le théoème 2.4. Plusieus appoches ont été étudiées et on peut en paticulie cite l utilisation de fonctions de Lyapunov polyquadatiques de la fome : V(x(t)) = x(t) T µ i (ξ(t))p i x(t) (2.64) L idée de cette appoche consiste à cheche des matices P i au lieu d une seule matice commune P [Tanaka et al., 23; Chadli et al., 22] ce qui elaxe les containtes de stabilité du théoème 2.4. Pa la suite, une fonction de Lyapunov non quadatique a été intoduite exploitant l idée de fonction continue pa moceaux. Elle est définie pa : où V(x(t)) = max{v 1 (x(t)),v 2 (x(t)),...,v (x(t))} (2.65) V i (x(t)) = x(t) T P i x(t), P i = P T i >, i = 1,..., (2.66) Ce type de fonctions a été utilisé dans le cade des systèmes LPV dans [Boyd et al., 1994] et dans le cade des systèmes de Takagi-Sugeno dans [Chadli, 22] et [Johansson, 1999]. Les conditions de stabilité issues de ce type de fonctions de Lyapunov sont données pa : Théoème 2.5. ([Johansson, 1999]) Le système (2.62) est stable, s il existe des matices P j = P T j > et des scalaies τ i jk > tels que : A T i P j + P j A i + k=1 τ i jk (P j P k ) < (2.67) i, j = 1,..., P j > (2.68) τ i jk > (2.69) Ces ésultats constituent des conditions de stabilité moins estictives que les conditions de stabilité quadatique. Cependant, elles sont expimées en teme d Inégalités Maticielles Bilinéaies (BMI) qui sont plus difficiles à ésoude que les LMIs. 21

39 Chapite 2. Généalités et position du poblème Dans le cas discet, de nouvelles appoches intéessantes ont été intoduites, écemment, pou l étude de la stabilité afin de touve des conditions moins contaignantes [Kuszewski, 26]. Une pemièe appoche utilise une fonction de Lyapunov quadatique dont l évaluation des vaiations se fait ente deux instants k et k+m i.e. su un intevalle [k,k+m], au lieu de deux instants successifs k et k + 1. Cela a l avantage d assue la décoissance de la fonction ente les instants k et k + m en autoisant des vaiations positives à l intéieu de l intevalle ]k,k + m[, ce qui elaxe les conditions de stabilité. Il a été monté que, quand le paamète m augmente, le consevatisme des conditions de stabilité se éduit au pix d un nombe impotant de LMIs. Ces deux appoches vont ête pésentées en détail à la section 3.3.5, et seont appliquées à la conception d obsevateus pou des systèmes T-S à temps discet. Plusieus de ces appoches ont été utilisées dans le domaine de la commande et de la stabilisation pa etou d état ou pa etou de sotie [Guea et al., 26], [Chadli et al., 22], [Tanaka et Wang, 21], [Yoneyama, 28], [Tanaka et al., 23]. Note que dans les poblèmes de stabilisation, le fait d avoi des vaiables de décision non mesuables impose l utilisation d un obsevateu afin d estime l état. Le poblème devient alos un poblème de stabilité d un système incetain où les incetitudes sont dues à la non mesuabilité des vaiables de décision. Dans la majoité des tavaux taités, l entée u(t) est emplacée pa la loi de commande utilisée. L entée n appaaît donc pas dans les équations, de ce fait des conditions su u(t) ne sont pas nécessaies. Pa conte, dans les poblèmes d estimation d état et de conception d obsevateus destinés au diagnostic, le fait d avoi des vaiables de décision non mesuables dans le modèle T-S complexifie le poblème et end inexploitable, les ésultats obtenus dans le cas où les vaiables de décision sont mesuables. Ce point sea taité dans la section suivante. 2.7 Obsevateus pou les systèmes de Takagi-Sugeno Nous allons appele les pincipaux ésultats concenant la conception d obsevateus pou systèmes T-S. Pou cela, considéons le modèle T-S suivant pou lequel la sotie est une fonction linéaie de l état : ẋ(t) = µ i (ξ(t))(a i x(t)+b i u(t)) (2.7) y(t) = Cx(t) (2.71) L obsevateu le plus lagement développé dans la littéatue est une extension de celui de Luenbege poposé dans [Luenbege, 1971] pou les systèmes linéaies : ˆx(t) = µ i ( ˆξ(t))(A i ˆx(t)+B i u(t)+l i (y(t) ŷ(t))) (2.72) ŷ(t) = C ˆx(t) (2.73) Afin de détemine les gains L i de l obsevateu (2.72), la stabilité du système généant l eeu d estimation d état est étudiée, cette denièe étant définie pa : 22 e(t) = x(t) ˆx(t) (2.74)

40 2.7. Obsevateus pou les systèmes de Takagi-Sugeno Sa dynamique est égie pa une équation difféentielle qui dépend de la connaissance ou non des vaiables de décision intevenant dans les fonctions d activation. On définit alos deux cas selon que les vaiables de décision sont mesuables ou non mesuables Vaiables de décision mesuables (VDM) La majeue patie des tavaux effectués su la conception d obsevateus d état pou les systèmes T-S s appuie su l hypothèse de disponibilité des vaiables de décision. De ce fait, l obsevateu utilise les mêmes vaiables de décision que le modèle du système ce qui pemet une factoisation pa les fonctions d activation los de l évaluation de la dynamique de l eeu d estimation d état. Plus pécisément, cette denièe s écit : ė(t) = µ i (ξ(t))(a i L i C)e(t) (2.75) Les gains L i de l obsevateu sont déteminés pa analyse de la stabilité du système T-S (2.75). Dans [Patton et al., 1998], l analyse de la stabilité via une fonction de Lyapunov quadatique a pemis l obtention de conditions LMIs pou la synthèse de l obsevateu : Théoème 2.6. ([Patton et al., 1998]) L eeu d estimation d état convege asymptotiquement ves zéo s il existe une matice P = P T > R n n et des matices K i R n n y telles que les conditions suivantes soient satisfaites : PA i + A T i P K i C C T K T i < (2.76) i = 1,..., Les gains de l obsevateu sont obtenus à pati de l équation : L i = P 1 K i (2.77) Démonstation. Elle s appuie su l étude de la stabilité pa la théoie de Lyapunov en utilisant une fonction de Lyapunov quadatique. L impotante popiété de somme convexe des fonctions d activation a pemis l obtention de conditions suffisantes de stabilité du système (2.75) généant l eeu d estimation d état. Afin d obteni des inégalités linéaies, le changement de vaiable K i = PL i est utilisé. Dans [Patton et al., 1998], une amélioation des pefomances tempoelles de l obsevateu a été envisagée pa un placement des pôles dans une égion LMI, puis une application à la détection et localisation de défauts dans un moteu a été éalisée. Plus écemment, dans [Akhenak, 24] et [Rodigues, 25], les auteus ont généalisé l obsevateu à entées inconnues poposé dans [Daouach et al., 1994] pou les systèmes linéaies. La stabilité a été étudiée pa la théoie de Lyapunov et les conditions obtenues sont fomulées en utilisant des LMIs. Dans [Akhenak, 24], les obsevateus à stuctues vaiables (à mode glissant) ont également été développés pou les systèmes T-S incetains. Ces obsevateus ont été utilisés pou le diagnostic d un système à tois cuves et d un tubo-éacteu d avion. 23

41 Chapite 2. Généalités et position du poblème Vaiables de décision non mesuables (VDNM) Dans le cas où les vaiables de décision ne sont pas connues, leu factoisation n est plus possible et la dynamique de l eeu d estimation d état s écit alos sous la fome : ė(t) = µ i (ξ(t))(a i x(t)+b i u(t)) µ i ( ˆξ(t))(A i ˆx(t)+B i u(t)+l i Ce(t)) (2.78) En analysant la fome de l équation d état (2.78), on conclut que les ésultats obtenus dans le cas des systèmes T-S à VDM ne sont pas applicables pou la détemination des gains L i de l obsevateu. Peu de tavaux ont été menés pou ésoude ce poblème. Néanmoins, on peut cite [Begsten et Palm, 2] et [Begsten et al., 21], où les auteus poposent des conditions de convegence de l eeu d estimation d état ves zéo en s appuyant su l obsevateu de Thau-Luenbege [Thau, 1973]. Les fonctions d activation sont alos supposées de natue lipschitziennes. Théoème 2.7. ([Begsten et Palm, 2]) L eeu d estimation d état ente le modèle T-S et l obsevateu convege asymptotiquement ves zéo, s il existe des matices symétiques et définies positives P R n n et Q R n n et des matices K i R n n y ainsi qu un scalaie positif γ tels que : [ A T i P+PA i C T K ] i T K i C < Q Q+γ 2 P < P I (2.79) Démonstation. voi [Begsten et Palm, 2]. Une extension a été poposée dans [Begsten et al., 22] pou la conception d obsevateus à mode glissant afin de pende en considéation d éventuelles incetitudes de modélisation. 2.8 Motivations et position du poblème L appoche pa secteus non linéaies epésente une des techniques les plus classiques de passage d un modèle non linéaie à un modèle T-S [Tanaka et Wang, 21]. En effet, cette tansfomation pemet l obtention d un modèle T-S (2.53) epésentant exactement (2.52). Il a été pouvé dans [Yoneyama, 29] que si la sotie est buitée (ce qui est féquemment le cas en patique) et est choisie comme vaiable de pémisse ξ(t) le modèle T-S obtenu ne epésente pas pécisément le système (2.52). Il a été également conclu que si la sotie est non linéaie pa appot à l état du système il est difficile voie impossible d avoi un modèle T-S pa l appoche pa secteus non linéaies avec la sotie comme vaiable de pémisse. C est pouquoi l utilisation de l état du système comme vaiable de pémisse pemet la desciption d une classe tès lage de systèmes non linéaies. Dans le contexte du diagnostic des systèmes non linéaies T-S à VDNM, le poblème d isolation de défauts pa banc d obsevateus est impossible à éalise avec un seul modèle du système. En effet, si le poblème de localisation de défauts d actionneus est considéé, la constuction 24

42 2.8. Motivations et position du poblème d un banc d obsevateus afin de localise les défauts n est pas possible si la i ème entée est utilisée comme vaiable de pémisse. Tous les obsevateus supposant que cette entée est inconnue ne peuvent pas ête implémentés ca l indisponibilité de cette gandeu empêche d évalue les fonctions d activation. Un poblème similaie est enconté quand le poblème de localisation de défauts de capteus est considéé avec un modèle T-S utilisant la sotie du système comme vaiable de pémisse. Une solution lagement utilisée consiste à concevoi deux modèles T-S difféents pou le même système non linéaie. Le pemie modèle utilise l entée u(t) comme vaiable de pémisse afin de concevoi le banc d obsevateus dédié à la localisation des défauts de capteus. Le second modèle utilise la sotie y(t) du système comme vaiable de pémisse pou la conception du banc pou la localisation de défauts d actionneus. La solution que nous poposons consiste à exploite les modèles T-S utilisant l état du système comme vaiable de pémisse. Ainsi, un seul modèle pemet l élaboation des deux bancs d obsevateus pou la localisation de défauts d actionneus et de capteus. Dans le contexte de la cyptanalyse utilisant les multimodèles chaotiques, [Cheie et al., 27] considèe un modèle T-S où la sotie est utilisée comme vaiable de pémisse. Un obsevateu est alos développé afin de pouvoi tansmette et écupée un message (synchonisation). Les auteus ont également pécisé que le fait d utilise l état du système comme vaiable de pémisse amélioe la sécuité de tansmission puisque l état est inconnu alos que la sotie peut ête mesuée. En conclusion, les modèles de Takagi-Sugeno à vaiables de décision non mesuables sont intéessants ca : ils pemettent de epésente exactement le modèle non linéaie (2.52), une classe plus lage de systèmes non linéaies peut ête décite à l aide cette stuctue compaé aux modèles T-S à vaiables de décision mesuables [Yoneyama, 29], un seul modèle T-S suffit pou la conception de bancs d obsevateus afin de localise les défauts de capteus et d actionneus, dans le contexte du cyptage, la sécuité de tansmission peut ête amélioée. Malgé l impotance des modèles T-S à vaiables de décision non mesuables, peu de tavaux ont été dédiés à cette classe de systèmes [Cheie et al., 27]. Il est donc intéessant d exploe les possibilités offetes pa ces modèles dans le domaine de l estimation d état et du diagnostic des systèmes non linéaies. Les tavaux décits dans ce pésent mémoie concenent pincipalement les systèmes non linéaies décits pa un modèle de Takagi-Sugeno à vaiables de décision non mesuables : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = µ i (x(t))(c i x(t)+d i u(t)) (2.8) Les contibutions que nous avons appotées concenent : la conception d obsevateus d état (chapite 3), la conception d obsevateus d état en pésence d entées inconnues (chapite 4), la conception de généateus de ésidus pou la détection, la localisation et l estimation des défauts (chapite 5), la conception de commandes toléantes aux défauts (chapite 5). 25

43 Chapite 2. Généalités et position du poblème 2.9 Conclusion Ce chapite a été consacé à un appel de quelques définitions elatives à la conception d obsevateus et à l étude de l obsevabilité des systèmes non linéaies. Un cetain nombe d appoches développées ces denièes années ont été pésentées. Une discussion su les systèmes non linéaies a ensuite pemis d intoduie les modèles de Takagi-Sugeno en pésentant succinctement tois méthodes pou leu obtention (identification et linéaisation des systèmes non linéaies). La méthode utilisant les tansfomations pa secteus non linéaies a fait l objet d un appel avec une compaaison dans difféents domaines à la stuctue T-S obtenue pa les deux pemièes méthodes. Les motivations et la poblématique abodée dans ce tavail ont enfin été exposées en détail en définissant les objectifs à atteinde. 26

44 3 Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Sommaie 3.1 Intoduction Fomulation du poblème Obsevateu lipschitzien Pemièe appoche Deuxième appoche Estimation d état pa injection multiple de la sotie Conclusion patielle Appoche pa le théoème de la valeu moyenne Discussion Obsevateu L Appoche pa incetitudes bonées Appoche pa "incetitudes constantes" Appoche pa atténuation des petubations Discussion Estimation d état des systèmes T-S à VDNM incetains Pemièe appoche Deuxième appoche Discussions Conclusions

45 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM 3.1 Intoduction Ce chapite est consacé au développement de difféentes méthodes de conception d obsevateus pou les systèmes non linéaies décits pa des modèles de Takagi-Sugeno à vaiables de décision non mesuables. Malgé l intéêt, gandissant, poté au poblème de l estimation d état à base de modèles T-S, depuis quelques années, la conception d obsevateus pou des modèles T-S à vaiables de décision non mesuables este aement abodée dans la littéatue. Comme pésenté dans le chapite pécédent, la stuctue T-S à VDNM pésente plusieus avantages. En effet, d une pat, les modèles non linéaies peuvent ête epésentés pa cette stuctue de manièe exacte. D aute pat, dans le contexte du diagnostic, elle pemet de développe un seul modèle T-S qui sea ensuite utilisé pou la conception de bancs d obsevateus afin de détecte et d isole des défauts d actionneus et des défauts de capteus. Il a été monté également que l utilisation de la stuctue T-S à VDNM amélioe la sécuité des systèmes de cyptage [Cheie et al., 27]. Les méthodes d estimation d état pou les modèles T-S à VDNM sont pincipalement développées pou la commande pa etou d état obsevé. Cela simplifie le poblème. En effet, le fait de emplace le signal de commande u(t) pa une loi de commande dépendant de l état pemet de taite le poblème comme un poblème de commande d un système incetain, où les incetitudes poviennent de l impossibilité de mesue les vaiables de décision. En evanche, le poblème de diagnostic à base de modèle T-S à VDNM este ouvet, et aucun tavail n a été appoté à ce jou su cette poblématique. Begsten et Palm [2] poposent une appoche inspiée diectement de l obsevateu de Thau-Luenbege initialement poposé dans [Thau, 1973]. L étude de la stabilité pa la seconde méthode de Lyapunov a pemis l obtention d une condition suffisante de convegence de l eeu d estimation d état ves zéo. La synthèse de l obsevateu s effectue pa la ésolution d un ensemble d inégalités linéaies maticielles. Pa la suite, en se basant su l obsevateu poposé dans [Begsten et Palm, 2], les auteus poposent dans [Begsten et al., 22] un obsevateu à mode glissant pemettant de pende en considéation des incetitudes de modélisation. Comme pécisé pou la conception d obsevateu ou de commande des systèmes epésentés pa un modèle T-S à VDM, le nombe de LMIs à ésoude intoduit un cetain consevatisme induit pa la echeche d une matice de Lyapunov P pemettant de satisfaie LMIs. L appaition de la constante de Lipschitz dans les LMIs à ésoude intoduit également un consevatisme lié à la valeu de cette denièe. Dans [Yoneyama, 29], la technique d optimisation L 2 a été utilisée de manièe à concevoi un filte pemettant l estimation de l état du système T-S à VDNM, et minimisant l influence des petubations su l eeu d estimation d état. Des conditions LMIs ont été ainsi établies. L auteu n a considéé que le cas où seules les petubations sont pésentes et les entées de commande sont nulles. La section 3.2 pésente le poblème de l obsevation des modèles T-S à VDNM. La section 3.3 est dédiée à l étude et la poposition de tois appoches basées su des hypothèses de Lipschitz exposées dans [Ichalal et al., 27a,b, 29c]. Ces appoches constituent une altenative à l appoche poposée pa [Begsten et Palm, 2] pou éduie le consevatisme des conditions poposées dans ce denie aticle. Des conditions assuant la convegence asymptotique de l eeu d estimation d état ves zéo sont données sous fome LMIs. La toisième méthode consiste à utilise le théoème de la valeu moyenne ainsi que la méthode de tansfomation pa 28

46 3.2. Fomulation du poblème secteus non linéaies pou la conception de l obsevateu. L étude est faite su les modèles T-S à VDNM à temps continu et discet. Pa la suite, une méthode de elaxation des conditions de convegence de l eeu d estimation d état est poposée pou le cas à temps discet. L appoche de elaxation est similaie à celle utilisée dans [Kuszewski et al., 28] pou la synthèse d une loi de commande ; elle consiste à considée une fonction de Lyapunov ente l instant k+ m et l instant k au lieu de la pende ente deux instants k+ 1 et k. Dans la section 3.4, tois appoches à base d optimisation L 2 sont poposées [Ichalal et al., 29b, 28a, 29a]. Elles sont basées su la é-écitue du modèle T-S à VDNM sous difféentes fomes équivalentes, qui seont étudiées sépaément. Dans cette appoche, les eeus dues à l absence de mesue des vaiables de décision sont considéées comme des incetitudes de modèle. La synthèse L 2 a pou but de minimise l influence de ces incetitudes su l eeu d estimation. Le pincipe de ces appoches est de éduie la sévéité des conditions poposées dans la pemièe patie et de s affanchi de cetaines hypothèses de tavail (à savoi les hypothèses de Lipschitz). La conception d obsevateus pou des systèmes incetains et petubés epésentés pa la stuctue T-S à VDNM est abodée dans la section 3.5. L objectif est de concevoi un obsevateu afin d estime l état du système tout en assuant une cetaine obustesse face aux incetitudes de modélisation ainsi qu aux petubations extenes (buit de mesue...). 3.2 Fomulation du poblème Considéons la classe de systèmes non linéaies de la fome : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = Cx(t) (3.1) où x(t) R n est le vecteu d état, u(t) R n u est le vecteu des entées, y(t) R n y epésente le vecteu de sotie. A i R n n sont les matices d état, B i R n n u sont les matices d influence de l entée et C R n y n epésente la matice de sotie ou d obsevation. Enfin, les fonctions µ i (x(t)) epésentent les fonctions d activation qui dépendent de l état x(t) du système, et qui véifient les popiétés suivantes : µ i (x(t)) = 1 µ i (x(t)) 1 i {1,...,n} L objectif de ce chapite est de constuie un obsevateu d ode plein pou le système (3.1) ayant la stuctue ˆx(t) = µ i ( ˆx(t))(A i ˆx(t)+B i u(t)+l i (y(t) ŷ(t))) (3.3) ŷ(t) = C ˆx(t) (3.2) où ˆx(t) est l état estimé. Les matices L i de dimensions appopiées sont à détemine de telle sote que l eeu d estimation d état convege asymptotiquement, voie exponentiellement, ves zéo. 29

47 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM L eeu d estimation d état est donnée pa : e(t) = x(t) ˆx(t) (3.4) En utilisant (3.1) et (3.3), la dynamique de l eeu d estimation d état s écit : ė(t) = (µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) µ i ( ˆx(t))(A i ˆx(t)+B i u(t)+l i Ce(t))) (3.5) Dans ce chapite, nous poposons quelques méthodes complémentaies afin d analyse la stabilité de (3.5) et de fomule les conditions de stabilité sous fome d inégalités linéaies maticielles. La ésolution de ces LMIs pemet alos de détemine les gains L i de l obsevateu (3.3). 3.3 Obsevateu lipschitzien Les appoches appotées dans cette section sont basées su des hypothèses de Lipschitz. Ces hypothèses sont expimées de difféentes manièes, afin d obteni des conditions de convegence de l eeu d estimation d état ves zéo moins contaignantes. Les pemièe et deuxième appoches utilisent l hypothèse de Lipschitz classique, et la toisième appoche utilise une aute fomulation de cette hypothèse Pemièe appoche Dans cette section, nous pésentons une pemièe méthode de conception de l obsevateu (3.3) basée su des hypothèses de Lipschitz et une tansfomation du système (3.1). Soient les matices A, Ā i, B et B i définies comme suit : A = 1 A i (3.6) Ā i = A i A (3.7) B = 1 B i (3.8) B i = B i B (3.9) Pa substitution des matices A, Ā i, B et B i dans le système (3.1), il peut ête é-écit de la manièe suivante : ẋ(t) = A x(t)+b u(t)+ µ i (x(t))(ā i x(t)+ B i u(t)) (3.1) y(t) = Cx(t) 3

48 3.3. Obsevateu lipschitzien De la même manièe, l obsevateu (3.3) s écit sous la fome équivalente : ˆx(t) = A ˆx(t)+B u(t)+ µ i ( ˆx(t))(Ā i ˆx(t)+ B i u(t)+l i (y(t) ŷ(t))) (3.11) ŷ(t) = C ˆx(t) L eeu de econstuction d état est donnée pa : e(t) = x(t) ˆx(t) (3.12) En utilisant (3.1) et (3.11), la dynamique de l eeu d éstimation d état s écit : ė(t) = µ i ( ˆx(t))(A L i C)e(t)+ (Ā i (µ i (x(t))x(t) µ i ( ˆx(t)) ˆx(t)) + B i (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))u(t)) (3.13) Une manièe de justifie l intéêt de l intoduction des matices A et Ā i est l obtention d une dynamique de l eeu d estimation d état faisant appaaîte un teme en e(t). Les autes temes sont non linéaies et tendent ves zéo quand e(t). Dans cette patie, nous donnons des conditions de convegence de l obsevateu en se basant su la théoie de Lyapunov et des hypothèses su les temes non linéaies µ i (x(t))x(t) µ i ( ˆx(t)) ˆx(t) et (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))u(t). Pou l étude de la convegence de l eeu d estimation d état ves zéo, posons les hypothèses suivantes : Hypothèse 3.1. Les fonctions d activation sont lipschitziennes : µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)) n i x(t) ˆx(t) (3.14) µ i (x(t))x(t) µ i ( ˆx(t)) ˆx(t) m i x(t) ˆx(t) (3.15) où n i et m i, scalaies positifs, sont les constantes de Lipschitz. Hypothèse 3.2. L entée u(t) du système est bonée : u(t) β 1, β 1 > (3.16) Hypothèse 3.3. La paie (A,C) est obsevable (ou au moins détectable) Théoème 3.1. L eeu d estimation d état ente le système (3.1) et l obsevateu (3.3) tend asymptotiquement ves zéo, sous les hypothèses 3.1 et 3.2, s il existe deux matices P R n n et Q R n n symétiques et définies positives, des matices K i R n n y et des scalaies positifs λ 1, λ 2 et γ tels que les inégalités maticielles suivantes sont véifiées : A T P+PA Ki T P PK i < Q (3.17) Q+λ 1 m 2 i I PĀ i P B i n i γi Ā T i P λ 1I B T i P λ 2 n i γi λ 2 I Les gains de l obsevateu sont donnés pa : < (3.18) γ β 1 λ 2 (3.19) L i = P 1 K i (3.2) 31

49 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Démonstation. L eeu d estimation d état est : e(t) = x(t) ˆx(t) (3.21) La dynamique de l eeu d estimation est obtenue avec les équations (3.1) et (3.3) : où : ė(t) = µ i ( ˆx(t))Φ i e(t)+ n δ i (t) = µ i (x(t))x(t) µ i ( ˆx(t)) ˆx(t) i (t) = (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))u(t) Φ i = A L i C Ā i δ i (t)+ B i i (t) (3.22) (3.23) Pou démonte la convegence asymptotique de l eeu d estimation d état, considéons la fonction de Lyapunov quadatique V(e(t)) = e(t) T Pe(t), P = P T >, P R n n, dont la déivée pa appot au temps est : Puis, en utilisant (3.22) : V(e(t)) = V(e(t)) = ė(t) T Pe(t)+e(t) T Pė(t) (3.24) (δ i (t) T Ā T i Pe(t)+e(t) T PĀ i δ i (t)+ i (t) T B T i Pe(t)+e(t) T P B i i (t) + µ i ( ˆx(t))(e(t) T Φ T i Pe(t)+e(t) T PΦ i e(t))) (3.25) La déivée de la fonction de Lyapunov (3.25) est composée de temes quadatiques en e(t) et de temes coisés en e(t), δ i (t) et i (t). Afin d expime V(e(t)) sous une fome quadatique en e(t), on pocède comme suit. Compte tenu des définitions (3.23) et des hypothèses 3.1 et 3.2, on a alos : { δi (t) m i e(t) (3.26) i (t) n i β 1 e(t) Lemme 3.1. Pou toutes matices X et Y de dimensions appopiées, λ étant un scalaie positif, la popiété suivante est véifiée : X T Y +Y T X λx T X + λ 1 Y T Y, λ > (3.27) En appliquant ce lemme et en utilisant (3.26), on a les majoations suivantes : δ i (t) T Ā T i Pe(t)+e(t) T PĀ i δ i (t) λ 1 δ i (t) T δ i (t)+λ1 1 e(t)t PĀ i Ā T i Pe(t) λ 1 m 2 i e(t) T e(t)+λ1 1 e(t)t PĀ i Ā T i Pe(t) (3.28) i (t) T B T i Pe(t)+e(t) T P B i i (t) λ 2 i (t) T i (t)+λ2 1 e(t)t P B i B T i Pe(t) λ 2 n 2 i β1 2 e(t) T e(t)+λ2 1 e(t)t P B i B T i Pe(t) (3.29) 32

50 3.3. Obsevateu lipschitzien La déivée de la fonction de Lyapunov (3.25) peut alos ête majoée de la façon suivante : V(e(t)) e(t) T (µ i ( ˆx(t))(Φ T i P+PΦ i )+(λ 1 m 2 i + λ 2 n 2 i β 2 1)I +λ 1 1 PĀ i Ā T i P+λ 1 2 P B i B T i P)e(t) (3.3) La négativité de la déivée de la fonction de Lyapunov est assuée si, pou i = 1,..., : µ i ( ˆx(t))(Φ T i P+PΦ i )+(λ 1 m 2 i + λ 2 n 2 i β 2 1)I + λ 1 1 PĀ i Ā T i P+λ 1 2 P B i B T i P < (3.31) ce qui conduit aux conditions suivantes : (A L i C) T P+P(A L i C) < Q (3.32) Q+(λ 1 m 2 i + λ 2 n 2 i β 2 1)I + λ 1 1 PĀ i Ā i T P+λ 1 2 P B i B T i P < (3.33) En effectuant le changement de vaiables K i = PL i, et en appliquant le complément de Schu, on obtient les inégalités maticielles linéaies suivantes : A T P+PA C T K T i K i C < Q (3.34) Q+(λ 1 m 2 i + λ 2n 2 i β 1 2)I PĀ i P B i T Ā i P λ1 I B T i P λ 2I λ 1 >,λ 2 > < (3.35) Plutôt que d impose a pioi la bone su l entée, on peut ajoute un degé de libeté en considéant cette bone comme une vaiable à détemine qu on appellea ρ. En utilisant le complément de Schu, l inégalité (3.35) s écit : Q+λ 1 m 2 i I PĀ i P B i n i λ 2 ρi T Ā i P λ1 I B T i P λ 2I n i λ 2 ρi λ 2 I λ 1 >,λ 2 > < (3.36) Cette inégalité n est plus linéaie en les inconnues (pésence du poduit λ 2 ρ). Pou l écie sous fome LMI, on pose : γ = λ 2 ρ. On a alos : A T P+PA C T K T i K i C < Q (3.37) Q+λ 1 m 2 i I PĀ i P B i n i γi Ā T i P λ 1I B T i P λ 2I n i γi λ 2 I < (3.38) 33

51 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Connaissant γ et λ 2, on peut déduie la valeu ρ : ρ = γ λ 2 (3.39) Pou s assue que les valeus de γ et λ 2 véifient l hypothèse 3.2 (ρ doit ête supéieu ou égal à β 1 ), on se popose d ajoute une containte su γ et λ 2 pou gaanti γ λ 2 β 1 : γ β 1 λ 2 (3.4) En utilisant la containte (3.4) avec les conditions (3.37) et (3.38), la valeu de ρ touvée est supéieue ou égale à la bone de l entée β 1. Exemple 3.1 (Estimation d état) Soit le système suivant : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = Cx(t) (3.41) avec : A 1 = B 1 = , B 2 =, A 2 = , C = [ ] Les conditions initiales su l état sont : x = ( ) T. Les fonctions d activation sont choisies sous la fome : { µ 1 (x) = 1 tanh(x 1) 2 µ 2 (x) = 1 µ 1 (x) = 1+tanh(x 1) 2 (3.42) et ne dépendent que de la pemièe composante de l état. Le théoème 3.1 est appliqué en considéant une entée bonée pa 15. Les constantes de Lipschitz sont données pa m 1 = m 2 = 1.1 et n 1 = n 2 =.5. La ésolution des LMIs pésentées dans le théoème 3.1 mène aux matices Q, P et L i ainsi qu aux scalaies λ 1, λ 2 et γ suivants : 34 P = L 1 = , Q =, L 2 = ,,

52 3.3. Obsevateu lipschitzien λ 1 = 1.48, λ 2 =.3, γ =.55 A pati de ces ésultats, on déduit que : ρ = > β 1 = 15. Les ésultats de simulation coespondant à l évolution de l eeu d estimation d état sont pésentés à la figue 3.1. Claiement, cette denièe méthode pemet d obteni une solution, i.e. de concevoi un obsevateu, pou des signaux d entée d amplitude nettement supéieue en compaaison à la méthode poposée dans [Begsten et Palm, 2]. 3 e e e Figue 3.1 Evolution de l eeu d estimation d état L appoche poposée dans cette section epose su les hypothèses de fonctions d activation Lipschitz, d entées bonées, de système stable. Les conditions ainsi établies assuent la convegence de l eeu d estimation d état ves zéo. Pa ailleus, il a été monté dans la littéatue [Tanaka et al., 1998] que, la difficulté de touve une matice de Lyapunov P, qui satisfait (+1) containtes LMI, est popotionnelle au nombe de sous-modèles. On conclut alos que, pou éduie le consevatisme des conditions données dans le théoème 3.1, deux appoches peuvent ête envisagées. La pemièe consiste à utilise un nouveau type de fonctions de Lyapunov, dites polyquadatiques ou non quadatiques. La seconde s appuie su la éduction du nombe de LMI à ésoude. La patie suivante est basée su la denièe appoche pemettant de éduie le nombe de containtes LMIs de (+ 1) à une seule containte Deuxième appoche Considéons le système T-S à VDNM suivant : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = Cx(t) (3.43) On peut défini les matices A, Ā i, B et B i de deux façons difféentes : 35

53 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM 1. les matices A et B epésentent les matices moyennes des matices A i et B i, donc : et : A = 1 B = 1 A i (3.44) B i (3.45) 2. les matices A et B sont choisies comme les matices du modèle dominant du système T-S. Supposons que le j ème sous-modèle est le modèle dominant, donc : A = A j (3.46) et : B = B j (3.47) Les matices Ā i et B i sont calculées pa : Ā i = A i A (3.48) et : B i = B i B (3.49) En substituant A, Ā i, B et B i dans l équation (3.43), on obtient le système équivalent suivant : ẋ(t) = A x(t)+b u(t)+ µ i (x(t))(ā i x(t)+ B i u(t)) (3.5) L obsevateu poposé est donné sous la fome suivante : ˆx(t) = A ˆx(t)+B u(t)+ µ i ( ˆx(t))(Ā i ˆx(t)+ B i u(t))+l(y(t) ŷ(t)) ŷ(t) = C ˆx(t) (3.51) L eeu d estimation d état est : et sa dynamique est epésentée pa e(t) = x(t) ˆx(t) (3.52) ė(t) = (A LC)e(t)+ (x(t), ˆx(t),u(t)) (3.53) où : (x(t), ˆx(t),u(t)) = [Ā i (µ i (x(t))x(t) µ i ( ˆx(t)) ˆx(t))+ B i (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t))u(t))] (3.54) Hypothèse 3.4. On suppose que les conditions suivantes sont véifiées : A1. µ i (x(t))x(t) µ i ( ˆx(t)) ˆx(t) < α i x(t) ˆx(t) 36

54 A2. B i (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t))) < β i x(t) ˆx(t) A3. u(t) < ρ A4. La paie (A,C) obsevable (ou au moins détectable) où α i >, β i > et ρ >. Les calculs de α i et β i sont donnés en annexe A Obsevateu lipschitzien Remaque 3.1. Dans l hypothèse A1, Si les fonctions µ i (x)x sont globalement Lipschitz alos même si le système est instable les constantes α i existent, pa conséquent la méthode poposée est applicable. Si les fonctions µ i (x)x sont localement Lipschitz alos la stabilité du système est nécessaie. Note que la méthode poposée dans [Begsten et al., 22] nécessite la stabilité du système. Comme note objectif est de concevoi des obsevateus en vue du diagnostic, les systèmes étudiés sont généalement stables. où : En utilisant les hypothèses A1, A2 et A3, le teme (x(t), ˆx(t),u(t)) peut ête boné pa : (x(t), ˆx(t), u(t)) < γ x(t) ˆx(t) (3.55) γ = où σ(m) epésente la plus gande valeu singulièe de M. ( σ(ā i )α i + β i ρ) (3.56) Théoème 3.2. L eeu d estimation d état ente le modèle T-S à VDNM (3.5) et l obsevateu (3.51) convege asymptotiquement ves zéo, sous les hypothèses 3.4, s il existe des matices symétiques et définies positives P R n n et Q R n n (Q est diagonale) et une matice K R n n y telles que la condition suivante soit véifiée : [ A T P+PA C T K T KC+ γ 2 ] Q P < (3.57) P Q Le gain de l obsevateu est calculé pa : L = P 1 K (3.58) Démonstation. La condition de convegence de l eeu d estimation d état est obtenue pa l utilisation de la fonction quadatique de Lyapunov candidate suivante : Sa déivée pa appot au temps est donnée pa : Pa substitution de (3.53) dans (3.6), on obtient : V(t) = e(t) T Pe(t), P = P T > (3.59) V(t) = ė(t) T Pe(t)+e(t) T Pė(t) (3.6) V(t) = e(t) T ( Φ T P+PΦ ) e(t)+2e(t) T P (x, ˆx,u) (3.61) où Φ = A LC. Afin de pouvoi écie la déivée de la fonction de Lyapunov sous fome quadatique, on intoduit le lemme suivant. 37

55 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Lemme 3.2. Pou toutes matices X et Y de dimensions appopiées, la popiété suivante est véifiée : X T Y + XY T < X T Ω 1 X +Y ΩY T, Ω > Pou Q > diagonale, en utilisant le lemme 3.2 su l inégalité (3.61), on obtient : e(t) T (Φ T P+PΦ+PQ 1 P)e(t)+ (x(t), ˆx(t),u(t)) T Q (x(t), ˆx(t),u(t)) < (3.62) Tenant compte de (3.55), la négativité de V(t) est assuée si : L inégalité (3.63) est véifiée si : e(t) T (Φ T P+PΦ+PQ 1 P+γ 2 Q)e(t) < (3.63) (A LC) T P+P(A LC)+PQ 1 P+γ 2 Q < (3.64) La condition (3.64) n est pas linéaie pa appot aux vaiables P, L et Q. Afin de pouvoi la ésoude pa les appoches classiques LMI, le changement de vaiable K = PL, et le complément de Schu (voi [Boyd et al., 1994]) sont utilisés. Ainsi, la condition donnée dans le théoème 3.2 est obtenue. Exemple 3.2 (Estimation d état) On considèe l exemple suivant pou monte l intéêt de l appoche poposée. Ce système est un système du second ode pésentant une non-linéaité : Le système est défini pa : [ 3 1 A = 2 ẋ(t) = Ax(t)+ f(x), y(t) = Cx(t) (3.65) ] [, B = 1 C = [ 1 ] ] [ k sin(x1 ), f(x) = La constante de Lipschitz est donnée pa k. La valeu maximale de k pou laquelle il existe une solution est pou la technique poposée dans [Thau, 1973] et pou l appoche poposée dans [Abbaszadeh et Maquez, 26]. En utilisant l appoche pa tansfomation pa secteus non linéaies (voi [Tanaka et Wang, 21]), on obtient un modèle T-S à VDNM avec les deux sous-modèles suivants : A 1 = Les fonctions d activation sont : [ 3+k 1 2 { ] [ k 1, A 2 = 2 B 1 = B 2 = B µ 1 (z(t)) = z(t) µ 2 (z(t)) = 1 z(t) ], ], (3.66) où z(t) = sin(x 1) x 1. La ésolution des conditions du théoème 3.2 founit une solution pou de plus gandes valeus de la constante de Lipschitz que celles obtenues pa les appoches poposées dans [Thau, 1973; Abbaszadeh et Maquez, 26]. La table suivante illuste les valeus admissibles de γ défini dans (3.56) suivant les difféentes valeus de la constante de Lipschitz k 38

56 3.3. Obsevateu lipschitzien k γ Remaque 3.2. Remaquons que la pemièe composante du vecteu d état x(t) est instable, donc, la méthode poposée dans [Begsten et al., 21] pou les système T-S à VDNM ne peut pas s applique, ca la constante de Lipschitz considéée tend ves et pa conséquent, les LMIs poposées n admettent pas de solution. Obsevateu avec atténuation L 2 Dans cette patie, le ésultat poposé pécédemment est généalisé à des systèmes affectés pa des petubations extenes ω(t) L 2. L objectif est de touve le gain L de l obsevateu pou assue la convegence de l eeu d estimation d état en assuant un taux d atténuation minimal du tansfet de ω(t) ves e(t) : e(t) 2 ω(t) 2 < ξ, ξ > (3.67) Le système petubé est donné pa : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)+e i ω(t)) y(t) = Cx(t) (3.68) En utilisant les matices définies en (3.44)-(3.49), on obtient le système équivalent : ẋ(t) = A x(t)+b u(t)+ µ i (x(t))(ā i x(t)+ B i u(t)+e i ω(t)) (3.69) L obsevateu est donné pa l équation (3.51). Le gain L est obtenu en ésolvant le poblème d optimisation donné dans le théoème suivant. Théoème 3.3. L obsevateu (3.51) pou le système (3.68) qui satisfait (3.67), sous les hypothèses 3.4, est obtenu pa la minimisation du scalaie éel positif ξ sous la condition LMI suivante pa appot aux vaiables P R n n (P = P T > ), Q R n n (Q > et diagonale), K R n n y et ξ : où : Θ P PE i P Q Ei T P ξ I <, i = 1,..., (3.7) Θ = A T P+PA C T K T KC+ γ 2 Q+I (3.71) Le gain de l obsevateu est obtenu pa L = P 1 K. La valeu du taux d atténuation est donnée pa ξ = ξ. 39

57 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Démonstation. La dynamique de l eeu d estimation d état ente (3.69) et (3.51) est donnée pa l équation : ė(t) = (A LC)e(t)+ (x(t), ˆx(t),u(t))+ µ i (x(t))e i ω(t) (3.72) où (x(t), ˆx(t), u(t)) est défini pa (3.54). Considéons la fonction quadatique de Lyapunov candidate : V(e(t)) = e(t) T (t)pe(t), P = P T > (3.73) donc : V(e(t)) = e(t) T (Φ T P+PΦ)e(t)+2e(t) T P (x(t), ˆx(t),u(t))+2 Compte tenu de l hypothèse (3.55) et du lemme 3.2, on obtient : µ i (x(t))e(t) T PE i ω(t) (3.74) V(e(t)) e(t) T (Φ T P+PΦ+PQ 1 P+γ 2 Q)e(t)+2 µ i (x(t))e(t) T PE i ω(t) (3.75) La condition pemettant de gaanti une bone pou la nome L 2 du tansfet de ω(t) ves e(t) (qui satisfait (3.67)) est donnée pa : V(t)+e(t) T e(t) ξ 2 ω(t) T ω(t) < (3.76) En utilisant la déivée pa appot à t de la fonction de Lyapunov (3.75), on obtient : e(t) T (Φ T P+PΦ+PQ 1 P+γ 2 Q+I)e(t)+2e(t) T P µ i (x(t))e i ω(t) ξ 2 ω(t) T ω(t) < (3.77) Sous fome maticielle, on a : [ e(t) ω(t) ] T [ e(t) M ω(t) ] < (3.78) où : M = [ Θ+PQ µ i (x(t)) 1 P PE i Ei T P ξ 2 I ] (3.79) Les changements de vaiables K = PL, ξ = ξ 2 ainsi que le complément de Schu pemettent l obtention de la LMI suivante qui est une condition suffisante pou que (3.78) soit véifiée : Θ P PE i P Q <, i = 1,..., (3.8) Ei T P ξ I où Θ est donnée pa (3.71). 4

58 3.3. Obsevateu lipschitzien Placement des pôles Pou amélioe les pefomances de l obsevateu, comme la vitesse de convegence de l eeu d estimation d état ves zéo et l atténuation des oscillations, on peut place les pôles de (A LC) dans une égion du plan complexe, notée S(a, p,q) définie pa : S(a,,q) = {z C z+q < p,re(z) < a,q >,a > } (3.81) (voi [Patton et al., 1998; Chilali et Gahinet, 1996]). Le théoème 3.4 popose des conditions assuant à la fois la convegence de l eeu d estimation d état, la minimisation de l influence des petubations su l eeu d estimation, le églage de la vitesse de convegence et enfin l atténuation du phénomène oscillatoie lié aux paties imaginaies des pôles. Théoème 3.4. L obsevateu optimal (3.51) pou le système (3.68) qui satisfait (3.67), et tel que les pôles de la matice (A LC) sont dans la égion S(a, p,q), est obtenu pa la minimisation de ξ sous la condition LMI suivante pa appot aux vaiables P = P T >, Q > (Q est diagonale) et K : où : [ Ξ P PE i P Q Ei T P ξ I pp qi + PA KC <, i = 1,..., (3.82) qi + A T P CT K T pp ] < (3.83) Ξ = A T P+PA C T K T KC+ γ 2 Q+I + 2aP (3.84) Démonstation. La démonstation est basée su l ajout des containtes de placement des pôles de la matice (A LC). (voi [Patton et al., 1998]) Exemple 3.3 (Estimation d état d un bas manipulateu actionné pa un moteu DC) On considèe le système composé d un bas actionné pa un moteu DC (voi figue 3.2), poposé dans [Kobicz et al., 27; Raghavan et Hedick, 1994], dont le modèle mathématique est défini pa : θ m (t) = ω m (t) ω m (t) = J k m (θ l (t) θ m (t)) J B m ω m (t)+ K τ J m u(t) (3.85) θ l (t) = ω l (t) ω l (t) = J k l (θ l (t) θ m (t)) mgh J l sin(θ l (t)) où θ m (t) epésente la position angulaie du moteu, ω m (t) sa vitesse angulaie, θ l (t) est la position angulaie du bas, et ω l (t) est la vitesse angulaie du bas. L entée du système est donnée pa u(t) = sin(t), et les conditions initiales sont x = [ ] T pou le système et ˆx = [ ] T pou l obsevateu. L équation d état du système est donnée pa : ẋ(t) = Ax(t) + f(x(t)) + Bu(t) + Eω(t) (3.86) y(t) = Cx(t) (3.87) 41

59 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Câble de tosion k m Moteu DC J m J l Codeus optiques Figue 3.2 Bas manipulateu aticulé pa un moteu DC où : x = A = θ m ω m θ l ω l , f(x) = C = 3.33sin(x 3 ) [ ] 1 1, B =, E = 21.6 La constante de Lipschitz de f(x) est α =.333. Le buit centé ω(t) est boné pa.6. En utilisant l appoche de tansfomation pa secteus non linéaies [Tanaka et al., 1998], un modèle T-S à VDNM epésentant exactement le compotement du modèle (3.85) est obtenu sous la fome (3.43) avec : A 1 = {, A 2 = B 1 = B 2 = B µ 1 (z(t)) = z(t) µ 2 (z(t)) = 1 z(t) (3.88) où z(t) = sin(x 3) x 3. La figue 3.3 (a) pésente les états du système (tait continu) et les états du modèle T-S (tait pointillé). Les fonctions d activation sont données dans la figue 3.3 (b). En utilisant la méthode de calcul de la constante de Lipschitz (voi annexe A), on obtient : 42 α 1 = α 2 = 16.95

60 3.3. Obsevateu lipschitzien (a) (b) time µ 1 (t) µ (t) time Figue 3.3 (a) Etats du système et du modèle T-S. (b) Fonctions d activation Sachant que B 1 = B 2 = B et en utilisant la popiété de somme convexe des fonctions d activation (3.2), on a : B i [µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t))]u(t) = (3.89) Donc, le teme (3.54) peut ête éduit comme suit : Alos, la constante γ est : (x, ˆx,u) = γ = Ā i (µ i (x(t))x(t) µ i ( ˆx(t)) ˆx(t)) (3.9) σ ( ) Ā i αi =.227α α 2 = En utilisant le théoème 3.4, avec q =, p = 11, a =.5, on obtient : P = L = Le taux d atténuation est ξ =.316. La figue 3.4 illuste les ésultats de l estimation d état. 43

61 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM 3 2 x x x x temps Figue 3.4 Etats éels et leus estimés Estimation d état pa injection multiple de la sotie Les appoches pésentées pécédemment utilisent l appoche standad consistant à calque l obsevateu su la dynamique du modèle avec un teme de coection dépendant de l eeu de sotie. Cependant, la limitation de ces méthodes éside dans l utilisation d une seule injection de sotie qui est généalement conçue afin de conte la non-linéaité qui est vue comme une incetitude de modélisation. Il a été monté dans [Acak et Kokotovic, 21; Ibi, 27] que la pise en compte de la connaissance su la stuctue d une non-linéaité pemet de éalise plusieus injections de soties dans la non-linéaité ce qui conduit à des conditions moins contaignantes pou la conception de l obsevateu. Cette idée a été exploitée dans [Acak et Kokotovic, 21; Ibi, 27] afin de concevoi des obsevateus pou une classe de systèmes lipschitziens pésentant une non-linéaité satisfaisant la condition de monotonie. Dans cette section, l idée d utilise plusieus injections de sotie est étendue à des systèmes T-S à VDNM pou la conception d obsevateu tenant compte de la stuctue des fonctions d activation afin d y intoduie d autes injections de l eeu de sotie. Ainsi, un gain supplémentaie est intoduit pemettant de éduie l influence des constantes de Lipschitz. Soit le système non linéaie suivant, décit sous fome multimodèle : 44 ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = Cx(t) (3.91)

62 3.3. Obsevateu lipschitzien Les fonctions d activation µ i (x(t)) sont connues et définies su R n R. La distibution de l état x(t) dans ces fonctions peut s écie à taves une matice connue H.Le système (3.91) s écit alos sous la fome : ẋ(t) = µ i (Hx(t))(A i x(t)+b i u(t)) (3.92) y(t) = Cx(t) L objectif de ces tansfomations est la elaxation des conditions de convegence de l obsevateu donnée dans les tavaux pécédents. Pou cela, la connaissance de la distibution de l état dans les fonctions non linéaies µ i (x(t)) est tès intéessante. Exemple 3.4 (Exemple intoductif) Soit la fonction d activation suivante : et µ(x) = 1 tanh(x 1) 2 (3.93) x = [x 1 x 2 x 3 ] T (3.94) On emaque que la fonction (3.93) ne dépend que de la pemièe composante du vecteu x, donc on peut l écie sous la fome : où : µ(hx) = 1 tanh(hx) 2 (3.95) H = [1 ] (3.96) On pose z(t) = Hx(t) (z(t) R n z ), le système (3.91) devient : ẋ(t) = µ i (z(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = Cx(t) L obsevateu poposé est sous la fome : ˆx(t) = µ i (ẑ(t))(a i ˆx(t)+B i u(t)+l i (y(t) ŷ(t))) ŷ(t) = C ˆx(t) (3.97) (3.98) où : ẑ(t) = H ˆx(t)+K(y(t) ŷ(t)) (3.99) Le système (3.97) peut s écie de la façon suivante : ẋ(t) = µ i (ẑ(t))(a i x(t)+b i u(t))+(µ i (z(t)) µ i (ẑ(t)))(a i x(t)+b i u(t)) (3.1) y(t) = Cx(t) 45

63 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM L eeu d estimation d état est donnée pa : et sa dynamique s écit : ė(t) = e(t) = x(t) ˆx(t) (3.11) (µ i (ẑ(t))(a i L i C)e(t)+A i δ i (t)x+b i δ i (t)u(t)) (3.12) où : δ i (t) = µ i (z(t)) µ i (ẑ(t)) (3.13) Hypothèse 3.5. On considèe que les hypothèses suivantes sont véifiées : 1. La nome de l entée est bonée à tout instant : u(t) < ρ. 2. Le système (3.97) est stable (donc : x(t) < σρ). 3. Les fonctions d activation µ i (z(t)) sont lipschitziennes : 4. Les apies (A i,c) obsevable (ou au moins détectable) µ i (z(t)) µ i (ẑ(t)) < γ i z(t) ẑ(t) (3.14) Si les hypothèses 3.5 sont véifiées alos les gains L i et K de l obsevateu sont déteminés pa le théoème 3.5. Théoème 3.5. L eeu d estimation d état convege asymptotiquement ves zéo s il existe deux matices symétiques et définies positives P R n n et Q R n n, des matices M i R n n y, S R n z n y et un scalaie positif λ tels que les LMIs suivantes soient véifiées i {1,..,} : Les gains de l obsevateu sont donnés pa : PA i + A T i P M i C C T M T i < Q (3.15) Q PA i PB i (λh SC) T A T i P λi B T i P λi λ (λh SC) γi 2ρ2 (σ 2 +1) I < (3.16) L i = P 1 M i (3.17) K = λ 1 S (3.18) Démonstation. Soit la fonction de Lyapunov quadatique V définie pa : sa déivée est donnée pa : 46 V(e(t)) = e(t) T Pe(t), P = P T > (3.19) V(e(t)) = ė(t) T Pe(t)+e(t) T Pė(t) (3.11)

64 3.3. Obsevateu lipschitzien En utilisant l équation (3.12) on obtient : V(e(t)) = (µ i (ẑ(t))e T (PΦ i + Φ T i P)e+e T PA i δ i x+x T δ i A T i Pe+e T PB i δ i u+u T δ i B T i Pe) (3.111) où : L application du lemme 3.2 conduit à : Φ i = A i L i C (3.112) e T PA i δ i x+x T δi T A T i Pe e T PB i δ i u+u T δi T B T i Pe En utilisant l hypothèse 3.5, on a : < αi 1 e T PA i A T i Pe+α i x T δi T δ i x (3.113) < βi 1 e T PB i B T i Pe+β i u T δi T δ i u (3.114) x T δi T δ i x γi 2 σ 2 ρ 2 e T (H KC) T (H KC)e (3.115) u T δi T δ i u γi 2 ρ 2 e T (H KC) T (H KC)e (3.116) Compte tenu de ( ), la fonction de Lyapunov est bonée pa : V(e(t)) < (µ i (ẑ(t))e T (PΦ i + Φ T i P)e+e T (α 1 i PA i A T i P+βi 1 PB i B T i P + γ 2 i ρ 2 (α i σ 2 + β i )(H KC) T (H KC))e) (3.117) La négativité de la déivée de la fonction de Lyapunov V est assuée si : et µ i (ẑ(t))e(t) T (PΦ i + Φ T i P)e(t) < e(t) T Qe(t), Q = Q T > (3.118) Q + α 1 i PA i A T i P+βi 1 PB i B T i P+γi 2 ρ 2 (α i σ 2 + β i )(H KC) T (H KC) < (3.119) i = 1,..., Les conditions qui pemettent de gaanti la négativité de V sont alos : PΦ i + Φ T i P < Q (3.12) Q + α 1 i PA i A T i P+βi 1 PB i B T i P+γi 2 ρ 2 (α i σ 2 + β i )(H KC) T (H KC) < (3.121) i = 1,..., Les inégalités (3.12) et (3.121) sont non linéaies pa appot aux vaiables P, L i, K, α i, et β i. Une solution peut ête poposée en utilisant le complément de Schu et le changement de vaiable suivant : M i = PL i (3.122) 47

65 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM On obtient alos les inégalités maticielles (3.123)-(3.124) : PA i + A T i P M i C C T M T i < Q (3.123) Q PA i PB i (H KC) T A T i P α ii B T i P β ii (H KC) 1 γ 2 i ρ2 (α i σ 2 +β i ) I i = 1,..., < (3.124) qui ne sont pas linéaies en les paamètes α i et β i. Afin de pouvoi expime les conditions sous fome LMI, nous poposons le second changement de vaiable : α 2 =... = α = β 1 = β 2 =...β = λ, λ > En utilisant la S-pocédue avec les temes suivants : et : λδ T i δ i γ 2 i ρ 2 σ 2 λe T (H KC) T (H KC)e (3.125) λ T i i γ 2 i ρ 2 λe T (H KC) T (H KC)e (3.126) et en appliquant le changement de vaiable S = λk ainsi que le complément de Schu, on obtient les inégalités du théoème 3.5. Afin de ésoude les LMIs du théoème 3.5 pa les outils classiques LMI, l algoithme suivant explicite les étapes à suive. Algoithme de ésolution La bone su l entée u(t) est connue et donnée pa ρ. 2. Les constantes de Lipschitz γ i des fonctions d activation µ i sont connues. 3. On détemine le gain L 2 du tansfet de u(t) ves x(t) en utilisant le lemme boné éel appliqué au système (3.97) avec C = I pou l obtention du gain du tansfet ves x(t) et non pas ves y(t). Cela est éalisé pa la ésolution du poblème d optimisation suivant : min( σ) (3.127) s.c. [ PAi + A T i P+I PB ] i B T i P σi < (3.128) On déduit le gain maximal du tansfet de u(t) ves x(t) pa : σ = σ (3.129) On ésout les inégalités linéaies maticielles (3.15) et (3.16) pou détemine les gains L i et K de l obsevateu (3.98).

66 3.3. Obsevateu lipschitzien Remaque 3.3. La négativité de la déivée de la fonction de Lyapunov est étudiée suivant deux étapes qui donnent lieu à 2 inégalités à ésoude, ce qui peut intoduie un cetain consevatisme. Afin de éduie ce nombe de LMIs à inégalités, l eeu d estimation peut s écie de la façon suivante : ė(t) = (µ i (H ˆx)Φ i e(t)+a i δ i x(t)+b i δ i u(t)) = µ i (H ˆx) ( Φ i e(t)+σ δ ) (3.13) où : δ 1 (t)x(t) Σ = [. ] δ A 1 A B 1 B, δ(t) = (t)x(t) δ 1 (t)u(t). δ (t)u(t) Théoème 3.6. L eeu d estimation d état convege asymptotiquement ves zéo s il existe une matice symétique et définie positive P R n n, des matices M i R n n y, S R n z n y et un scalaie positif λ tels que les LMIs suivantes soient véifiées i {1,..,} : PA i + A T i P M ic C T Mi T PΣ (λh SC) T Σ T P λi (λh SC) η λ I < (3.131) où : η = ρ 2 (γ γ γ 2 )(σ 2 + 1) (3.132) Les gains de l obsevateu sont donnés pa : L i = P 1 M i (3.133) K = λ 1 S (3.134) Démonstation. Apès calcul de la déivée de la fonction de Lyapunov en utilisant (3.13), on obtient : V(e(t)) = = µ i (H ˆx(t)) ( e(t) T ( PΦ i + Φ T i P ) e(t)+2e(t) T PΣ δ ) µ i (H ˆx(t))e(t) T ( PΦ i + Φ T i P ) e(t)+2e(t) T PΣ δ (3.135) Le teme 2e(t) T PΣ δ peut ête boné de la façon suivante : 2e(t) T PΣ δ e(t) T PΣΣ T Pe(t)+E(t) T ΓE(t) (3.136) 49

67 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM où : Γ = γ1 2ρ2 σ γ 2 ρ 2 σ 2 γ1 2ρ γ 2 ρ 2 (H KC)e(t), E(t) T =. (3.137) (H KC)e(t) Apès calcul, on obtient facilement : E(t) T ΓE(t) < ρ 2( γ1 2 + γ γ 2 )( σ ) e(t) T (H KC) T (H KC)e(t) (3.138) On pose η = ρ 2( γ1 2 + γ γ 2 )( σ ) (3.139) La déivée de la fonction de Lyapunov devient : V(e(t)) < µ i (H ˆx(t))e(t) T (PΦ i + Φ T i P+PΣΣ T P+η(H KC) T (H KC))e(t) (3.14) De la même façon que la démonstation pécédente, en utilisant la popiété de somme convexe des fonctions d activation, le complément de Schu ainsi que le changement de vaiables M i = PL i, on aboutit aux LMIs du théoème 3.6. Remaque 3.4. Dans les LMIs données dans le théoème 3.5, si les constantes de Lipschitz et la bone su l entée tendent ves l infini alos le bloc (4,4) de la LMIs (3.124) tend ves zéo 1 γ i ρ 2 (α i σ 2 + β i ) (3.141) Pou obteni une solution, il faut cheche la matice K satisfont l équation : H KC = (3.142) L équation (3.142) peut ête ésolue si la condition suivante est véifiée : ( ) C ang = ang(c) (3.143) H En conclusion, dans cette section, le consevatisme des conditions LMIs liées aux constantes de Lipschitz et aux bones su l entée est atténué pa l intoduction d une injection supplémentaie de la sotie dans les fonctions d activation. Cependant, l obtention d un modèle T-S à VDNM pa la méthode classique de tansfomation pa secteus non linéaies ne pemet pas toujous d avoi une distibution du vecteu d état dans les fonctions d activation (i.e. l obtention d une matice H) satisfaisant la condition (3.143). Ce poblème a été ésolu pa l utilisation d une nouvelle méthode d obtention de modèle T-S poposée pa [Nagy et al., 29a]. 5

68 3.3. Obsevateu lipschitzien En effet, cette méthode est basée su la modification de l appoche classique de tansfomation pa secteus non linéaie en intoduisant des paamètes supplémentaies qui pemettent une flexibilité su le choix des modèles locaux et des fonctions d activation. L objectif dans la méthode poposée pa Nagy et al. [29a] était l obtention d un modèle T-S à VDNM tout en gaantissant des conditions d obsevabilité et/ou de commandabilité ainsi que la minimisation du nombe de composantes du vecteu d état qui inteviennent dans les fonctions d activation. L intéêt de ce ésultat, pou le poblème taité dans cette section, est de choisi les paamètes du modèle T-S à VDNM afin d assue l obsevabilité des modèles locaux ainsi qu une distibution du vecteu d état dans les fonctions d activation gaantissant la condition de ang (3.143). Exemple 3.5 (Estimation d état avec un obsevateu à deux injections de sotie) Soit le système (3.92) défini pa les matices suivantes : [ ] [ ] [ ] A 1 =, A =, B =, 1 B 2 = [ Les fonctions d activation sont données pa : ] [ 1.5, C = 1 1 { µ1 (Hx) = 1 tanh(hx) 2 µ 2 (Hx) = 1 µ 1 (Hx) ], H = [ 1 ] elles dépendent seulement de la pemièe composante de x(t) (voi la matice H). L entée du système est donnée pa : u(t) = 1sin(t) (3.144) et bonée pa ρ = 1. La deuxième étape de l algoithme founit les constantes de Lipschitz des fonctions d activation : γ 1 = γ 2 =.5. L étape 3 pemet de touve σ = La ésolution des inégalités maticielles (3.123) et (3.124) donne les ésultats suivants : L 1 = [ P = ], L 2 = [ [ ] [.62, Q =.61 Les ésultats de simulation sont donnés su les figues 3.5 et 3.6 ], K = [ 2 1 ] ] 51

69 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM 4 x (t) 1 x (t) estimé y 1 (t) y 1 (t) estimé x 2 (t) x 2 (t) estimé temps (a) y 2 (t) y 2 (t) estimé temps (b) Figue 3.5 (a) États du système et leus estimés (b) Soties du système et leus estimées µ 1 (t) µ 2 (t) µ 1 (t) estimé µ 2 (t) estimé z(t) z(t) estimé temps (a) temps (b) Figue 3.6 (a) Fonctions d activation et leus estimées (b) Vaiable de pémisse et son estimée Conclusion patielle On a constaté au cous des tavaux faits pécédemment [Ichalal et al., 27a], [Ichalal et al., 28a] que l augmentation de la bone su l entée et des constantes de Lipschitz conduit à de gands gains, ce qui n est pas une popiété echechée puisque la bande passante de l obsevateu augmente et le end sensible au buit. De plus, les LMIs poposées dans [Ichalal et al., 27a], [Ichalal et al., 28a], [Begsten et Palm, 2], [Palm et Diankov, 1999] deviennent impossibles à ésoude à pati de cetaines valeus de la bone su l entée et des constantes 52

70 3.3. Obsevateu lipschitzien de Lipschitz. Pou ésoude ces poblèmes, nous avons poposé dans la section une nouvelle appoche pou diminue le consevatisme des conditions LMIs et élimine le poblème des gands gains. L appoche consiste à faie appaaîte la matice de distibution du vecteu d état dans les non-linéaités (fonctions d activation). L obsevateu possède alos deux injections de soties : une dans l équation d état de l obsevateu et une aute dans les fonctions d activation, ce qui pemet d intoduie un gain supplémentaie afin de éduie l effet de la bone de l entée et des constantes de Lipschitz. Cette appoche pemet aussi de elaxe les conditions d existence des obsevateus à entées inconnues poposés dans [Ichalal et al., 28b]. Les appoches poposées jusqu à maintenant founissent des conditions simples à ésoude pa des outils LMIs existant (Toolbox LMI de Matlab). Toutefois, la manièe dont la déivée de la fonction de Lyapunov a été bonée constitue une souce de consevatisme des conditions établies dans ces deux méthodes. Dans la section suivante, un aute aisonnement est adopté afin de éduie ce consevatisme. L idée est d utilise l hypothèse de Lipschitz sous une aute fomulation. Le théoème de la valeu moyenne ainsi que la méthode de tansfomation pa secteus non linéaies pemettent d expime la dynamique de l eeu d estimation d état sous la fome d un système petubé à la fome classique d un système T-S autonome. L objectif est de pouvoi éutilise les tavaux effectués su la stabilité elaxée afin de éduie le consevatisme lié à l hypothèse de Lipschitz Appoche pa le théoème de la valeu moyenne Soit le système T-S à VDNM donné, dans le cas à temps continu, pa : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = Cx(t) et, dans le cas à temps discet pa : x(k+ 1) = µ i (x(k))(a i x(k)+b i u(k)) y(k) = Cx(k) Il est aisé de é-écie le système (3.145) sous la fome suivante : ẋ(t) = A x(t)+b u(t)+ µ i (x(t)) ( Ā i x(t)+ B i u(t) ) y(t) = Cx(t) et dans le cas discet, é-écie (3.146) sous la fome : x(k+ 1) = A x(k)+b u(k)+ µ i (x(k)) ( Ā i x(k)+ B i u(k) ) y(k) = Cx(k) L obsevateu, à temps continu, suivant est poposé : ˆx(t) = A x(t)+b u(t)+l(y(t) ŷ(t))+ µ i ( ˆx(t)) ( Ā i ˆx(t)+ B i u(t) ) ŷ(t) = C ˆx(t) (3.145) (3.146) (3.147) (3.148) (3.149) 53

71 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Dans le cas à temps discet, il est donné pa : ˆx(k+ 1) = A x(k)+b u(k)+l(y(k) ŷ(k))+ µ i ( ˆx(t))(A i ˆx(k)+B i u(k)) ŷ(k) = C ˆx(k) L eeu d estimation d état, dans le cas à temps continu, s écit : (3.15) e(t) = x(t) ˆx(t) (3.151) et à temps discet, elle est donnée pa : e(k) = x(k) ˆx(k) (3.152) Sa dynamique est : où : ė(t) = (A LC)e(t)+ (x(t), ˆx(t),u(t)) (3.153) (x(t), ˆx(t),u(t)) = ( f(x(t)) f( ˆx(t))) (3.154) f(x(t),u(t)) = µ i (x(t))ā i x(t)+ Pou le cas à temps discet, elle s écit sous la fome : µ i (x(t)) B i u(t) (3.155) e(k+ 1) = (A LC)e(k)+ (x(k), ˆx(k),u(k)) (3.156) où : (x(k), ˆx(k),u(k)) = ( f(x(k)) f( ˆx(k))) (3.157) f(x(k),u(k)) = µ i (x(k))ā i x(k)+ µ i (x(k)) B i u(k) (3.158) L objectif est de touve le gain L de l obsevateu (3.149) (esp. (3.15)) qui stabilise (3.153) (esp. (3.156)). Pou cela, le théoème de la valeu moyenne utilisé pou des fonctions vectoielles est appelé ci-dessous [Zemouche et al., 28]. Définition 3.1. Considéons la fonction vectoielle non linéaie ϕ(x) : où : ϕ(x) : R n R n (3.159) ϕ(x) = [ ϕ 1 (x) T ϕ n (x) T ] T, ϕi (x) : R n R (3.16) Considéons un ensemble E s défini pa : E s = { e s (i) e s (i) = (,...,,1,,...,) T, i = 1,...,s } (3.161) En utilisant la définition de E s, la fonction ϕ(x) est é-écite sous la fome ϕ(x) = n e n (i)ϕ i (x) (3.162) 54

72 3.3. Obsevateu lipschitzien Théoème 3.7. Soit ϕ i (x) : R n R. Soit a,b R n. Si ϕ i est difféentiable su l intevalle [a,b] alos, il existe une constante z [a,b] et z a et z b telle que : ϕ i (a) ϕ i (b) = ϕ i (z)(a b) (3.163) x En appliquant le théoème 3.7 à (3.155), on obtient pou a,b R n : f(a) f(b) = n n e n (i)e n ( j) T f i (z j )(a b) (3.164) j=1 x j Une aute fomulation de l hypothèse de Lipschitz est donnée pa l hypothèse 3.6. Hypothèse 3.6. Supposons que f(x) est une fonction difféentiable satisfaisant : a i j f i(x(t),u(t)) x j b i j, i, j = 1,...,n (3.165) L eeu d estimation d état (3.153) peut ête alos é-écite sous la fome : ė(t) = ( n ) n e n (i)e n ( j) T f i (z j )+(A LC) e(t) (3.166) j=1 x j En utilisant les tansfomations pa secteus non linéaies, chaque non-linéaité f i x j (z j ) peut ête epésentée pa : f i x j (z j ) = 2 l=1 v l i j(z j )ã i jl (3.167) où : ã i j1 = a i j and ã i j2 = b i j (a i j et b i j sont espectivement le minimum et le maximum de f i x j (z j ). On a aussi : 2 l=1 v 1 i j(z j ) = v 2 i j(z j ) = ϕ i x j (z j ) a i j b i j a i j (3.168) b i j ϕ i x j (z j ) b i j a i j (3.169) v l i j(z j ) = 1, v l i j(z j ) 1, l = 1,2 (3.17) En utilisant (3.167), la dynamique de l eeu d estimation d état est epésentée pa : ė(t) = n n 2 j=1 l=1 v l i j(z j )A i jl e(t)+(a LC)e(t) (3.171) 55

73 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM où : A i jl = i j..... ã i jl..... (3.172) L appoche pa tansfomation pa secteus non linéaies (voi chap.2 in [Tanaka et Wang, 21]) pemet de mette l équation égissant la dynamique de l eeu d estimation d état sous la fome : q=2n 2 q ė(t) = h i (z)(a i + A LC)e(t) = h i (z(t))ψ i e(t) (3.173) dans le cas à temps continu, et dans le cas des systèmes à temps discet, pa : e(k+ 1) = q=2n 2 h i (z(k))(a i + A LC)e(k) = q h i (z(k))ψ i e(k) (3.174) La stabilité de ce type de modèles est lagement étudiée dans la littéatue. Pa conséquent, d intéessants ésultats existent tels que la stabilité quadatique établie en utilisant des fonctions de Lyapunov candidates quadatiques. Des conditions de stabilité elaxées sont également poposées en utilisant des fonctions de Lyapunov non quadatiques, pa exemple les fonctions connues sous le nom anglo-saxon Fuzzy Lyapunov Functions [Tanaka et al., 23]. Dans le cas discet, une nouvelle fonction de Lyapunov est intoduite dans [Kuszewski et al., 28]. Elle a démonté ses capacités à éduie significativement le consevatisme compaée aux fonctions quadatiques. L eeu d estimation d état est donnée pa : pou le cas à temps continu, et : ė(t) = e(k+ 1) = q h i (z(t))ψ i e(t) (3.175) q h i (z(k))ψ i e(k) (3.176) pou le cas à temps discet. L analyse de la stabilité du système (3.175) (esp. (3.176)) est étudiée, dans le but d obteni des conditions assuant la stabilité du système généant l eeu d estimation d état, et founi des conditions LMIs. La ésolution de ces denièes pemettent le calcul des gains L i qui stabilisent le système (3.175) (esp. (3.176)). La pemièe sous-section est dédiée à quelques ésultats pou les cas à temps continu et discet. La stabilité est analysée pa la théoie de Lyapunov et une fonction de Lyapunov candidate quadatique. Pa la suite, dans la deuxième sous-section, le ésultat intéessant poposé pou la commande dans [Kuszewski et al., 28], est utilisé pou l obtention dans le cas à temps discet, de manièe à touve des conditions moins contaignantes en utilisant des fonctions de Lyapunov non quadatiques. 56

74 3.3. Obsevateu lipschitzien Analyse de la stabilité quadatique Considéons l eeu d estimation d état (3.175). En se basant su une fonction de Lyapunov candidate quadatique de la fome : pou le cas à temps continu, et : pou le cas à temps discet : V(e(t)) = e(t) T Pe(t), P = P T > (3.177) V(e(k)) = e(k) T Pe(k), P = P T > (3.178) Théoème 3.8. (Cas à temps continu) L eeu d estimation d état convege asymptotiquement ves zéo s il existe une matice symétique et définie positive P R n n et des matices M j R n n y telles que les inégalités linéaies maticielles suivantes soient véifiées i = 1,...,q : Le gain de l obsevateu est donné pa : A T P+PA + A T i P+PA i MC C T M T < (3.179) L = P 1 M (3.18) Démonstation. Soit la fonction de Lyapunov candidate (3.177), l étude de la négativité de sa déivée pa appot au temps pemet d établi les conditions LMIs données dans le théoème 3.8 (voi [Tanaka et Wang, 21] pou plus de détail). Théoème 3.9. (Cas à temps discet) L eeu d estimation d état convege asymptotiquement ves zéo s il existe une matice symétique et définie positive P R n n et des matices M j R n n y telles que les inégalités linéaies maticielles suivantes soient véifiées i = 1,...,q : ( P A T P+AT i P CT M T ) < (3.181) PA + PA i MC P Le gain de l obsevateu est donné pa : L = P 1 M (3.182) Démonstation. La démonstation est identique à celle donnée pou le théoème 3.8 (voi [Tanaka et Wang, 21]). Exemple 3.6 (Exemple 1 : estimation d état d un moteu DC séie) Dans cet exemple, nous poposons d applique la méthode développée pécédemment pou constuie un obsevateu pemettant d estime le couant d induit I et la vitesse ω(t) d un moteu DC séie (appelé aussi moteu à excitation séie). Ce type de moteu est généalement utilisé dans la taction électique pou son couple de démaage élevé ainsi que pou son autoégulation en puissance. L inducteu et l induit de ce type de moteu sont connectés en séie, comme le monte la figue 3.7, d où l appellation "Moteu DC séie". et l epésentent espec- 57

75 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM I I,l I + l di dt U U E M RI + L m di dt Schéma mécanique Schéma électique Figue 3.7 Schémas mécanique et électique du moteu à couant continu séie tivement la ésistance et l inductance de l inducteu (stato), tandis que R et L m epésentent espectivement la ésistance et l inductance de l induit (oto). La tension d alimentation U du moteu doit ête compise ente et 1 Volts et le couant I est limité à 1 Ampèes. Le modèle non linéaie est donné pa les équations suivantes (voi [Cyille, 21] pou plus de détails) : ẋ 1 (t) = f J x L m 1(t)+K m J x 2(t) 2 C J (3.183) ẋ 2 (t) = R L t x 2 (t)+k m L m L t x 1 (t)x 2 (t) U L t (3.184) Le vecteu d état est donné pa x(t) = [ω(t) I(t)] T où ω(t) epésente la vitesse du moteu et I(t) le couant d induit. Nous avons également R t = R+ et L t = L m +l. Le moteu est alimenté pa une tension dont l évolution au cous du temps est donnée pa l équation suivante : U = 7exp( t )+7 (3.185) 35 Le couple ésistant C est nomalement inconnu, mais pou cet exemple, on le considéea comme connu. Les deux entées sont alos U et C illustées su la figue 3.8. Les valeus numéiques des paamètes du moteu sont données comme suit : R =.1485Ω =.989Ω L m =.6H K m =.4329 J = 3.1N/ad.s 2 f =.1N/ad.s 1 58

76 3.3. Obsevateu lipschitzien 1 8 Entée d alimentation U(Volts) t(s) C(N.m) Couple ésistant t(s) Figue 3.8 Entées du moteu DC séie L inductance du oto est tès gande pa appot à celle du stato alos on a : L m >> l L t = L m =.6H (3.186) La méthode de tansfomation pa secteus non linéaies pemet de tansfome de manièe exacte [ le] modèle (3.183)-(3.184) en un modèle T-S suivant, dans le compact définit pa x 2 (t), K 1.39 m L m : défini pa : [ A 1 = ẋ(t) = 2 µ i (x)a i x(t)+bu(t) (3.187) ] [.33, A 2 =.4123 ] [.332, B = L entée est définie pa u(t) = [C U] T. Les fonctions d activation sont données pa les équations suivantes : { µ1 (x(t)) = K mlx 2 (t) 1.39 µ 1 (x(t)) = 1.39 K mlx 2 (t) (3.188) 1.39 On suppose que seul le couant I est mesué, ce qui donne l équation de mesue suivante : y(t) = x 2 (t) = [ 1]x(t) (3.189) La matice C est alos donnée pa C = [ 1]. La figue 3.9 monte l évolution des états du modèle non linéaie et ceux du modèle T-S à fonctions d activation dépendant de l état. On emaque que le modèle T-S epésente exactement le modèle non linéaie (3.183)-(3.184). ] 59

77 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM 1 8 ω(t)(ad.s 1 ) ω(t) du modèle non linéaie ω(t) du modèle T S t(s) 4 I(Ampèes) I du modèle non linéaie I du modèle T S t(s) Figue 3.9 Etats du modèle non linéaie et du modèle T-S Pou la constuction de l obsevateu, on applique la méthode utilisant le théoème de la valeu moyenne développée pécédemment pou le cas des systèmes à temps continu, on obtient les matices A i,i = 1,...,8 : [ A 1 = [ A 4 = [ A 7 = ] [, A 2 = ] [, A 5 = ] [, A 8 = ] [, A 3 = ] [, A 6 = ] La ésolution des LMIs données dans le théoème 3.8 pemet d obteni le gain L de l obsevateu : [ ].3891 L = (3.19) Une pemièe simulation est éalisée en l absence de buit de mesue afin de monte la convegence des états de l obsevateu ves ceux du système les ésultats de simulation sont pésentés à la figue 3.1. Une seconde simulation est effectuée en intoduisant cette fois-ci un buit de mesue d amplitude maximale de 1% de l amplitude de la sotie. L intéêt de cette seconde application et de monte que même si l état x 2 (t) est mesué, l utilisation de l état estimé donne de meilleues estimations des états que losqu on utilise la mesue buitée y(t) comme vaiable de pemisse. Pou cela, deux obsevateus sont développés. Le pemie suppose que les fonctions d activation dépendent de l état estimé ˆx 2 (t) et utilise l appoche pa théoème de la valeu moyenne et 6 ], ],

78 3.3. Obsevateu lipschitzien ω(t)(ad.s 1 ) ω(t) éelle ω(t) estimée t(s) 4 I(Ampèes) 3 2 I éel I estimé t(s) Figue 3.1 Etats du moteu et leus estimés la tansfomation pa secteus non linéaies. Le second suppose que les fonctions d activation dépendent de la mesue de y(t) qui coespond à la mesue de x 2 (t) et utilise l appoche développée dans [Patton et al., 1998]. Les coubes en ouge à la figue 3.11 epésentent les états estimés en considéant l état estimé ˆx 2 (t) comme vaiable de pemisse et les coubes en noi celles des états estimés en considéant la sotie y(t) comme vaiable de pemisse. On constate que le choix de ˆx 2 (t) comme vaiable de pémisse amélioe l estimation d état, ca l obsevateu filte une patie du buit. De plus, si on éalise un placement des pôles ou si on gaantit des pefomances L 2 de l obsevateu pou atténue le buit pemettea à l obsevateu de founi une estimation obuste de l état ce qui amélioe encoe les ésultats de simulation. Il est à note aussi que la méthode developpée pa [Begsten et Palm, 2] et celle développée dans la section 3.3 n admettent pas de solutions à cause des valeus des constances de Lipschitz considéées. 61

79 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM 15 1 ω(t)(ad.s 1 ) 5 ω(t) avec µ i (y) ω(t) avec $µ i (x) ω(t) éel t(s) 4 I(Ampèes) I avec µ i (y) I avec $µ i (x) I éel t(s) Figue 3.11 Compaaison ente les obsevateus à VDM et à VDNM Exemple 3.7 (Exemple 2 : estimation d état d un avion à décollage et atteissage vetical (VTOL)) Un avion à décollage et atteissage vetical (Vetical TakeOff and Landing aicaf) epésenté su la figue 3.12 est un engin tès intéessant, notamment su les pote-avions où les pistes sont limitées d où la difficulté et la dangeosité de l atteissage et du décollage classiques. Cela encouage les echeches dans les domaines de la commande et du diagnostic de ce type d appaeils. Figue 3.12 Avion VTOL JSF X-35 62

80 3.3. Obsevateu lipschitzien Modèle mathématique du VTOL aicaft Le modèle décit dans [Maconi et al., 22], [De Pesis et al., 21] et au chapite 3 de [Lozano, 27], est donné pa les équations suivantes : ẋ 1 (t) = x 2 (t) (3.191) ẋ 2 (t) = sin(θ 1 ) T(t) M + cos(θ 1) 2sin(α) F(t) M (3.192) ẏ 1 (t) = y 2 (t) (3.193) ẏ 2 (t) = cos(θ 1 ) T(t) M + sin(θ 1) 2sin(α) F(t) g (3.194) M θ 1 (t) = θ 2 (t) (3.195) θ 2 (t) = 2l J cos(α)f(t) (3.196) x 1, y 1 et θ 1 epésentent la position hoizontale et veticale du cente de gavité de l avion et l angle de oulis de l avion. θ 1 [ 2 π, 2 π ]. F(t) et T(t) sont les commandes. Les paamètes M, J, l, g et α sont des scalaies constants epésentant la masse de l avion, le moment d inetie du cente de gavité, la distance ente les ailes et le cente de gavité, l accéléation gavitationnelle et enfin l angle ente la diection de l application de la foce F(t) et l axe vetical. Ce système peut se é-écie sous la fome suivante : où : ẋ 1 (t) ẋ 2 (t) ẏ 1 (t) y 2 (t) θ 1 (t) θ 2 (t) = x 1 (t) x 2 (t) y 1 (t) y 2 (t) θ 1 (t) θ 2 (t) + sin(θ 1 ) cos(θ 1 ) cos(θ 1 ) sin(θ 1 ) b [ u1 (t) u 2 (t) ] + g (3.197) u 1 (t) = T(t) M (3.198) u 2 (t) = 2sin(α) F(t) M (3.199) b lm cos(α) = J sin(α) (3.2) (3.21) Ecitue sous la fome d un modèle T-S à VDNM comme suit : On définit les vaiables de pémisse { 1 z1 (t) = sin(θ 1 (t)) 1 1 z 2 (t) = cos(θ 1 (t)) 1 (3.22) 63

81 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM et les fonctions : Le système (3.197) devient : F 1 1 (z 1 (t)) = z 1(t)+1 2 F 2 1 (z 1 (t)) = 1 z 1(t) 2 F 1 2 (z 2 (t)) = z 2(t)+1 2 F 2 2 (z 2 (t)) = 1 z 2(t) 2 (3.23) (3.24) (3.25) (3.26) (3.27) où : B 1 = b, B 2 = ẋ(t) = Ax(t) b 4, B 3 = µ i (x(t))b i u(t)+d (3.28) b, B 4 = b (3.29) µ 1 (x(t)) = F 1 1 (x(t)f 1 2 (x(t))) (3.21) µ 2 (x(t)) = F 2 1 (x(t))f 1 2 (x(t)) (3.211) µ 3 (x(t)) = F 1 1 (x(t)f 2 2 (x(t))) (3.212) µ 4 (x(t)) = F 2 1 (x(t))f 2 2 (x(t)) (3.213) et : D = g (3.214) Commande de l avion VTOL Dans [De Pesis et al., 21] deux lois de commande sont poposées. Dans note application, ces lois de commande sont modifiées pou des aisons de pousuite de tajectoie vaiable et sont données pa : 64 u 1 (t) = k 3(y 1 (t) y e f )+k4y 2 (t)+1 cos(θ 1 (t)) ( ( )) u 2 (t) = k 5 θ 1 (t)+tan 1 k1 (x 1 (t) x e f )+k 2 x 2 (t) k 3 (y 1 (t) y e f )+k4y 2 (t)+1 (3.215) (3.216)

82 3.3. Obsevateu lipschitzien où : k 1 =.625 (3.217) k 2 =.45 (3.218) k 3 =.25 (3.219) k 4 =.9 (3.22) k 5 = 1 (3.221) k 6 = 1.8 (3.222) Le système commandé est illusté su la figue Les ésultats de simulation liés à la com- e f Contôleu u(t) VTOL x(t) Figue 3.13 Schéma du système commandé mande sont donnés su les figues 3.14, 3.15, 3.16, 3.17 et u 1 (t) u 2 (t) Figue 3.14 Signaux de commande délivés pa le contôleu Conception de l obsevateu Considéons le modèle (3.28) et on suppose que seuls (x 1 (t),y 1 (t),θ 1 (t)) sont mesuables. Ce qui donne la matice C suivante : 1 C = 1 (3.223) 1 65

83 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM x 1 (t) x 2 (t) y 1 (t) Figue 3.15 Etats de l avion : position hoizontale, vitesse hoizontale et position veticale 5 y 2 (t) θ 1 (t) θ 2 (t) Figue 3.16 Etats de l avion : vitesse veticale, position angulaie et vitesse angulaie L obsevateu poposé pou ce système est donné pa : ˆx(t) = A ˆx(t)+ 4 µ i ( ˆx(t))B i u(t)+d+l(y(t) ŷ(t)) ŷ(t) = C ˆx(t) (3.224) 66

84 3.3. Obsevateu lipschitzien 3 25 éféence x ef (t) tajectoie x 1 (t) Figue 3.17 Pousuite de la tajectoie x e f 3 25 éféence y ef (t) tajectoie y 1 (t) Figue 3.18 Pousuite de la tajectoie y e f Le système (3.28) est déjà sous la fome adaptée pou la méthode utilisant le théoème de la valeus moyenne et la tansfomation pa secteus non linéaies. En utilisant cette méthode, la 67

85 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM dynamique de l eeu d estimation d état e(t) = x(t) ˆx(t) est donnée pa : où : A 1 = A 3 = ė(t) = (A LC)e(t) + = (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))B i u(t) (3.225) h i (z)(a+a i LC)e(t) (3.226), A 2 =, A 4 = Les matices (A+A i,c) sont obsevables i = 1,...,4. Afin de détemine le gain L de l obsevateu, on ésout le poblème LMIs suivant, pemettant d assue la convegence de l eeu d estimation d état ves zéo tout en plaçant les pôles des matices (A+A i LC) dans la égion définie pa le cecle de ayon, de cente (,) et la doite d équation x = α avec α > : (A+A i ) T P+P(A+A i ) KC C T K T + 2αP < (3.227) ( P (A+A i ) T P C T K T i = 1,...,4 ) P(A+A i ) KC < (3.228) P Apès ésolution de ces LMIs avec les paamète α = 4 et = 5, on obtient le gain de l obsevateu : L = P 1 K = (3.229) Les ésultats de simulation sont pésentés su les figues 3.19,

86 3.3. Obsevateu lipschitzien 3 x 1 (t) x 2 (t) y 1 (t) Figue 3.19 Etats éels et leus estimés y 2 (t) θ 1 (t) θ 2 (t) Figue 3.2 Etats éels et leus estimés Extension H Revenons maintenant au système à temps continu donné pa (3.145) En pésence de petubations, il s écit sous la fome suivante : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)+e i ω(t)) y(t) = Cx(t)+Wω(t) (3.23) 69

87 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM où E i sont les matices de l influence de ω(t) su la dynamique, et W epésente la matice de l influence de ω(t) su l équation de mesue. Le vecteu de petubations est boné, i.e. ω(t) L 2. Apès intoduction des matices A, B, Ā i et B i, l eeu d estimation d état s écit : ė(t) = (A LC)e(t)+ + (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t))) ( Ā i x(t)+ B i u(t) ) µ i (x(t))(e i LW)ω(t) (3.231) L application de la méthode exposée dans la section 3.7 pemet alos d écie l eeu d estimation d état sous la fome d un système T-S : où : ė(t) = q h i (z(t))µ j (x(t)) ( Ψ i e(t)+(e j LW)ω(t) ) (3.232) j=1 Ψ i = A + A i LC (3.233) Étant donné le système (3.23), le poblème de la conception d un obsevateu (3.149) obuste evient à touve le gain L tel que : lim t (3.234) e(t) 2 < γ ω(t) 2, pou ω(t) (3.235) où γ > est un scalaie positif epésentant le taux d atténuation de la petubation su l eeu d estimation d état. Pou satisfaie les containtes (3.234) et (3.235), il est suffisant de touve une fonction de Lyapunov V(e(t)) telle que : V(e(t))+e(t) T e(t) γ 2 ω(t) T ω(t) < (3.236) Le théoème suivant founit des conditions suffisantes, sous fome LMI, pou la synthèse d obsevateus obustes vis-à-vis des petubations ω(t). Théoème 3.1. Etant donné γ >, l obsevateu obuste (3.149) pou le système (3.145) existe s il existe deux matices P = P T > R n n et M R n n y telles que les LMIs suivantes soient véifiées : ( A T P+PA + A T i P+PA i MC C T M T ) + I PE j MW E T j P W T M T γ 2 < (3.237) I i = 1,...,q / j = 1,...,n Le gain de l obsevateu est donné pa L = P 1 M. Démonstation. La démonstation du théoème 3.1 ésulte de la satisfaction des conditions véifiant l inégalité (3.236). La fonction de Lyapunov est donné pa V(e(t)) = e(t) T Pe(t) où P = P T >. On obtient alos les LMIs du théoème

88 3.3. Obsevateu lipschitzien Remaque 3.5. Note que l obsevateu optimal peut ête obtenu en minimisant γ. Cela ésulte en la minimisation du tansfet L 2 des petubations ves l eeu d estimation d état. Le changement de vaiable γ = γ 2 est effectué pou conseve le caactèe linéaie des inégalités maticielles. Tanaka et al. [1998] ont monté que le nombe de sous-modèles influe su l existence d une matice commune P satisfaisant les LMIs poposées dans les théoèmes 3.8 et 3.9. En effet, si le nombe est impotant, il devient tès difficile, voie impossible, de touve une matice commune P. Ce consevatisme a été lagement étudié, et plusieus appoches ont été poposées pou donne des conditions visant à le éduie. Pami ces appoches, on peut cite dans le cas discet, l utilisation de fonctions de Lyapunov multi-pas [Kuszewski et al., 28], dans le cas discet. Une aute façon de éduie ce pessimisme est la éduction du nombe de LMIs à ésoude dans le cas à temps continu. Dans les sections suivantes, ces deux appoches seont utilisées dans le but de touve des conditions moins contaignantes pou la synthèse d obsevateus pou des systèmes T-S à VDNM. Conditions de stabilité elaxées pou les systèmes à temps discet : Appoche A Dans cette section, en se basant su les tavaux écents su l étude de la stabilité des système T-S [Kuzewski et al., 28], des conditions elaxées sont poposées afin de touve le gain L de l obsevateu. L idée est basée su l utilisation d une fonction de Lyapunov candidate quadatique, et au lieu de calcule la difféence ente deux échantillons k et k+ 1, elle est calculée ente les échantillons k et k+m. Il a été pouvé dans [Kuzewski et al., 28] que les conditions de stabilité sont moins consevatives compaées à celles poposées dans 3.9. Étude de la stabilité elaxée Cette section taite de l utilisation de la fonction de Lyapunov pésentée pécédemment pou l étude de la stabilité. Soit le système T-S suivant : x(k+ 1) = µ i (x(k))a i x(k) (3.238) Lemme 3.3. [Kuzewski et al., 28] Soit le modèle T-S discet (3.238). S il existe une matice P symétique et définie positive telle que les conditions : ( P (A ik 1 A i ) T ) P < (3.239) P(A ik 1 A i ) P i,...,i k 1 = 1,..., soient véifiées alos le modèle (3.238) est globalement asymptotiquement stable. Démonstation. Voi [Kuszewski et al., 28]. Exemple 3.8 (Etude de la stabilité pou m = 1 et m = 3) Soit le système (3.238) défini pa : ( ) ( a.5.87 A 1 =, A.86 2 =.5 b ) 71

89 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Ṽ(e(k)) k Figue 3.21 Évolution d une fonction candidate de Lyapunov le long d une tajectoie d un modèle où a,b [ 1,1]. L objectif de cet exemple est de monte l espace de solutions donnant la stabilité du modèle (3.238) en fonction des paamètes a et b. La figue 3.22 monte le domaine de la stabilité pouvé pou m = 1 et m = 3. On constate une nette elaxation des conditions de stabilité du système (3.238), ce qui monte l efficacité de l appoche pou l étude de la stabilité des systèmes T-S. 72

90 3.3. Obsevateu lipschitzien Figue 3.22 Domaine de stabilité pouvé pou m = 1 et m = 3 Conception d obsevateus Etant donné la elaxation intoduite pa ce ésultat, il est intéessant de l applique à la synthèse d obsevateu pou des systèmes T-S à VDNM. Le théoème suivant donne des conditions LMIs suffisantes pou la synthèse de l obsevateu. Théoème L eeu d estimation d état (3.176) convege asymptotiquement ves zéo s il existe une matice symétique et définie positive P R n n et des matices M j R n n y telles que les inégalités linéaies maticielles suivantes soient véifiées : P A T i G C T M T G T A i MC G G T A T i G C T M T G T A i MC G G T A T i G C T M T G T A i MC G G T P Le gain de l obsevateu est donné pa : i i m 1 {1,,q} < (3.24) L = G T M (3.241) Démonstation. Notons : Ψ k = q h i (z(k))ψ i (3.242) 73

91 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM L évaluation de l eeu d estimation d état pou m échantillons donne : e(k+ 1) = q h i (z(k))ψ i e(k) = Ψ k e(k) e(k+ 2) = q h i (z(k+ 1))Ψ i e(k+ 1) = Ψ k+1 Ψ k e(k) e(k+ 3) = Ψ k+2 Ψ k+1 Ψ k e(k). e(k+ m) = Ψ k+m 1 Ψ k+2 Ψ k+1 Ψ k e(k) (3.243) Soit la fonction de Lyapunov candidate quadatique : V(e(k)) = e(k) T Pe(k) (3.244) La difféence de la fonction de Lyapunov ente les échantillons k et k+ m est donnée pa : m V(e(k)) = e(k+ m) T Pe(k+ m) e(k) T Pe(k) (3.245) On obtient : ( ) m V(e(k)) = e(k) T (Ψ k+m 1 Ψ k+1 Ψ k ) T P(Ψ k+m 1 Ψ k+1 Ψ k ) P e(k) (3.246) La stabilité du système généant l eeu d estimation d état est donnée pa : m V(e(k)) < (3.247) qui conduit à : (Ψ k+m 1 Ψ k+1 Ψ k ) T P(Ψ k+m 1 Ψ k+1 Ψ k ) P < (3.248) Lemme 3.4. [Benussou et al., 1999] Considéons les matices A, G, Q = Q T et P = P T >. Les popiétés suivantes sont équivalentes : 1. A T PA Q < ( Q A 2. T ) P < PA P ( Q A 3. T ) G GA G G T < + P Apès application du lemme 3.4, l inégalité maticielle (3.248) devient : ( P Ψ T k G G T Ψ k G G T +(Ψ k+m 1 Ψ k+1 ) T P(Ψ k+m 1 Ψ k+1 ) ) < (3.249) Soit : Γ i = (Ψ k+m 1 Ψ k+i ) T P(Ψ k+m 1 Ψ k+i ) (3.25) 74

92 3.3. Obsevateu lipschitzien L inégalité maticielle (3.249) devient : ( P Ψ T k G G T Ψ k G G T + Γ 1 ) < (3.251) L utilisation du lemme 3.4 une seconde fois conduit à : P Ψ T k G G T Ψ k G G T Ψ T k+1 G < (3.252) Ψ T k+1 G G GT + Γ 2 Finalement, les inégalités maticielles suivantes sont obtenues : P Ψ T k G G T Ψ k G G T Ψ T k+1 G Ψ T k+1 G G... GT Ψ T k+m 1 G Ψ T k+m 1 G G GT P < (3.253) La popiété de somme convexe des fonctions d activation µ j et h i pemet d écie : q i =1 q i m 1 =1 h i (z(k)) h im 1 (z(k+ m 1))Ω i i m 1 < (3.254) où : Ω i i m 1 = P Ψ T i G G T Ψ i G G T Ψ T i 1 G Ψ T i 1 G G G T Ψ T i m 1 G Ψ T i m 1 G G G T P (3.255) où : Ψ i = A i LC (3.256) La vaiation de la fonction de Lyapunov candidate ente les échantillons k et k+ m est négative si : P Ψ T i G G T Ψ i G G T Ψ T i 1 G Ψ T i 1 G G G T... < (3.257) Ψ T i m 1 G Ψ T i m 1 G G G T P i i m 1 {1,,q} Afin d écie les conditions de stabilité ainsi obtenues sous fome LMI, on intoduit le changement de vaiable M = G T L, on obtient alos les conditions LMI gaantissant la négativité de m V(e(k)) données dans le théoème

93 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Conditions de stabilité elaxées pou les systèmes à temps discet : Appoche B Une seconde appoche pou la elaxation des conditions de convegence de l eeu d estimation d état est poposée dans cette patie. Elle est basée su l utilisation d une aute famille de fonctions de Lyapunov candidates plus généale qui englobe les fonctions quadatiques. Cette famille de fonctions de Lyapunov est poposée pou l étude de la stabilité et la stabilisation des systèmes T-S dans [Kuszewski, 26]. L idée est de donne plus ou moins de poids aux fonctions de Lyapunov aux difféents instants. La fonction de Lyapunov est alos une moyenne pondéée de difféentes fonctions de Lyapunov. Ces fonctions sont expimées pa une somme de difféentes fonctions à des instants difféents : m 1 V m (E m (k)) = Ṽ i (e(k+ i)) (3.258) i= Avec Ṽ i, i = {,,m 1} des fonctions de Lyapunov candidates et E m (k) = [ e(k) T e(k+ m 1) T ] T un état augmenté du modèle. On suppose que toutes les fonctions de Lyapunov Ṽ i ont la même stuctue (quadatique) : Ṽ i = e(k+ i) T P (i) e(k+ i) (3.259) L étude de la vaiation de V m et plus paticulièement la condition : V m (E m (k)) = V m (E m (k+ 1)) V m (E m (k)) (3.26) autoise des coissances locales des fonctions Ṽ i su un intevalle, qui peut ête supéieu à k échantillons, tout en gaantissant la convegence de V m. Etude de la stabilité des modèles T-S Soit le système T-S epésenté pa : x(k+ 1) = La vaiation de la fonction de Lyapunov : est donnée pa : V m (X m ) = µ i (x(k))a i x(k) (3.261) m 1 Ṽ j (x(k+ m)) (3.262) j= V m (X m ) = = m 1 m 1 Ṽ j (x(k+ j+ 1)) j= j= Ṽ j (x(k+ j)) (3.263) m 1 x(k+ j+ 1) T P ( j) m 1 x(k+ j+ 1) x(k+ j) T P ( j) x(k+ j) j= j= (3.264) 76

94 3.3. Obsevateu lipschitzien L écitue du système en les instants k,...,k+ m donne : x(k+ 1) = x(k+ 2) = =. x(k+ m) = = i =1 µ i (x(k))a i x(k) (3.265) µ i (x(k+ 1))A i x(k+ 1) i m 1 =1 i 1 µ i1 (x(k))µ i =1(x(k+ 1))A i1 A i x(k) (3.266) µ i (x(k+ m))a i x(k+ m 1)... i =1 µ im 1 (x(k))µ i (x(k+ 1))A im 1 A i x(k) (3.267) (3.268) On note : On obtient alos : A x(k) = V m (X m ) = x(k) T m 1 ( j= µ i (x(k))a i (3.269) ( )P ( j) A x(k+ j) A x(k) m 1 ( )P ( j) A x(k+ j 1) A x(k) )x(k) (3.27) j= La négativité de : est assuée si et seulement si : V m (X m ) < (3.271) m 1 ( )P ( j) m 1 A x(k+ j) A x(k) ( )P ( j) A x(k+ j 1) A x(k) < (3.272) j= j= Apès calcul, (3.272) devient : ( )P (m 1) m 2 A x(k+m 1) A x(k) + on pose : j= ( ( ) P ( j) P ( j+1)) A x(k+ j) A x(k) P () < (3.273) Γ l = ( )P (m 1) A x(k+m 1) A x(k+l) + m 2 ( ( ) P ( j) P ( j+1)) A x(k+ j) A x(k+l) + P ( j 1) P ( j) (3.274) j= 77

95 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM L inégalité (3.273) s écit alos sous la fome : l = 1,...,m 1 En utilisant le lemme 3.4, on obtient : ( P () A T x(k) (G() (.) )T A T x(k) Γ 1A x(k) P () < (3.275) G () (.) A x(k) G () (.) (G() (.) )T + P () ) < (3.276) Il a été monté dans [Kuszewski, 26] que (3.276) (3.275) quel que soit le choix de la matice G (). En effectuant le même choix que dans [Kuszewski, 26] dans le but de éduie (.) le nombe de LMIs à ésoude, on pose : On obtient alos : ( P () G () (.) = G() x(k+1),,x(k+m 1) (3.277) A T x(k) (G() x(k+1),,x(k+m 1) )T G () x(k+1),,x(k+m 1) A x(k) G () x(k+1),,x(k+m 1) (G() x(k+1),,x(k+m 1) )T + P () (3.278) En utilisant le lemme (3.4) plusieus fois, on obtient : P () A T x(k) (G() (.) )T G () (.) A x(k) G () (.) (G() (.) )T + P () P (1)... < (3.279) A T x(k) (G () ) T G (k 1) A x(k) G () (G (m 1) ) T + P () La popiété de somme convexe des fonctions d activation pemet d écie (3.279) sous la fome : ( P () A T i G () i 1,,i m 1 A i G () i 1,,i m 1... G (k 1) A i ) G () T i 1,,i m 1 ( G () ( G () G (m 1)) T + P () ) T i 1,,i m 1 + P () P (1) A T i (G ()) T < ) < (3.28) Théoème [Kuszewski, 26] S il existe des matices P (i) symétiques et définies positives et des matices G (l) i l+1,...,i m 1 l = 1,...,m 1 telles que les LMIs (3.28) soient véifiées, alos le système T-S (3.261) est globalement asymptotiquement stable. 78

96 3.3. Obsevateu lipschitzien Exemple 3.9 (Compaaison des appoches A et B) On considèe l exemple pécédent défini pa : ( ) ( a.5.95 A 1 =, A.86 2 =.5 b où a,b [ 1,1]. On ésout les LMI des théoèmes 3.12 et 3.3 avec le paamète m = 2. La figue 3.23 monte que le domaine d existence de solutions pouvant la stabilité du système en utilisant la pemièe méthode est inclus dans celui utilisant la seconde. Pa conséquent, su cet exemple, l appoche B est moins consevative pa appot à l appoche A. ) Figue 3.23 Compaaison des deux appoches A et B pou k = 3(* Appoche A o Apoche B) Conception d obsevateu Dans cette patie, le ésultat de l étude de la stabilité elaxée pésenté dans le paagaphe pécédent est appliqué à la conception d obsevateu pou l obtention de conditions de convegence de l eeu d estimation d état (3.176) moins contaignantes. Repenons la dynamique de l eeu d estimation d état (3.176) obtenue apès l utilisation du théoème de la valeu moyenne et des tansfomations pa secteus non linéaies : e(k+ 1) = q h i (z(k))ψ i e(k) = Ψ k e(k) (3.281) Soit la fonction de Lyapunov V m (3.258) définie pa les fonctions élémentaies : Ṽ i = e(k+ i) T P (i) e(k+ i) (3.282) 79

97 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Il est facile d écie : e(k+ 1) = q h i (z(k))ψ i e(k) = Ψ k e(k) e(k+ 2) = q h i (z(k+ 1))Ψ i e(k+ 1) = Ψ k+1 Ψ k e(k) e(k+ 3) = Ψ k+2 Ψ k+1 Ψ k e(k). e(k+ m) = Ψ k+m 1 Ψ k+2 Ψ k+1 Ψ k e(k) (3.283) On définit E m (k) = [ e(k) T e(k+ m 1) T ] T Les vaiations de la fonctions de Lyapunov sont : V m (E m (t)) = m 1 e(k+ j+ 1)P ( j) m 1 e(k+ j+ 1) e(k+ j)p ( j) e(k+ j) (3.284) j= j= On obtient alos la condition de stabilité suivante : m 1 ( )P ( j) m 1 Ψ (k+i) Ψ (k) j= j= apès développement des sommes, on obtient : ( )P (m 1) m 2 Ψ (k+m 1) Ψ (k) + On pose : j= ( )P ( j) Ψ (k+i 1) Ψ (k) P () < (3.285) ( ( ) P ( j) P ( j+1)) Ψ (k+i) Ψ (k) P () < (3.286) Γ l = ( )P (m 1) Ψ (k+m 1) Ψ (k+ j) + m 2 ( ( ) P ( j) P ( j+1)) Ψ (k+i) Ψ (k+ j) + P (l 1) P (l) (3.287) j= l = 1,...,m 1 L inégalité (3.286) s écit alos : Ψ T k Γ 1Ψ k P () < En utilisant le lemme 3.4, on obtient : ( P () ( ) T GΨk GΨ k G G T + Γ 1 ) < (3.288) 8

98 3.3. Obsevateu lipschitzien En utilisant le lemme 3.4 plusieus fois, on obtient : P () A T i G C T M T GA i MC G G T + P () P (1) G G T + P (m 2) P (m 1) A T i (m 1) G C T M T GA i(m 1) MC G G T + P (m 1) < (3.289) Le théoème suivant peut ête alos énoncé. Théoème S il existe des matices P (i) symétiques et définies positives et des matices G et M telles que les LMIs (3.289) soient véifiées, alos l eeu d estimation d état convege asymptotiquement ves zéo. Le gain de l obsevateu est donné pa L = G 1 M Discussion Les appoches poposées dans cette patie pemettent de touve les gains de l obsevateu pemettant d assue la convegence asymptotique de l eeu d estimation d état. La pemièe méthode nécessite des conditions de Lipschitz et la stabilité du système. La seconde méthode vise à éduie le consevatisme des conditions poposées dans la pemièe appoche pa éduction du nombe de LMIs à ésoude pou touve les gains de l obsevateu. Cette appoche est moins estictive compaée aux appoches poposées dans [Raghavan et Hedick, 1994] et [Rajamani, 1998], pou les systèmes lipschitziens, et à l appoche publiée dans [Begsten et Palm, 2], pou les systèmes T-S à VDNM, en ce qui concene la constante de Lipschitz maximale admissible. Cependant, la condition de Lipschitz telle qu elle est utilisée, vise à domine le teme non linéaie (x(t), ˆx(t), u(t)), ce qui est tès estictif. L exploitation de cette condition sous sa fome équivalente pemetta de éduie le consevatisme. La toisième appoche, donc, utilise une aute fomulation de l hypothèse de Lipschitz, le théoème de la valeu moyenne et l appoche pa tansfomation pa secteus non linéaies afin de amene l équation égissant la dynamique de l eeu d estimation d état sous la fome d un système T-S autonome dont la stabilité elaxée est lagement étudiée dans la littéatue. Un aute point tès intéessant est l utilisation de la nouvelle méthode de tansfomation pa secteus non linéaies intoduite dans [Nagy et al., 29a]. En effet comme il été expliqué à la fin de la section 3.3.3, cette nouvelle méthode intoduit plusieus degés de libeté su le choix des modèles locaux et des fonctions d activation. Los de la é-écitue des dynamiques des eeus d estimation d état (3.153) et (3.156) (pou les cas à temps continu et discet) sous les fomes T-S données pa (3.175) et (3.176), le choix des paamètes supplémentaies intoduits pemet alos de satisfaie la condition d obsevabilité des nouveaux modèles locaux c-à-d l obsevabilité des matices (A i + A,C) nécessaie pou l existence d une solution aux LMIs poposées. 81

99 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Les méthodes poposées jusque là peuvent ne s applique qu à des systèmes ayant des fonctions d activation véifiant la condition de Lipschitz. Bien que, généalement, les modèles non linéaies tansfomés en modèles T-S à VDNM aient souvent des fonctions d activation de type Lipschitz, il est intéessant d élagi l étude au cas où les fonctions d activation sont quelconques afin de popose une méthode applicable à une classe de systèmes plus généale. De plus, le domaine de solution des LMIs poposées décoît en augmentant les valeus des constantes de Lipschitz et de la bone su l entée. La patie suivante sea consacée à la éduction du consevatisme lié aux hypothèses de Lipschitz, en utilisant les techniques L 2. Les appoches que l on va expose pa la suite ne nécessitent pas des fonctions d activation de type Lipschitz. Pa conséquent, ces méthodes sont applicables à une classe plus généale de systèmes T-S. 3.4 Obsevateu L 2 L eeu d estimation d état est généée pa un système dépendant de l eeu e(t), de l état x(t) et de l entée u(t). Les méthodes poposées pécédemment sont basées su des hypothèses de Lipschitz qui ne sont pas toujous véifiées. Cette section est consacée au développement d autes méthodes qui n utilisent pas l hypothèse de Lipschitz. Ces méthodes consistent à écie la dynamique de l eeu d estimation d état sous la fome d un système incetain où les incetitudes sont bonées ou même connues (constantes). Les gains de l obsevateu sont alos déteminés de manièe à assue la stabilité du système généant l eeu d estimation d état, tout en assuant une atténuation L 2 du tansfet de l influence des incetitudes ves l eeu d estimation d état. L étude pote su les systèmes ayant la stuctue suivante : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = µ i (x(t))(c i x(t)+d i u(t)) Appoche pa incetitudes bonées (3.29) Dans cette section, nous considéons un système non linéaie à temps continu décit pa le modèle T-S (3.29) avec des fonctions d activation qui dépendent de l état du système. Sous l hypothèse C 1 = C 2 =... = C et D i =, nous obtenons le multi-modèle suivant : qui peut ête é-écit sous la fome : 82 ẋ(t) = ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = Cx(t) (3.291) µ i ( ˆx(t))(A i x(t)+b i u(t))+(µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))(A i x(t)+b i u(t)) (3.292)

100 On définit alos les matices suivantes : où : où : A(t) = B(t) = 3.4. Obsevateu L 2 (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t))A i = AΣ A (t)e A (3.293) (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t))B i = BΣ B (t)e B (3.294) A = [ δ ] 1 I n A 1 A, ΣA (t) =....., E A = [ ] T I n... I n (3.295) δ 2 I n B = [ δ ] 1 I m B 1 B, ΣB =....., E B = [ ] T I m... I m (3.296) δ 2 I m δ i (t) = µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)) (3.297) Les fonctions d activation véifient la popiété de convexité, on peut donc écie : 1 δ i (t) 1 d où : Σ A (t) T Σ A (t) I Σ B (t) T Σ B (t) I Le système (3.29) devient : ẋ(t) = µ i ( ˆx(t))((A i + A(t))x(t)+(B i + B(t))u(t)) y(t) = Cx(t) (3.298) avec A(t) et B(t) sont définies en (3.295) et (3.296). Finalement, le système (3.29) à vaiables de décision non mesuables est amené à un multimodèle incetain à vaiables de décision connues (3.298). Pou le système incetain (3.298), on popose le multi-obsevateu : ˆx(t) = µ i ( ˆx(t))(A i ˆx(t)+B i u(t)+l i (y(t) ŷ(t))) (3.299) ŷ(t) = C ˆx(t) Les gains L i doivent ête déteminés de manièe à assue la convegence asymptotique de l état estimé ˆx(t) ves l état éel du système x(t). On considèe l eeu d estimation d état e(t) = x(t) ˆx(t) dont la dynamique est donnée pa : ė(t) = µ i ( ˆx(t))((A i L i C)e(t))+ A(t)x(t)+ B(t)u(t) (3.3) 83

101 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM On constate que la dynamique de l eeu d estimation d état dépend aussi de u(t) et de x(t). Donc le poblème de synthèse de l obsevateu peut ête décit comme la echeche des gains L i pou que : les matices (A i L i C) soient stables l eeu e(t) soit le moins sensible possible à x(t) et u(t). On définit le vecteu d état augmenté e a (t) = [e(t) T x(t) T ] T, on obtient le système augmenté suivant : où : ė a (t) = [ Φi A(t) Ā i j (t) = A j µ i ( ˆx(t))µ j (x(t)) ( Ā i j (t)e a (t)+ B j (t)u(t) ) (3.31) j=1 ] [ B(t), B j (t) = B j ], Φ i = A i L i C (3.32) Théoème Le système (3.3) est stable et le gain L 2 du tansfet de u(t) ves l eeu d estimation est boné pa γ, s il existe deux matices symétiques et définies positives P 1 R n n et P 2 R n n, des matices K i R n n y, et des scalaies positifs λ 2, λ 3 et γ tels que les LMIs suivantes soient véifiées i, j {1,..,} : où : Ψ i P 1 A P 1 B A T j P 2 + P 2 A j + λ 2 EA T E A P 2 B j B T j P 2 γi + λ 3 EB T E B A T P 1 λ 2 I B T P 1 λ 2 I Les gains de l obsevateu sont calculés pa : Le taux d atténuation γ est obtenu pa : < (3.33) Ψ i = A T i P 1 + P 1 A i K i C C T K T i + I (3.34) L i = P 1 1 K i (3.35) γ = γ (3.36) Démonstation. La peuve du théoème 3.14 est établie en utilisant la fonction quadatique de Lyapunov suivante : V(e(t)) = e a (t) T Pe a (t), P = P T > (3.37) Sa déivée s écit : V(e(t)) = ė a (t) T Pe a (t)+e a (t) T Pė a (t) (3.38) En utilisant la dynamique de l eeu d estimation d état (3.31), on obtient : 84 V(e(t)) = µ i ( ˆx)µ j (x) ( e T a ĀT i jpe a + e T a PĀ i j e a + u T B T i jpe a + e T a P B i j u ) (3.39) j=1

102 3.4. Obsevateu L 2 L eeu d estimation d état est donnée pa : où : e(t) = He a (t) (3.31) H = [I n ] (3.311) L eeu d estimation d état convege ves zéo et le gain L 2 du tansfet de u(t) ves e(t) est boné pa γ si la condition suivante est véifiée : V(e(t))+z(t) T z(t) γ 2 u(t) T u(t) < (3.312) En substituant V(e(t)) (3.39) et z(t) (3.31) dans (3.312), on obtient : µ i ( ˆx(t))µ j (x)(e a (t) T Ā T i jpe a (t)+e T a PĀ i j e a (t)+u(t) T B T i jpe a (t)+e a (t) T P B i j u(t) j=1 +e a (t) T H T He a (t) γ 2 u(t) T u(t)) < (3.313) La mise sous fome maticielle de l inégalité (3.313) donne : [ ] T [ ea (t) ĀT µ i ( ˆx(t))µ j (x(t)) i j P+PĀ i j + H T H P B i j u(t) B T j=1 i j P γ2 I ][ ea (t) u(t) ] < (3.314) Compte tenu de la popiété des fonctions d activation µ i, l inégalité (3.314) est négative si : [ ĀT i j P+PĀ i j + H T ] H P B i j B T i j P <, i, j {1,..,} (3.315) γ2 I Choisissons une matice P définie comme suit : [ P1 P = P 2 ] (3.316) où P 1 R n n et P 2 R n n sont deux matices symétiques et définies positives. Le choix de la fome de la matice P est dicté pa l objectif visé d obteni des LMIs. En utilisant les définitions des matices Ā i j, B i j (3.32), H (3.311) et P (3.316), on obtient : Φ T i P 1 + P 1 Φ i + I P 1 A(t) P 1 B(t) A T (t)p 1 A T j P 2 + P 2 A j P 2 B j B T (t)p 1 B T j P 2 γ 2 I < (3.317) L inégalité maticielle (3.317) ne peut pas ête ésolue à cause des temes A(t) et B(t) qui dépendent de t. Afin d utilise le lemme 3.2, une tansfomation de l inégalité (3.315) pemet de sépae les temes constants des temes vaiables dans le temps. On obtient alos : Φ T i P 1 + P 1 Φ i + I A T j P 2 + P 2 A j P 2 B j B T j P 2 γ 2 I +Q(t) T + Q(t) < (3.318) 85

103 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM où : Q(t) = P 1 A(t) P 1 B(t) Compte tenu de la définition de A(t) et B(t), la matice Q(t) s écit : P 1 A P 1 B Q(t) = Σ A (t)e A Σ B (t)e B (3.319) En utilisant le lemme 3.2, et en choisissant la matice Ω sous la fome suivante : λ 1 I Ω = λ 2 I (3.32) λ 3 I on obtient : Q(t) T + Q(t) < + P 1 A P 1 B Ω 1 E T A Σ A(t) T E T B Σ B(t) T A T P 1 B T P 1 Ω Σ A (t)e A Σ B (t)e B (3.321) Apès calculs et utilisation des popiétés des temes Σ A (t) et Σ B (t), on obtient : Q(t) T + Q(t) < λ 2 1 P 1AA T P 1 + λ3 1 P 1BB T P λ 2 EA T E A (3.322) λ 3 EB T E B En substituant (3.322) dans (3.318), on obtient : Ξ A T j P 2 + P 2 A j + λ 2 EA T E A P 2 B j < (3.323) B T j P γ2 I + λ 3 EB T E B où : Ξ = (A i L i C) T P 1 + P 1 (A i L i C)+λ2 1 P 1AA T P 1 + λ3 1 P 1BB T P+I (3.324) L inégalité (3.323) n est pas linéaie pa appot aux vaiables P 1, P 2, L i, λ 2, λ 3 et γ. Pou pouvoi la ésoude avec les logiciels de ésolution LMIs existants, il faut donc la linéaise. En utilisant le complément de Schu ainsi que les changements de vaiables suivants : K i = P 1 L i (3.325) γ = γ 2 (3.326) On obtient alos les conditions de convegence de l eeu d estimation d état ves sous fome LMI données dans le théoème

104 3.4. Obsevateu L 2 Remaque 3.6. Le ésultat obtenu dans cette patie peut ête généalisé facilement aux systèmes à soties non linéaies pa appot à l état et à l entée (i.e. C 1 C 2 C et D 1 D 2 D ). Exemple 3.1 (Estimation d état) Soit le système (3.291) défini pa les matices suivantes : A 1 = 1 3, A 2 = B 1 = 1.5.5, B 2 = , C = [ La ésolution des LMIs du théoème 3.14, avec minimisation du gain du tansfet de u(t) ves e(t), founit les ésultats suivants : L 1 = , L 2 = , P 1 = , P 2 = ] λ 2 = 9.4, λ 3 =.68, γ =.949, 87

105 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Figue 3.24 Entée de commande u(t) du système e 1 (t) e 2 (t) e 3 (t) Figue 3.25 Evolution dans le temps de l eeu d estimation d état 88

106 3.4. Obsevateu L y 1 (t) et son estimée y 2 (t) et son estimée Figue 3.26 Soties éelles (taits continus) et estimées (pointillés) 89

107 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Une aute façon d écie le modèle T-S à VDNM sous fome d un système T-S incetain est poposée dans la pochaine section. L idée est d utilise la popiété de somme convexe des fonctions d activation au lieu de les bone. Les temes d incetitudes ainsi obtenus sont des matices constantes et connues. De plus, la sotie du système est considéée non linéaie pa appot à l état et à l entée Appoche pa "incetitudes constantes" On considèe le système T-S à VDNM suivant : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = µ i (x(t))(c i x(t)+d i u(t)) (3.327) Notons ˆx(t) l état estimé. Pa ajout et soustaction du teme : on obtient le système équivalent suivant : µ i ( ˆx(t))(A i x(t)+b i u(t)) (3.328) ẋ(t) = µ i ( ˆx(t))(A i x(t)+b i u(t))+ (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))(A i x(t)+b i u(t)) (3.329) Afin d allége les équations, la notation suivante est définie : j=1 i, j=1 (3.33) Gâce à la popiété de somme convexe des fonctions d activation, l équation suivante est véifiée : (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))X i = µ i (x(t))µ j ( ˆx(t))(X i X j ) (3.331) i, j=1 où X i {A i,b i,c i,d i }. Avec la définition suivante : le système (3.329) peut ête éécit sous la fome équivalente : 9 ẋ(t) = X i j = X i X j (3.332) µ i (x(t))µ j ( ˆx(t))((A j + A i j )x(t)+(b j + B i j )u(t)) (3.333) i, j=1

108 3.4. Obsevateu L 2 La sotie du système peut ête également é-écite de la même manièe sous la fome : y(t) = µ i (x(t))µ k ( ˆx(t))((C k + C ik )x(t)+(d k + D ik )u(t)) (3.334) i,k=1 Le système (3.333)-(3.334) est décit, à pésent, sous la fome d un système incetain mais les temes notés X i j sont complètement connus et epésentés pa des matices constantes. L obsevateu poposé est donné sous la fome : ˆx(t) = µ j ( ˆx(t)) ( A j ˆx(t)+B j u(t)+l j (y(t) ŷ(t)) ) j=1 ŷ(t) = µ k ( ˆx(t))(C k ˆx(t)+D k u(t)) k=1 (3.335) En penant en compte (3.2), l équation (3.335) peut ête multipliée pa µ i(x(t)) pou obteni : ˆx(t) = µ i (x(t))µ j ( ˆx(t)) ( A j ˆx(t)+B j u(t)+l j (y(t) ŷ(t)) ) (3.336) i, j=1 ŷ(t) = µ i (x(t))µ k ( ˆx(t))(C k ˆx(t)+D k u(t)) (3.337) i,k=1 Les fonctions d activation µ i (x) appaaissent atificiellement dans ( ) bien qu elles ne soient pas disponibles puisque x(t) n est pas connu. Cet atifice n empêche pas d utilise l obsevateu à condition qu aucun teme ne soit indexé su i dans ( ). L eeu d estimation d état est donnée pa : e(t) = x(t) ˆx(t) (3.338) En utilisant (3.333), (3.334), (3.336) et (3.337), la dynamique de l eeu d estimation d état est décite pa : où : ė(t) = µ i (x(t))µ j ( ˆx(t))µ k (x(t))(φ jk e(t)+γ i jk x(t)+s i jk u(t)) (3.339) i, j,k=1 Φ jk = A j L j C k Γ i jk = A i j L j C ik S i jk = B i j L j D ik i, j,k {1,...,} Soit l état augmenté défini pa x(t) = [e(t) T x(t) T ] T. Nous pouvons défini le système augmenté suivant : x(t) = µ i (x(t))µ j ( ˆx(t))µ k (x) ( M i jk x(t)+b i jk u(t) ) (3.34) i, j,k=1 e(t) = H x(t) (3.341) 91

109 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM où : [ Φ M i jk = jk Γ i jk A i ] [ Σi, B i jk = jk B i ], H = [I n ] (3.342) L objectif est alos de touve les gains L j pou gaanti la stabilité de (3.34) tout en atténuant l effet de l entée u(t) su e(t). Théoème Le système (3.34) est stable et le gain L 2 du tansfet de u(t) ves e(t) est boné, s il existe des matices symétiques et définies positives P 1 R n n et P 2 R n n, des gains K i R n n y et un scalaie positif γ, tels que les conditions suivantes soient véifiées : où : X 1 jk Θ i jk Ψ i jk Θ T i jk X 2i P 2 B i Ψ T i jk B T i P 2 γi <, (i, j,k) {1,...,} 3 (3.343) X 1 jk = A T j P 1 + P 1 A j K j C k C T k KT j + I (3.344) X 2i = A T i P 2 + P 2 A i (3.345) Θ i jk = P 1 A i j K j C ik (3.346) Ψ i jk = P 1 B i j K j D ik (3.347) Les gains de l obsevateu sont calculés à pati de l équation suivante : et le taux d atténuation est donné pa : L j = P 1 1 K j (3.348) γ = γ (3.349) Démonstation. Considéons la fonction de Lyapunov candidate suivante : sa déivée pa appot au temps est donnée pa : Pa substitution de x (3.34) dans (3.351), on obtient : V( x(t)) = V( x(t)) = x(t) T P x(t), P = P T > (3.35) V( x(t)) = x(t) T P x(t)+ x(t) T P x(t) (3.351) µ i (x(t))µ j ( ˆx(t))µ k (x(t))( x(t) T (M T i jk P+PM i jk) x(t)+ x(t) T PB i jk u(t) i, j,k=1 + u(t) T Bi T jkp x(t)) (3.352) L objectif est d atténue l effet de l entée u(t) su z(t) : 92 z(t) 2 u(t) 2 < γ, u(t) 2,γ > (3.353)

110 3.4. Obsevateu L 2 tout en gaantissant la stabilité du système augmenté. Comme déjà mentionné, il faut satisfaie la condition suivante : V( x(t))+z(t) T z(t) γ 2 u(t) T u(t) < (3.354) Pa substitution de (3.352) et (3.341) dans (3.354), on obtient : µ i (x(t))µ j ( ˆx(t))µ k (x(t))( x(t) T (M T i jk P+PM i jk) x(t)+ x(t) T PB i jk u(t) i, j,k=1 +u(t) T B T i jk P x(t))+ x(t)t H T H x(t) γ 2 u(t) T u(t) < (3.355) Compte tenu de la popiété de somme convexe des fonctions d activation, on a : µ i (x(t))µ j ( ˆx(t))µ k (x(t))( x(t) T (M T i jk P+PM i jk) x(t)+ x(t) T PB i jk u(t) i, j,k=1 qui peut ête mis sous la fome : +u(t) T B T i jk P x(t)+ x(t)t H T H x(t) γ 2 u(t) T u(t)) < (3.356) µ i (x(t))µ j ( ˆx(t))µ k (x(t)) T Ξ i jk (t) < (3.357) i, j,k=1 où Ξ i jk = (t) = [ M T i jk P+PM i jk + H T H PB i jk [ x(t) u(t) ] B T i jk P γ2 I ] La condition suffisante pou que (3.356) soit véifiée est : [ M T i jk P+PM i jk + H T H PB i jk B T i jk P γ2 I ] <, (i, j,k) {1,...,} 3 (3.358) Afin d obteni des conditions sous fome LMI, P peut ête choisie de la manièe suivante : [ ] P1 P = (3.359) P 2 En utilisant les définitions M i jk et B i jk données dans (3.342), et apès application des changements de vaiables suivants : K j = P 1 G j (3.36) et : γ = γ 2 (3.361) on obtient de (3.358) les conditions LMI (3.343) données dans le théoème

111 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Dans plusieus cas patiques, la sotie du système est donnée pa un ensemble de capteus mesuant une patie des vaiables d état. Considéons que le placement des capteus ne dépend pas du point de fonctionnement du système d où C 1 = C 2 =... = C = C. On considèe également que les matices d action de l entée su la sotie sont nulles i.e. D 1 = D 2 =... = D =. La sotie du système s écit alos sous la fome : Dans ce cas, le système (3.34) devient : y(t) = Cx(t) (3.362) x(t) = µ i (x(t))µ j ( ˆx(t)) ( M i j x(t)+b i j u(t) ) (3.363) i, j=1 e = H x(t) (3.364) où : [ A M i j = j L j C A i j L j C A i ] [ Bi, B i j = j B i ] (3.365) La vesion simplifiée du théoème 3.15 est, donnée pa le coollaie 3.1. Coollaie 3.1. Le système (3.363) est stable et le gain L 2 du tansfet de u(t) ves e(t) est boné, s il existe des matices symétiques et définies positives P 1 R n n et P 2 R n n, des gains K i R n n y et un scalaie positif γ, tels que les conditions suivantes soient véifiées : où : X 1 j Θ i j Ψ i j Θ T i j X 2i P 2 B i Ψ T i j B T i P 2 γi (i, j) {1,...,} 2 < (3.366) X 1 j = A T j P 1 + P 1 A j K j C C T K T j + I (3.367) X 2i = A T i P 2 + P 2 A i (3.368) Θ i j = P 1 A i j K j C (3.369) Ψ i j = P 1 B i j (3.37) Les gains de l obsevateu sont calculés à pati de l équation suivante : et le taux d atténuation est donné pa : L j = P 1 1 K j (3.371) γ = γ (3.372) 94

112 3.4. Obsevateu L 2 Placement des pôles Pou une meilleue estimation de l état, les pefomances de l obsevateu peuvent ête amélioées pa un placement des pôles dans une égion paticulièe du plan complexe. Pou les modèles de Takagi-Sugeno, il est nécessaie de place les pôles de tous les sous-modèles. Les amélioation visées sont : le taux de décoissance qui assuea une apidité de convegence de l eeu d estimation d état ves zéo et la limitation des paties imaginaies des valeus popes pou atténue le phénomène oscillatoie. Pa conséquent, les pôles du système généant l eeu d estimation d état sont placés dans la égion LMI S(α, β) qui epésente l intesection ente un disque de cente et de ayon β et la bande définie pa R(z) < α. Le coollaie 2 donne les conditions de convegence de l obsevateu en penant en compte le placement des pôles. Coollaie 3.2. Le système (3.363) est stable, le gain L 2 du tansfet de u(t) ves e(t) est boné et les pôles du système généant e(t) sont dans S(α,β), s il existe des matices symétiques et définies positives P 1 R n n et P 2 R n n, des gains K i R n n y et un scalaie positif γ, tels que les conditions suivantes soient véifiées : [ X 1 j Θ i j Ψ i j Θ T i j X 2i P 2 B i Ψ T i j B T i P 2 γi βp PA j K j C A T j P CT K T j βp <, (3.373) ] < (3.374) A T j P+PA j C T K T j K j C+ 2αP < (3.375) (i, j) {1,...,} 2 où X 1 j, X 2i, Θ i j et Ψ i j sont définis dans le coollaie 3.1. Les gains de l obsevateu sont calculés à pati de l équation suivante : G j = P 1 1 K j (3.376) et le taux d atténuation est donné pa : γ = γ (3.377) Démonstation. La démonstation est similaie à celle pésentée pou le théoème 3.15 en incluant le placement des pôles publié dans [Chilali et Gahinet, 1996]. Exemple 3.11 (Estimation d état) Considéons le système T-S défini pa : A 1 = 1 3, A 2 = B 1 =.5, B 2 = 3, C = [ ] 95

113 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM Les fonctions d activation sont : { µ 1 (x) = 1 tanh(x 1) 2 µ 2 (x) = 1 µ 1 (x) = 1+tanh(x 1) 2 (3.378) Un buit de mesue aléatoie boné pa 1 est ajouté à la sotie du système. En appliquant le coollaie 3.2 avec placement des pôles dans la égion LMI S(α,β) définie pa α =.1 et β = 1, les matices suivantes sont obtenues : L 1 = P 1 = P 2 = , L 2 =, Le taux d atténuation touvé, apès minimisation de γ sous les containtes LMIs du coolaie 3.2, est : γ =.3162 Les ésultats de simulation illustés su la figue 3.27 montent la convegence de l eeu d estimation d état. 5 e e e Figue 3.27 Eeus d estimation d état 96

114 3.4. Obsevateu L 2 Les deux méthodes pésentées pécédemment en utilisant l appoche L 2 sont basées su la é-écitue du modèle du système T-S à VDNM sous la fome d un modèle T-S à VDE incetain. L appoche que nous poposons dans la suite consiste en une tansfomation du système sous fome d un système T-S à VDE avec des petubations dues à la non-mesuabilité des vaiables de décision Appoche pa atténuation des petubations Soit le système non linéaie suivant : Apès é-ecitue du modèle (3.1), on obtient : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = µ i (x(t))(c i x(t)+d i u(t)) ẋ(t) = µ i ( ˆx(t))(A i x(t)+b i u(t)+ω 1 (t)) y(t) = µ i ( ˆx(t))(C i x(t)+d i u(t)+ω 2 (t)) (3.379) (3.38) où : ω 1 (t) = (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))(A i x(t)+b i u(t)) ω 2 (t) = (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))(C i x(t)+d i u(t)) (3.381) ce qui coespond un modèle T-S petubé, à vaiables de décision mesuables (état estimé du système). L obsevateu poposé est alos sous la fome suivante : ˆx(t) = µ i ( ˆx(t))(A i ˆx(t)+B i u(t)+l i (y(t) ŷ(t)) ŷ(t) = µ i ( ˆx(t))(C i ˆx(t)+D i u(t)) La dynamique de l eeu d estimation d état e(t) = x(t) ˆx(t) est donnée pa : ė(t) = (3.382) µ i ( ˆx(t))µ j ( ˆx(t)) ( (A i L i C j ) ˆx(t)+ω 1 (t) L i ω 2 (t) ) (3.383) j=1 Hypothèse 3.7. Dans cette section nous considéons que les hypothèses suivantes sont véifiées : 1. La stabilité entée-état du système (3.379) est véifiée. 2. L entée du système est bonée : u(t) < ρ 97

115 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM D apès les hypothèse 3.7, les temes ω 1 (t) et ω 2 (t) sont bonés, ce qui pemet d applique les techniques L 2 pou assue à la fois la stabilité du système (3.383) et la minimisation de l influence de ω(t) su l eeu d estimation d état, avec ω(t) = [ω 1 (t) T ω 2 (t) T ] T. Le théoème suivant pésente des conditions sous fome LMI pou la synthèse des gains L i de l obsevateu (3.382) assuant la stabilité de (3.383) et la minimisation de l effet de ω(t) su l eeu d estimation d état e(t). Théoème Le système (3.383), généant l eeu d estimation d état, est stable et le gain L 2 du tansfet de ω(t) ves l eeu d estimation est boné pa γ, s il existe une matice symétique et définie positive P R n n, des matices K i R n n y et un scalaie positif γ tels que les LMIs suivantes soient véifiées i, j {1,.., } : Les gains de l obsevateu sont donnés pa : et le taux d atténuation est donné pa : A T i P+PA i K i C j C T j KT i + I P K i P γi Ki T γi < (3.384) L i = P 1 K i (3.385) γ = γ (3.386) Démonstation. La démonstation est basée su l utilisation d une fonction de Lyapunov quadatique. Apès calcul de la déivée de la fonction de Lyapunov et substitution de la dynamique de l eeu d estimation d état décite pa (3.383), on utilise le citèe suivant : V(e(t))+e(t) T e(t) γ 2 ω(t) T ω(t) < (3.387) Apès calcul et utilisation des changements de vaiables K i = PL i et γ = γ 2 ainsi que l application du complément de Schu, on obtient les LMIs du théoème Discussion Les appoches pa incetitudes bonées, pa incetitudes constantes et pa atténuation de petubations founissent des conditions LMIs pemettant de touve les gains de l obsevateu. Les appoches 1 et 2 pemettent de touve des gains stabilisant le système généant l eeu d estimation d état tout en minimisant le tansfet L 2 de l entée de commande u(t) ves l eeu d estimation d état. D apès l exemple, on s apeçoit que le taux d atténuation obtenu avec la pemièe méthode (γ =.949) est inféieu à celui obtenu avec l appoche 2 (γ =.3162). Note que les deux appoches pécédentes ne peuvent pas ête compaées à la toisième, concenant le taux d atténuation, puisque cette denièe minimise le tansfet L 2 non pas de l entée de commande u(t) mais d une aute quantité ω(t) = (µ i(x(t)) µ i ( ˆx(t)))(A i x(t)+b i u(t)). Pa conte, su les exemples taités, cette denièe est moins consevative et admet des solutions même si les deux pemièes appoches échouent. Il est également possible de éduie le pessimisme des conditions données dans les théoèmes 3.14 et 3.16 pa l utilisation de difféentes appoches e elaxations poposées dans la littéatue, pami celles-ci l appoche poposée dans [Tuan et al., 21] qui pemet une éduction du consevatisme sans ajout de vaiables supplémentaies. 98

116 3.5. Estimation d état des systèmes T-S à VDNM incetains 3.5 Estimation d état des systèmes T-S à VDNM incetains Cette section taite de l estimation d état obuste des systèmes T-S à VDNM incetains. Les incetitudes considéées sont bonées et vaient dans le temps. Nous avons choisi de ne pésente que les ésultats elatifs à l extension de la méthode poposée dans le paagaphe et celle poposée dans le paagaphe Toutefois, il est facile de généalise les autes méthodes poposées à l estimation d état en pésences d incetitudes de modélisation et de buit de mesue. Considéons le système incetain suivant : ẋ(t) = µ i (x(t))((a i + A i (t))x(t)+(b i + B i (t))u(t)) (3.388) y(t) = Cx(t)+Dω(t) où : avec : ω(t) est un buit de mesue et boné. A i (t) = M A i Σ A(t)N A i B i (t) = M B i Σ B(t)N B i Σ T A (t)σ A(t) I, t Σ T B (t)σ B(t) I, t (3.389) (3.39) Pemièe appoche Apès l intoduction de les matices A, B, Ā i et B i définies pa : A = 1 B = 1 A i (3.391) B i (3.392) A i = A i + A (3.393) B i = B i + B (3.394) on obtient une aute fomulation du système (3.388) : ẋ(t) = A x(t)+ā u(t)+ µ i (x(t)) ( (Ā i + A i )x(t)+( B i + B i )u ) y(t) = Cx(t)+Dω(t) (3.395) Nous sommes intéessés pa la conception d un obsevateu pou estime l état du système pésenté ci-dessus. L obsevateu a la fome : ˆx(t) = A ˆx(t)+Ā u(t)+ µ i ( ˆx(t)) ( Ā i ˆx(t)+ B i u(t)+l i (y(t) ŷ(t)) ) (3.396) ŷ(t) = C ˆx(t) 99

117 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM L eeu d estimation d état est donnée pa : e(t) = x(t) ˆx(t) (3.397) Sa dynamique est é-écite sous la fome suivante : où : ė(t) = + µ i ( ˆx(t))((A G i C)e(t) G i Dω(t))+ µ i (x(t))( A i x(t)+ B i u(t)) (A i δ i (t)+ B i i (t)) (3.398) δ i (t) = µ i (x(t))x(t) µ i ( ˆx(t)) ˆx(t) (3.399) i (t) = (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))u(t) (3.4) La dynamique de l eeu d estimation d état peut ête écite sous la fome équivalente : où : ė(t) = (µ i ( ˆx(t))(A G i C)e(t)+H i (t) ω(t)+a i δ i (t)+ B i i (t)) (3.41) H i (t) = [ µ i ( ˆx(t))G i D µ i (x(t)) A i µ i (x(t)) B i ] (3.42) ω(t) T = [ω(t) T x(t) T u(t) T ] (3.43) Hypothèse 3.8. Dans cette section, on fait les hypothèses suivantes : A1. La stabilité entée-état du système (3.388) est véifiée. A2. Les fonctions d activation µ i (x) sont de type Lipschitz : A3. Les fonctions µ i (x)x sont Lipschitz : A4. L entée u(t) du système est bonée : µ i (x) µ i ( ˆx) < γ 1 x ˆx µ i (x)x µ i ( ˆx) ˆx < γ 2 x ˆx u(t) β A pati des hypothèses (A1) et (A4), le vecteu d état x(t) du système ainsi que le teme ω(t) sont bonés. Théoème L obsevateu optimal (3.396) pou le système T-S à VDNM incetain (3.388) est obtenu pa la minimisation de µ sous les containtes LMIs suivantes pa appot aux vaiables P = P T >, Q = Q T >, K i et les scalaies positifs µ, λ 1, λ 2, ε 2, ε 3, ε 4 : min P,Q,K i,λ 1,λ 2,ε 2,ε 3,σ, µ µ 1

118 3.5. Estimation d état des systèmes T-S à VDNM incetains s.c. A T P+PA K i C C T K T i < Q (3.44) M PA i PB i PMi A PMi B K i D γ 1 σi M 1i M 2i M 3i λ 1 I λ 2 I ε 3 I ε 4 I ε 2 I λ 2 I i {1,...,} < (3.45) où : σ λ 2 β > (3.46) M = Q+(λ 1 γ )I (3.47) M 1i = ( µ + ε 2 )I (3.48) M 2i = µi + ε 3 (N A i ) T N A i (3.49) Les gains de l obsevateu sont calculés à pati de l équation : et le taux d atténuation est donné pa : M 3i = µi + ε 4 (N B i ) T N B i (3.41) G i = P 1 K i (3.411) µ = µ (3.412) Démonstation. Pou démonte la convegence de l eeu d estimation d état e(t), on pocède de la même manièe que les démonstations pécédentes, en considéant une fonction de Lyapunov quadatique candidate. Apès calcul de sa déivée pa appot au temps et substitution de l équation de la dynamique de l eeu d estimation d état (3.41), on obtient : V(e(t)) = (µ i ( ˆx(t))e(t) T (Φ T i P+PΦ i )e(t)+e(t) T PA i δ i (t)+e(t) T PB i i (t) + δ i (t) T A T i Pe(t)+ T i B T i Pe(t)+e(t) T PH i ω(t)+ ω(t) T H T i Pe(t)) (3.413) où : Φ i = (A G i C) (3.414) 11

119 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM L utilisation du lemme 3.2 et des hypothèses A1, A2, A3 et A4 pemet d établi les inégalités suivantes : e(t) T PĀ i δ i (t)+δ i (t) T Ā T i Pe(t) < λ 1 δ i (t) T δ i (t)+λ 1 1 e(t)t PĀ i Ā T i Pe(t) < λ 1 γ 2 2e(t) T e(t)+λ 1 1 e(t)t PĀ i Ā T i Pe(t) (3.415) e(t) T P B i i (t)+ i (t) T B T i Pe(t) < λ 2 i (t) T i (t)+λ 1 2 e(t)t P B i B T i Pe(t) < λ 2 γ 2 1β 2 e(t) T e(t)+λ 1 2 e(t)t P B i B T i Pe(t) (3.416) En substituant (3.415) et (3.416) dans la déivée de la fonction de Lyapunov (3.413), on obtient : V(e(t)) = (e(t) T (µ i ( ˆx)(Φ T i P+PΦ i )+(λ 1 γ2 2 + λ 2 γ 2 1β 2 )I + λ1 1 PĀ i Ā T i P +λ 1 2 PB ib T i P)e(t)+e(t) T PH i ω(t)+ ω(t) T H T i Pe(t)) (3.417) Dans l objectif d atténue l effet de ω(t) su l eeu d estimation d état, on utilisea l appoche L 2 [Boyd et al., 1994]. On cheche à gaanti : e(t) 2 ω(t) 2 < µ, µ > (3.418) Le système généant l eeu d estimation d état est stable et le gain L 2 noté µ du tansfet de ω(t) ves e(t) est boné, si : Pa substitution de V, on obtient : V(e(t))+e(t) T e(t) µ 2 ω(t) T ω < (3.419) (e(t) T (µ i ( ˆx(t))(Φ T i P+PΦ i )+(λ 1 γ λ 2 γ 2 1β 2 + 1)I + λ 1 1 PĀ i Ā T i P+λ 1 2 P B i B T i P)e(t)+e(t) T PH i ω(t) + ω(t) T H T i Pe(t) µ 2 ω(t) T ω(t)) < (3.42) La négativité de (3.42) est gaantie si i {1,...,} : et : µ i ( ˆx(t))(Φ T i P+PΦ i ) < Q (3.421) e(t) T ( Q+(λ 1 γ λ 2 γ 2 1β 2 + 1)I + λ 1 1 PA ia T i P+λ 1 2 PB ib T i P)e(t) +e(t) T PH i ω(t)+ ω(t) T H T i Pe(t) µ 2 ω(t) T ω(t) < (3.422) 12

120 3.5. Estimation d état des systèmes T-S à VDNM incetains où Q = Q T >. Les fonctions d activation satisfont la popiété de somme convexe, donc (3.421) est véifiée si les inégalités maticielles suivantes sont véifiées : (A G i C) T P+P(A G i C) < Q, i {1,...,} (3.423) La négativité de la fome quadatique en (e T ω T ) T du membe gauche de l inégalité (3.422) est gaantie si l inégalité suivante est véifiée : [ ] Ψi PH i Hi T P µ 2 < (3.424) I où : Ψ i = Q+(λ 1 γ2 2 + λ 2 γ 2 1β 2 + 1)I + λ1 1 PĀ i Ā T i P+λ2 1 P B i B T i P En utilisant la définition de la matice H i (3.42), l inégalité (3.424) peut ête écite comme suit : où : W i = Ψ i µ 2 I µ 2 I µ 2 I µ i ( ˆx)PG i D µ i (x)p A i µ i (x)p B i +W i +W T i < (3.425) (3.426) qui peut ête décomposée, en tenant en compte des définitions de A i et B i (3.389) : PG i D PMi A PM B i W i = µ i (x)i Fi A (t)ni A (3.427) Fi B (t)ni B où Fi A (t) = µ i (x)σ A (t) et Fi B (t) = µ i (x)σ B (t). Les popiétés de somme convexe et des temes Σ A (t) et Σ B (t) pemettent d écie : Définissons Ω comme suit : µ i ( ˆx) T µ i ( ˆx) 1 Fi A (t) T Fi A (t) I Fi B (t) T Fi B (t) I Ω = diag(ε 1 I,ε 2 I,ε 3 I,ε 4 I) ε 1 >, ε 2 >, ε 3 >, ε 4 > En utilisant le lemme 3.2 et les définitions (3.389)-(3.39), on obtient, apès calculs, les inégalités maticielles suivantes : Ξ i W i +Wi T < ε 1 I ε 3 (Ni A)T Ni A (3.428) ε 4 (Ni B)T Ni B 13

121 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM où : Ξ i = ε 1 2 PG idd T G T i P+ε 1 3 PMA i (M A i ) T P+ε 1 4 PMB i (M B i ) T P En substituant (3.428) dans (3.425) on obtient : Θ i M 1i M 2i M 3i < (3.429) Θ i = Q+(λ 1 γ2 2 + λ 2 γ 2 1β 2 + 1)I + λ1 1 PA ia T i P+λ2 1 PB ib T i P+ε2 1 PG idd T G T i P +ε3 1 PMA i (Mi A ) T P+ε4 1 PMB i (Mi B ) T P (3.43) où M 1i, M 2i et M 3i sont données dans (3.48)-(3.41). Afin d élimine les non-linéaités dans (3.43), le complément de Schu ainsi que le changement de vaiable K i = PG i sont utilisés. De plus, on considèe que la constante µ, epésentant le gain L 2 du tansfet de ω(t) ves e(t), dans (3.429) est une vaiable à minimise. Donc, on effectue également le changement de vaiable µ = µ 2. Notons que la bone de l entée peut également ête considéée comme vaiable à optimise. Finalement la convegence de l eeu d estimation d état est assuée si les inégalités (3.423) et (3.429) sont véifiées. Apès utilisation du complément de Schu dans (3.429), on obtient les LMIs données dans le théoème Exemple 3.12 (Estimation d état obuste vis-à-vis d incetitudes de modélisation) On considèe le système (3.388) défini pa : A 1 = B 1 = [ ] [ ] , A 2 = , B 2 = Mi A = Ni A = Les fonctions d activation sont : , C = [ ,M i B = Ni B = { µ1 (x) = 1 tanh(x 1) 2 µ 2 (x) = 1 µ 1 (x) ] [.3, D = ,i = 1,2 Σ A (t) et Σ B (t) sont identiques et illustées su la figue Apès ésolution des LMIs (3.44)- 14 ]

122 3.5. Estimation d état des systèmes T-S à VDNM incetains 1 Σ A (t) and Σ B (t) Figue 3.28 Σ A (t) et Σ B (t) (3.46), on obtient les matices suivantes : G 1 = , G 2 = P = Le taux d atténuation obtenu est µ =.53. Les ésultats de simulation sont illustés su les figues 3.29 et 3.3. On peut conclue que les gains obtenus pa la ésolution des LMIs données dans le théoème 3.17 pemettent d atténue les effets des incetitudes de modélisation et du buit de mesue. Dans la figue 3.3, l eeu d estimation d état obtenue est compaée à celle obtenue pa la méthode développée dans la section 1.3.1, qui ne tient pas compte des incetitudes et du buit de mesue. En conclusion, la méthode poposée dans cette patie est obuste pa appot aux incetitudes de modélisation et pa appot au buit de mesue. 15

123 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM.5 x 1 et son estimé Etats éel du système Etats estimés x et son estimé x 3 et son estimé Figue 3.29 Etats éels (tait continu bleu) et estimés (pointillés).1.5 e 1 Théoème 3.17 Méthode ne penant pas en compte les incetitudes e e Figue 3.3 Compaaison des eeus d estimation d état obtenues avec le théoème 3.17 (tait continu bleu) et avec le théoème 3.1 (tait en pointillés ouge) 16

124 3.5. Estimation d état des systèmes T-S à VDNM incetains Apès l étude du consevatisme des conditions LMIs données dans le théoème 3.17, il s avèe qu en augmentant la constante de Lipschitz et la bone su l entée, le domaine de solution du poblème se éduit. Donc, cette méthode ne peut s applique qu aux systèmes ayant des fonctions d activation lipschitziennes et telles que la constante de Lipschitz ainsi que la bone su l entée ne dépassent pas des seuils donnés. Nous allons donc popose dans la section suivante une méthode qui s affanchit de l hypothèse de Lipschitz des fonctions d activation Deuxième appoche Le système (3.388) peut se mette sous la fome : ẋ(t) = µ i ( ˆx(t))((A i + A i (t))x(t)+(b i + B i (t))u(t)+ν(t)) y(t) = Cx(t)+Dω(t) (3.431) où : ν(t) = (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))((A i + A i (t))x(t)+(b i + B i (t))u(t)) Le teme ν(t) est alos considéé comme une petubation. L obsevateu poposé s écit : ˆx(t) = µ i ( ˆx(t))(A i ˆx(t)+B i u(t)+l i (y(t) ŷ(t))) ŷ(t) = C(t) ˆx(t) (3.432) L eeu d estimation d état ente (3.431) et (3.432) est définie pa : Sa dynamique est : ė(t) = e(t) = x(t) ˆx(t) (3.433) µ i ( ˆx(t))((A i L i C)e(t)+ A i (t)x(t)+ B i (t)u(t) L i Dω(t)+ν(t)) (3.434) qui peut ête écite sous la fome suivante : où : ė(t) = µ i ( ˆx(t))((A i L i C)e(t)+M i ω(t)) (3.435) ω = [ν T ω T x T u T ] T, M i = [ I G i D A i B i ] On suppose que les hypothèses A1 et A4 sont véifiées, donc ω(t) est bonée. Théoème L obsevateu (3.432) pou le système T-S à VDNM incetain (3.431) est obtenu pa la minimisation de γ sous les containtes LMIs suivantes pa appot aux vaiables P = P T >, K i et des scalaies positifs γ, ε 1 et ε 2 : min P,K i,ε 1,ε 2, γ γ 17

125 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM sous les containtes suivantes pou i {1,...,} où : Ψ 11i P K i D PMi A PMi B P γi D T Ki T γi Ψ 33i Ψ 44i (Mi A)T P ε 1 I (Mi B)T P ε 2 I Ψ 11i = A T i P+PA i C T Ki T Ψ 33i = γi + ε 1 (Ni A)T Ni A Ψ 44i = γi + ε 2 (Ni B)T Ni B K i C+ I < (3.436) Les gains de l obsevateu sont calculés à pati de G i = P 1 K i et le taux d atténuation est obtenu pa γ = γ. Démonstation. L objectif est de minimise l effet de ω(t) su l eeu d estimation d état. En utilisant le lemme boné éel [Boyd et al., 1994]), on obtient : [ (Ai G µ i ( ˆx(t)) i C) T P+P(A i G i C)+I PM i M T i P γ2 I ] < (3.437) Avec les changements de vaiables K i = PG i et γ = γ 2, on a : [ A T i P+PA i C T Ki T ] K i C+ I PM i M T i P γi <, i {1,...,} (3.438) Compte tenu de la définition de M i, l inégalité (3.438) peut ête é-écite sous la fome : Ψ 11i P PG i D P A i P B i P γi D T G T i P γi A T i P γi < (3.439) B T i P γi L utilisation de la même appoche et les mêmes calculs que (3.425)-(3.428) dans la démonstation pécédente, conduit aux conditions LMIs (3.436) Discussions Dans le théoème 3.18, la bone su l entée β et les constantes de Lipschitz γ 1 et γ 2 définies dans l hypothèse 3.8 ne sont pas utilisées et n appaaissent donc pas dans les LMIs (3.436). Pa conséquent, la seconde méthode est plus généale dans la mesue où elle ne nécessite pas les hypothèses (A2) et (A3) de 3.8, contaiement à la pemièe méthode. L application de cette nouvelle méthode pou l exemple pécédent donne cependant des ésultats similaies. 18

126 3.6. Conclusions Les autes méthodes d estimation d état poposées peuvent ête également généalisées pou pende en compte les incetitudes de modélisation ainsi que les petubations extenes comme le buit de mesue. Des conditions pemettant la synthèse de l obsevateu peuvent ête alos établies en suivant les mêmes étapes que celles de la section 3.5 (théoie de Lyapunov, techniques L 2 et lemme de majoation). 3.6 Conclusions Plusieus méthodes, complémentaies, d estimation d état ont été poposées dans ce chapite. Ces méthodes ont été divisées en deux catégoies. La pemièe catégoie concene les méthodes s appuyant su des hypothèses de type Lipschitz. Des conditions de convegence de l eeu d estimation d état ont été ainsi établies pa la théoie de Lyapunov. L extension de ces méthodes a été abodée pou les systèmes T-S à VDNM pésentant des incetitudes de modélisation et des petubations extenes (buits de mesue,...). L utilisation du théoème de la valeu moyenne combiné à la tansfomation pa secteus non linéaies a pemis de taite le poblème du consevatisme lié à la valeu de la constante de Lipschitz comme un poblème d étude de stabilité de modèles T-S. Une méthode de elaxation des conditions a été poposée pou les systèmes à temps discet. Elle est basée su l utilisation d une fonction de Lyapunov quadatique et le calcul de ses vaiations ente les instants k et k+ m et non ente k et k+ 1. Les pefomances des obsevateus ont été également étudiées pou amélioe la vitesse de convegence et la éduction du phénomène oscillatoie dû aux paties imaginaies des pôles de l obsevateu. La seconde catégoie de méthodes est basée su l utilisation des techniques L 2. L idée est de leve les hypothèses de Lipschitz de manièe à considée une classe plus lage de systèmes T-S. Cela nous a amené à écie le système sous plusieus fomes équivalentes, à savoi sous fome d un système T-S incetain ou sous fome d un système T-S petubé. L utilisation des techniques L 2 et la théoie de Lyapunov pemettent alos l obtention de conditions de stabilité du système généant l eeu d estimation d état tout en assuant le tansfet le plus faible possible des petubations et des incetitudes (qui sont dues à l impossibilité de mesue les vaiables de décision) ves l eeu d estimation. Les conditions touvées sont expimées sous fome LMI. La généalisation des deux appoches à des systèmes T-S à VDNM incetains et petubés a été effectuée dans la denièe section de ce chapite. 19

127 Chapite 3. Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM 11

128 4 Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM Sommaie 4.1 Intoduction Repésentation T-S à VDNM en pésence d entées inconnues Conception d obsevateu à entées inconnues pa découplage Appoche pa condition de Lipschitz Constuction de l obsevateu pa l appoche L Estimation des entées inconnues Obsevateu à entées inconnues pa l appoche du théoème de la valeu moyenne Cas paticulie : mesues non affectées pa les entées inconnues Conception d obsevateus PI Vaiables de décision mesuables Vaiables de décision non mesuables Conception d obsevateus PMI Stuctue de l obsevateu Vaiables de décision mesuables Vaiables de décision non mesuables Discussion et emaques Conclusion

129 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM 4.1 Intoduction Ce chapite pésente l étude et l exploitation des obsevateus à entées inconnues (connus sous le nom anglo-saxon Unknown Input Obseve (UIO)) pou les systèmes non linéaies décits pa la stuctue de Takagi-Sugeno à vaiables de décision mesuables et non mesuables. De façon généale, ce chapite est consacé, d une pat à l estimation d état en pésence d entées inconnues pa découplage de l influence de ces denièes su l eeu d estimation d état ; d aute pat, à l estimation simultanée de l état et des entées inconnues des systèmes non linéaies T-S. Enfin, ces obsevateus seont utilisés pou le diagnostic de systèmes non linéaies, comme il sea exposé en détail dans le chapite suivant. Un système est souvent piloté simultanément pa des entées connues qui epésentent les signaux de commande du système et pa des entées inconnues qui peuvent ête des petubations, des buits de mesue, des eeus de modélisation ou des défauts comme le monte la figue 4.1. Pa conséquent, concevoi un obsevateu d état ne tenant pas compte de ces entées inconnues mène à une estimation dégadée ou même eonée des états du système. Dans ce cas, la conception de lois commande ou de généateus de ésidus pou le diagnostic su la base de ces états estimés conduit alos à des pefomances dégadées du système. Afin de concevoi des obsevateus capables de founi une estimation des états du système en pésence d entées inconnues, il est indispensable de les pende en compte dans la phase de modélisation. En effet, l intégation de toutes les causes possibles pouvant affecte le système (buits de mesue, défauts, incetitudes de modélisation...) dans le modèle du système pemet d amélioe la qualité de l estimation, d où l impotance des poblèmes d estimation d état en pésence d entées inconnues et d estimation simultanée de l état et des entées inconnues. Ces poblèmes ont fait l objet de nombeux tavaux de echeche, ces denièes années su les systèmes linéaies à temps invaiants (LTI). Pou ésume, deux classes d obsevateus à entées inconnues ont été poposées, l une utilisant le pincipe de découplage et l aute pemettant une estimation simultanée de l état du système ainsi que des entées inconnues. Le pemie obsevateu consiste à découple complètement les entées inconnues afin de ende l eeu d estimation insensible à ces denièes. Cette idée emonte aux années 1975 où une stuctue d obsevateu à entées inconnues d ode minimal a été intoduite dans [Wang et al., 1975] pou les systèmes linéaies. Depuis, beaucoup de tavaux ont été dédiés à ce poblème en l abodant de difféentes manièes. On peut cite pa exemple, l appoche géométique dans [Bhattachayya, 1978], l appoche pa invesion dans [Kobayashi et Nakamizo, 1982], l appoche pa décomposition en valeus singulièes dans [Faiman et al., 1984] et aussi d autes appoches pa pojections maticielles ou pa tansfomations algébiques poposées dans [Daouach et al., 1994], [Coless et Tu, 1998], [Guadouna, 1995]. Il est intéessant, dans le cade du diagnostic, d estime également ces entées inconnues. Cependant, l appoche utilisée pou l estimation de ces entées inconnues [Hou et Patton, 1998] epose su la déivation des signaux de sotie qui sont le plus souvent entachés de buits de mesue. O, le ésultat d une déivation est tès sensible à de tels signaux. Pa conséquent, l estimation des entées inconnues founie est malheueusement fotement noyée dans le buit amplifié pa la déivation. Contaiement à la pemièe catégoie d obsevateu basée su le pincipe de découplage, la seconde famille d obsevateus ne cheche pas à masque l effet des entées inconnues, mais au contaie, à les estime au moyen d une action intégale pemettant ainsi l affinage de l es- 112

130 4.1. Intoduction timation d état, d où son nom : Obsevateu Popotionnel-Intégal (PI). L obsevateu, founit une estimation simultanée de l état du système ainsi que ses entées inconnues. Les pemies tavaux se éféant au poblème de conception d obsevateus PI datent des années 197 [Wojciechowski, 1978] pou les systèmes linéaies SISO. Pa la suite, ces tavaux ont été généalisés aux systèmes MIMO dans [Kaczoek, 1979]. De tels obsevateus founissent une bonne estimation de l entée inconnue, même en pésence de buit de mesue, et l intoduction d un gain intégal contibue à éduie le consevatisme des conditions de convegence de l eeu d estimation dans la mesue où il constitue un degé de libeté supplémentaie à détemine. Les containtes stuctuelles obtenues dans les tavaux su les obsevateus à entées inconnues pa découplage ne sont pas nécessaies pou la synthèse de ces obsevateus. Toutefois, l hypothèse d entées inconnues constantes est obligatoie pou la démonstation théoique de la convegence de l eeu d estimation ves zéo en utilisant la seconde méthode de Lyapunov. Théoiquement, cette hypothèse éduit la classe de signaux pouvant ête estimés pa l obsevateu PI, cependant, en patique, il est possible d estime des signaux ayant des dynamiques lentes (signaux basses féquences) en augmentant le gain de l obsevateu. Dans cette optique, un obsevateu PI est poposé dans [Xiong et Saif, 23] en ajoutant un paamète scalaie dans le etou intégal afin de égle, le plus finement possible, l estimation des entées inconnues. L inconvénient d une telle démache est l augmentation de la sensibilité au buit de mesue avec l augmentation des gains de l obsevateu (voi la discussion [Koenig et Mamma, 22]), ce qui mène à la echeche d un compomis ente obustesse/pefomances de l obsevateu. Afin d élagi l ensemble des signaux estimables, l obsevateu PI a été généalisé en exploitant l idée d utilise, non pas une seule action intégale, mais plusieus ; cet obsevateu est appelé : Obsevateu Popotionnel Multi-Intégal (PMI) et a été poposé dans [Jiang et al., 2]. Cet obsevateu a l avantage d estime des signaux epésentés pa une fome polynomiale, qui est plus généale, et ayant une q ème déivée nulle ou bonée. Le pincipe de cet obsevateu epose su l estimation simultanée des q pemièes déivées de l entée inconnue. Plusieus types de défauts sont ainsi modélisés (biais constant : échelon, déive : ampe,...etc.). Une extension aux systèmes algébo-difféentiels est aussi poposée dans [Gao et Ho, 24], [Max et al., 23], [Duan et al., 26] ainsi qu aux systèmes T-S distibués dans [Lendek, 29]. Les tavaux cités ci-dessus concenent la conception d obsevateus à entées inconnues (Obsevateus pa découplage et obsevateus PI et PMI) pou des systèmes linéaies. Dans le cade de cetaines classes de systèmes non linéaies, plusieus extensions de ces ésultats ont été publiés. Une extension diecte des ésultats su l obsevateu à entées inconnues non linéaie (NUIO) pa découplage a été poposée dans [Wünnenbeg, 199] pou une classe de systèmes ayant une non-linéaité dépendant de l entée connue et de la sotie du système. Cependant, cette classe est elativement esteinte, ca beaucoup de systèmes physiques ne peuvent pas ête epésentés pa une telle stuctue. Une aute limitation, encontée également dans l estimation d état des systèmes non linéaies pa tansfomation du systèmes, est la difficulté à touve une tansfomation adéquate afin d écie le système sous la fome voulue. L obsevateu DDNO (Distubance Decoupling Nonlinea Obseve) a été poposé dans [Fank et Selige, 1991] et [Selige et Fank, 1991a] penant en considéation une classe plus lage de systèmes non linéaies. L idée de base epose su une tansfomation du système non linéaie initial afin de satisfaie une condition de découplage. De même, pou cet obsevateu, les conditions d existence de cette tansfomation sont basées su le théoème de Fobenius et sont tès estictives. Une méthode systématique et plus généale pou la conception d obsevateu à entées inconnues 113

131 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM pou les systèmes lipschitziens est poposée dans [Chen et al., 1996] founissant des conditions nécessaies et suffisantes pou le découplage des entées inconnues. Dans [Imsland et al., 27], l obsevateu poposé s appuie su une extension aux systèmes lipschitziens où l entée inconnue n intevient pas dans la non-linéaité. Une application est alos poposée pou l estimation de l angle de déive d un véhicule. Dans [Petew et al., 25b], un obsevateu à entées inconnues pa découplage est poposé pou la même classe de systèmes non linéaies en utilisant une stuctue ayant un gain dynamique à la place du gain constant utilisé généalement. L intéêt de ce gain dynamique est qu il offe, pa sa stuctue, plusieus degés de libeté, pou taite la non-linéaité. Des conditions de convegence nécessaies et suffisantes ont été poposées su la base du ésultat obtenu dans [Rajamani, 1998]. Quant à l obsevateu PI, une extension aux systèmes non linéaies unifomément obsevables est poposée dans [Busawon, 21] apès une étude dans le cas des systèmes linéaies. Enfin, un obsevateu PMI pou des systèmes Lipschitziens est étudié dans [Gao et Ding, 27]. Dans le contexte multimodèle, la conception d obsevateus à entées inconnues pou les systèmes non linéaies epésentés pa la stuctue T-S à vaiables de décision connues (entées et/ou soties du système...) a déjà été abodée dans [Akhenak, 24] et [Rodigues, 25] où des conditions de convegence de l eeu d estimation d état ont été données sous fome LMIs. Ces obsevateus ont été appliqués pou la généation de ésidus pa bancs d obsevateus (achitectues DOS et GOS) dans [Chen et Zhang, 1991] pou la localisation de défauts d actionneus. Les appoches utilisées pou la conception des obsevateus à entées inconnues s inspient de l obsevateu initialement poposé pa [Daouach et al., 1994] pou les systèmes linéaies invaiants dans le temps (LTI). Dans [Max et al., 27], l obsevateu à entées inconnues pou les systèmes T-S singulies à vaiables de décision mesuables a fait l objet d une étude et son application à la détection et l isolation des défauts est poposée. L appoche d estimation simultanée de l état et des entées inconnues pa PI et PMI a été abodée pou une classe paticulièe de multimodèles appelés multimodèles à états découplés dans [Ojuela, 28]. Comme il a été mentionné pécédemment, l un des objectifs de cette thèse est de concevoi des obsevateus adaptés pou les systèmes T-S à VDNM pemettant ainsi l élaboation d un seul modèle du système ayant des fonctions d activation dépendant de l état du système. En effet, cette stuctue épagne la echeche de deux modèles T-S à VDM difféents du système pou la conception de bancs d obsevateus afin de localise des défauts de capteus et d actionneus. A note connaissance, la stuctue T-S à VDNM n est pas tès étudiée dans la littéatue, ce qui motive note tavail dans cette diection vu ses caactéistiques et ses avantages pa appot à la stuctue T-S à VDM (voi chapite 2). Néanmoins, dans le cade de la conception d obsevateus à entées inconnues pou systèmes T-S à vaiables de décision non mesuables, on peut cite le seul tavail qui a été publié dans [Chen et Saif, 27b] et qui généalise l obsevateu poposé dans [Begsten et Palm, 2] au cas des systèmes à entées inconnues. Ce constat nous a conduit à l étude et l analyse de ces obsevateus pou les systèmes T-S afin de founi des outils pou le diagnostic obuste des systèmes non linéaies qui fea l objet du chapite suivant. Les méthodes d estimation d état développées dans le chapite 3 sont généalisées au cas des systèmes T-S à VDNM en pésence d entées inconnues (voi figue 4.1). Nous choisissons de ne pésente que quate méthodes. La pemièe est basée su des conditions de Lipschitz des fonctions d activation et l hypothèse des signaux d entée bonés. La seconde et la toisième méthodes utilisent les ésultats basés su les techniques L 2 et la é-écitue du système sous fome d un système incetain. Enfin, la quatième pésente une généalisation de la méthode 114

132 4.2. Repésentation T-S à VDNM en pésence d entées inconnues poposée dans la section du chapite 3 en se basant su le théoème de la valeu moyenne ainsi que l appoche de tansfomation pa secteus non linéaies. Les autes ésultats sont également tansposables au poblème d estimation d état en pésence d entées inconnues. Quant aux obsevateus PI et PMI, apès augmentation du système, on se amène à la fome des systèmes utilisés dans le chapite 3, ce qui nous pemetta de éutilise diectement les ésultats qui y sont pésentés avec quelques modifications exposées pa la suite. d(t) u(t) Système y(t) Obsevateu ˆx(t) ˆ d(t) Figue 4.1 Pincipe de l obsevateu à entée inconnue 4.2 Repésentation T-S à VDNM en pésence d entées inconnues Rappelons qu un système non linéaie peut ête é-écit de manièe exacte en utilisant un système T-S à vaiables de décision non mesuables employant la tansfomation pa secteus non linéaies [Tanaka et Wang, 21], [Nagy et al., 29a]. La stuctue d un tel système est donnée pa les équations : ẋ(t) = µ i (x)(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = Cx(t) (4.1) où x(t) R n est le vecteu d état, u(t) R n u est le vecteu des entées, y(t) R n y epésente le vecteu de sotie. A i R n n sont les matices d état, B i R n n u sont les matices d influence de l entée et C R n y n epésente la matice de sotie ou d obsevation. Enfin, les fonctions µ i (x(t)) epésentent les fonctions d activation qui dépendent de l état x(t) du système, et qui 115

133 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM véifient les popiétés suivantes : µ i (x(t)) = 1 µ i (x(t)) 1 i {1,...,n} (4.2) L objectif de cette section est de monte l oigine de cetaines entées inconnues et la manièe dont on les pend en considéation dans la modélisation du système afin d abouti à la epésentation suivante du système (4.1) : ẋ(t) = µ i (x)(a i x(t)+b i u(t)+e i d(t)) (4.3) y(t) = Cx(t)+Gd(t) Une façon de modélise des entées inconnues est de considée, pa exemple, les oigines qu elles peuvent avoi (voi figue 4.2). On peut cite les quelques exemples suivants : f a (t) δa i j f c (t) Actionneus Système Capteus 116 Figue 4.2 Oigines des entées inconnues 1. En pésence d un biais d amplitude α affectant l actionneu j débutant à l instant t, le système (4.1) s écit : ẋ(t) = µ i (x) ( A i x(t)+b i u(t)+αb i e j Γ(t t ) ) (4.4) où e j R n u est un vecteu colonne dont toutes les composantes sont nulles sauf la j ème égale à 1. Les matices de distibution de l entée inconnue sont E i = B i e j et l entée inconnue est d(t) = αγ(t t ) où Γ(t) epésente la fonction de Heavyside (échelon unitaie). 2. Dans le cas d une déive de pente α su la j ème commande débutant à l instant t, le système s écit : ẋ(t) = µ i (x) ( A i x(t)+b i u(t)+αb i e j (t t ) ) (4.5) Dans ce cas, on aua E i = B i e j et l entée inconnue d(t) = α(t t ). 3. L entée inconnue peut avoi comme oigine la vaiation d un paamète du système se manifestant pa une vaiation α de la composante ( j,k) des matices A i du système. Le système (4.1) devient alos : ẋ(t) = µ i (x) ( A i x(t)+b i u(t)+αe i j(e i k )T x k (t) ) (4.6)

134 4.3. Conception d obsevateu à entées inconnues pa découplage où e i j et ei k Rn sont des vecteus colonne ayant toutes les composantes nulles sauf la j ème. Pou avoi la stuctue donnée pa (4.3), on pose E i = e i j et d(t) = αx k(t). 4. De même, la vaiation d un paamète de l actionneu povoque une vaiation d amplitude β dans le paamète ( j,k) des matices B i, le système (4.3) devient alos : ẋ(t) = ( ) µ i (x) A i x(t)+b i u(t)+βe i je it k u(t) (4.7) où e i j Rn et e i k Rn u. On obtient alos E i = e i j eit k et d(t) = βu(t). 5. Le système (4.3) affecté pa une panne du j ème actionneu s écit sous la fome : ẋ(t) = ( ) µ i (x) A i x(t)+b i u(t)+βb i e i je it j Γ(t t )u(t) (4.8) où e i j Rn u. On obtient alos E i = Be i j eit j et d(t) = βγ(t t )u(t). 6. Dans le cade de la détection et la localisation des défauts d actionneus pa bancs d obsevateus, on cheche à ce que l obsevateu j soit insensible au défaut affectant la j ème commande, cela se taduit pa le choix de la commande u i (t) comme entée inconnue. On pose alos E i = B j i et d(t) = u i (t) où B j i epésente la j ème colonne des matices B i. Un aisonnement analogue pemet de modélise les entées inconnues pouvant affecte l équation de sotie du système (4.3). La modélisation de défauts multiples est éalisée pa la concaténation des difféentes matices de distibution des entées inconnues E i. L objectif pincipal de ce chapite est la conception d obsevateus à entées inconnues pou des systèmes non linéaies epésentés pa la stuctue T-S à vaiables de décision non mesuables pa l extension des ésultats déjà obtenus dans le chapite 3. Les conditions de convegence de l eeu d estimation d état ves zéo sont données sous fome de LMI. 4.3 Conception d obsevateu à entées inconnues pa découplage Dans cette section, nous considéons un système non linéaie à temps continu décit pa un multi-modèle utilisant des fonctions d activation qui dépendent de l état du système : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)+e i d(t)) (4.9) y(t) = Cx(t)+Gd(t) Pa la suite, on suppose que le nombe d entées inconnues est inféieu au nombe de soties mesuées (n d < n y ). Le multimodèle à vaiables de décision non mesuables (4.9) peut se amene à un multimodèle petubé à vaiables de décision mesuables comme suit : ẋ(t) = µ i ( ˆx(t))(A i x(t)+b i u(t)+e i d(t)+ω(t)) (4.1) y(t) = Cx(t)+Gd(t) 117

135 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM où : ω(t) = (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))(A i x(t)+b i u(t)+e i d(t)) (4.11) Les multimodèles (4.9) et (4.1) sont équivalents. Pou la conception de l obsevateu, on utilisea la deuxième stuctue. L obsevateu est pis sous la fome : ż(t) = µ i ( ˆx(t))(N i z(t)+g i u(t)+l i y(t)) ˆx(t) = z(t) Hy(t) L eeu d estimation d état est donnée pa : où : e(t) = x(t) ˆx(t) = x(t) z(t)+hcx(t)+hgd(t) La dynamique de l eeu d estimation d état est donnée pa : ė(t) = Pẋ(t) ż(t)+hgd(t) = (4.12) = Px(t) z(t) + HGd(t) (4.13) P = I + HC (4.14) µ i ( ˆx(t))(PA i x(t)+pb i u(t)+pe i d(t) + Pω(t) N i z(t) G i u(t) L i y(t))+hgd(t) (4.15) Apès éoganisation des temes de la patie doite de la dynamique de l eeu d estimation d état et en utilisant les définitions de y(t) et de z(t), on obtient : ė(t) = µ i ( ˆx(t))((PA i N i K i C)x(t) + (PB i G i )u(t)+(pe i K i G)d(t)+Pω(t) + N i e(t))+hg d(t) (4.16) avec K i = N i H + L i. Si les conditions suivantes sont véifiées : alos, la dynamique de l eeu d estimation d état devient : ė(t) = HG = (4.17) N i = PA i K i C (4.18) PB i = G i (4.19) PE i = K i G (4.2) L i = K i N i H (4.21) µ i ( ˆx(t))(N i e(t)+pω(t)) (4.22) montant ainsi que la dynamique de l eeu d estimation d état est petubée pa ω(t). Pou synthétise les matices de l obsevateu (4.12), le poblème peut ête taité suivant cetaines méthodes poposées dans le chapite 3. En effet, connaissant la stuctue du teme ω(t), il est possible de l écie suivant plusieus manièes. 118

136 4.3. Conception d obsevateu à entées inconnues pa découplage Appoche pa condition de Lipschitz On suppose que le teme ω(t) défini en (4.11) satisfait la condition suivante : où γ est une constante positive. ω(t) γ e(t) (4.23) Théoème 4.1. Un obsevateu à entées inconnues existe pou le système (4.9) s il existe une matice symétique et définie positive X R n n, des matices M i R n n y et S R n n y et un scalaie positif λ tels que les conditions suivantes soient véifiées pou tout i = 1,..., : [ ] Ψ i (X + SC) (X + SC) T < (4.24) λi où : SG = (4.25) (X + SC)E i = M i G (4.26) Ψ i = A T i (X +C T S T )+(X + SC)A i C T M T i M i C+ λγ 2 I (4.27) Les matices de l obsevateu sont déteminées pa : H = X 1 S (4.28) K i = X 1 M i (4.29) N i = (I + HC)A i K i C (4.3) L i = K i N i H (4.31) G i = (I + HC)B i (4.32) Démonstation. La peuve s appuie su l existence d une fonction de Lyapunov quadatique V(t) = e(t) T Xe(t), X = X T >. Apès calcul de la déivée de la fonction de Lyapunov et l utilisation du lemme 1.1, on aboutit à : V(t) µ i ( ˆx)e T (N T i X + XN i + λγ 2 I + λ 1 XPP T X)e, λ > (4.33) Les fonctions d activation véifient la condition de somme convexe, donc la déivée de la fonction de Lyapunov est négative si : D apès (4.18), (4.34) s écit : N T i X + XN i + λγ 2 I + λ 1 XPP T X <, i = 1,..., (4.34) (PA i K i C) T X + X(PA i K i C)+λγ 2 I + λ 1 XPP T X <, i = 1,..., (4.35) La ésolution de l inégalité maticielle (4.35) n est pas linéaie en les inconnues K i, X et λ. Pou ésoude ce poblème on pocède comme suit. 119

137 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM D abod, on effectue les changements de vaiables : S = XH (4.36) M i = XK i (4.37) et en utilisant le complément de Schu [Boyd et al., 1994], on obtient les inégalités maticielles linéaies : [ A T i P T X + XPA i C T Mi T M i C+ λγ 2 ] I XP P T < (4.38) X λi Avec (4.36) et (4.17), on a XP = X + SC et (4.38) devient (4.24). (4.36), (4.17) et (4.2) deviennent espectivement (4.25) et (4.26). Les gains N i, L i et G i sont alos obtenus pa (4.3), (4.31) et (4.32) espectivement Constuction de l obsevateu pa l appoche L 2 Dans le cas où la constante de Lipschitz de l hypothèse (4.23) ne pemet pas d obteni une solution pou les LMIs (4.24) du théoème 4.1, d autes méthodes sont poposées dans cette section fondées su l appoche L 2. Ces méthodes utilisent les ésultats obtenus dans le chapite 3 à la section 3.4. Pou cela, l exploitation de la stuctue du teme ω(t) est nécessaie pou le é-écie de façon adaptée à ces appoches. Appoche pa petubation Théoème 4.2. L obsevateu (4.12) pou le système (4.9) tel que le système (4.22) est stable tout en minimisant le gain L 2 du tansfet de ω(t) ves e(t) est obtenu en ésolvant le poblème d optimisation : min γ s.c. X,M i,s, γ [ Ψ i X + SC (X + SC) T γi ] <, i = 1,..., (4.39) SG = (4.4) (X + SC)E i = M i G (4.41) où : Ψ i = A T i (X +C T S T )+(X + SC)A i C T M T i M i C+ I (4.42) X R n n,m i R n n y,s, γ R Les matices de l obsevateu sont déteminées pa les équations (4.17)-(4.21). Le taux d atténuation est obtenu pa γ = γ. 12

138 4.3. Conception d obsevateu à entées inconnues pa découplage Démonstation. Pou démonte le théoème 4.2, on utilise le lemme boné éel [Boyd et al., 1994]. La dynamique de l eeu d estimation d état est donnée pa : ė(t) = µ i ( ˆx(t))(N i e(t)+pω(t)) (4.43) L eeu d estimation convege ves zéo et le gain L 2 du tansfet de ω(t) ves e(t) est boné pa γ si l inégalité suivante est véifiée : [ ] N T µ i ( ˆx(t)) i X + XN i + I XP P T X γ 2 < (4.44) I La popiété de somme convexe des fonctions d activation pemet d écie la condition suffisante suivante : [ ] N T i X + XN i + I XP P T X γ 2 <, i = 1,..., (4.45) I En utilisant l expession (4.18) de N i et les changements de vaiables M i = XK i et γ = γ 2 (4.45) devient : [ A T i P T X + XPA i C T Mi T ] M i C+ I XP P T <, i = 1,..., (4.46) X γi La suite de la démonstation est similaie à celle du théoème 4.1. Appoche pa incetitudes bonées Dans cette patie, le teme ω(t) est é-écit sous fome d incetitudes. Comme on l a déjà vu dans les sections et du chapite 3, ω(t) peut s écie sous deux fomes difféentes. La pemièe fome consiste à é-écie ω(t) sous la fome : ω(t) = (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))(A i x(t)+b i u(t)+e i d(t)) (4.47) = A(t)x(t) + Bu(t) + Ed(t) (4.48) = A(t)x(t)+ B d(t) (4.49) où A(t) et B(t) sont définies pa (3.293) et (3.294) (voi section au chapite 3), d(t) = [u(t) T d(t) T ] T, et E(t) et B(t) sont données pa : E(t) = B(t) = (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))E i =EΣ E (t)e E (4.5) (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t))) B i = BΣ B (t)e B (4.51) où : E = [ δ ] 1 I nd E 1 E, ΣE (t) =....., E E = [ ] T I nd I nd (4.52) δ I nd 121

139 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM B = [ B E ], Σ B (t) = [ ΣB (t) Σ E (t) ], E B = [ E B E E ] T (4.53) où δ i (t) = µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)). En utilisant l écitue (4.47) de ω(t), l eeu d estimation d état (4.22) devient : ė(t) = µ i ( ˆx(t))(N i e(t)+ A(t)x(t)+ B(t) d(t)) (4.54) On définit l état augmenté e a (t) = [e(t) T x(t) T ] T et on obtient : ė a (t) = µ i ( ˆx(t))µ j (x(t)) ( A i j (t)e a (t)+b i j (t) d(t) ) (4.55) j=1 où : ( Ni A(t) A i j (t) = A j ) ( B(t) E(t), B i j (t) = B j E j ) (4.56) Théoème 4.3. L obsevateu (4.12) pou le système (4.9) tel que le système (4.55) généant l eeu d estimation e(t) est stable tout en minimisant le gain L 2 du tansfet de d(t) ves e(t) est obtenu en ésolvant le poblème d optimisation suivant : min X 1,X 2,M i,s,λ 1,λ 2,λ 3, γ γ s.c. Ψ i X 1 A X 1 B X 1 E Θ j X 2 B j X 2 E j B T j X 2 γi + λ 2 EB T E B E T j X 2 γi + λ 3 EE T E E A T X 1 λ 1 I B T X 1 λ 2 I E T X 1 λ 3 I < (4.57) SG = (4.58) (X 1 + SC)E i = M i G (4.59) où : Ψ i = A T i (X 1 +C T S T )+(X 1 + SC)A i C T M T i M i C+ I (4.6) Θ j = A T j X 2 + X 2 A j + λ 1 E T A E A (4.61) où X 1 R n n,x 2 R n n,m i R n n y,s R n n y,λ 1 R,λ 2 R,λ 3 R, γ R. Apès ésolution des LMIs (4.57) et LMEs (4.58) et (4.59), les matices de l obsevateu sont obtenues à pati de (4.28)-(4.32). Le taux d atténuation minimal obtenu est donné pa γ = γ 122

140 4.3. Conception d obsevateu à entées inconnues pa découplage Démonstation. La démonstation est basée su l utilisation du lemme boné éel [Boyd et al., 1994] (voi annexe B). On obtient alos l inégalité maticielle suivante : Ni T X 1 + X 1 N i + I X 1 A(t) X 1 B(t) X 1 E(t) A(t) T X 1 A T j X 2 + X 2 A j X 2 B j X 2 E j B(t) T X 1 B T j X 2 γ 2 I E(t) T X 1 E T j X 2 γ 2 I < (4.62) Cetains temes de cette inégalité sont vaiables dans le temps à cause des matices A(t), B(t) et E(t), afin de pouvoi élimine cette dépendance à t, l inégalité (4.62) est décomposée en deux paties, l une constante et l aute vaiable dans le temps contenant les temes d incetitude. Ces temes d incetitudes sont taités de la même manièe que dans la section Le pemie bloc de (4.62) est tansfomé suivant la démache utilisée dans la démonstation du théoème 4.1 en penant en considéation les conditions (4.17)-(4.21). Appoche pa "incetitude constantes" La seconde appoche poposée dans la section du chapite 3 pemet de é-écie le teme ω(t) sous la fome : où : ω(t) = µ i (x(t))µ j ( ˆx(t)) ( A i j x(t)+ B i j d(t) ) (4.63) j=1 A i j = A i A j (4.64) B i j = B i B j (4.65) Théoème 4.4. L obsevateu (4.12) pou le système (4.9) tel que le système généant l eeu d estimation d état e(t) est stable tout en minimisant le gain L 2 du tansfet de d(t) ves e(t) est obtenu en ésolvant le poblème d optimisation suivant : min X 1,X 2,M i,s, γ γ s.c. Ψ i X 1 (A i A j ) X 1 (B i B j ) X 1 (E i E j ) (A i A j ) T X 1 Θ j X 2 B j X 2 E j (B i B j ) T X 1 B T j X 2 γi (E i E j ) T X 1 E T j X 2 γi < (4.66) SG = (4.67) (X 1 + SC)E i = M i G (4.68) où : Ψ i = A T i (X 1 +C T S T )+(X 1 + SC)A i C T M T i M i C+ I (4.69) 123

141 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM Θ j = A T j X 2 + X 2 A j (4.7) avec X 1 R n n,x 2 R n n,m i R n n y,s R n n y, γ R. Apès ésolution des LMIs (4.66) et LMEs (4.67) et (4.68), les matices de l obsevateu sont obtenues à pati de (4.28)-(4.32). Le taux d atténuation minimal obtenu est donné pa γ = γ Démonstation. La démonstation est basée su l utilisation du lemme boné éel [Boyd et al., 1994] (voi annexe B). Remaque 4.1. La même démache pemet aussi de taite le cas des systèmes pésentant du buit de mesue en considéant un vecteu augmenté contenant toutes les entées à minimise. Pa conséquent, un obsevateu optimal est obtenu pa minimisation du tansfet du nouveau vecteu de petubation ves l eeu d estimation d état Estimation des entées inconnues Apès l estimation de l état, en découplant complètement ou patiellement l influence de l entée inconnue de l eeu d estimation, il est possible d estime l entée inconnue à pati de l estimation du vecteu d état. Dans le système (4.1), l entée inconnue d(t) appaaît avec la matice d influence : W(t) = µ i ( ˆx(t))E i G (4.71) Pou estime l entée inconnue, il faut que le ang de la matice W(t) véifie à chaque instant t la condition : ang(w(t)) = n d (4.72) n d étant la dimension de d(t). Si cette condition est véifiée, W(t) est de plein ang colonne et sa pseudo-invese à gauche W (t) existe et est définie pa : W (t) = ( W T (t)w(t) ) 1 W T (t) (4.73) L entée inconnue peut alos se calcule de la façon suivante : d(t) ˆ = W (t) ˆx(t) µ i ( ˆx(t))(A i ˆx(t)+B i u(t)) y(t) C ˆx(t) (4.74) Sous la condition (4.72) la convegence asymptotique de ˆx ves x entaîne la convegence asymptotique de dˆ ves d. Exemple 4.1 (Estimation d état et d entée inconnue) Afin d illuste les pefomances des méthodes poposées et de pouvoi compae ente les difféents théoèmes poposés jusqu ici pou la conception d obsevateu à entées inconnues, nous poposons d étudie un poblème de synchonisation et d estimation d un message cypté à l aide d un généateu chaotique de Loenz, considéé comme une entée inconnue, à base 124

142 4.3. Conception d obsevateu à entées inconnues pa découplage m(t) Généateu Chaotique Cyptage y(t) Message tansmis Récepteu décyptage ˆm(t) Figue 4.3 Synchonisation à base d obsevateus d obsevateus (voi figue 4.3). Pou cela, considéons le système de Loenz [Chen, 27] epésenté pa la stuctue T-S à VDNM (4.9) défini pa les matices suivantes : A 1 = , A 2 = , E 1 = 3, E 2 = C = [ 1 ], G = 1 Les fonctions d activation du modèle sont données pa les équations suivantes : µ 1 (x(t)) = 1+ x 1 (t) 3 2 µ 2 (x(t)) = 1 x 1 (t) 3 2 (4.75) où l on emaque leu dépendance pa appot à la pemièe composante x 1 (t) du vecteu d état qui n est pas mesuable. Enfin, un buit de mesue, d amplitude.1, est ajouté à la sotie y(t). La ésolution du poblème énoncé au théoème 4.2 pemet l obtention des matices de l obsevateu (4.12) : N 1 = L 1 = 4 3 1, L 2 =, N 2 = 3 28, H = Le taux d atténuation obtenu est γ = Les figues 4.4, 4.5 et 4.6 montent le caactèe chaotique du système destiné à cypte le message à tansmette. En l absence de buit de mesue, les ésultats de simulation sont pésentés su les figues 4.7, 4.8 et 4.9. On obseve le découplage total de l entée inconnue. En pésence de buit de mesue d amplitude maximale de 1% de l amplitude maximale de la sotie y(t), l eeu d estimation d état est donnée su la figue 4.1 et le message éel ainsi que son estimé sont illustés su la figue L estimation de l entée inconnue est éalisée diectement en utilisant la sotie et l état estimé puisque G est un scalaie. L estimation de l entée inconnue à pati de la méthode donnée dans la section, 125

143 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM x x 1 Figue 4.4 Plan de phase x 1 (t) et x 2 (t) x x 1 Figue 4.5 Plan de phase x 1 (t) et x 3 (t) utilise la déivation de ˆx(t) qui amplifie le buit de mesue. Afin de econstitue le signal binaie tansmis, un système de seuillage peut ête utilisé, pa exemple un tigge de Schmidt pemetta la emise sous fome binaie du signal. 126

144 4.3. Conception d obsevateu à entées inconnues pa découplage x x 2 Figue 4.6 Plan de phase x 2 (t) et x 3 (t) 2 1 x 1 éel x 1 estimé x 2 éel 1 x 2 estimé x 3 éel x 3 estimé Figue 4.7 Etats du système et leus estimés 127

145 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM Figue 4.8 Eeus d estimation d état 1.5 message envoyé message estimé Figue 4.9 Message envoyé et son estimation 128

146 4.3. Conception d obsevateu à entées inconnues pa découplage Figue 4.1 Eeu d estimation d état en pésence de buit de mesue 1.5 message envoyé message estimé Figue 4.11 Message estimé en pésence de buit de mesue 129

147 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM Dans cette patie, des conditions d existence de l obsevateu à entées inconnues (4.12) pou le système (4.9) sont données sous fome LMI et containtes égalités dans les théoèmes 4.1, 4.2, 4.3 et 4.4. Ces ésultats constituent une extension des appoches poposées dans le chapite 3 pou l estimation d état des systèmes T-S à vaiables de décision non mesuables. Comme mentionné dans le chapite 3, les hypothèses su la stabilité du système, les conditions de Lipschitz des fonctions d activation et l hypothèse su l entée bonée font que ces nouvelles méthodes de conception de l obsevateu à entées inconnues sont complémentaies. Le théoème 4.1 founit des conditions assuant la convegence de l eeu d estimation d état sous l hypothèse ω(t) < γ e(t). Cette hypothèse s est avéée tès consevative à cause de la condition de Lipschitz des fonctions d activation, de l entée bonée et de l état boné (i.e. système stable). De plus, l obtention d une solution aux conditions LMIs du théoème 4.1 est conditionnée pa une faible valeu de la constante γ. Dans le souci de éduie le consevatisme de ces conditions et d élimine cetaines hypothèses de tavail, l appoche L 2 est utilisée pou obteni des conditions d existence moins consevatives de l obsevateu (4.12). En effet, les conditions données dans les théoèmes 4.2, 4.3 et 4.4 ne nécessitent pas des fonctions d activation lipschitziennes, ce qui généalise le ésultat à une classe plus lage de systèmes T-S à VDNM. Dans les théoèmes 4.3 et 4.4, la connaissance de la stuctue du teme ω(t) donné pa (4.11) est exploitée conjointement avec la popiété de somme convexe des fonctions d activation pou é-écie le système sous la fome d un système incetain avec des incetitudes paamétiques bonées et vaiables dans le temps pou le théoème 4.3 et constantes pou le théoème 4.4. L intéêt de ces deux denies ésultats éside dans le fait que la minimisation ne pote que su l entée du système qui est supposée appateni à l ensemble des signaux de caés sommables L 2 et non su tout le teme ω(t). L extension des autes ésultats pésentés dans le chapite 3 à l estimation d état en pésence d entées inconnues est possible. Cependant, pou la méthode utilisant le théoème de la valeu moyenne et la tansfomation pa secteus non linéaies, sa généalisation n est pas diectement éalisable. Pou cela, on popose dans la section suivante un obsevateu à entée inconnue modifié afin de pouvoi généalise cette méthode. L intéêt de cette appoche est qu elle founit des conditions moins estictives que les autes méthodes puisqu elle tansfome le poblème lié à la constante de Lipschitz en un poblème d étude et de elaxation de conditions de stabilité, comme on l a déjà vu dans la section et du chapite 3 pou le cas des systèmes à temps discet Obsevateu à entées inconnues pa l appoche du théoème de la valeu moyenne Soit le système T-S à VDNM suivant : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)+e i d(t)) y(t) = Cx(t)+Gd(t) (4.76) 13

148 4.3. Conception d obsevateu à entées inconnues pa découplage Le système (4.76) peut s écie de façon équivalente : ẋ(t) = A x(t)+b u(t)+e d(t)+ µ i ( ˆx(t))(Ē i d(t))+ µ i (x(t)) ( Ā i x(t)+ B i u(t) ) + (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))(Ē i d(t)) y(t) = Cx(t)+Gd(t) (4.77) où A, B, Ā i et B i sont définies pa (3.6)-(3.9). La matice E peut s obteni de deux manièes difféentes : 1. La pemièe idée consiste à considée E comme la moyenne des matices E i, ce qui donne : E = 1 E i (4.78) 2. L aute idée est basée su la echeche de la matice E minimisant la nome de Fobenius : sous la containte de ang : min E E i 2 E F,i = 1,..., (4.79) ang(e ) < n y (4.8) Pou plus de détail (voi [Chen et Patton, 1999b], [Lou et al., 1986], [Rodigues, 25]). Les matices Ē i sont obtenues pa : Ē i = E i E (4.81) Dans le cas où les entées inconnues influent su l équation de mesue (i.e. G ), les deux popositions pécédentes sont équivalentes. Pa conte la seconde poposition est plus intéessante dans le cas où la matice d influence des entées inconnues est nulle (i.e. G = ), puisqu un découplage total des entées inconnues n est pas éalisable. Dans ce cas, cette appoche pemet de concente la majeue patie de l influence des entées inconnues su la matice E constante pou laquelle il existe une matice de pojection P telle que PE =. Autement dit, une gande patie de l influence des entées inconnues est découplée. Contaiement à la méthode utilisée dans [Rodigues, 25], pou les systèmes T-S à VDM, consistant à faie une appoximation en négligeant les temes µ i(x(t))ē i d(t), la méthode que l on popose pend en considéation ces temes comme des incetitudes de modélisation à minimise. Ce faisant, on amélioe la qualité de l estimation d état. On éalise alos une atténuation de l influence des entées inconnues. Conception de l obsevateu dans le cas de mesues affectées pa les entées inconnues Nous poposons dans cette section un obsevateu à entées inconnues ayant la stuctue suivante : ż(t) = µ i ( ˆx(t)) ( N i z(t)+l i y(t)+pā i ˆx(t)+PB i u(t) ) (4.82) ˆx(t) = z(t) Hy(t) 131

149 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM où P = I n + HC. L eeu d estimation d état est donnée pa : e(t) = (I + HC)x(t) z(t) + HGd(t) (4.83) Sa dynamique obéit à l équation difféentielle suivante : où : ė(t) = = Px(t) z(t) + HGd(t) (4.84) µ i ( ˆx(t))(PA N i P L i C)x(t)+ + P (x, ˆx,u,d)+ avec f(x, u, d) définie comme suit : f(x,u,d) = µ i ( ˆx(t))(PE i L i G)d(t) µ i ( ˆx(t))N i e(t)+hg d(t) (4.85) (x, ˆx,u,d) = f(x,u,d) f( ˆx,u,d) (4.86) On pose K i = N i H + L i. Si les conditions suivantes sont véifiées : alos l eeu d estimation d état (4.85) devient : ė(t) = µ i (x(t)) ( Ā i x(t)+b i u(t)+ē i d(t) ) (4.87) HG = (4.88) N i = PA K i C (4.89) PE i = L i G (4.9) µ i ( ˆx(t))N i e(t)+p (x, ˆx,u,d) (4.91) En utilisant l appoche développée dans la section du chapite 3 basée su l utilisation du théoème de la valeu moyenne ainsi que l appoche de tansfomation pa secteus non linéaies, l eeu d estimation obéit à l équation difféentielle : ė(t) = q µ i ( ˆx(t))h j (z) ( ) N i + PA j e(t) (4.92) j=1 Le théoème suivant founit des conditions suffisantes, sous fome LMI et containtes égalités, assuant la convegence asymptotique de l eeu d estimation d état ente le système (4.3) et l obsevateu (4.82). Théoème 4.5. Un obsevateu à entées inconnues existe pou le système (4.76) s il existe une matice symétique et définie positive X, des matices M i et S telles que les conditions suivantes soient véifiées pou tout i = 1,..., et j = 1,...,q : 132 A T j (X +C T S T )+(X + SC)A j + A T (X +C T S T )+(X + SC)A C T M T i M i C < (4.93)

150 Les matices de l obsevateu sont calculées pa : 4.3. Conception d obsevateu à entées inconnues pa découplage SG = (4.94) (X + SC)E i = M i G (4.95) (4.96) H = X 1 S (4.97) K i = X 1 M i (4.98) N i = (I + HC)A K i C (4.99) L i = K i N i H (4.1) P = (I + HC) (4.11) Démonstation. La démonstation est similaie à celle du théoème 4.1. Remaque 4.2. La même démache pemet de généalise le ésultat à la conception d obsevateu pa le théoème de la valeu moyenne et l appoche pa tansfomation pa secteus non linéaies aux systèmes à temps discet affectés pa des entées inconnues Cas paticulie : mesues non affectées pa les entées inconnues Dans le poblème de détection et de localisation des défauts d actionneus utilisant des bancs d obsevateu, on suppose toujous que les défauts d actionneu et les défauts de capteu ne sugissent pas simultanément. Dans ce cas, l entée inconnue n affecte que l équation de la dynamique et pas l équation de mesue. Pou ce cas paticulie, il est possible d utilise les méthodes développées pécédemment en utilisant ẏ(t) à la place de y(t). Cela fea appaaîte l entée inconnue dans l équation de la nouvelle mesue : ẏ(t) = µ i ( ˆx(t))(CA i x(t)+cb i u(t)+ce i d(t)) (4.12) Le plus souvent, la sotie mesuée d un système est entachée de buit, la déivation d un tel signal amplifie le buit et pa conséquent diminue la qualité de l estimation d état. Dans cette section, nous poposons une solution au poblème d entée inconnue affectant seulement l équation d état du système sans affecte l équation de mesue. En effet, en analysant les conditions (4.9) on s apeçoit qu on ne peut touve une matice P pemettant de satisfaie l égalité PE i = que si l intesection des noyaux des matices E i est non nulle ce qui est estictif du point de vue modélisation ca la classe de systèmes étudiés est éduite. Une solution a été poposée dans [Rodigues, 25] consistant à appoxime un ensemble de matices E i, i = 1,..., pa une matice constante E pa minimisation de la nome de Fobenius et en négligeant les écats ente les matices E i et la matice E [Patton et al., 1989]. Cependant, si le nombe de sous-modèles est impotant, ces écats peuvent deveni impotants et pa conséquent affecte la qualité de l estimation de l état ca l entée inconnue n est pas totalement découplée de l eeu d estimation d état. Il est alos indispensable de pende en considéation ces écats de manièe à les atténue. 133

151 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM Nous poposons dans cette section, une extension des ésultats pécédents, en supposant que l entée inconnue n affecte que la dynamique du système et que : ke(e i) {} (4.13) Soit le système T-S à VDNM affecté pa l entée inconnue d(t) : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)+e i d(t)) y(t) = Cx(t) En utilisant l obsevateu (4.82), on aboutit à l eeu d estimation d état suivante : (4.14) ė(t) = + µ i ( ˆx(t))(PA N i P L i C)x(t)+ µ i ( ˆx(t))PE i d(t)+p (x, ˆx,u,d)+ On pose K i = N i H + L i. Si les conditions suivantes sont véifiées : alos, l eeu d estimation d état est éduite à : ė(t) = µ i ( ˆx(t))N i e(t) (4.15) PE = (4.16) N i = PA K i C (4.17) µ i ( ˆx(t))(N i e(t)+pe i d(t))+p (x, ˆx,u,d) (4.18) où (x, ˆx,u,d) est définie pa (4.86). La stabilité du système (4.18) ainsi que la minimisation du tansfet de l entée inconnue d(t) ves e(t) sont étudiées en exploitant les ésultats du chapite 3. Nous avons généalisé deux appoches pami celle données dans le chapite 3, la pemièe utilise l hypothèse de Lipschitz du teme (x, ˆx, u, d), la seconde consiste à généalise l appoche utilisant le théoème de la valeu moyenne et la tansfomation pa secteus non linéaies. Appoche pa condition de Lipschitz Dans cette patie, posons l hypothèse suivante : (x(t), ˆx(t), u(t), d(t)) < ρ e(t) (4.19) En utilisant la condition (4.19), on obtient les conditions LMIs données au théoème 4.6 Théoème 4.6. Un obsevateu à entées inconnues existe pou le système (4.76) s il existe une matice symétique et définie positive X R n n, des matices M i R n n y et S R n n y et deux scalaies positifs γ et λ tels que les conditions suivantes soient véifiées pou tout i = 1,..., : min X,M i,s,λ, γ γ s.c. 134

152 4.3. Conception d obsevateu à entées inconnues pa découplage A T (X +CT S T )+(X + SC)A C T Mi T M i C+(1+λρ 2 )I (X + SC) (X + SC)E i (X +C T S T ) λ < Ei T (X +C T S T ) γi (4.11) (X + SC)E = (4.111) Les matices de l obsevateu sont obtenues à pati des équations suivantes : Le taux d atténuation est donné pa γ = γ. H = X 1 S (4.112) K i = X 1 M i (4.113) N i = (I + HC)A K i C (4.114) L i = K i N i H (4.115) (4.116) Démonstation. En utilisant (4.19), et apès étude de la stabilité du système (4.18) avec la méthode de Lyapunov tout en assuant simultanément une atténuation du gain L 2 noté γ, du tansfet de d(t) ves e(t), on aboutit aux LMIs du théoème 4.6. Appoche pa le théoème de la valeu moyenne La méthode utilisant le théoème de la valeu moyenne ainsi que la tansfomation pa secteus non linéaies pemet d écie : ė(t) = q j= µ i ( ˆx(t))h j (z) (( N i + PA j ) e(t)+pei d(t) ) (4.117) Finalement, le poblème est amené à la echeche des matices N i, G, L, L i et H gaantissant les équations (4.16)-(4.17) et assuant la stabilité du système (4.117) et assuant la minimisation du tansfet de d(t) ves l eeu d estimation d état e(t). Le théoème suivant donne des conditions suffisantes pou la synthèse de l obsevateu à entées inconnues. Théoème 4.7. Un obsevateu à entées inconnues existe pou le système (4.76) s il existe une matice symétique et définie positive X R n n, des matices M i R n n y et S R n n y telles que les conditions suivantes soient véifiées pou tout i = 1,..., et j = 1,...,q : min X,M i,s, γ γ s.c. ( (A j + A ) T (X +C T S T )+(X + SC)(A j + A ) C T Mi T M i C+ I (X + SC)E i Ei T (X +C T S T ) γi ) < (4.118) (X + SC)E = (4.119) 135

153 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM Les matices de l obsevateu sont obtenues à pati des équations suivantes : Le taux d atténuation est donné pa γ = γ. H = X 1 S (4.12) K i = X 1 M i (4.121) N i = (I + HC)A K i C (4.122) L i = K i N i H (4.123) Démonstation. La démonstation est similaie à celle poposée pou le théoème 4.1. Remaque 4.3. Comme il a été mentionné au chapite 3, l avantage pincipal de la méthode basée su le théoème de la valeu moyenne et de la tansfomation pa secteus non linéaies est la elaxation des conditions données dans le théoème 4.1 pa la é-écitue de la condition de Lipschitz sous une aute fome amenant ainsi le poblème de la éduction du consevatisme lié à la constante de Lipschitz à un poblème de elaxation de la stabilité qui peut se faie pa d autes types de fonctions de Lyapunov (voi chapite 3). Le second avantage découle diectement des tavaux publié écemment dans [Nagy et al., 29a] su la modélisation des systèmes T-S à VDNM. En effet, la méthode de modélisation poposée dans [Nagy et al., 29a] intoduit des paamètes supplémentaies donnant des degés de libeté additionnels dans le choix des fonctions d activation et des sous-modèles. Ces paamètes sont choisis de façon à satisfaie des conditions d obsevabilité locale (obsevabilité des sous-modèles). Ce ésultat impotant est utilisé ici pou é-écie le teme (x, ˆx,u,d) sous la fome T-S. Les paamètes supplémentaies sont alos choisis de manièe à assue l obsevabilité locale des paies (A + A j,c), i = 1,...,, j = 1,...,q. 4.4 Conception d obsevateus PI Dans cette section l obsevateu de type Popotionnel-Intégal utilisé dans le cade des systèmes linéaies [Wojciechowski, 1978] et des systèmes singulies [Max et al., 23] est étendu aux systèmes T-S. L étude sea développée losque les vaiables de décision sont mesuables et non mesuables. Hypothèse 4.1. Tout au long de cette section, les entées inconnues sont supposées constantes i.e. : d(t) = (4.124) Cette hypothèse est classiquement utilisée pou la démonstation théoique de la convegence de l obsevateu PI, bien qu en patique, on constatea qu on peut s en affanchi en augmentant les gains de l obsevateu afin d élagi sa bande passante pemettant ainsi la pise en compte des dynamiques négligées. Cela povoque cependant une augmentation de la sensibilité aux buits. Le choix des gains de l obsevateu est alos déteminé pa la satisfaction d un compomis ente la obustesse et les pefomances de l obsevateu (voi la discussion faite à ce sujet dans [Koenig et Mamma, 22]). 136

154 4.4. Conception d obsevateus PI Vaiables de décision mesuables Considéons le système T-S ayant des vaiables de décision mesuables : ẋ(t) = µ i (ξ(t))(a i x(t)+b i u(t)+e i d(t)) y(t) = Cx(t)+Gd(t) (4.125) En se basant su l hypothèse 4.1, le système (4.125) peut s écie sous la fome augmentée suivante : ẋ a (t) = µ i (ξ(t)) ( Ā i x a (t)+ B i u(t) ) (4.126) y(t) = Cx a (t) où : x a (t) = ( x(t) d(t) ) ( Ai E, Ā i = i ) ( Bi, B i = L obsevateu PI poposé est de la fome : ˆx(t) = µ i (ξ(t)) ( A i ˆx(t)+B i u(t)+e i d(t)+l ˆ Pi (y(t) ŷ(t)) ) d(t) ˆ = µ i (ξ(t))(l Ii (y(t) ŷ(t))) ŷ(t) = C ˆx(t)+G d(t) ˆ ), C = ( C G ) (4.127) (4.128) où L Pi epésentent les gains popotionnels et L Ii les gains intégaux de l obsevateu (4.128). Cette stuctue se difféencie de la stuctue classique de Luenbege pa la pésence d un etou intégal pemettant la econstuction de l entée inconnue. En effet, contaiement à un obsevateu à entées inconnues pa découplage consistant à masque l influence des entées inconnues su l eeu d estimation d état, l obsevateu PI pemet l estimation simultanée de l état du système et des entées inconnues. De manièe généale, l obsevateu PI est utilisé pa exemple pou l estimation des défauts ayant un specte en basses féquences. La mise sous fome augmentée de (4.128) donne : ˆx a (t) = µ i (ξ(t)) ( Ā i ˆx a (t)+ B i u(t)+ L i (y(t) ŷ(t)) ) (4.129) ŷ(t) = C ˆx a (t) où : ( ) LPi L i = L Ii On définit l eeu d estimation d état et d entée inconnue comme suit : (4.13) e a (t) = x a (t) ˆx a (t) (4.131) En utilisant (4.126) et [Max et al., 23], la dynamique de l eeu e a (t) obéit à l équation difféentielle suivante : ė a (t) = µ i (ξ(t)) ( Ā i L i C ) e a (t) (4.132) 137

155 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM Les conditions de convegence de d eeu d estimation de l état et d EI sont données dans le théoème 4.8 sous fome LMI. Théoème 4.8. Les eeus d estimation d état et d entées inconnues convegent asymptotiquement ves zéo s il existe une matice symétique et définie positive P R (n+n d) (n+n d ) et des matices K i R (n+n d) n y telles que les LMIs suivantes soient véifiées : Ā T i P+PĀ i C T K T i K i C <, i = 1,..., (4.133) Apès ésolution des LMIs (4.133), les gains de l obsevateu sont obtenus à pati de l équation suivante : ( ) LPi L i = = P 1 K L i (4.134) Ii Démonstation. La peuve s appuie su la fonction de Lyapunov (4.135) définie pa : V(e a (t)) = e a (t) T Pe a (t), P = P T > (4.135) la popiété de somme convexe des fonctions d activation et su le changement de vaiables K i = P L i Vaiables de décision non mesuables Plaçons-nous maintenant dans le cas où les fonctions d activation du système dépendent de vaiables non mesuables (pa exemple l état du système). La stuctue du système s écit : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x a (t)+b i u(t)+e i d(t)) (4.136) y(t) = Cx(t)+Gd(t) De manièe analogue à la démache exposée dans la section pécédente, le système (4.136) se met facilement sous la fome augmentée suivante : ẋ a (t) = µ i (x(t)) ( Ā i x a (t)+ B i u(t) ) (4.137) y(t) = Cx a (t) L obsevateu ne poua pas utilise la même vaiable de pémisse que le système (4.137) ca elle n est pas disponible d où la difficulté de la conception d obsevateu pou les systèmes T-S à VDNM. L obsevateu poposé utilise alos l état estimé ˆx(t) comme vaiable de pémisse, ce qui donne la stuctue suivante de l obsevateu : ˆx(t) = µ i ( ˆx(t)) ( A i ˆx(t)+B i u(t)+e i d(t)+l ˆ Pi (y(t) ŷ(t)) ) d(t) ˆ = µ i ( ˆx(t))(L Ii (y(t) ŷ(t))) (4.138) ŷ(t) = C ˆx(t)+G d(t) ˆ Sous la fome augmentée, l obsevateu s écit : ˆx a (t) = µ i ( ˆx(t)) ( Ā i ˆx a (t)+ B i u(t)+ L i (y(t) ŷ(t)) ) (4.139) ŷ(t) = C ˆx a (t) 138

156 4.4. Conception d obsevateus PI Remaque 4.4. On constate qu apès l intoduction de l état augmenté x a (t), les stuctues du système (4.137) et de l obsevateu (4.139) pennent la même fome que celles utilisées dans le chapite 3 pou l estimation d état sans entées inconnues, donc les ésultats obtenus dans les sections 3.3 et 3.4 au chapite 3 seont facilement tansposables à l obsevateu PI pa emplacement des matices A i, B i, C et K i espectivement pa Ā i, B i, C et K i. Cependant les ésultats obtenus dans les théoèmes 3.14 et 3.15 de la section 3.4 concenant les obsevateus L 2 ne peuvent pas s applique diectement ca les blocs (2,2) des LMIs (3.33) et (3.343) doivent êtes définis négatifs cela veut die que les matices A i doivent ête stables. O, apès l augmentation du vecteu d état avec le vecteu d entées inconnues d(t), les valeus popes des matices Ā i obtenues peuvent ne pas avoi des paties éelles négatives. Les LMIs (3.33) et (3.343) sont donc iéalisables. Afin de emédie à ce poblème, nous poposons dans la section suivante une extension du théoème 3.14 obtenu pa l appoche pa incetitudes bonées. Le ésultat du théoème 3.15 peut se généalise de façon similaie, il est donc omis. Considéons le système (4.137) et son obsevateu (4.139). En utilisant la tansfomation opéée dans la section 3.7 du chapite 3, on écit le système (4.137) sous une fome équivalente epésentée pa le système T-S incetain où les fonctions d activation dépendent de l état estimé suivant : ẋ a (t) = µ i ( ˆx(t)) (( Ā i + Ā(t) ) x a (t)+( B i + B(t))u(t) ) (4.14) y(t) = Cx a (t) La dynamique de l eeu d estimation d état et des entées inconnues e a (t) = x a (t) ˆx a (t) est donnée pa : ė a (t) = µ i ( ˆx(t)) (( Ā i + L i C ) e a (t)+ Ā(t)x a (t)+ B(t)u(t) ) (4.141) Apès décomposition de la matice A(t) et le vecteu x a (t), on obtient : ė a (t) = µ i ( ˆx(t))( (Āi + L i C ) [ ] [ A(t) E(t) e a (t)+ x(t)+ ] d(t)+ B(t)u(t) (4.142) L idée consiste maintenant à défini un état augmenté, non pas avec x a (t) mais seulement avec x(t) comme suit : ẽ a (t) = [e a (t) T x(t) T ] T (4.143) ce qui donne : où : avec : ẽ a (t) = [ Āi L M i j = i C Â(t) A j Â(t) = µ i ( ˆx(t))µ j (x(t)) ( M i j ẽ a (t)+r i j ω(t) ) (4.144) j=1 ] [ B(t) Ê(t), R i j = B j E j [ A(t) ] [ E(t), Ê(t) = ] [ u(t), ω(t) = d(t) ] ] ) (4.145) (4.146) 139

157 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM La synthèse des gains de l obsevateu (4.139) evient alos à la echeche des gains L i assuant la stabilité du système (4.144) et gaantissant une atténuation L 2 du tansfet de ω(t) ves l eeu e a (t), dont la solution est donnée dans le théoème 4.9. Théoème 4.9. La stabilité du système (4.144) est assuée et le gain L 2 du tansfet de ω(t) ves e a (t) est minimisé s il existe deux matices symétiques et définies positives P 1 R (n+n d) (n+n d ) et P 2 R n n et des matices K i R n+n d n y ainsi que des scalaies positifs γ, λ 1, λ 2 et λ 3 solutions de la minimisation de γ sous les containtes : où : X i P 1 A P 1 B P 1 E X j P 2 B j P 2 E j B T j P 2 γi + λ 2 EB T E B E T j P 2 γi + λ 3 EE T E E A T P 1 λ 1 I B T P 1 λ 2 I E T P 1 λ 3 I < (4.147) X i = Ā T i P 1 + P 1 Ā i K i C C T K T i + I (4.148) X j = A T j P 2 + P 2 A j + λ 1 E T A E A (4.149) Les gains de l obsevateu sont obtenus pa l équation : L i = P 1 1 Le taux d atténuation du tansfet de ω(t) ves e a (t) est obtenu pa : K i (4.15) γ = γ (4.151) Démonstation. La peuve est similaie à la peuve du théoème Conception d obsevateus PMI Dans cette patie, l hypothèse de tavail 4.1 selon laquelle les entées inconnues d(t) sont constantes est elaxée. La classe de signaux considéée est plus généale dans la mesue où elle pend en considéation des entées inconnues sous une fome polynomiale. La qualité de l estimation de l état et des entées inconnues pa un obsevateu PI, tel que développé dans la section pécédente, isque d ête dégadée dans le cas des vaiations apides des entées inconnues. L objectif de cette section est de founi une méthode d estimation simultanée de l état du système ainsi que des entées inconnues ne satisfaisant pas l hypothèse 4.1. Soit le système epésenté pa le modèle T-S suivant : ẋ(t) = µ i (ξ(t))(a i x(t)+b i u(t)+e i d(t)+r i ω(t)(t)) (4.152) y(t) = Cx(t)+Gd(t)+Wω(t)(t) 14

158 4.5. Conception d obsevateus PMI où x(t) R n et y(t) R n y sont espectivement l état et la sotie du système, u R n u est l entée de commande, d(t) R n d l entée inconnue (défauts, incetitudes paamétiques...) et ω(t) R n ω une petubation (buit de mesue,...). Les matices A i R n n, B i R n n u, E i R n n d, R i R n n ω, C R n y n, G R n y n d et W R n y n ω sont connues. Hypothèse 4.2. L entée inconnue d(t) véifie : en d autes temes, la déivée q ème de d(t) est nulle. d (q) (t) = (4.153) Afin de monte l intéêt d une telle hypothèse, penons quelques exemples 1. Considéons une ampe d(t) = αt de pente α. Pou aive à la condition (4.153), deux déivations sont nécessaies, on aboutit donc à q = Un aute exemple donné pa d(t) = a + a 1 t + a 2 t 2 satisfait la condition (4.153) avec q = 3. Notons que les paamètes a i ne sont pas connus, seul l ode de déivation pemettant de satisfaie la condition (4.153) est connu. Dans un cade de diagnostic, la condition (4.153) pemet donc de pende en considéation une lage classe de défauts affectant le système : échelon, ampe,... D une manièe généale, d (1) (t), d (2) (t),..., d (q 1) epésenten t les déivées successives de d(t) qu on définia sous la fome d état suivante : d(t) d 1 (t). d q 1 (t) = d 1 (t) d 2 (t). d q (t) (4.154) Le système (4.152), peut se mette alos sous la fome augmentée suivante : x a (t) = µ i (ξ(t)) ( Ã i x a (t)+ B i u(t)+ R i ω(t) ) y(t) = Cx a (t)+wω(t) (4.155) où : x a (t) = x(t) d(t) d 1 (t). d q 1 (t), Ã i = A i E i I nd I nd, B i = B i., R i = R i. (4.156) C = [ C G ] (4.157) 141

159 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM Stuctue de l obsevateu Définition 4.1. Étant donné un signal d(t) satisfaisant la condition (4.153). On appellea degé de l obsevateu PMI, le nombe d actions intégales nécessaies à l estimation des q 1 pemièes déivées de d(t). L obsevateu PMI de degé q pemettant l estimation simultanée de l état du système ainsi que des entées inconnues d(t) véifiant la condition (4.153) est donné sous la fome suivante : ˆx(t) = µ i (z(t)) ( A i ˆx(t)+B i u(t)+e i d(t)+l ˆ Pi (y(t) ŷ(t)) ) ŷ(t) = C ˆx(t)+G d(t) ˆ où ˆ d(t) est obtenu pa l obsevateu Popotionnel Multi-Intégal suivant : ˆ d j (t) = µ i (z(t))( ˆ d j+1 + L j Ii (y(t) ŷ(t)) ), j = 1,...,q 1 (4.158) d(t) ˆ = µ i (z(t)) ( dˆ 1 (t)+l Ii (y(t) ŷ(t)) ) (4.159) La figue 4.12 illuste la stuctue de l obsevateu (4.158)-(4.159). Su celle-ci, on constate que l estimation des entées inconnues passe pa l estimation de ses q 1 pemièes déivées pa q 1 actions intégales d où l appellation Multi-Intégal. Sous une fome augmentée, l obsevateu y(t) µi( ˆx)Lq 1 Ii ˆ d q 1(t) µi( ˆx)L j Ii + ˆ d j(t) µi( ˆx)L2 Ii + ˆ d 2(t) µi( ˆx)L1 Ii + ˆ d 1(t) ˆ d(t) µi( ˆx)LIi + G + ŷ(t) µi( ˆx)Ei C µi( ˆx)LPi u(t) µi( ˆx)Bi + ˆx(t) µi( ˆx)Ai Figue 4.12 Pincipe de l obsevateu Popotionnel Multi-Intégal (PMI) 142

160 4.5. Conception d obsevateus PMI (4.158)-(4.159) devient : ˆx a (t) = µ i (z(t)) ( Ã i ˆx a (t)+ B i u(t)+ L i (y(t) ŷ(t)) ) ŷ(t) = C ˆx a (t) (4.16) où : L i = [ L T Pi L Ii T LIi 1 T q 2T... L Ii q 1T ] T L Ii (4.161) Les fonction d activation µ i de l obsevateu (4.158)-(4.159) dépendent de la vaiable z(t) qui peut ête la même que ξ(t) utilisée dans le système (4.152) si ξ(t) est mesuable, ou bien dépendante de l estimation de ξ(t) si celle ci n est pas mesuable Vaiables de décision mesuables Considéons dans cette patie le cas où ξ(t) est mesuable. La vaiable de pémisse de l obsevateu (4.158)-(4.159) est donnée alos pa z(t) = ξ(t). L eeu d estimation d état, des entées inconnues et de leus déivées est noté e a (t) = x a (t) ˆx a (t). En utilisant le système (4.155) et l obsevateu (4.16), la dynamique de l eeu d estimation obéit à l équation difféentielle suivante : ė a (t) = Systèmes non petubés µ i (ξ(t)) (( Ã i L i C ) e a (t)+ ( R i L i W ) ω(t) ) (4.162) Nous supposons ici que les petubations sont nulles c-à-d ω(t) =. L eeu d estimation (4.162) devient : ė a (t) = µ i (ξ(t)) ( Ã i L i C ) e a (t) (4.163) Une condition suffisante gaantissant la stabilité du système (4.163) est l obtention d une matice de Lyapunov P assuant les inégalités suivantes : (Ãi L i C ) T P+P (Ãi L i C ) <, i = 1,..., (4.164) Le théoème suivant founit des conditions LMIs pemettant la echeche des gains L i de l obsevateu PMI de degé q. Théoème 4.1. Les eeus d estimation d état, des entées inconnues et de leus q 1 déivées convegent asymptotiquement ves zéo s il existe une matice symétique et définie positive P = P T > R (n+qn d) (n+qn d ) et des gains K i R (n+qn d) n y tels que : Les gains de l obsevateu sont obtenus pa : Ã T i P+PÃ i K i C C K T i <, i = 1,..., (4.165) L i = P 1 K i (4.166) 143

161 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM Démonstation. La peuve est identique à celle du théoème 4.8. Il est possible que la ésolution des LMIs du théoème (4.1) aboutisse à une dynamique lente de l eeu d estimation. Afin d assue une stabilité exponentielle avec un taux de convegence α de l eeu d estimation ves zéo, des conditions LMIs sont données dans le théoème (4.11) Théoème Les eeus d estimation d état, des entées inconnues et de leus q 1 pemièes déivées convegent exponentiellement ves zéo avec un taux de décoissance α s il existe une matice symétique et définie positive P = P T > et des gains K i R (n+qn d) n y tel que : Ã T i P+PÃ i K i C C K T i + 2αP <, i = 1,..., (4.167) Les gains de l obsevateu sont obtenus pa : L i = P 1 K i (4.168) Démonstation. D apès la théoie de Lyapunov, la stabilité exponentielle est gaantie avec un taux de décoissance α s il existe une fonction candidate de Lyapunov V(e a (t)) > telle que [Boyd et al., 1994] : α R : V(e a (t))+2αv(e a (t)) < (4.169) En considéant une fonction de Lyapunov quadatique V(e a (t)) = e a (t) T Pe a (t), P = P T >. Remaque 4.5. D autes pefomances peuvent ête obtenues pa un placement des valeus popes des matices ( Ã i L i C ) dans des égions LMIs définies dans l annexe C. Cela s effectue en ésolvant les LMIs du théoème 4.1 conjointement avec les LMIs données dans l annexe C suivant la égion choisie. Systèmes petubés Dans cette section, les petubations sont supposées non nulles (ω(t) ). L eeu d estimation est donnée pa l équation : ė a (t) = µ i (ξ(t)) (( Ã i L i C ) e a (t)+ ( R i L i W ) ω(t) ) (4.17) L objectif est de synthétise les gains L i de l obsevateu afin d assue la stabilité du système (4.17) généant l eeu d estimation et de gaanti un taux d atténuation γ du tansfet des petubations ω(t) ves l eeu e a (t). Cela se taduit pa les containtes suivantes : lim a(t) =,ω(t) =, t t (4.171) e a 2 < γ,ω(t), t ω 2 (4.172) 144

162 4.5. Conception d obsevateus PMI Théoème Étant donné un scalaie γ >. Le système (4.17) généant les eeus d estimation d état, des entées inconnues et leus déivées est stable et especte les containtes (4.171)-(4.172) s il existe une matice symétique et définie positive P = P T > R (n+qn d) (n+qn d ) et des gains K i R (n+qn d) n y tels que : [ ÃT i P+Pà i K i C C T K i T ] + I PẼ i K i W Ẽi T P W T K i T γ 2 <, i = 1,, (4.173) I Les gains de l obsevateu se déduisent de l équation : L i = P 1 K i (4.174) Démonstation. La peuve de ce théoème est similaie à celle founie pou le théoème Vaiables de décision non mesuables Contaiement à la section pécédente, les vaiables de décision sont supposées inconnues et dépendent de l état du système. De ce fait, le système (4.152) s écit sous la fome : x a (t) = µ i (x(t)) ( à i x a (t)+ B i u(t)+ R i ω(t) ) (4.175) y(t) = Cx a (t)+wω(t) La non-mesuabilité des vaiables de décision intevenant dans les fonctions d activation du système (4.175) end impossible leu intégation dans l obsevateu. Comme il a été fait pécédemment, les vaiables de pémisse z(t) de l obsevateu dépendont de l estimé de l état ˆx(t). L obsevateu sea alos sous la fome : ˆx a (t) = µ i ( ˆx(t)) ( à i ˆx a (t)+ B i u(t)+ L i (y(t) ŷ(t)) ) (4.176) ŷ(t) = C ˆx a (t) Les stuctues du système (4.175) et de l obsevateu (4.176) (apès augmentation du vecteu d état), sont identiques aux stuctues du système et de l obsevateu utilisés pou l estimation d état dans le chapite 3. Les ésultats poposés dans le chapite 3 pou l estimation d état des systèmes T-S à VDNM sont donc applicables à la conception d obsevateu PMI de degé q pou l estimation simultanée de l état et des entées inconnues en emplaçant les matices A i, B i, E i, R, C, G et K i pa à i, B i, Ẽ i, R, C et K i. A tite d exemple, en utilisant l appoche poposée dans la section du chapite 3, on intoduit ˆx(t) de manièe atificielle dans le système. L équation d état du système (4.3) peut s écie alos sous la fome suivante : où : ν(t) = ẋ(t) = µ i ( ˆx)(A i x(t)+b i u(t)+e i d(t)+r i ω(t)+ν(t)) (4.177) (µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)))(A i x(t)+b i u(t)+e i d(t)+w i ω(t)) (4.178) 145

163 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM Sous les hypothèses de stabilité du système, de bonitude des signaux u(t), d(t) et ω(t) et de conditions de Lipschitz des fonctions d activation, l hypothèse suivante est véifiée : ν(t) σ (4.179) La fome augmentée du système équivalent (4.178) est donnée pa : x a (t) = µ i (x(t)) ( Ã i x(t)+ B i u(t)+ R i ω(t) ) y(t) = Cx a (t)+ Wω(t) (4.18) où Ã i, B i, C sont définies pa (4.156)-(4.157) et Ẽ i = E i I n, W = [ W ny n ], ω(t) = [ ω(t) ν(t) ] (4.181) L eeu d estimation ente le système (4.18) et l obsevateu (4.176) est donnée pa l équation difféentielle suivante : ė a (t) = µ i ( ˆx(t)) (( Ã i L i C ) e a (t)+ ( Ẽ i L i W ) ω(t) ) (4.182) Théoème Étant donné un scalaie γ >, le système (4.17) généant les eeus d estimation d état, des entées inconnues et de leus déivées est stable et satisfait les containtes (4.171)-(4.172) s il existe une matice symétique et définie positive P = P T > R (n+qn d) (n+qn d ) et des gains K i R (n+qn d) n y tel que : [ ÃT i P+PÃ i K i C C T K i T ] + I PẼ i K i W Ẽi T P W T K i T γ 2 < (4.183) I Les gains de l obsevateu sont donnés pa : L i = P 1 K i (4.184) Démonstation. La démonstation du théoème 4.13 est identique à celle du théoème Discussion et emaques Un obsevateu peut également ête obtenu pa la minimisation du tansfet γ des petubations ω(t) ves l eeu d estimation e a (t), ce qui amélioe la qualité de l estimation d état et des entées inconnues. Afin de gade le caactèe linéaie des inégalités maticielles (4.183), le changement de vaiable γ = γ 2 est effectué. L obsevateu optimal est obtenu pa la minimisation de γ sous les containtes LMIs : [ ÃT i P+PÃ i K i C C T K i T ] + I PẼ i K i W Ẽi T P W T K i T < (4.185) γi Les gains de l obsevateu sont obtenu à pati de l équation (4.184) et le taux d atténuation est donné pa γ = γ.

164 4.5. Conception d obsevateus PMI 2. La classe d entées inconnues taitée ici epésente tous les signaux satisfaisant la condition d (q) (t) =. Cette condition peut ête elaxée en supposant seulement une hypothèse su la bone de la q ème déivée de d(t), on obtient alos : { d (q) (t) d (q) (t) est bonée (4.186) Une façon de ésoude le poblème afin de pouvoi utilise les ésultats est de considée la q ème déivée comme une petubation bonée et de minimise son tansfet ves l eeu d estimation. Le nouveau vecteu de petubations et les matices d influences associées sont : ω(t) = [ ω(t) d (q) (t) ], Ẽ i = E i.. I nd, W = [ ] W ny n d (4.187) dans le cas où les vaiable de décision sont mesuables et : E i I n ω(t) ω(t) = ν(t), Ẽ i = d (q) (t)..., W = [ W I nd ny n ] ny n d (4.188) dans le cas où les vaiables de décision sont non mesuables. 3. Dans le cas des systèmes T-S à vaiables de décision mesuables, l hypothèse de bone su les entées inconnues n est pas nécessaie pou la conception d obsevateu PI ou PMI. En evanche, dans le cas des systèmes T-S à vaiables de décision non mesuables, l hypothèse de bone su les entées inconnues est nécessaie ainsi que la stabilité du système et la bone su l entée. En effet, dans cetaines méthodes d estimation d état des systèmes T-S à VDNM (développées dans le chapite 3), le teme additionnel issu de l hypothèse de non mesuabilité des vaiables de décision est définie pa : ν(t) = (µ i (x) µ i ( ˆx))(A i x(t)+b i u(t)+e i d(t)) (4.189) Ce teme est considéé comme une petubation à minimise, imposant de ce fait sa bonitude. Du point de vue patique, l hypothèse d entées inconnues bonées n est pas tès estictive dans la mesue où, dans la majoité des cas, les signaux physiques considéés comme des défauts sont bonés. Exemple 4.2 (Compaaison ente l estimation d état avec un obsevateu PI et un obsevateu PMI) Afin d illuste les appoches d estimation simultanée de l état du système et des entées inconnues à base d obsevateus PI et PMI, considéons le système T-S (4.152) ayant une vaiable 147

165 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM de pémisse ξ(t) dépendante de l état du système, défini pa : A 1 = 1 3, A 2 = et : B 1 = E 2 = C =, B 2 = 3 1 7, R 1 = R 2 = [ , E 1 = 1 1 1, W = ] [ 5, G = [.5.5 Le vecteu d entées inconnues contient deux composantes : la composante d 1 (t) affectant les soties du système et la composante d 2 (t) qui affecte la dynamique du système (voi les matices E 1, E 2 et G). A tite d exemple, on peut suppose que d 1 (t) est un défaut de capteu et d 2 (t) un défaut d actionneu. Les fonctions d activation dépendent de la composante x 1 (t) du vecteu d état x(t) et sont définies pa : { µ1 (x) = 1 tanh(x 1) 2 (4.19) µ 2 (x) = 1 µ 1 (x) Sans petubation ni entée inconnue, l évolution dans le temps des fonctions d activation est epésentée su la figue On constate alos qu il y a un mélange ente les deux sousmodèles du système epésentant ainsi un compotement non linéaie. ],, ], 1.8 µ 1 (t) µ 2 (t) Figue 4.13 Evolution tempoelle des fonctions d activation µ 1 et µ 2 La petubation ω(t) est un signal aléatoie boné pa.5. Les entées inconnues d 1 (t) et d 2 (t) sont vaiables dans le temps avec des déivées d ode 4 négligeables. Apès la conception de l obsevateu PI suivant le théoème 4.9 et l obsevateu PMI de degé 4 suivant le théoème 4.13 on obtient les ésultats de simulation pésentés aux figues 4.14, 4.15, 4.16 et L obsevateu PI founit une estimation satisfaisante de l état et des entées inconnues même si la condition 4.1 n est pas véifiée. Cependant, dans cet exemple, les entées inconnues ont une vaiation apide ce qui entaîne une estimation dégadée de l état et des entées 148

166 4.5. Conception d obsevateus PMI 2 d 1 (t) d 1 (t) estimé d 2 (t) d 2 (t) estimé Figue 4.14 Entées inconnues et leus estimées pa l obsevateu PI 2 d 1 (t) d 1 (t) estimé d 2 (t) d 2 (t) estimé Figue 4.15 Entées inconnues et leus estimées pa l obsevateu PMI inconnues (figues 4.14 et 4.16) compaée à celles obtenues avec l obsevateu PMI (figues 4.15 et 4.17). 149

167 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM.5 e 1 (t) e 2 (t) e 3 (t) Figue 4.16 Eeus d estimation d état obtenues avec pa l obsevateu PI.5 e 1 (t) e 2 (t) e 3 (t) Figue 4.17 Eeus d estimation d état obtenues avec pa l obsevateu PMI 4.6 Conclusion Dans ce chapite, deux types d obsevateus ont été étudiés pou les systèmes non linéaies epésentés pa un modèle T-S. L étude est focalisée su le cas où les fonctions poids du modèle dépendent de l état du système qui n est pas mesuable. L objectif pincipal était la pise en compte des entées inconnues dans la phase de modélisation afin de généalise les méthodes d estimation d état poposées dans le chapite 3. Cela vise à ende l obsevateu obuste visà-vis des entées inconnues pouvant avoi difféentes oigines (petubations, défauts, buit de mesue, incetitudes de modélisation,...). Les synthèses d obsevateus poposées s appuient su deux objectifs complémentaies : si l objectif est une estimation obuste de l état, on cheche à découple l estimation d état des entées inconnues ou, à défaut, on minimise leu influence su l estimation d état. Dans ce cas, des solutions ont été poposées pou concevoi un obsevateu assuant un découplage complet des entées inconnues de l eeu d estimation. En combinant les conditions de découplage aux conditions de stabilité assuant la convegence de l eeu d estimation d état ves zéo, des conditions LMIs et LMEs pemettant la synthèse des gains de l obsevateu sont ainsi poposées dans le cas où les entées inconnues affectent simultanément l équation d état et de mesue du système. Dans le cas où les entées inconnues n affectent pas l équation de mesue, ce qui est souvent le cas pou les défauts d actionneu, pa exemple, un découplage pafait n est pas éalisable à cause du poblème 15

168 4.6. Conclusion de echeche d une matice P othogonale à un ensemble de matice c-à-d PE i =. Afin de ésoude ce poblème, nous avons pocédé comme suit : on cheche la matice E, moyenne des matices E i, puis on cheche une matice P othogonale à la matice E ce qui gaantit un découplage patiel des entées inconnues. La patie ésiduelle de l influence des entées inconnues est ensuite taitée comme une incetitude dont l effet est minimisé pa les techniques de minimisation L 2 assuant un taux d atténuation minimal du tansfet des entées inconnues non découplées ves l eeu d estimation d état. Les conditions de convegence de l eeu d estimation d état et de découplage appoximatif des entées inconnues sont données sous fome d un ensemble de LMIs et de LMEs. L estimation des entées inconnues est possible sous cetaines conditions de ang, mais este cependant sensible au buit. Le second type d obsevateus est basé su l estimation simultanée de l état du système et des entées inconnues. Dans le cas des entées inconnues constantes ou à dynamiques tès lentes, un obsevateu PI à une seule action intégale pemet de les estime simultanément avec les états du système. En se basant su cette hypothèse, une démonstation théoique est possible afin de pouve la convegence des eeus d estimation d état et d entées inconnues ves zéo. L étude de la stabilité pemet d établi des conditions LMIs pemettant la synthèse de l obsevateu. Une généalisation de cet obsevateu aux entées inconnues de fome polynomiale est poposée pa l ajout de q actions intégales où q coespond au degé des polynômes modélisant ces signaux. Le pincipe de cet obsevateu est basée su l estimation simultanée des q 1 déivées des entées inconnues. Cependant, d apès note étude, il s avèe qu il n est pas nécessaie de pende un degé de l obsevateu égal à q. En effet, si cetaines déivées d odes élevés sont faibles elles peuvent ête considéées comme du buit. A note aussi que pou le cas des systèmes T-S à VDNM, les entées inconnues doivent ête bonées contaiement aux cas des systèmes T-S à VDM, ce qui n est pas tès estictif en patique. Les ésultats donnés dans ce chapite sont une extension des ésultats founis pou les systèmes T-S à VDNM du chapite

169 Chapite 4. Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM 152

170 5 Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts Sommaie 5.1 Intoduction Définitions et généalités Défauts et modélisation État de l at Objectif Diagnostic de fautes pa obsevateus à entées inconnues Défauts d actionneus Défauts de capteus Discussions et conclusion Diagnostic pa obsevateus PI et PMI Discussions et conclusion Diagnostic pa fomalisme H Fomulation du poblème Conception du généateu de ésidus Diagnostic obuste de fautes Commande toléante aux défauts Intoduction Etat de l at Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie Statégie de commande toléante aux défauts Objectif Vaiables de décision mesuables

171 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts Vaiables de décision non mesuables : utilisation de la méthode pa petubation Vaiables de décision non mesuables : utilisation de la méthode pa le théoème de la valeu moyenne Conclusion

172 5.1. Intoduction 5.1 Intoduction Dans ce chapite, nous poposons des méthodes de diagnostic à base de modèles visant à la détection, la localisation et l estimation des défauts affectant un système non linéaie décit pa un modèle T-S. Les méthodes développées utilisent les obsevateus pésentés aux chapites 3 et 4 afin de concevoi des généateus de ésidus pemettant la détection des défauts. Les techniques de bancs d obsevateus sont utilisées dans l objectif de génée des ésidus stuctués pou localise les défauts. Les obsevateus PI et PMI pemettent leu estimation ce qui implique leu localisation et leu détection. La denièe méthode pésentée epose su le fomalisme H poposé pou le diagnostic des systèmes linéaies dans [Stoustup et Niemann, 2] et [Mazas et al., 28]. Cette denièe appoche pemet la détection d un défaut, sa localisation et son estimation. Ce chapite compote une patie appelant quelques concepts de base concenant le diagnostic à la section 5.2, suivie d une section su la natue des défauts et leu modélisation. Un panoama des méthodes de diagnostic est pésenté à la section 5.4. Les sections 5.6, 5.7 et 5.8 pésentent tois méthodes de diagnostic pou les systèmes T-S poposées dans le pésent mémoie. Enfin, la section 5.9 pésente une loi de commande toléante aux défauts. Elle utilise la commande nominale conçue pou le système sans défaut à laquelle sont ajoutés deux temes supplémentaies. Le pemie teme est elatif au défaut estimé et le second à l eeu de pousuite de tajectoie. En l absence de défauts les deux temes s annulent et la commande appliquée au système coespond exactement à la commande nominale sans défaut. 5.2 Définitions et généalités Commençons pa pécise les définitions de quelques notions popes au diagnostic. Défaut : déviation non acceptable d au moins une caactéistique d un système pa appot à sa valeu nominale. Il est noté f(t) R n f. Défaillance : inteuption pemanente de la capacité du système à accompli sa mission dans des conditions de fonctionnement opéationnelles spécifiées. Panne : état d un système incapable d assue sa fonction à la suite d une défaillance. Résidus : signal conçu comme indicateu d anomalie fonctionnelle ou compotementale. Il est noté (t) R n. Détection de défaut (Fault Detection - FD) : fonction consistant à détemine l appaition et l instant d occuence d un défaut. Cette fonction peut ête obtenue en utilisant le ésidu (t) généé en compaant le compotement du modèle du système à celui du système éel. Idéalement, un ésidu est nul losque le système est en fonctionnement nomal. Dans les méthodes de 155

173 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts diagnostic à base d obsevateus, généalement, le ésidu (t) est fomé pa la compaaison des soties estimées et des soties mesuées : (t) = y(t) ŷ(t) (5.1) Le vecteu de ésidus (t) pemet la détection d un défaut f(t) si la condition suivante est satisfaite : (t) =, t si et seulement si f(t) =, t (5.2) Dans des situations éelles, le ésidu (t), en l absence de défaut, est à moyenne nulle à cause de la pésence de buit, de petubations et d incetitudes de modélisation en plus des buits engendés pa la chaîne de mesue et d acquisition des données. En pésence de défauts, une déviation du ésidu (t) est obsevée coespondant à l appaition d un défaut. Afin de pouvoi détecte un défaut, le ésidu (t) est compaé à un seuil J th défini en fonction des eeus de modélisation, des petubations et des buits de mesue. Dans cetaines méthodes utilisant des appoches pa minimisation du tansfet de ces entées non désiées ves les ésidus, le taux d atténuation peut ête utilisé afin de défini le seuil de détection. On choisit d utilise la logique de décision suivante : (t) < J th, pas de défaut détecté (5.3) (t) J th, pésence de défaut (5.4) Localisation de défaut (Fault Isolation - FI) : apès la détection d un défaut dans le système, il est impotant de pouvoi situe exactement le composant affecté. Cette étape s appelle localisation ou isolation de défaut. Elle s appuie féquemment su la généation de ésidus de manièe à ce qu un ensemble de ces ésidus soit sensible à cetains défauts et insensible aux autes défauts. La généation des ésidus sensibles à des combinaisons des défauts et une logique de décision adaptée, pemet de localise les défauts. Deux types de ésidus sont obtenus ([Patton et al., 1989], [Getle, 1998]) : les ésidus stuctués et les ésidus de diections pivilégiées. Les ésidus stuctués sont constuits de manièe à ête sensibles à un sous-ensemble de défauts et insensibles aux autes. Considéons pa exemple un vecteu de ésidus (t) R n et un vecteu de défauts f(t) R n f. Les m composantes de (t), qu on appellea m (t), ne sont sensibles qu aux l composantes des défauts f(t) qu on appellea f l (t) : { m (t) J th pésence de défauts f l (t), t (5.5) m (t) < J th pas de défauts f l (t) détecté En suivant cette démache, un ensemble de ésidus est généé de façon à considée toutes les combinaisons possibles pemettant la localisation de chaque défaut. Les sensibilités des ésidus (ésidus dépassant ou non le seuil de détection) sont épetoiées dans une table binaie appelée table de signatues théoiques. Si un ésidu est sensible à un défaut, un 1 est mis dans la case coespondante dans la table, et s il est insensible, un est mis dans cette case. Dans cetaines situations, un phénomène de compensation empêche la pise de décision et il seait dangeeux de se pononce su cetains défauts d où l intoduction d un aute état qui est la non-décision 156

174 5.3. Défauts et modélisation epésentée dans la table pa? qui signifie qu aucune décision n est possible quant à la pésence ou non du défaut. Apès l élaboation de la table de signatues théoiques, les ésidus généés sont compaés à chaque instant à cette table afin de déclenche l alame coespondant à l appaition d un défaut su l élément affecté du système. Les ésidus diectionnels sont constuits de manièe à ce que le vecteu des ésidus (t) s oiente selon une cetaine diection dans l espace des ésidus, en pésence de défauts. Pa exemple, le vecteu de ésidus i (t) en éponse à un défaut f i (t) s oiente ves une diection paticulièe : i (t) = α i (t) l i, i = 1,...,n f (5.6) où l est un vecteu constant appelé signatue diectionnelle du défaut f i (t) et α i (t) est une fonction scalaie qui dépend du défaut f i (t). Dans cette appoche, la localisation est éalisée pa la compaaison des diections des ésidus à des signatues diectionnelles théoiques obtenues a pioi. L inconvénient de cette méthode est que la localisation n est possible que pou de gandes vaiations des pojections ca la compaaison consiste à étudie la poximité du vecteu de ésidus à chaque instant aux vecteus epésentant les signatues théoiques. Estimation de défaut (Fault estimation ou Fault identification) : consiste à founi à chaque instant la valeu du défaut : l estimation des défauts i (t) = f i (t), t, i = 1,...,n,(n f = n ) (5.7) Dans les poblèmes de commande toléante aux défauts, il est souvent nécessaie de connaîte l amplitude et la fome du défaut afin de mieux le compense. L estimation des défauts devient alos un poblème impotant à ésoude. De plus l estimation implique la détection et la localisation ca les estimées des défauts constituent des ésidus. 5.3 Défauts et modélisation Les défauts affectant un système peuvent ête de difféentes natues et sont généalement classés en défauts d actionneus, défauts de capteus et défauts de système. Défaut d actionneu : un défaut d actionneu est une défaillance epésentant une pete totale ou patielle d un actionneu conduisant à la pete d une action de commande su le système. Pa exemple, un véin bloqué ne épond plus au signal de commande qui lui est appliqué, on pale alos d une pete totale de l actionneu. Un défaut patiel du véin peut ête la conséquence d une baisse d efficacité due à un poblème hydaulique (fuite), à un vieillissement ou à une satuation. De tels défauts entaînent un fonctionnement dégadé du système et peuvent même conduie à l instabilité de ce denie. L idée d utilise plusieus actionneus afin de péveni les conséquences d un défaut d actionneu n est pas toujous satisfaisante ca elle entaîne une augmentation des coûts, d où l intéêt de la commande toléante aux défauts que l on étudiea en détail dans la denièe section. 157

175 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts Défaut de capteu : un défaut de capteu, qui epésente une eeu dans la mesue d une gandeu physique, peut ête patiel ou total. La pete totale d un capteu (blocage) est due, pa exemple, à une pete de connexion physique (électique pa exemple) ente la souce d infomation et le capteu ou un dysfonctionnement du capteu (usue mécanique, poblème logiciel, etc.). Un défaut patiel appaaît sous fome d un biais, d une déive, d une baisse d efficacité, d un défaut de calibage... Afin de détecte des défauts de capteus, l utilisation d une edondance matéielle est possible. Cette technique est tès fiable, mais son inconvénient majeu est le coût engendé ainsi que son encombement. Défaut système : les défauts de système sont tous ceux qui affectent les composants du système hos actionneus et capteus. Ils eflètent un changement dans les paamètes du système, pa exemple, la masse, les coefficients aéodynamiques, etc. Ce type de défaut est difficile à diagnostique à cause de la divesité des situations de défaillances. Les défauts sont aussi classés en défauts additifs et défauts multiplicatifs. Souvent, les défauts multiplicatifs sont tansfomés en défauts additifs. Soit, pa exemple, une défaillance dans un actionneu donné, la modélisation d un défaut multiplicatif la plus utilisée dans la littéatue (voi [Noua et al., 2] et [Rodigues, 25]) est donnée pa l équation suivante : u f (t) = u(t)+(i Σ)(ū(t) u(t)) (5.8) où u f (t) R n u epésente le signal de commande apès appaition d un défaut, u(t) R n u le signal de commande sans défaut, ū(t) R n u un signal inconnu et : Σ = diag(σ 1,σ 2,,σ nu ), σ i [ 1 ], i = 1,,n u (5.9) Si σ i = on a un défaut total su l actionneu i et si σ i = 1, l actionneu i est en fonctionnement nomal. Enfin, σ i ] 1[ coespond à un défaut patiel. Considéons maintenant l équation d état d un système linéaie donné sous la fome suivante : En pésence d un défaut on a : ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (5.1) ẋ(t) = Ax(t)+Bu f (t) (5.11) = Ax(t)+Bu(t)+B(I Σ)(ū(t) u(t)) (5.12) Afin d écie le défaut multiplicatif sous une fome additive, on pose B(I Σ)(ū(t) u(t)) = F f(t). On a alos le système suivant : ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t)+F f(t) (5.13) On peut constate que f(t) dépend de u(t) ce qui n est pas désié pou la conception de commande toléante au défaut. Les défauts multiplicatifs de capteus se tansfoment sous fome additive de manièe similaie. 158

176 5.4. État de l at La conception de systèmes de diagnostic de fautes est plus aisée en utilisant des défauts additifs ca ils sont epésentés pa des signaux extenes et non pa des changements dans les matices du système comme c est le cas des défauts multiplicatifs. D où la littéatue abondante su le diagnostic des défauts additifs pa appot au diagnostic des défauts multiplicatifs. Les défauts affectant les composants du système peuvent s expime sous la fome d une vaiation de paamètes des matices epésentant le modèle du système, comme on l a vu au début du chapite 4 à la section 4.2, ces changements de paamètes peuvent aussi s expime sous la fome de défauts additifs. 5.4 État de l at Les poblèmes associés à l amélioation des pefomances des systèmes afin d amélioe la qualité des poduits, le souci de éduie le coût et les enjeux écologiques actuels amènent à considée le fonctionnement des systèmes su un lage domaine de fonctionnement nécessitant, d une pat, la pise en compte de compotements non linéaies et d aute pat l amélioation de la sécuité pa la mise en place de systèmes de diagnostic. Ces poblèmes sont fotement liés dans la mesue où un système de diagnostic développé à base d un modèle linéaisé d un système founit des pefomances dégadées (fausses alames, mauvaises coections en pésence d un défaut,...) si on s éloigne du point de linéaisation. Cela justifie le ecous à des modèles non linéaies qui minimisent ces dégadations, et, en paticulie, à l utilisation de la stuctue T-S qui offe une facilité de manipulation du point de vue mathématique d aute pat. Ces denièes années, des tavaux impotants ont été éalisés dans le domaine du diagnostic des systèmes. Deux gandes catégoies de méthodes de diagnostic ont été développées. La pemièe catégoie epose su l idée de la non-disponibilité d un modèle mathématique égissant le compotement du système. Pami ces méthodes, la edondance matéielle est l une des plus fiables puisqu elle consiste à multiplie le nombe de capteus mesuant la même gandeu, ainsi la détection de défaut n est possible qu avec deux capteus alos que la localisation nécessite au moins tois capteus. Actuellement, cette appoche est tès utilisée dans dans des domaines où les impéatifs de sécuité l empotent tès lagement su les containtes économiques, comme dans les centales nucléaies où une défaillance peut cause des catastophes humaines et écologiques (pa exemple l explosion de la centale nucléaie de Tchenobyl en Ukaine en 1986), le domaine de l aéonautique (cashs d avions et de fusées)... Les inconvénients majeus sont le coût (pix élevés de capteus dans le domaine nucléaie pa exemple) et l encombement dans un contexte embaqué (automobile, aéonautique ou aéospatial). Pa exemple, dans le domaine spatial, les satellites ne doivent pas dépasse un cetain poids afin de limite la consommation de cabuant. D autes techniques n utilisant pas de modèles ni de edondance matéielle peuvent également ête mises en œuve. Citons pa exemple les méthodes s appuyant seulement su les données d entées-soties du système comme l analyse en composantes pincipales. Celle-ci a été appliquée écemment pou le diagnostic d une station d épuation d eaux usées dans [Thaault, 28], et la suveillance de la qualité de l ai su Nancy dans [Hakat, 23]. Les ésidus 159

177 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts généés pemettent de détecte et de localise des défauts de capteus. On touve également des méthodes basées su le aisonnement logique en développant un abe de défaillance utilisant un aisonnement du type "SI symptôme ET symptôme ALORS conclusion". Chaque conclusion peut sevi de "symptôme" pou la ègle suivante, ainsi un abe de décision est élaboé. Un tel aisonnement guide l opéateu humain dans la phase de diagnostic du système ([Getle, 1998], [Kobicz et al., 24]). Le taitement du signal et les statistiques sont aussi des techniques tès appliquées dans le diagnostic sans modèle. Les signaux peuvent pa exemple ête analysés pa des techniques de tansfomée de Fouie ou de tansfomation en ondelettes afin de détecte des vaiations busques dans un signal. En conclusion, les méthodes sans modèle sont tès intéessantes pou les systèmes de gandes dimensions où il est impossible de fomule les compotements sous fome mathématique. Le lecteu poua se éfée à [Kobicz et al., 24] pou plus de détails su les méthodes de diagnostic sans modèle. Contaiement à cette catégoie de méthodes, la seconde est basée su la disponibilité d un modèle mathématique du système. Les systèmes epésentés pa des modèles linéaies sont lagement étudiés et une littéatue abondante est dédiée à cette classe de systèmes. Dans le cade des poblèmes FD, FDI et diagnostic, on peut cite les tavaux pésentés dans [Maquin et Ragot, 2], [Husson et al., 27], [Chen et Patton, 1999b], [Isemann, 27], [Patton et al., 1989], [Ding, 28]... Les plus impotantes appoches de diagnostic sont : l espace de paité ; l identification paamétique ; les obsevateus d état ; les obsevateus de sotie. L idée de l appoche pa espace de paité est l utilisation de la edondance ente les entées et les soties du système sans l appaition des états dans les équations [Maquin et Ragot, 2]. Cette méthode a été intoduite dans les années 197 pou les systèmes aéospatiaux. La pemièe vesion de cette appoche basée su des systèmes statiques eliant les soties d un modèle à ses entées a été poposée dans [Potte et Suman, 1977] puis elle a été généalisée au cas dynamique dans [Chow et Willsky, 1984] en exploitant les elations tempoelles ente les soties et les entées afin de génée des ésidus. Le lecteu intéessé pa l appoche pa espace de paité peut se éfée aux tavaux publiés dans [Fank, 199], [Patton et al., 21], [Getle, 1998], [Venkatasubamanian et al., 23], [Basseville, 1988]. L appoche pa estimation paamétique consiste à identifie en ligne les paamètes physiques du système à suveille pa des techniques classiques d identification. Un défaut ésultant d un changement dans un paamète conduit à une estimation eonée de ce denie. En compaant alos les paamètes nominaux du système en bon fonctionnement à ceux estimés, des ésidus sont généés. Ce type d appoche est tès intéessant pou le diagnostic des défauts multiplicatifs ésultant d un changement dans les paamètes du système. Cette appoche a été développée pou les systèmes linéaies et généalisée aux systèmes non linéaies. Pou plus de détails, le lecteu peut consulte [Isemann, 27], [Getle, 1998] et [Isemann, 1984]. Les méthodes à base d obsevateus d état sont les méthodes les plus étudiées dans le domaine du diagnostic avec modèles. Difféents obsevateus ont été poposés : obsevateu de 16

178 5.4. État de l at Luenbege, obsevateu à entées inconnues pa découplage, obsevateu PI, obsevateu à modes glissants, obsevateu adaptatif, obsevateu H, obsevateu pa appentissage itéatif et estimateu diect de sotie (Diect Output Estimato). L obsevateu à entées inconnues (UIO) a fait l objet d une attention considéable depuis de nombeuses années et plusieus appoches ont été développées (voi chapite 4). De tels obsevateus ont été utilisés pou le diagnostic de fautes des systèmes en pésence d incetitudes afin de génée des ésidus sensibles aux défauts et insensibles aux incetitudes considéées comme des entées inconnues. L achitectue de diagnostic à base d UIO est l une des achitectues les plus étudiées (voi [Selige et Fank, 1991b], [Yaz et Azemi, 1998], [Koenig et Mamma, 21] et [Yang et Saif, 1996]). Plusieus tavaux su le diagnostic à base d UIO pou les systèmes linéaies incetains ont été publiés dans [Hou et Mulle, 1994], [Chen et al., 1996] et [Duan et Patton, 21]. La généalisation aux systèmes algébo-difféentiels linéaies est poposée dans [Max, 23]. La conception d obsevateu à entées inconnues pou les systèmes non linéaies est plus délicate à éalise, ca il n existe pas de méthodes généiques pou tous les systèmes dynamiques non linéaies. De ce fait, des hypothèses sont fomulées concenant les matices de distibution des défauts dans le modèle, ainsi plusieus schémas de diagnostic pemettent seulement la détection ou la localisation d un seul défaut. Néanmoins, plusieus méthodes ont été développées su des classes spécifiques de systèmes non linéaies. On peut cite pa exemple l obsevateu à entées inconnues pou systèmes bilinéaies dans [Yang et Saif, 1997], l obsevateu pou les systèmes de type Lipschitz dans [Koenig et Mamma, 21] et [Petew et al., 25b] ou l obsevateu pou une classe plus généale de système non linéaies sous une fome canonique et sous cetaines hypothèses, ou bien sous une fome admettant une tansfomation équivalente pemettant la mise sous la fome canonique [Selige et Fank, 1991b] et [Selige et Fank, 1991a]. Enfin, la classe des systèmes T-S qui est une epésentation généale des systèmes non linéaies a fait l objet de plusieus tavaux. Pami ces tavaux, citons l obsevateu à entées inconnue poposé dans [Akhenak, 24] pou le diagnostic d un tubo-éacteu d un avion. Une extension de ces ésultats aux systèmes T-S algébo-difféentiels est donnée dans [Max et al., 27] pou la détection et la localisation de défauts de systèmes à temps continu et discet. Deux cas sont considéés, le pemie suppose que les containtes stuctuelles sont véifiées afin d abouti à un découplage total des entées inconnues et le second cas suppose qu une patie des entées inconnues peut ête découplée. Une appoche pemettant de découple la patie véifiant les containtes stuctuelles et à minimise le gain L 2 du tansfet de l aute patie des entées inconnues ves l eeu d estimation d état a donc été poposée. Enfin, le seul tavail taitant le cas d un système T-S à VDNM où la vaiable de décision est l état du système est poposé dans [Chen et Saif, 27b]. Les auteus supposent que le teme non linéaie issu de la non-mesuabilité des vaiables de décision satisfait une condition de type Lipschitz. Cette hypothèse, couplée à une condition de ang, donne des conditions suffisantes pou la conception de l obsevateu à entées inconnues. De plus, des conditions de détection et d isolation des défauts sont données. L inconvénient de cette appoche est le consevatisme lié, d une pat, à la sévéité de la condition de Lipschitz su le teme non linéaie et, d aute pat, à la condition stuctuelle qui devient tès estictive losque le nombe de sous-modèles devient plus impotant que le nombe de soties du système. Les obsevateus à entées inconnues PI et PMI, pemettant l estimation simultanée de l état 161

179 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts et des entées inconnues, n ont pas été taités aussi abondamment que les UIO pa découplage. Néanmoins, on peut cite les tavaux publiés dans [Max et al., 23] et [Koenig, 25] potant su le diagnostic pa obsevateus PI et PMI espectivement pou les systèmes linéaies singulies. D autes tavaux ont aussi été dédiés à l estimation d état et d entées inconnues des systèmes décits pa des multimodèles à états découplés [Ojuela, 28]. Les obsevateus à modes glissants sont tès intéessants du point de vue obustesse puisqu ils pemettent de compense les incetitudes pa des temes additionnels. C est pouquoi le diagnostic à base d obsevateus à modes glissants pemet la généation de ésidus obustes face aux incetitudes. L obsevateu à modes glissants peut ête utilisé de deux manièes difféentes dans les poblèmes FDI. Une pemièe idée consiste à ende l eeu de sotie insensible aux incetitudes. En se basant su cette idée, la détection de défauts pa généation de ésidus est taitée dans [Floquet et al., 24] et [Seedha et al., 1993] alos que dans [Chen et Saif, 27a], les auteus taitent le poblème de la localisation. La deuxième idée consiste à utilise ces obsevateus dans le but d estime les défauts (voi [Chen et Saif, 27a], [Tan et Edwads, 23a], [Tan et Edwads, 23b] et [Edwads et al., 2]). Ce type d obsevateus a été initialement poposé pou des systèmes linéaies pou amélioe l estimation d état en pésence d incetitudes de modélisation [Tan et Edwads, 23b], [Edwads et al., 2], [Tan et Edwads, 23a] et [Tan et Edwads, 23b], puis ils ont été généalisés aux systèmes non linéaies, pa exemple, les systèmes pésentant des non-linéaités lipschitziennes et les systèmes non linéaies pouvant ête mis sous une fome canonique [Yang et Saif, 1995] et [Jiang et al., 24]. Les obsevateus à modes glissants pou les systèmes T-S ont également fait l objet de quelques tavaux, pami eux, l obsevateu développé dans [Akhenak et al., 27] et [Akhenak et al., 28] qui estime les défauts pemettant ainsi de éalise la tache de détection et de localisation. Dans le cade des systèmes T-S à VDNM, aucun tavail, à note connaissance, n a été appoté dans le domaine du diagnostic, pa conte le poblème d estimation d état pa obsevateu à modes glissants de cette classe de systèmes est taité dans [Begsten et al., 22] et [Begsten et al., 21] en se basant su le ésultat obtenu dans [Begsten et Palm, 2]. Dans le contexte des obsevateus adaptatifs et estimateus diects de sotie, le lecteu intéessé poua se éfée aux publications de [Chen et Saif, 26], [Besançon, 27], [Chen, 27], Zhang et Delyon [21], Zhang [22]. Toutefois, il est utile de pécise que les estimateus diects de sotie sont tès intéessants dans la mesue où les conditions d obsevabilité de l état (ou de détectabilité), nécessaies pou la conception d obsevateus d état pou le diagnostic, ne sont pas nécessaies pou cet estimateu. Il est connu que, losque le système n est pas obsevable, on a ecous le plus souvent à l appoche pa l espace de paité. Mais en pésence d incetitudes, cette appoche devient tès difficile à applique voie impossible, ce qui constitue un aute avantage des estimateus diects de sotie. Le diagnostic à base d obsevateus est une technique ayant fait l objet de tès nombeux développements. Celle-ci consiste, su la base d un modèle de bon fonctionnement d un système, à effectue une estimation d état à pati de la connaissance des entées et des soties du système et à utilise l eeu d estimation de la sotie comme ésidu. En fonctionnement nomal, ce ésidu doit ête sensiblement nul (obuste aux eeus de modélisation et aux eeus de mesues) et s écate significativement de zéo los de l occuence d un défaut (défauts de capteus ou d actionneus) su le système. La détection de l occuence des défauts est en généal assez 162

180 5.4. État de l at aisée ; en evanche, sa localisation (la détemination de la gandeu d entée ou de sotie su laquelle il est intevenu) est plus délicate. On utilise alos féquemment une technique s appuyant su l élaboation de bancs d obsevateus pilotés pa des jeux de gandeus difféents (sous éseve de satisfaction des conditions de econstuction). L analyse des difféents ésidus engendés pa ces obsevateus couplée à une logique de décision pemet ensuite la localisation des défauts. Difféents schémas de diagnostic pa bancs d obsevateus peuvent ête utilisés pou la localisation des défauts de capteus et d actionneus. Pa exemple les achitectues GOS (Genealized Obseve Scheme) epésentées su les figues 5.1 et 5.3 ou DOS (Dedicated Obseve Scheme) epésentées su les figues 5.2 et 5.4 (voi [Chen et Zhang, 1991], [Isemann, 27], et [Ding, 28]). u(t) Système suveillé y(t) Obsevateu 1 Obsevateu 2 Fusion Obsevateu s Figue 5.1 Pincipe du banc d obsevateus GOS pou la détection de défauts d actionneus D autes techniques de diagnostic à base d obsevateus ont été intoduites, basées su la satisfaction de containtes de sensibilité. On touve, pa exemple, dans [Zhong et al., 23], une méthode pou des systèmes linéaies incetains basée su un modèle de éféence, cette méthode minimise la nome H du tansfet des petubations ainsi que les eeus de modélisation ves les ésidus et maximise la nome H du tansfet des défauts ves les ésidus. Un seuil adaptatif de détection est obtenu en calculant la nome des ésidus sans défaut su une fenête tempoelle glissante. Le fomalisme H est utilisé dans [Stoustup et Niemann, 2], [Mazas et al., 28] et [Mazas et al., 26] ; il consiste à efomule le poblème de la minimisation du tansfet des petubations et la maximisation du tansfet des défauts ves les ésidus sous la fome d un poblème de minimisation uniquement, en céant une sotie vituelle et en inséant des filtes additionnels pemettant de génée des signaux de éféence que le vecteu de ésidus doit suive. Dans [Ameni, 21], le poblème d isolation est abodé pa la conception de bancs d obsevateus sous containtes de sensibilité à un sous-ensemble de défauts. Ce chapite taite de l application des obsevateus développés dans le chapite 3 et 4 afin de concevoi des généateus de ésidus pou détecte, isole et estime des défauts affectant 163

181 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts u(t) Système suveillé y(t) Obsevateu 1 Obsevateu 2 Fusion Obsevateu n u Figue 5.2 Pincipe du banc d obsevateus DOS pou la détection de défauts d actionneus u(t) Système suveillé y(t) Obsevateu 1 Obsevateu 2 Fusion Obsevateu s Figue 5.3 Pincipe du banc d obsevateus GOS pou la détection de défauts de capteus les actionneus, les capteus et même le système (voi figue 5.5). Pou cela, en se basant su difféents aisonnements, des méthodes de généation de ésidus pa obsevateus d état sont poposées. Les généateus ainsi obtenus pemettent de détecte un défaut, de le localise (sous containtes d isolabilité) et de l estime (sous containtes d obsevabilité). 164

182 5.5. Objectif u(t) Système suveillé y(t) Obsevateu 1 Obsevateu 2 Fusion Obsevateu n y Figue 5.4 Pincipe du banc d obsevateus DOS pou la détection de défauts de capteus Petubations Défauts Entée Système suveillé Sotie FDI Généateu de ésidus Résidus Logique de décision Détection, Isolation et Estimation de défauts Figue 5.5 Pincipe du diagnostic 5.5 Objectif L objectif est de concevoi un module de diagnostic epésenté su la figue 5.5 pou des systèmes non linéaies décits pa un modèle de Takagi-Sugeno. Les tâches auxquelles ce module est destiné sont la détection, la localisation et l estimation des défauts. Pou cela, les obseva- 165

183 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts teus développés dans les chapites 3 et 4 sont utilisés afin de génée des ésidus. Dans ce chapite, quate méthodes de généation de ésidus sont poposées, la pemièe est basée su la conception de bancs d obsevateus suivant les achitectues DOS ou GOS afin de détecte et d isole des défauts de capteus et d actionneus ; cette méthode pemet de monte un des intéêts des modèles T-S à VDNM (voi chapite 2) à savoi, l utilisation d un seul modèle T-S pou la conception des deux bancs d obsevateus pou la localisation des défauts de capteus et d actionneus. La seconde méthode est basée su l estimation des défauts en utilisant les obsevateus PI et PMI, cela nécessite la modélisation du système en tenant en compte des défauts ainsi que des petubations pouvant l affecte. La même modélisation est utilisée pou développe un aute schéma de détection, d isolation et d estimation des défauts pa utilisation du fomalisme H. La denièe méthode pote su la détection et l isolation pa des containtes de sensibilité. Ces denièes potent su la minimisation de l effet des petubations et des eeus de modélisation et la maximisation de l influence des défauts. Une technique pa bancs d obsevateus est utilisée afin de génée des ésidus plus sensibles à cetains défauts et moins sensibles aux autes, pemettant ainsi leus localisations. 5.6 Diagnostic de fautes pa obsevateus à entées inconnues Dans cette section, l obsevateu à entées inconnues pa découplage développé dans le chapite 4 est exploité pou constuie des bancs d obsevateus afin de génée des ésidus stuctués pemettant la détection et la localisation de défauts d actionneus et de capteus. Hypothèse 5.1. La pobabilité qu un actionneu et un capteu tombent en panne simultanément étant faible, on suppose que les défauts de capteus et d actionneus ne suviennent pas simultanément. Soit le système non linéaie epésenté pa la stuctue T-S à VDNM suivante : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = Cx(t) (5.14) Défauts d actionneus Afin de développe un système de diagnostic de fautes affectant les actionneus, on adopte les notations suivantes : B i = ( b 1 i b 2 i... b n ) u i (5.15) où b j i epésente la jème colonne de la matice B i (i = 1,...,, j = 1,...,n u ). Soit s = { j 1,..., j l } un ensemble contenant tous les sous-ensembles( de S a = {1,...,n ) u } avec l un nombe tel que 1 l n u. On définit alos les matices B N i = b j 1 i... b j l i et B i les matices complémentaies de B N i contenant les colonnes estantes de B i. De manièe similaie, le vecteu u(t) des commandes est subdivisé en deux paties : u N (t) = ( u j 1... u j l) T et ū(t) le vecteu contenant les composantes estantes de u(t). 166

184 5.6. Diagnostic de fautes pa obsevateus à entées inconnues On obtient alos la stuctue équivalente du modèle (5.14) : ẋ(t) = µ i (x(t)) ( A i x(t)+b N i u N(t)+ B i ū(t) ) y(t) = Cx(t) (5.16) Cette stuctue est obtenue en egoupant les entées de commande qu on considèe comme entées connues dans le vecteu u N (t) et les entées qu on considèe inconnues dans le vecteu ū(t). Taite toutes les combinaisons d entées connues et inconnues, sous des conditions stuctuelles de découplage, pemet l isolation des défauts d actionneus. D autes achitectues, issues du schéma généal pésenté ci-dessus, existent. Pa exemple en considéant toutes les composantes de u(t) comme des entées inconnues sauf une, on etouve alos l achitectue DOS illustée pa le schéma 5.2. Elle consiste à détecte les défauts affectant l entée connue, et en développant n u obsevateus dédiés pou les n u entées, on aboutit à la localisation des fautes affectant les actionneus. L achitectue GOS pésentée à la figue 5.1 peut ête obtenue aussi en considéant toutes les entées comme connues sauf une, cela evient à masque tous les défauts affectant cette denièe. Un banc d obsevateus conçu selon cette stuctue pemet de localise les défauts affectant les actionneus du système. Afin de constuie les bancs d obsevateus cités ci-dessus, les obsevateus à entées inconnues pa découplage poposés dans la section 4.3 sont utilisés. Leu stuctue est appelée pa les équations suivantes : ż(t) = µ i ( ˆx(t))(N i z(t)+g i u N (t)+l i y(t)) où : ˆx(t) = z(t) Hy(t) ŷ(t) = C ˆx(t) ż(t) = µ i ( ˆx(t)) ( ) N i z(t)+g i u N (t)+l i y(t)+pā i + PB i ˆx(t) = z(t) Hy(t) ŷ(t) = C ˆx(t) (5.17) (5.18) En utilisant chaque obsevateu du banc, on génèe des ésidus fomés pa l eeu de sotie ente chaque obsevateu et la sotie mesuée du système : j (t) = y(t) ŷ j (t) (5.19) où ŷ j (t) epésente la sotie estimée pa l obsevateu j, j = 1,...,n u Défauts de capteus Si le système est affecté pa des défauts de capteus, de manièe similaie au cas pécédent, la localisation des défauts est effectuée pa généation de ésidus stuctués en utilisant des bancs d obsevateus. Soit : ( ) T C = c T 1 c T 2... c T n y (5.2) 167

185 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts où c k i epésente la kème ligne de la matice C i (i = 1,...,, j = 1,...,n y ). Soit s = { j 1,..., j l } un ensemble contenant tous les sous-ensembles de S c = {1,...,n ) y } avec l un nombe tel que 1 l n y. On définit alos les matices C N = (c T j1... c T jl et C la matice complémentaie de C N contenant les lignes estantes de C. Le vecteu y(t) des soties est subdivisé en deux paties : y N (t) = ( y j 1... y j l) T et ȳ(t) le vecteu contenant les composantes estantes de y(t). A pati du système (5.14), on désie constuie un obsevateu n utilisant que les soties y N (t) et ignoant les soties ȳ(t). Avec cette patition des soties, on obtient le système : [ yn (t) ȳ(t) ẋ(t) = ] = [ CN µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) (5.21) C ] x(t) L objectif est de concevoi un généateu de ésidus sensibles aux défauts affectant les soties y N (t) et insensibles à toutes les autes. Pou cela, nous poposons deux achitectues difféentes. Appoche pa obsevateu à entées inconnues Une pemièe idée consiste à utilise exactement la même démache que celle utilisée pou la localisation des défauts d actionneus pésentée dans la section Cela est possible apès une tansfomation du système pemettant de é-écie les défauts de capteus sous fome de défauts d actionneus, la méthode est similaie à celle développée dans [Tan et Edwads, 23b]. Pou cela, on définit un filte W f stable comme suit : ż f (t) = A f z f (t)+b f ȳ(t) (5.22) où z f (t) R ny l. Les matices A f R (n y l) (n y l) et B f R (n y l) (n y l) sont connues. Soit l état augmenté x a (t) = [x(t) T z f (t) T ] T, dont la dynamique est alos donnée pa les équations suivantes : ( ẋ(t) ż f (t) ) = y N (t) = C N x(t) (( Ai µ i (x(t)) A f )( x(t) z f (t) ) ( + ) ( B i n l u(t)+ (ny l) n u B f ) ) ȳ(t) (5.23) On emaque que les systèmes (5.23) et (5.16) ont la même stuctue. En considéant alos ȳ(t) comme le vecteu d entées inconnues un obsevateu à entées inconnues peut ête développé, sous des conditions stuctuelles su la matice d influence de ȳ(t) pemettant son découplage, afin de détecte les défauts affectant seulement les soties y N (t). Les méthodes à base de bancs d obsevateus exposées dans la section pécédente pou la localisation des défauts d actionneus peuvent également ête appliquées à la localisation de défauts de capteus. En conclusion, cette appoche pemet de développe deux bancs d obsevateus pou la localisation de défauts d actionneus et de capteus en utilisant un seul type d obsevateu. 168

186 Appoche pa obsevateu de Luenbege pou modèle T-S 5.6. Diagnostic de fautes pa obsevateus à entées inconnues Dans cette section, une seconde appoche de localisation de défauts de capteus est pésentée. A pati du système (5.21) on constuit des obsevateus (voi chapite 3) utilisant les soties y N (t) de la fome : ˆx(t) = µ i ( ˆx(t))(A i ˆx(t)+B i u(t)+l i (y N (t) ŷ N (t))) (5.24) ŷ N (t) = C N ˆx(t) (5.25) ŷ(t) = C ˆx(t) (5.26) Les ésidus généés sont alos donnés pa : (t) = y(t) ŷ(t) (5.27) A pati du vecteu y(t), difféentes combinaisons de soties utilisées y N (t) et ignoées ȳ(t) mènent à la généation de ésidus stuctués pemettant la localisation d une défaillance de capteu. De plus, des bancs d obsevateus suivant les achitectues DOS ou GOS pésentés pécédemment peuvent également ête utilisés Discussions et conclusion Des techniques pemettant la généation de ésidus stuctués pa des bancs d obsevateus ont été pésentées. La localisation de défauts de capteus peut s effectue gâce aux obsevateus développés dans le chapite 3. L obsevateu à entées inconnues pa découplage est utilisé pou la localisation de défauts d actionneus. Cependant, afin de pouvoi utilise le même type d obsevateus pou la conception des deux bancs pou la localisation de défauts de capteus et d actionneus, le poblème des défauts de capteus est mis sous la fome d un poblème de défauts d actionneus, ce qui a pemis d applique la même démache que celle utilisée pou ces denies. En conclusion, nous avons monté l un des avantages de la stuctue T-S à VDNM consistant à développe deux bancs d obsevateus à base d un même modèle T-S du système contaiement aux modèles T-S à VDM où l on a besoin de deux modèles T-S difféents selon que l on veut localise des défauts de capteus ou d actionneus. De plus, l utilisation d un filte su les soties non utilisées pou la conception des obsevateus pemet de considée le poblème comme un poblème de défauts d actionneus ce qui autoise l utilisation de l obsevateu à entées inconnues pou la conception des deux bancs. La méthode de diagnostic poposée dans cette section pemet la détection et la localisation des défauts de capteus et d actionneus ainsi que cetains défauts systèmes. Cependant, pou cetains systèmes, les containtes stuctuelles de découplage des entées inconnues et d obsevabilité des défauts ne peuvent ête véifiées, endant impossible la synthèse des obsevateus. La méthode que l on popose dans la section suivante pemet la détection, l isolation et l estimation des défauts en s affanchissant des containtes de découplage des entées inconnues puisqu elles sont estimées simultanément avec l état du système pa l obsevateu. 169

187 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts 5.7 Diagnostic pa obsevateus PI et PMI Le poblème de l estimation de défauts est abodé en utilisant les obsevateus PI et PMI développés dans le chapite 4. Oute l intéêt de l estimation de fautes pou la détection et la localisation de défaillances, cette appoche touvea sa suite logique dans les poblèmes de toléance aux défauts consistant à utilise l infomation su le défaut afin de coige la loi de commande et de pemette au système d effectue sa mission même en pésence de défauts. Soit le système non linéaie décit pa la stuctue T-S à VDNM suivante : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)+e i d(t)+f i f(t)) y(t) = µ i (x(t))(c i x(t)+d i u(t)+g i d(t)+r i f(t)) (5.28) L objectif de cette section est d utilise les possibilités des obsevateus popotionnel-intégal et popotionnel-multi-intégal pou l estimation simultanée de l état x(t) et des défauts f(t) affectant le système en minimisant l influence des petubations d(t). Un obsevateu PI pou le système (5.28) est donné pa : ˆx(t) = ˆf(t) = ŷ(t) = µ i ( ˆx(t)) ( A i ˆx(t)+B i u(t)+f i ˆf(t)+L Pi (y(t) ŷ(t)) ) (5.29) µ i ( ˆx(t))(L Ii (y(t) ŷ(t))) (5.3) µ i ( ˆx(t)) ( C i ˆx(t)+D i u(t)+r i ˆf(t) ) (5.31) La convegence des eeus d estimation d état et des entées inconnues est étudiée en détails dans le chapite 4. L un des avantages de ces obsevateus éside dans la possibilité de éalise la détection, la localisation et l estimation des défauts avec un seul obsevateu tout en ayant également une estimation des états du système. Les ésidus sont alos donnés pa l équation suivante : (t) = ˆf(t) (5.32) Un seuil de détection peut ête défini gâce au taux d atténuation γ obtenu los de la synthèse de l obsevateu. Ce seuil est obtenu pa l utilisation de la connaissance de la bone maximale des petubations d(t). Supposons que ρ est la bone maximale de d(t), on définit alos le seuil de détection pa : J th = γρ (5.33) On adopte la logique de décision suivante : { (t) < Jth, pas de défaut (t) J th, pésence de défaut (5.34) Remaque 5.1. L appoche peut ête consevative dans la mesue où le gain L 2 du tansfet des petubations d(t) ves les eeus d estimation et la bone maximale ρ conduisent à un seuil élevé, ce qui peut implique la non-détection d un défaut. Ce poblème peut ête 17

188 5.7. Diagnostic pa obsevateus PI et PMI ésolu en utilisant l appoche utilisée dans [Max et al., 27] consistant en l intoduction d un scalaie α > qui sea utilisé pou ajuste le seuil J th en fonction des mesues pises en bon fonctionnement. Le seuil devient alos : J th = αγρ (5.35) Si l objectif est seulement le diagnostic de fautes sans l estimation de l état du système, la minimisation du gain L 2 du tansfet de d(t) peut s effectue su l eeu ( f(t) ˆf(t)), ce qui amélioea le taux d atténuation. De plus, un banc de n f obsevateus peut ête utilisé, où chaque obsevateu est constuit en minimisant l influence de d(t) ves ( f i (t) ˆf i (t)), pou plus de pécision dans les estimations des défauts. Algoithme de diagnostic Suivant la méthode de conception d obsevateu PI choisie pami celles poposées dans le chapite 4, on popose l algoithme de diagnostic suivant : 1. Pou chaque défaut f j (t), j = 1,...,n f constuie l obsevateu PI (5.29)-(5.3)-(5.31) pa minimisation de γ j sous les containtes LMIs (suivant la méthode) en les vaiables P i R (n+n f ) (n+n f ) et M i R (n+n f ) n y. Les gains L Pi et L Ii de l obsevateu sont calculés pa : ( ) LPi = Pj 1 M i (5.36) L Ii et le taux d atténuation des défauts su l eeu d estimation est obtenu pa γ j = γ j. 2. Défini le ésidu j (t) = ˆf j (t) et l alame a j (t) comme suit : a j (t) = { 1, (t) α j γ j ρ, (t) < α j γ j ρ (5.37) où ρ est la bone des petubations d(t) et α j un paamète d ajustement du seuil de détection en fonctionnement nomal du système pou amélioe la détection des défauts. Remaque 5.2. La conception d obsevateu PMI pou le diagnostic de fautes est similaie à celle développée dans cette section pou l obsevateu PI. Exemple 5.1 (Diagnostic d un système T-S à VDNM pa bancs d obsevateus PI) Cet exemple académique est dédié à la détection et la localisation de défauts de capteus et d actionneus pa des bancs d obsevateus PI. Les achitectues GOS pésentées dans les figues 5.2 et 5.4 sont utilisées. Considéons le multimodèle suivant : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) (5.38) y(t) = Cx(t)+Wω(t) avec : A 1 = ,A 2 = , 171

189 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts B 1 = C = [ ,B 2 = ],W = [.5.5 Les fonctions d activation sont définies pa : { µ1 (x) = 1 tanh((x 1 44)/11) 2 µ 2 (x) = 1 µ 1 (x) ] (5.39) et dépendent de la pemièe composante du vecteu d état. Le buit de mesue ω(t) est un buit centé et d amplitude maximale.5. Diagnostic des défauts de capteus La statégie utilisée est de concevoi des obsevateus avec difféentes combinaisons des soties mesuées du système à suveille (achitectue DOS figue 5.4), le nombe de combinaisons possibles qu on peut génée pou un système ayant p soties étant (2 p 1). Pou l exemple d application, on dispose de deux soties du système. On constuit alos deux obsevateus PI : le pemie obsevateu utilise la pemièe sotie et le deuxième obsevateu utilise la deuxième sotie. Pou compaaison on constuit un aute obsevateu utilisant les deux soties. Les obsevateus utilisés sont sous la fome suivante : ˆx j (t) = µ i ( ˆx(t))(A i ˆx j (t)+b i u(t)+k Pi (y j (t) ŷ j (t))) (5.4) ŷ j (t) = C j ˆx j + ˆf j (t) (5.41) ˆf(t) = µ i ( ˆx(t))K Ii (y j (t) ŷ j (t)) (5.42) j {1,2,3} où ˆx j (t) (espectivement ŷ j (t)) epésente le vecteu d état estimé (espectivement le vecteu de sotie estimé) pa le j eme obsevateu, C j la matice d obsevation constuite à pati de C. Le vecteu de sotie y j (t) epésente les soties utilisées pou chaque obsevateu. Puisque toute les entées u(t) sont connues et qu il n y a pas de défauts affectant les actionneus, le teme ˆf(t) estime les défauts affectant les capteus. Le banc d obsevateus pemet de génée les ésidus (t) définis pa : L obsevateu 1 founit le ésidus 1 = ˆf 1 qui coespond au défaut affectant la pemièe sotie. L obsevateu 2 founit le ésidus 2 = ˆf 2 qui coespond au défaut affectant la deuxième sotie. L obsevateu 3 founit le ésidus 31 = ˆf 1 qui coespond au défaut affectant la pemièe sotie et le ésidus 32 = ˆf 2 qui coespond au défaut affectant la deuxième sotie. Ensuite, une table de signatues théoiques généées pa l ensemble des signaux z i j définis pa : { 1 si le ésidu est sensible à fi z i j (t) = (5.43) si le ésidu est insensible à f i 172

190 Obs 1 Obs 2 Obs f f Diagnostic pa obsevateus PI et PMI Tableau 5.1 Table de signatues théoiques pou les défauts capteus est dessée dans le tableau 5.1. Dans la table des signatues, un "1" signifie qu il est cetain que le défaut f i affecte le ésidu i j. Un "" taduit l insensibilité du ésidu pa appot au défaut. La table de signatue est élaboée à pati du aisonnement suivant : L obsevateu 1 econstuit la sotie du multimodèle en utilisant seulement la sotie y 1. Si cette sotie est affectée pa un défaut qui sea estimé et epésentea le ésidu. Donc, si le ésidu 1 s écate de zéo, on est cetain de l appaition d un défaut su la pemièe sotie. Pa conte, le deuxième obsevateu utilise la sotie y 2 qui n est pas affectée pa le défaut f 1, le ésidu 2 este alos autou de zéo s il n y a pas de défaut su la deuxième sotie. L obsevateu 3, estime les deux défauts f 1 et f 2 à la fois. On emaque que si un défaut appaaît su la pemièe sotie ou su la deuxième sotie ou su les deux soties le défaut est estimé. Donc avec cet obsevateu, on détecte et on localise les défauts capteus même s il appaaissent simultanément su les deux soties. Dans l exemple, on suppose que les défauts su les capteus sont définis comme suit : f 1 (t) = {.3 1 < t < 2 ailleus et : f 2 (t) = {.3 3 < t < 4 ailleus Les seuils de détection sont fixés empiiquement à.1 su la base de l analyse des ésidus obtenus en fonctionnement sain. La simulation du système pésenté dans la section pécédente pemet de etouve les ésidus illustés pa la figue 5.6. Les seuils de détection sont déteminés en fonctionnement nomal du système. Le défaut affectant la pemièe sotie est un biais d amplitude.3 suvenant à l instant 1 et subsiste jusqu à l instant 2. L analyse de son estimation founie pa le pemie obsevateu pemet de conclue qu il y a bien un défaut. De même, si un défaut appaaît su la deuxième sotie, il sea estimé pa le deuxième obsevateu. Remaque 5.3. D apès ces simulations, on note cetains points intéessants : 1. Le fait d utilise des obsevateus dédiés pou l estimation de chaque défaut de capteu, pemet de les détecte et de les localise. On emaque également que les fausses alames sont évitées. 2. En ce qui concene le toisième obsevateu utilisant les deux soties à la fois, on emaque qu il est possible de détecte et de localise les défauts affectant les deux soties, le nombe d obsevateus pouait donc ête éduit. Cependant, dans l exemple, le taux 173

191 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts de fausse alame est nul en utilisant les deux obsevateus dédiés, alos qu avec le toisième obsevateu, nous avons des fausses alames au moment de l appaition d un des défauts et cela est dû à la vaiation tès apide du défaut de à Figue 5.6 Résidus en pésence des défauts capteus f 1 et f 2 Diagnostic des défauts d actionneus En utilisant des obsevateus PI, avec atténuation du buit de mesue, des obsevateus dédiés pou chaque défaut sont constuits (voie figue 5.7). L appoche appliquée consiste à considée l entée u i comme une entée inconnue et l estime via le i ème obsevateu PI. Pa conséquent, si l actionneu piloté pa u i est en défaut, le ésidu issu de la difféence ente les soties estimées et mesuées este poche de zéo ce qui signifie que ce ésidu est insensible au défaut f i affectant l actionneu i. Les obsevateus PI PIO 1 1 u 1 u 2 Système y PIO 2 2 Figue 5.7 Schéma de détection de défauts d actionneus founissent à la fois des estimations des soties ainsi que des estimations des autes entées considéées comme entées inconnues. Les ésidus i j généés coespondent à la difféence 174

192 5.7. Diagnostic pa obsevateus PI et PMI ente les soties mesuées y j et les soties estimées ŷ j pou le i eme obsevateu qui est insensible au défaut su l actionneu i. Le système est é-écit sous la fome : ẋ(t) = µ i (x(t)) ( A i x(t)+b 1 i u 1(t)+B 2 i u 2(t) ) (5.44) y(t) = Cx(t)+Wω(t) Les gains des obsevateus sont déteminés avec des containtes supplémentaies qui concenent le placement des pôles à gauche des doites d abscisses 1.7 pou le pemie obsevateu et 3 pou le deuxième obsevateu afin d assue une gande vitesse de convegence de l eeu d estimation. Les taux d atténuation des petubations et du buit de mesue obtenus sont σ 1 =.32 et σ 2 =.34. Le pemie obsevateu PI est constuit en estimant l entée u 2, ce qui signifie que les ésidus généés avec cet obsevateu sont insensibles aux défauts de u 2 mais sensibles au défauts de u 1. De la même manièe, on constuit le deuxième obsevateu PI. Le système pésenté dans l exemple est soumis à deux défauts f 1 et f 2 affectant les actionneus 1 et 2 espectivement. Ils sont données sous la fome de biais su u 1 et u 2 : {.4u1 15 < t < 25 f 1 (t) = ailleus et : f 2 (t) = {.4u2 35 < t < 45 ailleus Les ésidus sont constuits à pati de la compaaison ente les soties éelles et les soties estimées pa chaque obsevateu : i j = y j ŷ i j (5.45) où i {1,2} désigne le numéo de l obsevateu, et j {1,2} désigne le numéo de la sotie. La table de signatues théoiques suivante est dessée dans le tableau 2. Obsevateu 1 Obsevateu f f Tableau 5.2 Table de signatues théoiques pou les défauts actionneus Les seuils de détection des défauts sont fixés à pati des ésultats de simulation, sans défaut du généateu de ésidus ; ils sont donnés pa pa J th =.25. Su la figue 5.8, les ésidus 11 et 12 généés avec le pemie obsevateu indiquent qu il y a un défaut ente les instants 15s et 25s qui coespond à un défaut su l actionneu piloté pa la commande u 1. Quant au défaut f 2 affectant u 2, il appaaît su les ésidus 21 et 22 (figue 5.8). Les ésultats de simulation coespondent à la table de signatues théoiques 5.2. En l absence de défauts, les deux obsevateus founissent espectivement l estimation des entées u 1 et u 2 (figue 5.9). 175

193 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts Figue 5.8 Résidus en pésence des défauts f 1 et f u 2 u 2 estimée pa le PI u 1 u 1 estimée pa le PI Figue 5.9 Entées estimées sans défaut Discussions et conclusion Cette section est dédiée à la conception d un généateu de ésidus utilisant l obsevateu PI (ou plus généalement PMI) développé dans le chapite 4. L objectif est d estime les défauts affectant les actionneus et les capteus du système non linéaie décit pa la stuctue T-S à VDNM. L avantage de cette méthode, pa appot à celle utilisant les obsevateus à entées 176

194 5.8. Diagnostic pa fomalisme H inconnues pa découplage, est qu elle s affanchit des containtes stuctuelles nécessaies pou le découplage des entées inconnues et pemet l estimation des défauts ce qui implique leu détection et leu localisation. Une estimation simultanée des défauts affectant les actionneus et les capteus est également possible. En utilisant un banc de n f obsevateus dédiés, l estimation des défauts est amélioée. Les taux d atténuation des petubations, obtenus los de la synthèse des obsevateus, sont utilisés afin de génée un seuil de détection. 5.8 Diagnostic pa fomalisme H Dans cette section, une nouvelle méthode de diagnostic de fautes des systèmes non linéaies epésentés sous fome T-S est poposée. L idée est de tansfome le poblème de conception de généateu de ésidus sensibles aux défauts et insensibles aux signaux de petubation sous la fome d un poblème H standad pemettant ainsi de fomule le poblème de minimisation/maximisation sous la fome d un poblème de minimisation seulement Fomulation du poblème Considéons le système non linéaie epésenté pa le modèle T-S suivant : ẋ(t) = µ i (ξ(t))(a i x(t)+b i u(t)+e i d(t)+f i f(t)) y(t) = µ i (ξ(t))(c i x(t)+d i u(t)+g i d(t)+r i f(t)) (5.46) où A i R n n, B i R n n u, C i R n y n, D i R n y n u, E i R n n d, F i R n n f et G i R n y n d, et R i R n y n f. Le système est soumis à l influence de défauts f(t) et de petubations d(t). Rappelons que les fonctions d activation µ i sont non linéaies et dépendent de la vaiable ξ(t) qui peut ête mesuable comme {u(t), y(t)} ou non mesuable comme l état x(t) du système. Les fonctions d activation satisfont la popiété de somme convexe suivante : µ i (ξ(t)) 1 µ i (ξ(t)) = 1 (5.47) Les signaux d entée u(t), f(t) et d(t) sont des signaux à énegie finie. La nome-l 2 de u(t) L 2 est donnée pa : + u(t) 2 = u T (t)u(t)dt (5.48) Conception du généateu de ésidus Un généateu de ésidus pou le système non linéaie epésenté pa la stuctue T-S (5.46) est poposé dans cette section. Deux cas sont étudiés, le pemie cas concene les systèmes T-S où les vaiables de pémisse sont mesuables et le second pote su les systèmes T-S à vaiables de décisions non mesuables. 177

195 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts Pemie cas : vaiables de décision mesuables Considéons le système T-S, affecté pa des défauts et des petubations, modélisé sous fome (5.46). Un généateu de ésidus est poposé sous la fome suivante : ˆx(t) = µ i (ξ)(a i ˆx(t)+B i u(t)+l i (y(t) ŷ(t))) ŷ(t) = µ i (ξ)(c i ˆx(t)+D i u(t)) (5.49) (t) = M(y(t) ŷ(t)) où ˆx(t) R n est le vecteu d état estimé et (t) R n le vecteu de ésidus. Les matices L i R n n y et M R n n y sont les gains du généateu de ésidus. L objectif est la détemination des gains L i et M afin de minimise le tansfet des petubations w(t) et de maximise le tansfet des défauts f(t) ves le signal de ésidus (t). Soit l eeu d estimation d état définie pa : Sa dynamique est déduite de (5.46) et (5.49) comme suit : { ė(t) = Aξ e(t)+e ξ d(t)+f ξ f(t) (t) = C ξ e(t)+g ξ d(t)+r ξ f(t) où : A ξ = E ξ = F ξ = k=1 k=1 k=1 C ξ = µ i (ξ(t))mc i, G ξ = µ i (ξ(t))mg i, e(t) = x(t) ˆx(t) (5.5) µ i (ξ(t))µ j (ξ(t))(a i L i C k ) µ i (ξ(t))µ j (ξ(t))(e i L i G k ) µ i (ξ(t))µ j (ξ(t))(f i L i R k ) (5.51) (5.52) R ξ = µ i (ξ(t))mr i Pou plus de commodité, le système (5.51) peut ête é-écit sous la fome compacte suivante : = G d d + G f f (5.53) où G d, la matice de tansfet des petubations d(t) ves (t), est définie pa : ( ) Aξ E G d := ξ MC i G ξ (5.54) et G f, le tansfet de f(t) ves (t), est défini pa : ( Aξ F G f = ξ 178 C ξ R ξ ) (5.55)

196 5.8. Diagnostic pa fomalisme H d(t) f(t) W f u(t) Système y(t) Généateu de ésidus (t) + e (t) Figue 5.1 Schéma de généation obuste de ésidus Dans le cade généal H (voi figue 5.1), la maximisation de l effet des défauts f(t) su le ésidu (t) peut se mette sous la fome d un poblème de minimisation. En effet, pa l intoduction d une matice poids W f (éventuellement dynamique), le poblème est éduit à la minimisation de l effet des défauts su le signal d eeu défini pa : e (t) = (t) W f f(t) (5.56) Comme expliqué dans [Stoustup et Niemann, 2], le poblème de FDI dépend du choix de la stuctue de la matice poids W f. En effet, l estimation des défauts est obtenue quand W f = I, le poblème de détection de défauts est considéé quand W f R 1 n f, enfin le poblème de localisation des défauts est éalisé en choisissant pou W f une matice diagonale. De plus, W f peut ête un filte dynamique (mono sotie pou la détection ou bloc-diagonal pou la localisation) défini pa : ( ) A W f = f B f (5.57) C f D f W f S (5.58) où S est l ensemble des filtes stables ayant la popiété suivante : W f = in f w R ( σ ( Wf ( jw) )) 1 (5.59) (voi [Mazas et al., 28] et [Mazas et al., 26] pou plus de détails). L intéêt de ce type de filtes est qu il n y a pas d atténuation des défauts, mais seulement une amplification su toute la gamme des féquences ce qui amélioe le poblème de la détection de défauts. Les tâches de détection, isolation et estimation des défauts peuvent ête éalisées pa un choix adéquat des matices A f, B f, C f et D f. Le poblème FDI est alos expimé sous la fome d un poblème d optimisation multi-objectifs expimé pa : obteni L i et M qui minimisent aγ f +(1 a)γ d où a [ 1] sous les containtes suivantes : G f W f < γ f (5.6) G d < γ d (5.61) Le système (5.51) est stable (5.62) 179

197 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts Le théoème 5.1 donne une méthode pou ésoude le poblème d optimisation et obteni les gains L i et M du généateu de ésidus (5.49). Théoème 5.1. Étant donnés le paamète a [,1] et la matice de tansfet W f S, le généateu de ésidus (5.49) existe si l on peut touve des matices symétiques et définies positives P 1 = P1 T > Rn n et P 2 = P2 T > Rn f n f, des matices K i R n n y et M R n n f et des scalaies positifs γ f et γ d solutions du poblème d optimisation suivant : min M,P 1,P 2,K i, γ f, γ d a γ f +(1 a) γ d s.c. où : Xik 1 P 1 F i K i R k Ck T MT Xf 2 P 2 B f C T f Fi T P 1 R T k KT i B T f P 2 γ f I R T k MT D T f MC k C f MR k D f I X 1 ik P 1 E i K i G k C T k MT E T i P 1 G T k KT i γ d I G T k MT MC k MG k I < (5.63) < (5.64) X 1 ik = AT i P 1 + P 1 A i K i C k C T k KT i (5.65) Les gains L i sont obtenus pa : et les taux d atténuation sont donnés pa X 2 f = A T f P 2 + P 2 A f (5.66) i,k = 1,..., L i = P 1 1 K i i = 1,..., (5.67) γ d = γ d, γ f = γ f (5.68) Démonstation. En pésence des défauts et en l absence de petubation, le généateu de ésidus est éduit à = G f f. Afin de maximise les effets des défauts su les ésidus, on considèe le filte stable W f (s) défini pa (5.57) et le poblème de maximisation est fomulé en un poblème de minimisation pa ésolution de (5.6). La matice G f W f est é-écite sous la fome suivante : A ξ F ξ G f W f := A f B f (5.69) C ξ C f R ξ D f On définit la matice bloc diagonale symétique et définie positive : 18 ( ) P1 P = P 2 (5.7)

198 5.8. Diagnostic pa fomalisme H En utilisant le lemme boné éel [Boyd et al., 1994] (voi annexe C), la condition (5.6) est expimée comme suit : A T ξ P 1 + P 1 A T ξ P 1 F ξ C T ξ A T f P 2 + P 2 A T f P 2 B f C T f Fξ T P 1 B T f P 2 γ 2 f I RT ξ DT f < (5.71) C ξ C f R ξ D f I En utilisant les définitions (5.52) des matices A ξ, F ξ, C ξ et R ξ ainsi que la popiété de somme convexe des fonctions d activation, l inégalité (5.71) est satisfaite si les inégalités suivantes sont vaies pou i,k = 1,..., : Xik 1 P 1 F i P 1 L i R k Ck T MT Xf 2 P 2 B f C T f Fi T P 1 R T k KT i B T f P 2 γ 2 f I RT k MT D T f MC k C f MR k D f I < (5.72) où Xik 1 et X f 2 sont définies en (5.65) et (5.66) espectivement. Afin d obteni les inégalités linéaies maticielles (5.63), on utilise les changements de vaiables K i = P 1 L i et γ f = γ 2 f et γ d = γd 2. En pésence de petubations mais en l absence de défaut, un aisonnement similaie, en utilisant le lemme boné éel, pemet d obteni les LMIs (5.64). Compte tenue de la définition (5.65), le bloc (1,1) des LMIs (5.64) assue la stabilité du généateu de ésidus (i.e. le système (5.51) est stable) et la obustesse vis-à-vis des petubations. En pésence simultanée de défauts et de petubations, l impotance elative de la minimisation des effets des petubations et la maximisation de l effet des défauts su les ésidus peut ête expimée comme la minimisation d une combinaison linéaie aγ f +(1 a)γ d où a [ 1]. Deuxième cas : vaiables de décision non mesuables Dans cette section, les fonctions d activation du système non linéaie T-S (5.46) dépendent de l état ξ(t) = x(t) du système qui est inconnu. Les fonctions d activation du généateu de ésidus dépendent alos également de l état estimé ˆx(t) comme suit : ˆx(t) = µ i ( ˆx)(A i ˆx(t)+B i u(t)+l i (y(t) ŷ(t))) ŷ(t) = µ i ( ˆx)(C i ˆx(t)+D i u(t)) (5.73) (t) = M(y(t) ŷ(t)) En ajoutant et soustayant le teme : µ j ( ˆx(t)) ( A j x(t)+b j u(t) ) (5.74) j=1 dans l équation d état du système (5.46) et le teme µ j ( ˆx(t)) ( C j x(t)+d j u(t) ) (5.75) j=1 181

199 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts dans l équation de sotie de (5.46), on obtient le système stictement équivalent suivant : ẋ(t) = y(t) = j=1 µ i (x(t))µ j ( ˆx(t)) ( A j x(t)+b j u(t)+e i d(t)+f i f(t)+ 1 (t) ) µ i (x(t))µ j ( ˆx(t)) ( C j x(t)+d j u(t)+g i d(t)+r i f(t)+ 2 (t) ) (5.76) j=1 où : et : 1 (t) = 2 (t) = (µ j (x(t)) µ j ( ˆx(t))) ( A j x(t)+b j u(t) ) (5.77) j=1 (µ j (x(t)) µ j ( ˆx(t))) ( C j x(t)+d j u(t) ) (5.78) j=1 Remaque 5.4. Suivant les hypothèses su les temes 1 (t) et 2 (t) et la manièe dont on les taite comme dans le chapite 3 pou la conception d obsevateus, des conditions LMIs peuvent ête obtenues pou la conception du généateu de ésidus (5.73). Appoche pa "incetitudes constantes" En utilisant l appoche pa incetitudes constantes pésentée au chapite 3 exploitant la popiété de somme convexe des fonctions d activation (5.47), le système (5.76) devient : ẋ(t) = y(t) = j=1 µ i (x)µ j ( ˆx)(à i j x(t)+ B i j u(t)+e i d(t)+f i f(t)) µ i (x)µ j ( ˆx)( C i j x(t)+ D i j u(t)+g i d(t)+r i f(t)) j=1 (5.79) où : et : à i j = A j + A i j, C i j = C j + C i j B i j = B j + B i j, D i j = D j + D i j X i j = X i X j, X i {A i,b i,c i,d i } i, j = 1,..., En expimant la dynamique de l eeu d estimation d état, on aboutit à : { ė(t) = Ãx ˆx e(t)+ à x ˆx x(t)+ B x ˆx d(t)+ F x ˆx f(t) (t) = C x ˆx e(t)+ C x ˆx x(t)+ G x ˆx d(t)+ R x ˆx f(t) (5.8) Afin de simplifie les écitues, posons : 182 j=1 k=1 l=1 µ i (x)µ j ( ˆx)µ k (x)µ l ( ˆx) µ i ˆµ j µ k ˆµ l i, j,k,l=1

200 5.8. Diagnostic pa fomalisme H Les matices de (5.8) sont alos définies pa : à x ˆx = B x ˆx = F x ˆx = C x ˆx = G x ˆx = R x ˆx = à x ˆx = C x ˆx = i, j,k,l=1 i, j,k,l=1 i, j,k,l=1 i, j,k,l=1 i, j,k,l=1 i, j,k,l=1 i, j,k,l=1 d(t) = [ u(t) T µ i ˆµ j µ k ˆµ l (A j L j C l ) (5.81) µ i ˆµ j µ k ˆµ l [ ( Bi j L j D kl ) (E i L j G k ) ] (5.82) µ i ˆµ j µ k ˆµ l (F i L j R k ) (5.83) µ i ˆµ j µ k ˆµ l MC l (5.84) µ i ˆµ j µ k ˆµ l [M D kl MG k ] (5.85) µ i ˆµ j µ k ˆµ l MR k (5.86) µ i ˆµ j µ k ˆµ l ( A i j L j C kl ) (5.87) µ i ˆµ j µ k ˆµ l M C kl (5.88) i, j,k,l=1 d(t) T ] T Soit le vecteu d état augmenté x = [e T x T ] T. Le vecteu de ésidus est donc donné pa : où : et : G d = (5.89) = G d d + G f f (5.9) G f = A x = B x = à x ˆx à x ˆx B x ˆx A x B x C x ˆx C x ˆx G x ˆx à x ˆx à x ˆx F x ˆx A x F x C x ˆx C x ˆx R x ˆx µ i (x)a i,f x = µ i (x) [ B i E i ] (5.91) µ i (x)f i (5.92) Le poblème de FDI est le même que celui poposé dans (5.6)-(5.62). Afin de détemine les gains L i et M du généateu de ésidus (5.73), le théoème 5.2 donne les conditions d existence, sous fome LMI, d une solution au poblème (5.6)-(5.62) pou les systèmes T-S à vaiables de décision non mesuables. 183

201 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts Théoème 5.2. Étant donné un paamète a et la matice de tansfet W f, le généateu de ésidus (5.49) existe si l on peut touve des matices symétiques et positives P 1 = P1 T > R n n, P 2 = P2 T > Rn n, P 3 = P3 T > Rn f n f des matices K i R n n y et M R n n y et des scalaies positifs γ d et γ f solutions du poblème d optimisation : s.c. où : min M,P 1,P 2,K i, γ f, γ d a γ f +(1 a) γ d Xjl 1 Ξ i jkl P 1 F i K j R k C T l MT Xi 2 P 2 F i Ckl T MT Xf 3 P 3 B f C T f γ f I (MR k D f ) T < (5.93) I Xjl 1 Ξ i jkl P 1 B i j K j D i j P 1 E i K j G k C T l MT Xi 2 P 2 B i P 2 E i Ckl T MT γ d I DT kl MT γ d I GT k MT < (5.94) I X 1 jl = AT j P 1 + P 1 A j K j C l C T l KT j (5.95) X 2 i = A T i P 2 + P 2 A i (5.96) X 3 f = A T f P 3 + P 3 A f (5.97) Ξ i jkl = P 1 A i j K j C kl (5.98) i, j,k,l = 1,..., Les gains L i sont définis pa : L i = P1 1 K i, i = 1,..., (5.99) et les taux d atténuation sont calculés à pati de : γ d = γ d γ f = γ f (5.1) Démonstation. On applique le BRL pou le système augmenté d état x = [e T x T x T f ]T où x f est le vecteu d état du filte W f, avec pou entée f(t) et pou sotie e (t) définie pa e (t) = (t) f (t). La démonstation suit exactement les mêmes étapes que celles données pou la peuve du théoème 5.1. Remaque 5.5. Notons que le théoème 5.2 est plus généal que le théoème 5.1. En effet, si les fonctions d activation µ i du système (5.46) dépendent de vaiables de décision mesuables, les conditions LMIs données dans le théoème 5.1 peuvent ête déduites du théoème 5.2 en considéant i = j. Quand les vaiables de pémisse dépendent de l état du système, et si le nombe de sous-modèles est impotant, il devient difficile de touve une matice commune P satisfaisant les conditions du théoème 5.2 (voi la emaque 6.1 dans [Tanaka et al., 1998]). 184

202 5.8. Diagnostic pa fomalisme H Appoche pa le théoème de la valeu moyenne La méthode utilisant le théoème de la valeu moyenne et la tansfomation pa secteus non linéaies développée à la section dans le chapite 3 est appliquée pou la conception du généateu de ésidus (5.73). Pou cela, nous intoduisons les matices A, B, C, D, Ā i, B i, C i et D i dans le système (5.46) avec ξ(t) = x(t), on obtient le système équivalent suivant : ẋ(t) = A x(t)+b u(t)+ µ i (x(t)) ( Ā i x(t)+ B i u(t)+e i d(t)+f i f(t) ) y(t) = C x(t)+d u(t)+ µ i (x(t)) ( C i x(t)+ D i u(t)+g i d(t)+r i f(t) ) (5.11) Supposons maintenant que les gains L i de (5.73) soient identiques (i.e. L i = L, i = 1,...,), le généateu de ésidus s écit sous la fome suivante : ˆx(t) = A ˆx(t)+B u(t)+l(y(t) ŷ(t))+ µ i ( ˆx(t)) ( Ā i ˆx(t)+ B i u(t) ) ŷ(t) = C ˆx(t)+D u(t)+ µ i ( ˆx(t)) ( C i ˆx(t)+ D i u(t) ) (t) = M(y(t) ŷ(t)) (5.12) L objectif est de détemine les gains L et M du généateu de ésidus (5.12) afin de minimise l influence de d(t) su (t) et de maximise l influence de f(t) su (t). En expimant l eeu d estimation d état ente le système (5.11) et le généateu de ésidus (5.12), on obtient : ė(t) = (A LC )e(t)+ µ i (x(t))(e i d(t)+f i f(t)) + 1 (x(t), ˆx(t),u(t)) L 2 (x(t), ˆx(t),u(t)) (5.13) où : (t) = MC e(t)+ µ i (x(t))(mg i d(t)+mr i f(t))+m 2 (x(t), ˆx(t),u(t)) { 1 (x(t), ˆx(t),u(t)) = f(x(t),u(t)) f( ˆx(t),u(t)) 2 (x(t), ˆx(t),u(t)) = g(x(t),u(t)) g( ˆx(t),u(t)) f(x(t),u(t)) = µ i (x(t)) ( Ā i x(t)+ B i u(t) ) (5.14) g(x(t),u(t)) = µ i (x(t)) ( C i x(t)+ D i u(t) ) (5.15) Hypothèse 5.2. Les fonctions f et g satisfont les conditions suivantes : a i j f i x j (x,u) b i j, x,u (5.16) c i j g k x j (x,u) d i j, x,u (5.17) pou tout i = 1,...,n, j = 1,...,n et k = 1,...,n y, où a i j, b i j, c i j et d i j sont des scalaies positifs. 185

203 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts Sous l hypothèse 5.2, et en appliquant la méthode utilisant le théoème de la valeu moyenne et l appoche pa tansfomation pa secteus non linéaies, on aboutit à : ė(t) = (t) = j=1 s l=1 q k=1 s l=1 µ i (x(t))h k (z)v l (z) (( ) ( ) ( ) Ã k L C l e(t)+ Ei LG j d(t)+ Fi LR j i f(t)) µ i (x(t))v l (z) ( M C l e(t)+mg i d(t)+mr i f(t) ) (5.18) où q = 2n 2, s = 2n 2 y et : Ã k = A + A k (5.19) C l = C + C l (5.11) Le système (5.18) expimant le ésidu (t) en fonction des défauts et des petubations peut se mette sous la fome (5.53) avec : q s µ i (x(t))h k (z)v l (z) ( ) Ã k L C l µ i (x(t))µ j (x(t)) ( ) E i LG j G d := k=1 l=1 j=1 s µ i (x(t))v l (z)m C l µ i (x(t))mg i l=1 (5.111) et : q s µ i (x(t))h k (z)v l (z) ( ) Ã k L C l µ i (x(t))µ j (x(t)) ( ) F i LR j G f := k=1 l=1 j=1 s µ i (x(t))v l (z)m C l µ i (x(t))mr i l=1 (5.112) Comme dans la section 5.8.2, on intoduit le filte W f S défini dans (5.57). On obtient alos le ésidu e (t) défini à l équation (5.56). En suivant la même démache que celle utilisée pou ésoude le poblème d optimisation (5.6)-(5.61), on aboutit aux conditions LMIs données dans le théoème 5.3. Théoème 5.3. Étant donnés le paamète a [,1] et la matice de tansfet W f S, le généateu de ésidus (5.49) existe si l on peut touve des matices symétiques et définies positives P 1 = P T 1 > Rn n et P 2 = P T 2 > Rn f n f, des matices K i R n n y et M R n n y et des scalaies positifs γ f et γ d solutions du poblème d optimisation suivant : s.c. min M,P 1,P 2,K, γ f, γ d a γ f +(1 a) γ d Xkl 1 P 1 F i KR j C l T MT Xf 2 P 2 B f C T f Fi T P 1 R T j KT B T f P 2 γ f I R T j MT D T f M C l C f MR j D f I X 1 kl P 1 E i KG j C T l MT E T i P 1 G T j KT γ d I G T i MT M C l MG i I < (5.113) < (5.114) 186

204 5.8. Diagnostic pa fomalisme H où : X 1 kl = ÃT k P 1 + P 1 Ã k K C l C T l KT (5.115) X 2 f = A T f P 2 + P 2 A f (5.116) i, j = 1,...,, k = 1,...,q = 2n 2, l = 1,...,s = 2n 2 y Les gains du généateu de ésidus sont donnés pa M et L qui est défini pa l équation : et les taux d atténuation sont donnés pa L = P 1 1 K (5.117) γ d = γ d γ f = γ f (5.118) Démonstation. La démonstation est analogue à celle poposée pou le théoème Diagnostic obuste de fautes En pésence de petubations extenes, les ésidus sont difféents de zéo même en l absence de défauts. Dans le contexte de la détection de défauts, un seuil basé su les taux d atténuation γ f et γ d est généé. Une alame est déclenchée chaque fois que les ésidus (t) dépassent le seuil de détection. Un seuil fixe peut ête obtenu comme suit : J th = γ d ρ (5.119) où ρ est la bone su la petubation d(t) dans le cas où les vaiables de décision sont mesuables ou dans le cas où ces vaiables sont non mesuables, il epésente la bone de d(t) en utilisant l appoche pa incetitudes. La logique de décision est donnée pa les équations suivantes : { i (t) < J th pas de défaut (5.12) i (t) > J th pésence de défaut Afin d amélioe la détection des défauts, un généateu de ésidus est constuit sépaément pou chaque défaut. Chaque généateu de ésidus est synthétisé pa la minimisation du tansfet de f i ves ei = i W f i f i, i = 1,...,n f. Dans le cas où les vaiables de décision sont non mesuables en utilisant l appoche pa incetitudes, le système est vu comme un système incetain. L entée u(t) appaaît alos dans la dynamique de l eeu d estimation d état. La méthode poposée dans cette patie considèe que l entée u(t) est une petubation au même tite que d(t). Il est clai que l intoduction de u(t) dans les signaux de petubation pénalise la détection de défauts pace que le seuil de détection calculé dépend de la bone de d(t) = [u(t) T d(t) T ] T. En utilisant la méthode poposée dans [Casavola et al., 28], le citèe (a γ f +(1 a) γ d ) sous les containtes LMIs peut ête emplacé pa le citèe (a γ f + b γ d + c γ u ) pemettant de éduie le pessimisme des conditions LMIs. Un seuil adaptatif peut également ête généé en utilisant une fenête tempoelle (voi [Casavola et al., 28], [Fank et Ding, 1997]). Le vecteu de défaut f(t) est féquemment décit à l aide de deux composantes, la pemièe composante, notée f a (t), epésente le vecteu de défauts affectant les actionneus, donc, il 187

205 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts appaaît su l équation d état du système. La seconde composante, notée f s (t), est le vecteu de défauts affectant les capteus. L équation de sotie du système est donnée pa : y(t) = µ i (ξ)(c i x(t)+d i u(t)+g i d(t)+r i f(t)) (5.121) Losque les défauts f a (t) n affectent pas l équation de sotie du système, les matices R i ne sont pas de plein ang colonne. Comme expliqué dans ([Stoustup et Niemann, 2]), dans le cas où W f = I, le taux d atténuation γ f devient plus gand que 1 et les poblèmes taités aux théoèmes 5.1 et 5.2 n admettent pas de solutions. Afin d élimine cet inconvénient, un teme de petubation est ajouté dans l équation de sotie du système : y(t) = ( µ i (ξ) C i x(t)+d i u(t)+g i d(t)+ [ ε i R 1 i ] [ f a (t) f s (t) ]) (5.122) où ε i sont les matices de distibution des défauts d actionneus f a (t) dans l équation de sotie et doivent ête choisies les plus faibles possible. Cependant, dans le contexte de la localisation des défauts, cette appoche peut génée des fausses alames. Pou amélioe les ésultats d isolation, nous poposons d ajoute et de soustaie le même teme et d utilise le teme additionnel afin de gaanti la condition du plein ang colonne des matices R i. L aute teme sea considéé comme une petubation à minimise : y(t) = ( [ µ i (ξ) C i x(t)+d i u(t)+ḡ i d(t)+ fa (t) R i f s (t) ]) (5.123) où : Ḡ i = [ ] G i bε i, R i = [ [ ] ε i R 1 ] i, d d = f a b où b est un scalaie positif. En utilisant cette seconde appoche, le seuil J th est calculé pa l utilisation de la bone du nouveau vecteu de petubation d(t), donc, la tâche d isolation des défauts est amélioée. Remaque 5.6. Les méthodes utilisées dans cette patie, pou le cas des système T-S à VDNM, sont basées su l obsevateu L 2 utilisant l appoche pa incetitudes constantes poposée dans le chapite 3 à la section 3.4. Il est aussi possible d utilise les autes méthodes de conception d obsevateus poposées dans ce même chapite. Comme pou l estimation d état, cela founia des conditions moins estictives avec cetaines méthodes. Exemple 5.2 (Diagnostic de défauts capteus et actionneus) L algoithme poposé pou le diagnostic obuste des défauts est illusté pa un exemple académique. Considéons le système non linéaie epésenté pa la stuctue (5.46) avec : 188 A 1 = , A 2 = ,

206 et : B 1 = C = [ , B 2 = F 2 = , E 1 = ] [.5, G = 1, E 2 = Les fonctions d activation µ i sont définies comme suit : Diagnostic pa fomalisme H ] [ 1, R =, F 1 =, 1 1 ] [, D = ], { µ1 (u(t)) = 1 tanh((u(t) 1)/1) 2 µ 2 (u(t)) = 1 µ 1 (u(t)) (5.124) Le vecteu de petubation d(t) affecte les soties et la dynamique du système. La pemièe composante du vecteu de défauts f(t) est un défaut de capteu et la seconde epésente un défaut d actionneu. W f est une matice diagonale de filtes stables appatenant à S. Un généateu de ésidus, dédié à chaque défaut, est synthétisé comme mentionné ci-dessus. La ésolution du poblème du théoème 5.1 avec a =.9 conduit à γ d = et γ f =.5481 pou le pemie généateu de ésidus. Pou le second généateu, on choisit a =.99, ε = [.8] T et b = 1. La solution du poblème du théoème 5.1 conduit à γ d = et γ f = Les ésidus obtenus sont montés su la figue Le ésidu 1 (t) n est sensible qu à la pemièe composante du vecteu de défauts (défaut de capteu) et le second ésidu 2 (t) n est sensible qu au second défaut (défaut d actionneu). De plus, le filte W f pemet d amplifie la sensibilité des ésidus aux défauts et pemet de détecte des défauts de faibles amplitudes. Une seconde simulation est éalisée afin de monte la capacité de la méthode poposée à estime les défauts. Le filte choisi est une matice identité W f = I n f. Les défauts éels et leus estimés sont illustés su la figue

207 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts défaut f 1 (t) ésidu 1 (t) seuils défaut f 2 (t) esidu 2 (t) seuils Figue 5.11 Défauts et ésidus coespondants Figue 5.12 Défauts (tait pointillé) et leus estimés (tait continu) 19

208 5.9 Commande toléante aux défauts Intoduction 5.9. Commande toléante aux défauts Un système affecté pa un défaut dévie de sa tajectoie de éféence, conduisant à des pefomances dégadées jusqu à povoque l instabilité selon la sévéité du défaut pouvant ainsi mette en cause la sécuité des opéateus et povoque des dégâts matéiel et écologique (centales nucléaies, véhicules, machines industielles,...). Afin de pouvoi emédie à ce poblème, il est nécessaie de pende en considéation le défaut et d agi su la loi de commande de manièe à le compense et pemette au système d accompli sa mission. Cette tâche est appelée commande toléante aux défauts (FTC : Fault Toleant Contol) et elle nécessite un module de détection, isolation et estimation du défaut d où l intéêt des méthodes du chapite 5 visant à concevoi des généateus de ésidus pou le diagnostic pemettant de détecte, de localise et d estime les défauts. Il est clai que tous les défauts ne sont pas compensables. Pou les défauts d actionneus, l étude de la comandabilité du système avec les actionneus sains doit ête faite pou savoi si le système est commandable avant de ecalcule la loi de commande ; dans cette situation on pale de econfiguation de la loi de commande pemettant de génée de nouvelles commandes pou les actionneus estants dans le but de amene le système à la tajectoie de éféence. Afin d évite d éventuelles satuations, deux appoches sont pincipalement utilisées. Une appoche consiste à change la tajectoie du système et la seconde vise à augmente le temps de la mission. Une situation de défaut moins sévèe est de considée la pete d efficacité d un actionneu ésultant d un vieillissement, dans ce cas on pale alos de commande toléante aux défauts puisque l actionneu fonctionne toujous. Un ecalcule donc de la loi de commande en penant en compte ce défaut pou coige le système. La commande toléante aux défauts peut également compense des défauts affectant les capteus. De manièe intuitive, un défaut de capteu qui affecte la mesue fausse la loi de commande ; l estimation de l amplitude de ce défaut et sa soustaction de la mesue éelle conduit à ajoute un teme dans la loi de commande pemettant ainsi la compensation du défaut. Ce chapite est consacé au développement d une méthode de synthèse de commande toléante aux défauts basée su les généateus de ésidus mis en place dans le chapite pécédent. La méthode consiste à utilise les obsevateus PI et PMI de manièe à estime les défauts, la commande sea synthétisée en tenant compte du défaut estimé. Le but de la commande généée est de minimise l écat ente les états du système affecté pa des défauts et les états d un modèle de éféence. On considèe dans ce chapite les deux cas où les vaiables de pémisses sont mesuables et non mesuables Etat de l at Depuis plusieus années, le poblème de la toléance aux défauts a été abodé sous plusieus points de vue. Les commandes toléantes aux défauts peuvent ête classées suivant deux catégoies : commandes passives et commandes actives. Les statégies de commande passive (également appelée commande obuste) s appuient su l idée de synthétise une commande pemettant de ende le système insensible aux incetitudes de modélisation et à cetains défauts connus a pioi. Apès la synthèse de la commande, tous les 191

209 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts d(t) f(t) u(t) + Système y(t) FDI/FDD (t) Logique de décision Alame FTC Figue 5.13 Achitectue FTC défauts pis en compte sont compensés sans aucune modification de la loi de commande et pa conséquent aucune infomation en ligne su ces défauts n est nécessaie. Un bloc de détection, localisation et estimation des défauts n est pas indispensable. Dans ce type d appoches, les défauts pouvant ête compensés sont vus comme des incetitudes de modélisation auxquelles la commande doit ête obuste i.e. assue la stabilité du système en boucle femée. Pami les tavaux taitant de la commande passive toléante aux défauts, on peut cite les techniques H [Patton, 1997; Niemann et Stoustup, 25]. Généalement, les appoches de commande obuste négligent la stuctue des incetitudes afin d abouti à un poblème d optimisation convexe. De plus, la classe de défauts considéés est limitée, il devient, alos, tès isqué d utilise la commande passive toléante aux défauts seule (pou plus de détails voi [Mahmoud et al., 23] et [Kanev, 24]). Dans de nombeuses situations patiques, la synthèse d une loi de commande pou un système quelconque est éalisée sans pende en compte la possibilité d appaition d un défaut à un instant donné. Pou des aisons économique et technique, il n est pas possible de change la stuctue du système et de la commande afin de emédie aux défauts. Dans ce cas, une commande toléante aux défauts peut ête synthétisée en utilisant la loi de commande développée pou le cas sans défaut. Pou ce faie, en pésence d un défaut, un bloc de détection/isolation/estimation assue de la détection du défaut sa localisation et son estimation. Ces infomations sont alos tansmises à un second bloc appelé FTC pemettant de les pende en compte et de calcule une nouvelle loi de commande su la base de la commande nominale sans défaut en ajoutant un teme elatif au défaut détecté afin de le compense. La commande active toléante aux défauts a été développée ces denièes années afin d amélioe les pefomances des systèmes et de éduie le consevatisme des méthodes passives en taitant un ensemble plus lage de défauts. Pami les appoches développées dans ce contexte, on peut cite la loi de commande e-séquencée (Contol law e-scheduling) [Oudghii, 28], [Leithead, 1999], [Stilwell et Rugh, 1997] qui consiste à calcule un ensemble de gains (etous d état). Le passage d un gain à un aute se fait gâce à un mécanisme de commutation développé à pati d un module 192

210 5.9. Commande toléante aux défauts FDI. L inconvénient d une telle commande éside dans le fait qu elle nécessite un module FDI tès obuste. En effet, une fausse alame ou un défaut non détecté peuvent conduie à des pefomances dégadées ou même entaîne l instabilité du système. La commande toléante aux défauts pa la méthode de la pseudo-invese a été développée initialement pa [Gao et Antsaklis, 1991]. Le pincipe de cette appoche epose su la minimisation d une nome de Fobenius conduisant à la détemination du gain de la commande. Soit le système linéaie nominal sans défaut : { ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) (5.125) y(t) = Cx(t) Connaissant le vecteu d état et sous l hypothèse de commandabilité du système (5.125), une loi de commande pa etou d état stabilisant le système est donnée pa u(t) = Kx(t). Si l on se place maintenant dans une situation en défaut de manièe généale, le système s écia de la manièe suivante : { ẋ f (t) = A f x f (t)+b f u f (t) (5.126) y f (t) = C f x f (t) La nouvelle loi de commande u f (t) pemettant d assue un fonctionnement acceptable du système (c est-à-die poche de celui du système sans défaut) est donnée pa u f (t) = K f x f (t) où K f est calculé pa la méthode suivante : K f = agmin K f (A BK) (A f B f K f ) F (5.127) = B + f (A BK A f) (5.128) où B + f epésente la pseudo-invese de la matice B f et F désigne la nome de Fobenius. Bien que cette méthode appaaisse tès simple et adéquate à une implémentation en ligne, son pincipal inconvénient est que la stabilité du système en boucle femée n est pas gaantie (voi [Gao et Antsaklis, 1991]). Ce poblème a été ésolu dans [Gao et Antsaklis, 1992] pa l ajout d une containte assuant la stabilité du système bouclé au poblème d optimisation décit pa (5.127)-(5.128). Récemment, une extension de cette appoche a été founie dans [Staoswiecki, 25]. Elle est basée su le calcul de la commande en utilisant un ensemble de modèles admissibles et non une echeche pa optimisation. La difficulté de pise en compte des incetitudes de modélisation dans cette appoche constitue un inconvénient majeu en plus de la difficulté (voi même de l impossibilité) d étende cette méthode aux systèmes non linéaies. Dans [Liu et Patton, 1998] une appoche basée su le placement de la stuctue pope est développée. L idée pincipale est de calcule le gain de la commande de manièe à faie coïncide les valeus popes du système bouclé avec défauts avec celles du système nominal sans défaut en minimisant la nome 2 ente ces valeus popes. Comme pou la méthode pa la pseudoinvese, la pise en compte des incetitudes de modélisation n est pas facilement éalisable. Une aute appoche intéessante consiste à considée un modèle de éféence coespondant au modèle de bon fonctionnement du système. La commande est généalement composée de deux temes, le pemie est un etou d état classique et le second est elatif à l eeu de pousuite ente la tajectoie de éféence et celle du système. L objectif est alos de minimise l eeu de pousuite de tajectoie ce qui conduit à foce le système en défaut à se compote comme le système de éféence sans défaut. 193

211 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts Notons qu une gande patie des tavaux dédiés à la commande toléante aux défauts utilise un modèle linéaie du système. 5.1 Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie Dans cette section, la statégie de commande toléante aux défauts est pésentée puis deux cas sont étudiés : le pemie concene les systèmes T-S à VDM et le second pote su les systèmes T-S à VDNM Statégie de commande toléante aux défauts Considéons le système sans défaut (modèle de éféence) décit pa la stuctue T-S : ẋ(t) = µ i (ξ(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = µ i (ξ(t))(c i x(t)+d i u(t)) (5.129) La modélisation des défauts pouvant affecte le système pemet d écie le système en pésence de défauts sous la fome : ẋ f (t) = µ i (ξ(t)) ( A i x f (t)+b i (u f (t)+ f(t)) ) y f (t) = µ i (ξ(t)) ( C i x f (t)+d i (u f (t)+ f(t)) ) (5.13) Objectif L objectif est de concevoi la loi de commande u f (t) telle que l état x f (t) du système en défaut convege ves l état de éféence x(t) donné pa le modèle sans défaut (5.129). La statégie de commande est illustée su la figue La loi de commande poposée est alos donnée sous la fome : u f (t) = µ i (ξ(t)) ( ˆf(t)+K 1i (x(t) ˆx f (t))+u(t) ) (5.131) Les matices K 1i sont déteminées pou gaanti la stabilité du système et minimise l écat ente x f (t) et x(t). L analyse de la loi de commande poposée dans (5.131) nécessite la connaissance du vecteu de défauts f(t) à taves son estimation. Cette estimation est obtenue via un obsevateu PI qui estime simultanément l état du système en défaut ainsi que le vecteu de défauts. 194

212 5.1. Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie f(t) u(t) + u f (t) y(t) Système + Obsevateu ˆf(t) Contôleu Modèle de éféence ˆx f (t) + x(t) Figue 5.14 Achitectue de la commande toléante pa pousuite de tajectoie La stuctue de cet obsevateu est appelée ci-dessous : ˆx f (t) = ŷ f (t) = ˆf(t) = µ i (ξ(t))(a i ˆx f (t)+b i (u f (t)+ ˆf(t))+H 1i (y f (t) ŷ f (t))) (5.132) µ i (ξ(t)) ( C i ˆx f (t)+d i (u f (t)+ ˆf(t)) ) (5.133) µ i (ξ(t)) ( H 2i (y f (t) ŷ f (t)) ) (5.134) Vaiables de décision mesuables Supposons ξ(t) mesuable. L eeu de sotie ente le système (5.13) et l obsevateu (5.132) s écit : où : y f (t) ŷ f (t) = C i = [ C i R i ], xa (t) = [ x f (t) f(t) µ i (ξ(t))( C i e a (t) (5.135) ], e a (t) = x a (t) ˆx a (t) (5.136) La dynamique de l eeu de pousuite e(t) = x(t) x f (t), est donnée pa l équation : ė(t) = µ i (ξ(t))(a i x(t)+b i u(t) A i x f (t) B i (u f (t)+ f(t))) (5.137) = µ i (ξ(t))µ j (ξ(t))(a i e(t)+b i (u(t)+ ˆf(t)) B i K 1 j (x(t) ˆx f (t)) j=1 B i u(t) B i f(t)) (5.138) 195

213 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts l équation (5.137) devient : où : où : ė(t) = = j=1 µ i (ξ(t))µ j (ξ(t))(a i e(t) B i ( f(t) ˆf(t)) B i K 1 j (x f (t) ˆx f (t)))(5.139) µ i (ξ(t))µ j (ξ(t))((a i B i K 1 j )e(t) L i j e a (t)) (5.14) j=1 L i j = ( B i K 1 j B i ), ea = x a (t) ˆx a (t) (5.141) Sous la condition de défaut constant, on a ( ḟ(t) = ) et le système (5.13) devient : Ã i = ( Ai B i ẋ a (t) = µ i (ξ(t)) ( Ã i x a (t)+ B i u f (t) ) y f (t) = µ i (ξ(t)) ( C i x a (t)+ D i u f (t) ) (5.142) ) ( Bi, B i = ), C i = ( C i R i ), D i = D i (5.143) L eeu d estimation d état et de défauts e a (t) = x a (t) ˆx a (t) ente le système (5.142) et l obsevateu (5.132)-(5.134) évolue suivant l équation : ė a (t) = µ i (ξ(t))µ j (ξ(t)) ( (Ã i H i C j )e a (t) ) (5.144) j=1 La concaténation de l eeu de pousuite et des eeus d estimation d état et de défauts pemet d écie, à pati de (5.139) et de (5.144), le système augmenté suivant : où ẽ(t) = e(t) x f (t) ˆx f (t) f(t) ˆf(t) ẽ(t) =, Ã i j = Les gains K 1i, H 1i et H 2i sont détemi- Conception de la commande toléante aux défauts. nés suivant le théoème 5.4. µ i (ξ(t))µ j (ξ(t))ã i j ẽ(t) (5.145) j=1 A i B i K 1 j B i K 1 j B i A i H 1i C j B i H 1i R j H 2i C j H 2i R j (5.146) Théoème 5.4. Les eeus de pousuite e(t), d estimation d état et de défaut e a (t) convegent asymptotiquement ves zéo s il existe des matices symétiques et définies positives X 1, P 2 et P 3 = I et des matices H 1i, H 2i et K 1i telles que les LMIs suivantes soient véifiées : A i X 1 + X 1 A T i B 1 K 1 j B i B 1 K 1 j X 1 P 2 A i + A T i P 2 H 1i C j C T j H 1i T P 2 B i H 1i R j C T j H 2i T H 2i R j R T j H 2i T I < I (5.147) 196

214 5.1. Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie i, j = 1,..., Les gains du contôleu sont K 1 j, j = 1,..., et les gains de l obsevateu sont H 2i et H 1i donné pa : H 1i = P2 1 H 1i (5.148) Démonstation. Les gains H 1i, H 2i et K 1i sont obtenus pa l étude de la stabilité de l équation difféentielle (5.145) en utilisant la méthode de Lyapunov. Choisissant comme fonction de Lyapunov : V(ẽ(t)) = ẽ(t) T Pẽ(t), P = P T > (5.149) où la matice P est choisie sous la fome paticulièe : P 1 P = P 2 (5.15) P 3 La déivée pa appot au temps de la fonction V(ẽ(t)) se met sous la fome : où : V(ẽ(t)) = M i j = S = j=1 µ i (ξ(t))µ j (ξ(t))ẽ(t) T ( Ã T i jp+pã i j )ẽ(t) (5.151) µ i (ξ(t))µ j (ξ(t))ẽ(t) T M i j ẽ(t) (5.152) j=1 P 1 A i P 1 B i K 1 j P 1 B i K 1 j P 1 B i P 2 A i P 2 H 1i C j P 2 B i P 2 H 1i R j P 3 H 2i C j P 3 H 2i R j où S est une fonction qui agit su une matice X quelconque de la façon suivante : (5.153) S(X) = X T + X (5.154) En utilisant la popiété de somme convexe des fonctions d activation, la déivée de la fonction de Lyapunov V(ẽ(t)) est négative si la condition suivante est véifiée : M i j <, i, j = 1,..., (5.155) En appliquant le lemme de conguence de la façon suivante : M i j < P 1 1 I M i j P 1 1 I I I < (5.156) On obtient l inégalité suivante : Ψ i j B 1 K 1 j B i Ψ 2 i j P 2 B i P 2 H 1i R j C T j HT 2i P 3 < (5.157) P 3 H 2i R j R T j HT 2i P 3 197

215 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts où : avec : Ψ 1 i j = A i X 1 + X 1 A T i B i K 1 j X 1 X 1 K T 1 jb T i (5.158) Ψ 2 i j = P 2 A i + A T i P 2 P 2 H 1i C j C T j H T 1iP 2 (5.159) X 1 = P 1 (5.16) ce qui peut s écie : A i X 1 + X 1 A T i B 1 K 1 j B i P 2 A i + A T i P 2 P 2 H 1i C j C T j HT 1i P 2 P 2 B i P 2 H 1i R j C T j HT 2i P 3 P 3 H 1i R j R T j HT 2i P 3 T T B i K 1 j X 1 X 1 B i K 1 j + + < (5.161) En utilisant le lemme de majoation 3.2, on obtient : A i X 1 + X 1 A T i B 1 K 1 j B i P 2 A i + A T i P 2 P 2 H 1i C j C T j HT 1i P 2 P 2 B i P 2 H 1i R j C T j HT 2i P 3 P 3 H 1i R j R T j HT 2i P 3 T T B i K 1 j B i K 1 j X 1 X 1 + Ω 1 + Ω < (5.162) où Ω est une matice symétique et définie positive. Afin d écie l inégalité (5.162) sous une fome linéaie pa appot aux vaiables X 1, P 2, P 3, K 1 j, H 1i, H 2i, on utilise les équations suivantes : { H 1i = P 2 H 1i (5.163) H 2i = P 3 H 2i En utilisant le complément de Schu, on obtient les LMIs du théoème 5.4 écites pou le cas paticulie Ω = I. Puisque la matice P 3 n appaaît pas dans les inégalités maticielles (5.162) apès changement de vaiable, il est judicieux de la choisi comme matice identité. Pa conséquent les gains H 2i = H 2i sont diectement obtenu pa la ésolution du poblème LMI énoncé dans le théoème Vaiables de décision non mesuables : utilisation de la méthode pa petubation Dans cette patie, nous considéons le cas où les fonctions d activation dépendent de l état du système. Le système s écit alos sous la fome : 198 ẋ f (t) = µ i (x f (t)) ( A i x f (t)+b i (u f (t)+ f(t)) ) y f (t) = µ i (x f (t)) ( C i x f (t)+d i (u f (t)+ f(t)) ) (5.164)

216 5.1. Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie Le modèle T-S de éféence (sans défaut) est décit pa : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = µ i (x(t))(c i x(t)+d i u(t)) Puisque l état x f (t) n est pas connu, la loi de commande devient : (5.165) u f (t) = µ i ( ˆx f (t)) ( ˆf(t)+K 1i (x(t) ˆx f (t))+u(t) ) (5.166) où les fonctions d activation dépendent de l état estimé ˆx f (t). En suivant la démache de la section pécédente, le système généant les eeus d estimation d état et des défauts et l eeu de pousuite de tajectoie s écit : ẽ(t) = µ i ( ˆx f (t))µ j (x f (t))ã i j ẽ(t)+γ (t) (5.167) j=1 où : ẽ(t) = x(t) x f (t) x f (t) ˆx f (t) f(t) ˆf(t), Ã i j = Γ = I n n I n n A i B i K 1 j B i K 1 j B i A i H 1i C j B i H 1i R j H 2i C j H 2i R j, (t) = ( 1 (t) 2 (t) ), (5.168) (5.169) 1 (t) = 2 (t) = (µ i (x(t)) µ i (x f (t)))(a i x(t)+b i u(t)) (5.17) (µ i (x f (t)) µ i ( ˆx f (t)))(a i x f (t)+b i (u f (t)+ f(t))) (5.171) Hypothèse 5.3. On suppose que les conditions suivantes sont véifiée : H1. Le teme (t) est boné H2. Le système est stable en boucle ouvete L analyse de la stabilité du système (5.167) en assuant la minimisation du gain L 2 du tansfet des petubations (t) ves les eeus ẽ(t) pemet d énonce le théoème 5.5 Théoème 5.5. La commande toléante aux défauts (5.166) assuant la convegence de l état x f (t) du système (5.164) ves l état de éféence x(t) de (5.165) epose su l existence des matices X 1 = X T 1 >, P 2 = P T 2 >, P 3 = I, des gains K i, H 1i et H 2i et d un scalaie positif γ solutions du poblème d optimisation suivant : min γ s.c. X 1,P 2,K 1 j, H 1i,H 2i 199

217 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts Ψ i B 1 K 1 j B i B 1 K 1 j X 1 X 1 Θ i j Ξ i j P2 Φ i j I I γi γi < (5.172) Ψ i = A i X 1 + X 1 A T i (5.173) Θ i j = P 2 A i + A T i P 2 H 1i C j C T j H 1i T (5.174) Ξ i j = P 2 B i H 1i R j C T j H2i T (5.175) Φ i j = H 2i R j R T j H T 2i (5.176) i, j = 1,..., Les gains du contôleu et ceux de l obsevateu PI sont donnés pa : Le taux d atténuation est obtenu pa : K 1 j, H 2i, H 1i = P 1 2 H 1i (5.177) γ = γ (5.178) Démonstation. La démonstation est similaie à celle founie pou le théoème 5.4 avec la satisfaction de l inégalité : afin de satisfaie la containte : V(ẽ(t))+ẽ(t) T ẽ(t) γ (t) T (t) < (5.179) ẽ(t) 2 (t) 2 < γ, (t) 2 (5.18) Exemple 5.3 (Commande toléante aux défauts) Afin d illuste la méthode de commande toléante aux défauts poposée pou les systèmes T-S à VDNM, considéons le modèle T-S : ẋ f (t) = µ i (x f (t)) ( A i x f (t)+b i (u f (t)+ f(t)) ) (5.181) y f (t) = Cx f (t)+rf(t) avec les valeus numéiques : A 1 = 1 3, A 2 = , B 1 = 1.25, B 2 = 1 1 2

218 5.1. Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie Les fonctions d activation dépendent de la pemièe composante du vecteu d état x 1 f (t). Elles sont définies pa : { µ 1 (x f (t)) = 1 tanh(x1(t)) f 2 (5.182) µ 2 (x f (t)) = 1 µ 1 (x f (t)) Afin d applique la statégie de commande toléante aux défauts poposée, on considèe le système de éféence : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) (5.183) y(t) = Cx(t) Le défaut f(t) est un échelon unité appaaissant à l instant 5. La ésolution des LMIs du théoème 5.5 donne les ésultats suivants : X 1 = , P 2 = , γ = 2.38, H 11 = , H 12 = , H 21 = [ ], H 22 = [ ], K 11 = [ ], K 12 = [ ] Afin d amélioe les pefomance de l obsevateu, un placement des pôles est éalisé à gauche de la doite d abscisse 1 de manièe à augmente la vitesse de convegence de l eeu d estimation ves zéo. L obsevateu founit l estimation des états dont les eeus d estimation sont illustées su la figue 5.16 ainsi que l estimation du défaut (figue 5.15). La figue 5.16 pésente, également, l eeu de pousuite ente le système de éféence (sans défaut) et le système en défaut avec la commande toléante au défaut u f (t). Les figues 5.15 et 5.17 compaent, d une pat, l entée de commande du système sans défaut et la commande toléante et, d aute pat, les états du système avec la commande toléante au défaut, ceux du système avec défaut et sans commande toléante, ainsi que ceux du système de éféence. On constate que la commande toléante au défaut a compensé le défaut et a pemis au système d atteinde son objectif même en pésence du défaut. 21

219 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts f(t) f(t) estimé u(t) u f (t) Figue 5.15 Défaut et son estimé - commande sans défaut et commande toléante 1 Eeus d estimation d état Eeus de pousuite de tajectoie Figue 5.16 Eeus d estimation d état et de pousuite de tajectoie 22

220 5.1. Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie x 1 (t) états du modèle de éféence états du système sans FTC états du système avec FTC x 2 (t) x 3 (t) temps Figue 5.17 Compaaison ente les états du système de éféence (sans défaut), états du système avec défaut et sans FTC et états du système avec FTC 23

221 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts Vaiables de décision non mesuables : utilisation de la méthode pa le théoème de la valeu moyenne Soit le système T-S à VDNM défini pa (6.9). Toujous avec la condition ḟ(t) =, l état augmenté x a (t) T = [x f (t) T f(t) T ] T, est égi pa la dynamique suivante : ẋ a (t) = µ i (x f (t)) ( Ã i x a (t)+ B i u f (t) ) y f (t) = µ i (x f (t)) ( C i x a (t)+ D i u f (t) ) (5.184) L obsevateu PI peut se mette également sous fome augmentée : ˆx a (t) = µ i ( ˆx f (t)) ( Ã i ˆx a (t)+ B i u f (t)+h i (y f (t) ŷ f (t)) ) ŷ f (t) = µ i ( ˆx f (t)) ( C i ˆx a (t)+ D i u f (t) ) (5.185) avec les définitions (5.143). Dans le but d utilise la méthode utilisant le théoème de la valeu moyenne, on intoduit les matices Ã, Ã, B, B i,, C, C i,, D, D i définies de la même manièe que dans la section 3.3, ce qui conduit à : ẋ a (t) = Ã x a (t)+ B u f (t)+ µ i (x f (t))( Ã i x a (t)+ B i u f (t) y f (t) = C x a (t)+ D u f (t)+ µ i (x f (t))( C i x a (t)+ D ) i u f (t) (5.186) Pa la suite, on éduit la complexité des obsevateus en imposant H i = H, ce qui donne : ˆx a (t) = Ã x a (t)+ B u f (t)+h(y f (t) ŷ f (t))+ µ i ( ˆx f (t))( Ã i ˆx a (t)+ B ) i u(t) ŷ f (t) = C x a (t)+ D u f (t)+ µ i (x f (t))( C i ˆx a (t)+ D ) i u f (t) (5.187) De manièe similaie, le modèle de éféence sans défaut (5.129) s écit sous la fome : ẋ(t) = A x(t)+b u(t)+ µ i (x(t)) ( Ā i x(t)+ B i (t) ) (5.188) L eeu de pousuite e(t) = x(t) x f (t) a une dynamique égie pa l equation : où : 24 ė(t) = (x,x f,u) = µ i (x f (t))µ j ( ˆx f (t)) (( ) A B i K 1 j e(t) L i f(t) ) + (x,x f,u) (5.189) j=1 (Āi ( µi (x)x(t) µ i (x f )x f (t) ) + B i ( µi (x) µ i (x f ) ) u(t) ) (5.19) )

222 5.1. Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie et : L i = [ B i K 1 j B i ] (5.191) De même, l eeu d estimation d état et de défauts e a (t) = x a (t) ˆx a (t) est solution de l équation : où : a (x f, ˆx f,u) = b (x f, ˆx f,u) = ė a (t) = ( Ã H C ) ea (t)+ a (x f, ˆx f,u) H b (x f, ˆx f,u) (5.192) ( Ã i ( µi (x f (t))x f (t) µ i ( ˆx f (t)) ˆx f (t) ) + B i ( µi (x f (t)) µ i ( ˆx f (t)) ) u f (t)) (5.193) ( C i ( µi (x f (t))x f (t) µ i ( ˆx f (t)) ˆx f (t) ) + D i ( µi (x f (t)) µ i ( ˆx f (t)) ) u f (t)) Les temes (x,x f,u), a (x a, ˆx a,u), b (x a, ˆx a,u) peuvent s écie également : où les fonctions f, g et h sont définies comme suit : (5.194) (x f, ˆx f,u) = f(x,u) f(x f,u) (5.195) a (x a, ˆx f,u) = g(x a,u) g( ˆx a,u) (5.196) b (x a, ˆx f,u) = h(x a,u) h( ˆx a,u) (5.197) (5.198) f(x,u) = g(x a,u) = h(x a,u) = µ i (x(t)) ( Ā i x(t)+ B i u(t) ) (5.199) µ i (x f (t))( Ã i x a (t)+ B ) i u(t) µ i (x f (t))( C i x a (t)+ D ) i u(t) (5.2) (5.21) Hypothèse 5.4. On suppose que les conditions suivantes sont véifiées : a min i j f i(x,u) a max i j,i, j = 1,...,n x j (5.22) b min i j g i(x a,u) b max i j,i, j = 1,...,(n+n f ) x a j (5.23) c min i j h i(x a,u) c max i j,i = 1,...,n y, j = 1,...,(n+n f ) x a j (5.24) En utilisant l appoche fondée su le théoème de la valeu moyenne ainsi que la tansfo- 25

223 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts mation pa secteus non linéaies (section 3.3.5), on aboutit aux écitues suivantes : (x,x f,u) = a (x,x f,u) = b (x,x f,u) = q m s ν i (z(t))a i e(t) (5.25) υ i (z(t)) A i e(t) (5.26) h i (z(t)) C i e(t) (5.27) où q = 2n 2, m = 2(n+n f ) 2 et s = 2n y (n+n f ). De là, on déduit les nouvelles fomes équivalentes des équations des eeus de pousuite (5.189) et d estimation (5.192) : et : q ė(t) = s j=1 k=1 j=1 q k=1 ė a (t) = q l=1 p=1 µ i (x f )µ j ( ˆx f )ν k (z(t)) ( (A + A k B i K 1 j )e(t) L i f(t) ) (5.28) q s υ i (z(t))h j (z(t)) ( (à + A i H( C + C j ) ) e a (t) (5.29) j=1 Le système issu de la concaténation des eeus de pousuite et d estimation est donné pa : ( A + A p B ẽ(t) = υ i (z)h j (z)µ k (x f )µ l ( ˆx f )ν p (z) k K 1l L k à + A i H( C + C j ) (n+n f ) n ) ẽ(t) (5.21) En conclusion, les eeus d estimation et de pousuite sont données pa le système (5.21). Un aisonnement similaie à celui poposé dans la section pécédente pemet d étudie la stabilité de (5.21) et d en déduie les conditions LMIs assuant la convegence de l eeu d estimation d état et de pousuite de tajectoie ves zéo et la détemination des gains K 1 j et H Conclusion Ce chapite est dédié à la conception de généateus de ésidus pou des systèmes décits pa des modèles T-S en se basant su des obsevateus d état. Le pemie généateu de ésidus epend la technique de bancs d obsevateus à entées inconnues pa découplage afin de génée des ésidus stuctués dans le but de localise des défauts de capteus et d actionneus. L inconvénient d une telle démache éside dans les containtes stuctuelles qu il est nécessaie de satisfaie pou la conception des obsevateus. En effet, pou pouvoi ende un ésidu insensible à cetains défauts, les matices d influence de ces défauts doivent impéativement véifie cetaines conditions stuctuelles, dites de découplage. De plus, dans les poblèmes de localisation de défauts de capteus, on est souvent confonté au poblème d obsevabilité ca on considèe souvent un sous-ensemble limité de soties pou la conception des obsevateus. Afin d élimine ces containtes stuctuelles et de éduie ces situations 26

224 5.11. Conclusion de pete d obsevabilité, une aute méthode basée su les obsevateus PI et PMI est poposée. Oute les solutions appotées aux poblèmes stuctuels de découplage et d obsevabilité cités pécédemment pou les obsevateus à entées inconnues, les obsevateus PI et PMI pemettent également de founi une estimation des défauts. Cette capacité est intéessante puisqu elle éalise implicitement la détection et la localisation, mais sutout est utile pou la commande active toléante aux défauts. En effet cette infomation supplémentaie est pimodiale pou détemine la commande qui compense au mieux les défauts. En considéant un système non linéaie epésenté pa un modèle T-S, deux méthodes basées su le fomalisme H ont été développées afin de concevoi des généateus de ésidus pou le diagnostic de fautes. La pemièe méthode est dédiée aux modèles T-S ayant des fonctions d activation dépendant de vaiables de pémisse mesuables. La seconde suppose que les vaiables de pémisse sont non mesuables. Le poblème de conception de tels généateus est initialement énoncé comme un poblème min/max, avant d ête amené à un simple poblème de minimisation pa l intoduction d une fonction de pondéation féquentielle. La solution poposée pou ésoude ce poblème d optimisation s appuie su des conditions suffisantes d existence d un généateu de ésidus. Elle est fomulée en temes de LMIs stictes afin de facilite l obtention des gains du généateu de ésidus. Enfin, une statégie de commande toléante aux défauts est poposée. Elle est basée su la pousuite d un modèle de éféence qui coespond au modèle du système sans défaut. La statégie de commande consiste à ajoute deux temes à la loi de commande initiale du système ayant pou objectif de compense un défaut affectant le système. En pésence d un défaut, cette commande pemet de foce l état du système en défaut à suive l état du modèle de éféence. La stuctue de la loi de commande toléante aux défauts poposée nécessite la connaissance du défaut qui est alos estimé au moyen d un obsevateu PI. Les fonctions d activation du système T-S sont supposées connues. En utilisant la théoie de Lyapunov pou l étude de la stabilité, des conditions suffisantes LMIs sont alos établies assuant la convegence asymptotique ves zéo des eeus de pousuite de tajectoie et d estimation d état et pemettent aussi de synthétise les gains de l obsevateu et de la loi de commande. 27

225 Chapite 5. Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts 28

226 6 Pespectives Sommaie 6.1 Stabilité des modèles de Takagi-Sugeno Diagnostic de fautes Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie Utilisation d un obsevateu Popotionnel-Multi-Integal Commande toléante aux défauts utilisant l appoche pa incetitudes bonées Aute stuctue de la commande toléante aux défauts Commande pa etou d état toléant aux défauts : défauts de capteus Commande toléante aux défauts pa fomalisme H

227 Chapite 6. Pespectives À l issue de ce tavail, de nombeuses pistes peuvent ête exploées afin d amélioe les méthodes poposées pou l estimation d état, le diagnostic et la commande toléante aux défauts. Dans ce chapite, quelques tavaux déjà entamés, mais estent à développe plus complètement. 6.1 Stabilité des modèles de Takagi-Sugeno Un des poblèmes impotants de l analyse des systèmes, en paticulie ceux epésentés pa des modèles T-S, éside dans l étude de leu stabilité. De nouvelles conditions de stabilité moins contaignantes, pa appot aux conditions établies à pati de fonctions de Lyapunov quadatiques, ont été poposées. L application de ces denièes à la synthèse de lois de commande ou d obsevateus conduit à des inégalités maticielles bilinéaies qui sont difficiles à ésoude. Cependant, dans le cas des systèmes à temps discet, des ésultats de stabilité elaxés [Kuszewski, 26; Kuzewski et al., 28] publiés écemment ont pu ête appliqués à la conception de lois de commande. Ces mêmes ésultats ont été utilisés pou la conception d obsevateus au chapite 3. Le poblème à taite dans les tavaux futus poteaient su l étude de la stabilité elaxée dans le cas des systèmes à temps continu et son application aux poblèmes de stabilisation et de conception d obsevateus. 6.2 Diagnostic de fautes Dans le cade du diagnostic, les ésultats encouageants obtenus pa la méthode utilisant le fomalisme H poposée au chapite 5 nous conduisent à pose le poblème de la obustesse de l estimation vis-à-vis des petubations et des incetitudes de modélisation. Il est alos intéessant, pa exemple, d assue un cetain gabait de obustesse pa appot aux petubations en ajoutant un filte (voi la figue 6.1). Dans le tavail énoncé dans le chapite 5, le filte W f est choisi a pioi de manièe à satisfaie cetaines popiétés. Une étude pemettant l intégation du choix du filte au moment de la ésolution des LMIs peut ête envisagée afin de cheche le filte conduisant à une détection de défauts optimale vis-à-vis d un citèe donné. D autes pistes seont à exploe concenant le diagnostic des défauts du système et le diagnostic des systèmes à temps continu munis d obsevateus à temps discets qui est plus adapté en patique. 6.3 Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie Dans la patie commande toléante aux défauts du chapite 5, nous avons pésenté le cas des systèmes T-S à vaiables de décision mesuables en donnant des conditions LMIs pemettant la détemination des gains de l obsevateu PI et de la loi de commande. Le cas des systèmes T-S à vaiables de décision non mesuables a été fomalisé en exploitant deux appoches pésentées au chapite 3. La pemièe est basée su l utilisation du théoème de la valeu moyenne ainsi que l appoche pa tansfomation pa secteus non linéaies. La seconde utilise l appoche pa 21

228 6.3. Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie f(t) W f d(t) W d u(t) Système y(t) Généateu de ésidus (t) + (t) Figue 6.1 Schéma de diagnostic obuste incetitudes bonées. Les tavaux à cout teme doivent ête menés afin de déduie des conditions LMIs pemettant la synthèse de la loi de commande toléante aux défauts. D autes tavaux déjà entamés su l utilisation d obsevateus Popotionnel-Multi-Intégal et l extension aux systèmes T-S à vaiables de décision non mesuables sont pésentés dans cette patie Utilisation d un obsevateu Popotionnel-Multi-Integal. L hypothèse de défauts constants ou à dynamiques lentes est estictive et a été utilisée pou la peuve théoique. D un point de vue patique, l obsevateu PI pemet néanmoins d estime une plus lage classe de signaux vaiables dans le temps. Un placement de pôles de l obsevateu afin d augmente sa vitesse pemettait d amélioe l estimation des défauts. Dans le cas où les défauts sont modélisés pa des signaux vaiables dans le temps et ayant une fome polynomiale d ode q i.e. : f (q+1) (t) = (6.1) l obsevateu PI peut ête emplacé pa un obsevateu Popotionnel-Multi-Intégal. Il est également possible d utilise l obsevateu PMI ne satisfaisant pas la condition (6.1) mais seulement une condition de bone de la q ème déivée de f(t) (voi chapite 4) : f (q+1) < ρ, ρ R + (6.2) Commande FTC pa obsevateu PMI modélisés sous la fome suivante : Soit le système (5.13) affecté pa des défauts f(t) f(t) = a + a 1 t + a 2 t a q t q (6.3) 211

229 Chapite 6. Pespectives avec d (t) = ḟ(t),d 1 (t) = f(t),...d q 1 = f q, le système (5.13) s écit : x f (t) = µ i (ξ(t)) ( Ã i x f + B i u f (t) ) y(t) = µ i (ξ(t)) ( C i x f + D i u f (t) ) (6.4) où : x f (t) = B i = x f (t) f(t). f q (t) d (q 1) (t) B i. A i B i I, Ã i = I, C i = ( C i R i ), D i = D i, L obsevateu qui estime simultanément l état x f (t), les défauts f(t) ainsi que les q ème pemièes déivées est donné pa la stuctue suivante : ˆ x f (t) = µ i (ξ(t)) ( Ã i ˆ x f + B i u f (t)+ H i (y f (t) ŷ(t)) ) ŷ(t) = µ i (ξ(t)) ( C i ˆ x f + D i u f (t) ) (6.5) L eeu de pousuite ente x f (t) et x(t) et l eeu d estimation d état et de défauts sont solutions de : ( ) e(t) ( ) e(t) = ė a (t) µ i (ξ(t))µ j (ξ(t))ã i j (6.6) ė j=1 a (t) où : ( ) Ai B Ã i j = i K 1 j L i j (6.7) Ã i H i C j et : L i j = [ B i K 1 j B i ] (6.8) L objectif est de cheche les gains K 1 j et H i pemettant d assue la convegence des eeus d estimation d état et de pousuite Commande toléante aux défauts utilisant l appoche pa incetitudes bonées Si l état du système est utilisé comme vaiable de décision, qui est souvent le cas quand le modèle T-S est obtenu pa tansfomation pa secteus non linéaies, les méthodes exposées 212

230 6.3. Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie pécédemment ne peuvent pas s applique diectement. Cette section est dédiée à l extension de la statégie de commande toléante aux défauts pou les systèmes T-S à VDNM. Seul le cas de la commande utilisant l obsevateu PI est taité ici, le ésultat étant facilement extensible à la commande FTC utilisant l obsevateu PMI. Soit le système T-S suivant où l état x f (t) est utilisé dans les vaiables de pémisse : ẋ f (t) = µ i (x f (t)) ( A i x f (t)+b i (u f (t)+ f(t)) ) y f (t) = µ i (x f (t)) ( C i x f (t)+d i (u f (t)+ f(t)) ) (6.9) Le modèle T-S de éféence (sans défaut) est modélisé pa : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = µ i (x(t))(c i x(t)+d i u(t)) Puisque l état x f (t) n est pas connu, la loi de commande devient : u f (t) = (6.1) µ i ( ˆx(t)) ( S ˆf(t)+K 1i (x(t) ˆx f (t))+u(t) ) (6.11) où les fonctions d activation dépendent de l état estimé ˆx f (t). Afin de constuie la loi de commande toléante aux défauts (6.11), il est nécessaie de econstuie l état x f (t) et le défaut f(t), au moyen d un obsevateu PI pa exemple. En utilisant l appoche pa incetitudes bonées développée au chapite 3, le système (6.9) peut ête é-écit sous la fome équivalente suivante faisant appaaîte l état estimé ˆx f (t) comme vaiable de pémisse ainsi que des temes bonés considéés comme des incetitudes (voi section 3.4.1) : ẋ f (t) = µ i ( ˆx f (t)) ( (A i + A(t))x f (t)+(b i + B(t))(u f (t)+ f(t)) ) y(t) = µ i ( ˆx f (t)) ( (C i + C(t))x f (t)+(d i + D(t))(u f (t)+ f(t)) ) (6.12) où pou X {A, B, L, C, D, R} : X(t) = δ i (t)x i = X Σ X (t)e X (6.13) X = [ X 1 X ] (6.14) E X = [ I... I ] T (6.15) δ 1 (t)i Σ X (t) =..... (6.16) δ (t)i δ(t) = µ i (x(t)) µ i ( ˆx(t)) (6.17) 213

231 Chapite 6. Pespectives La popiété de somme convexe des fonctions d activation pemet d écie : 1 δ i (t) 1 alos : Σ T A (t)σ A(t) I, Σ T B (t)σ B(t) I, Σ T C (t)σ C(t) I Σ T D (t)σ D(t) I, Σ T L (t)σ L(t) I, Σ T R (t)σ R(t) I (6.18) Toujous avec l hypothèse d un défaut constant, l état augmenté x a (t) = [x f (t) T solution du système : où : f(t) T ] T est ẋ a (t) = µ i ( ˆx f (t)) ( (Ã i + Ã(t))x a (t)+( B i + B(t))u(t) ) y f (t) = µ i ( ˆx f (t)) ( ( C i + C(t))x a (t)+( D i + D(t))u(t) ) (6.19) ( Ai L Ã i = i Ã(t) = ) ( Bi, B i = ( A(t) L(t) ), C i = ( C i R i ), D i = D i ) ( B(t), B(t) = C(t) = ( C(t) R(t) ), D(t) = D(t) Pou econstuie simultanément l état ainsi que les défauts, l obsevateu PI est utilisé sous la fome suivante : ˆx a (t) = µ i ( ˆx f (t)) ( Ã i ˆx a (t)+ B i u(t)+g i (y f (t) ŷ f (t)) ) ŷ f (t) = µ i ( ˆx f (t)) ( C i ˆx a (t)+ D i u(t) ) (6.2) Le tavail à faie consiste à établi des conditions LMIs pemettant d assue la convegence de l eeu d estimation d état et de défauts ainsi que la convegence de l état éel ves l état de éféence Aute stuctue de la commande toléante aux défauts Dans le cade de la commande pa pousuite de tajectoie poposée dans le chapite 5, il est intéessant d exploe difféentes stuctues de la loi de commande afin de éduie la complexité et le pessimisme des conditions LMIs pemettant la synthèse des gains de celle-ci. Une loi linéaie peut alos ête envisagée sous la fome : u f (t) = ˆf(t)+K(x(t) ˆx f (t))+u(t) (6.21) où ˆx f (t) et ˆf(t) sont espectivement le vecteu d état et le vecteu de défauts estimés, u(t) est la loi de commande du système sans défaut et S et K sont les gains à détemine afin d assue la convegence de x f (t) ves x(t). 214 )

232 6.4. Commande pa etou d état toléant aux défauts : défauts de capteus Une telle loi de commande pemettait de éduie le nombe de LMIs à ésoude ce qui elaxeait les conditions de convegence des eeus d estimation d état et de pousuite de tajectoie. Les pefomances de cette nouvelle stuctue sont à compae à celles de la loi poposée au chapite 5. D autes stuctues sont également à envisage, pa exemple, une loi de commande compotant un teme de pousuite de tajectoie de sotie de la fome : u f (t) = ˆf(t)+K(y(t) y f (t))+u(t) (6.22) Un deuxième point intéessant à étudie concene la considéation d autes modélisations des défauts en ayant des matices difféentes d influence des défauts et des entées. 6.4 Commande pa etou d état toléant aux défauts : défauts de capteus Dans la section pécédente, l estimation du défaut est supposée éalisable, de ce fait, on utilise la même loi de commande développée que celle dans des conditions nomales de fonctionnement à laquelle est ajoutée un teme de compensation pemettant l accommodation au défaut ; ce teme n est actif que si un défaut est détecté (i.e. estimé). Dans cette section, nous considéons que l estimation des défauts n est pas disponible, pa conte la détection et la localisation de ces denies est éalisée à l aide de bancs d obsevateus. La conception d une méthode de commande toléante aux défauts de capteus epose su l utilisation d un banc d obsevateus ; elle est similaie à celle poposée dans [Oudghii, 28] pou les systèmes T-S à VDM et pemet l estimation de l état du système en utilisant des combinaisons des soties mesuées. Un contôleu pa etou d état est synthétisé pou chaque obsevateu du banc. Les ésidus généés pa le banc d obsevateus sevent à concevoi un mécanisme de commutation pemettant de passe d un contôleu à un aute suivant la détection d un défaut de manièe à utilise celui qui utilise une estimation d état saine. Soit le système T-S à VDNM : ẋ(t) = µ i (x(t))(a i x(t)+b i u(t)) y(t) = µ i (x(t))c i x(t) muni d un banc d obsevateus de stuctue : ˆx l (t) = µ i ( ˆx l (t)) ( A i ˆx l (t)+b i u(t)+li l(yl (t) ŷ l (t)) ) ŷ l (t) = µ i ( ˆx l (t))c i ˆx l (t) (6.23) (6.24) où ˆx l (t) et ŷ l (t) epésentent espectivement l état estimé et la sotie estimée founis pa l obsevateu numéo l. Une loi de commande u l (t) est synthétisée pou chaque obsevateu : u l (t) = µ i ( ˆx l (t))k l i ˆx l (t) (6.25) 215

233 Chapite 6. Pespectives Le mécanisme de commutation est élaboé gâce aux ésidus obtenus et à une logique de décision qui, d une pat, sélectionne l obsevateu pou élaboe l estimation d état saine, et, d aute pat, éalise la commutation ves le contôleu associé. Si un banc d obsevateus dédiés est utilisé, le nombe de ces denies est n y, la loi de commande u(t) appliquée au système s écit alos sous la fome : n y u(t) = ν j ((t))u j (t) (6.26) j=1 où ν i ((t)) sont des fonctions non linéaies dépendant des ésidus assuant les commutations. Conception d obsevateus et de lois de commande Beaucoup de tavaux ont été développés concenant la conception de commandes à base d obsevateus pou les systèmes T-S. Ces statégies de commande peuvent ête utilisées dans note étude. Pou la conception de l obsevateu et de la commande numéo l, le système s écit avec la loi de commande (6.25) et l obsevateu (6.24) sous la fome : ( ẋ(t) ė l (t) où : ) = i, j,k,s=1 ( µ i (x)µ j ( ˆx)µ k (x)µ s ( ˆx) A i B i K l j A i j B i j K s L j C ik B i K l j A j L j C k + B i j K s )( ) x(t) e l (t) (6.27) A i j = A i A j B i j = B i B j C i j = C i C j (6.28) La synthèse des gains des obsevateus et des lois de commande est éalisée, pa exemple, pa la méthode de Lyapunov. Dans ce contexte, plusieus tavaux ont d oes et déjà été développés, voi pa exemple [Guea et al., 26] et [Kuszewski, 26]. Chaque vecteu d état estimé founi pa chaque obsevateu est utilisé pou la conception d une loi de commande. Le mécanisme de commutation ente une commande et une aute est éalisé via une logique de décision basée su les signaux de ésidus afin de sélectionne le vecteu d état estimé sain ce qui conduit à la sélection de la commande adéquate. Contaiement à l appoche pa pousuite de tajectoie, cette méthode ne nécessite pas la modélisation des défauts pouvant affecte le système ni même l estimation de ces denies. 6.5 Commande toléante aux défauts pa fomalisme H L objectif visé ici est la conception d une commande toléante aux défauts utilisant le bloc de détection/localisation et estimation des défauts développé à pati du fomalisme H. Soit le système en défaut epésenté pa le modèle T-S à vaiables de décision mesuables : ẋ(t) = µ i (ξ(t)) ( A i x(t)+b i u f (t)+e i d(t)+f i f(t) ) (6.29) y(t) = Cx(t)+Du f (t)+gd(t)+rf(t) La loi de u f (t) est la loi calculée pa le contôleu afin de commande le système. Étant donné que le système est en défaut, ce contôleu utilise des infomations eonées le conduisant à 216

234 6.5. Commande toléante aux défauts pa fomalisme H founi des commandes inappopiées u f (t) dépendant de ce défaut. Rappelons que dans le cas sans défaut, le signal u f (t) doit ête égal au signal u(t), et en pésence d un défaut, ce signal doit ête modifié de manièe à pende en chage ce denie et pemette au système d atteinde son objectif. Pou cela, on intoduit la loi de commande suivante : u f (t) = u(t)+k(t) (6.3) avec (t) le vecteu de ésidus délivé pa le bloc de diagnostic défini pa les équations suivantes : ė(t) = µ i (ξ(t))((a i L i C)e(t)+(E i L i G)d(t)+(F i L i R) f(t)) (6.31) (t) = y(t) ŷ(t) = Ce(t)+Gd(t)+Rf(t) L objectif est de concevoi le généateu de ésidus ainsi que la commande toléante aux défauts pa la détemination des gains L i et K. 217

235 Chapite 6. Pespectives 218

236 7 Conclusion généale Les tavaux pésentés dans ce mémoie de thèse appotent une contibution aux poblèmes d estimation d état, de diagnostic et de commande toléante aux défauts des systèmes non linéaies, ces denies étant epésentés à l aide d un modèle de Takagi-Sugeno. Deux cas peuvent ête considéés : les modèles T-S à vaiables de décision mesuables et les modèles T-S à vaiables de décision non mesuables. La plus gande patie des tavaux développés pote su les systèmes non linéaies décits pa un modèle T-S à VDNM. Les modèles T-S à VDM ont fait l objet de nombeux tavaux dans difféents domaines tels que l identification, la commande, l obsevation et le diagnostic. En evanche, les modèles T-S à VDNM n ont pas été beaucoup étudiés, en paticulie dans le domaine de l estimation d état et du diagnostic. Et cela, malgé les avantages qu ils offent comme la capacité de epésentation exacte d un modèle non linéaie décit pa la fome généale ẋ(t) = f(x(t), u(t)), la possibilité de epésente une classe plus lage de systèmes non linéaies pa appot aux modèles T-S à VDM, leu intéêt pou le diagnostic pa bancs d obsevateus et leu impotance dans les poblèmes de cyptanalyse et de synchonisation. Ces intéêts ont motivé note oientation ves les poblèmes d estimation d état et de diagnostic des systèmes non linéaies décits pa des modèles T-S à VDNM. Avant d abode le poblème d estimation d état et de conception d obsevateus, les modèles T-S à VDNM ont été analysés afin d exploe difféentes écitues équivalentes ; chacune ayant des caactéistiques popes. Le but de ces tansfomations a été de é-écie le modèle T-S à vaiables de décision non mesuables sous la fome d un modèle T-S à vaiables de décision connues (état estimé). Les méthodes d estimation d état poposées au chapite 3 eposent su ces tansfomation ainsi que su des hypothèses su les temes additionnels qui appaaissent apès tansfomation. Deux catégoies de méthodes ont alos été poposées : la pemièe suppose que les fonctions d activation sont de natue lipschitzienne et la seconde utilise une aute tansfomation afin d écie les temes additionnels sous fome d incetitudes bonées ou constantes, ou bien sous fome de petubations dont l influence est à minimise. Les conditions de convegence des obsevateus découlent de l utilisation des techniques d optimisation L 2. Afin de 219

237 Chapite 7. Conclusion généale facilite la détemination des gains de l obsevateu, le fomalisme LMI a été utilisé dans le but d expime les conditions de convegence sous une fome adaptée à leu ésolution. L extension de cetaines des méthodes poposées au chapite 3 au poblème d estimation d état en pésence d entées inconnues a été considéée dans le chapite 4. Deux types d obsevateus ont alos été étudiés. Le pemie obsevateu s appuie su le découplage des entées inconnues. En effet, gâce à des hypothèses stuctuelles su les matices définissant le système, des conditions de découplage sont poposées. La ésolution d un ensemble de LMIs et de LMEs pemet la constuction de l obsevateu. Dans cetains cas, un découplage total du vecteu d entées inconnues n est pas éalisable. Une appoche combinant le découplage et la minimisation du tansfet L 2 a alos été poposée, ce qui est plus généal. Cette technique pemet de découple une patie des entées inconnues pa la echeche d une pojection adéquate et de minimise la patie ésiduelle des entées inconnues apès découplage. La nécessité de connaîte l évolution tempoelle des défauts nous a amené à considée un second type d obsevateu appelé obsevateu Popotionnel-Intégal. Son avantage pincipal éside dans l estimation simultanée de l état et des entées inconnues. De plus, il founit une meilleue estimation de ces denièes pa appot à celle founie pa l obsevateu à entées inconnues pa découplage. Afin d étende la classe d entées inconnues pouvant ête estimées pa l obsevateu à une classe plus généale sous la fome polynomiale, un obsevateu Popotionnel-Multi-Intégal, initialement poposé pou les systèmes linéaies, a été poposé. Il utilise plusieus actions intégales pou estime les q pemièes déivées des entées inconnues. Dans le chapite 4, les obsevateus poposés ont été utilisés à des fins de diagnostic. Tois méthodes ont été poposées. La pemièe méthode utilise les techniques de bancs d obsevateus à entées inconnues pa découplage afin de ende cetains obsevateus sensibles à un sous-ensemble de défauts et insensibles à un aute sous-ensemble. L analyse des ésidus généés associée à une logique de décision a pemis de détecte et de localise des défauts d actionneus. La même appoche a été utilisée pou la localisation des défauts de capteus en intoduisant un filte su la sotie du système. Cette appoche pemet de tansfome le poblème de localisation de défauts de capteus en un poblème de localisation de défauts d actionneus. De ce fait, une éponse au pemie objectif attendu dans ce tavail, visant à utilise le même modèle T-S à vaiables de décision non mesuables pou la localisation des défauts de capteus et d actionneus, a été atteint. Dans le but de founi une estimation des défauts, une seconde appoche a été poposée. Elle est basée su l utilisation des obsevateus Popotionnel-Intégal et Popotionnel-Multi- Intégal. Afin d amélioe l estimation des défauts, une technique pa bancs d obsevateu a été exploitée. La toisième appoche de diagnostic utilise le fomalisme H développé dans le cade linéaie. L idée pincipale est de génée des ésidus dont l analyse pemet la détection, l isolation et l estimation des défauts. Pou cela, l objectif est expimé de manièe à minimise l influence des petubations et à maximise l influence des défauts su ces ésidus. On fait face alos à un poblème min/max que l on a tansfomé en un simple poblème de minimisation en intoduisant un filte linéaie. Les tâches de détection, localisation et estimation des défauts dépendent du choix du filte. Des conditions LMIs pemettant la constuction d un tel généateu de ésidus sont données pou les systèmes T-S à VDM et les systèmes T-S à VDNM. 22

238 La denièe patie du chapite est consacée à la commande toléante aux défauts des systèmes T-S. Une appoche utilisant la loi de commande nominale a été poposée. La nouvelle loi de commande est alos composée de la commande nominale à laquelle sont ajoutés deux temes elatifs au défaut et à une eeu de pousuite d état ente le système éel et un modèle de éféence. Les deux temes ajoutés nécessitent la connaissance du vecteu d état pou éalise la pousuite de tajectoie et la connaissance du défaut afin de le compense. Les obsevateus Popotionnel-Intégal et Popotionnel-Multi-Intégal sont alos utilisés. Les ésultats poposés dans ce mémoie de thèse ouvent de nombeuses pespectives pou des tavaux futus : L application des ésultats obtenus dans le cade du pojet SIRASAS (Statégies Innovantes Robustes et Autonomes pou les Systèmes Aéo-Spatiaux). La conception d obsevateus en utilisant le théoème de la valeu moyenne et la tansfomation pa secteus non linéaies pemet d écie l eeu d estimation d état sous la fome d un système T-S dont la stabilité est taitée au moyen de fonctions de Lyapunov. Dans cette thèse, seule la stabilité quadatique a été étudiée pou les systèmes à temps continu. Il seait intéessant d applique les ésultats su la stabilité elaxée des systèmes T-S et de cheche à obteni des conditions LMIs. En effet, la plupat des tavaux su la stabilité utilisant des fonctions de Lyapunov non quadatiques ou poly-quadatiques mènent à des conditions sous fome BMIs qui sont difficiles à ésoude. De même, il seait intéessant de s attade su le poblème de la stabilité elaxée des systèmes T-S à temps continu. Plusieus méthodes poposées, notamment celle utilisant le théoème de la valeu moyenne, founissent un ensemble impotant de conditions LMIs à ésoude simultanément, ce qui peut demande un temps de calcul pohibitif d où la difficulté d implémentation en ligne. Une piste en cous d exploitation au laboatoie vise à éduie le nombe de sous-modèles tout en gadant les caactéistiques des modèles T-S à VDNM. L hypothèse de la non-mesuabilité des vaiables de pémisse et, pa conséquent, de la non-connaissance de l évolution des fonctions d activation nous a amené à pose le poblème de l estimation simultanée de l état et des fonctions d activation. La solution de ce poblème touvea son intéêt, pa exemple, dans les systèmes epésentés pa un ensemble de sous-modèles locaux taduisant les compotements nomaux et les compotements défaillants du système. En effet, la connaissance de l évolution de ces fonctions founia une infomation su le modèle actif et donc la détection et la localisation des modes de fonctionnement. Une étude plus poussée de l obsevateu Popotionnel-Multi-Intégal poposé à la section 4.16 peut ête envisagée ca l utilisation d intégateus pus peut génée des phénomènes d instabilité. Une idée seait de les emplace pa des filtes dynamiques pemettant la pise en compte d une classe plus lage de signaux que ceux de type polynomial. Contaiement aux méthodes de conception d obsevateus pou les systèmes non linéaies pouvant ête mis sous une fome canonique d obsevabilité, les méthodes poposées dans cette thèse sont simples et se basent essentiellement su une technique de véification d un jeu de LMIs. Une étude d obsevabilité des systèmes T-S seait utile à entepende. De plus, dans le cade du diagnostic des systèmes ne véifiant pas les conditions d obsevabilité, la conception d estimateu diect de la sotie peut ête éalisée afin 221

239 Chapite 7. Conclusion généale de pouvoi génée des ésidus pa compaaison de soties. La stuctue de la commande toléante aux défauts poposée dans ce mémoie a une fome multimodèle. Il seait intéessant d exploe d autes stuctues, notamment une fome linéaie qui éduiait le nombe de LMIs à ésoude. L objectif seait de popose une commande moins contaignante, facile à implémente et gaantissant les spécifications d un cahie des chages. Le développement des systèmes commandés en éseaux nous motive à étende l étude aux systèmes pésentant des etads constants ou vaiables, connus ou inconnus faisant éféence à des etads dans les canaux de communication. De plus, il a été monté dans des tavaux tès écents que ces etads peuvent ête modélisés gâce à des modèles T-S, facilitant ainsi l étude. Enfin, dans les tavaux de diagnostic menés dans ce pésent mémoie, le poblème du diagnostic en boucle femée est soulevé ca la commande masque les défauts d où l impossibilité de les détecte. Un pemie tavail a été mené au CRAN su ce poblème pou les systèmes linéaies. Il seait intéessant de compléte ces tavaux puis d envisage une extension aux systèmes non linéaies sous fome Takagi-Sugeno gâce aux popiétés de cette denièe. 222

240 223 Annexes

241 Annexes 224

242 A Calcul de la constante de Lipschitz On considèe la fonction non linéaie : f(x) : x R n R n (A.1) définie comme suit : f(x) = [ f 1 (x) T f n (x) T ] T, x = [ x T 1 x T n ] T (A.2) Le développement en séie de Taylo à l ode zéo avec este intégal de f i (x) autou de ˆx est : f i (x) f i ( ˆx) = x 1 x (t)dt x n 1 ˆx 1 f i x n (t)dt, i {1,...,n} ˆx n f i Chaque fonction f i peut ête majoée de la manièe suivante : f i (x) f i ( ˆx) x 1 ˆx 1 f 1 xn (t) x 1 dt f 1 (t) x n dt ˆx n (A.3) (A.4) Soit a i j = max t [x j ˆx j ] f i (t) x j, i, j {1,..,n} (A.5) Dans le cas où l intevalle [x j ˆx j ] n est pas connu, a i j est calculé pou t R ; on obtient : a i j = max f i t R (t) x j (A.6) Pa conséquent, (A.4) pemet d écie : f i (x) f i ( ˆx) a i1 x 1 ˆx a in x n ˆx n (A.7) 225

243 Annexe A. Calcul de la constante de Lipschitz En appliquant ce ésultat à la fonction f(x), on obtient : f(x) f( ˆx) J x ˆx (A.8) où : a 11 a 1n J =..... a n1 a nn La constante de Lipschitz de f(x) est donnée pa la plus gande valeu singulièe de J. (A.9) 226

244 B Inégalités Linéaies Maticielles (LMIs). De nombeux poblèmes d optimisation en théoie du contôle, identification de système et taitement du signal peuvent ête fomulés gâce à des LMI. Dans cette annexe, nous donnons un appel su l analyse convexe et les inégalités linéaies maticielles ainsi que les techniques utilisées afin de ésoude les LMIs établies au cous de ce mémoie. B.1 Ensembles convexes Définition B.1. Un ensemble C est dit convexe si : λ [,1], (x 1,x 2 ) C 2 λx 1 +(1 λ)x 2 C (B.1) Une popiété impotante des ensembles convexes est que l intesection de deux ensembles convexes est un ensemble convexe. L ensemble convexe utilisé dans ce mémoie est un polytope ayant sommets coespondant au nombe de sous-modèles epésentant le modèle de Takagi- Sugeno. B.2 Fonctions convexes Soit la fonction f définie pa : D R m R (B.2) x f(x) (B.3) La fonction f est convexe si : 227

245 Annexe B. Inégalités Linéaies Maticielles (LMIs) 1. le suppot (ensemble de définition) D de f est convexe. 2. x D, y D, λ [,1], f(λx+(1 λ)y) λ f(x)+(1 λ) f(y) (pou la convexité sticte, on emplace pa <). B.3 Inégalités Linéaies Maticielles (LMIs) Définition B.2. Une LMI est une inégalité maticielle de la fome : F(x) = F + m x i F i > (B.4) où x R m est une vaiable et F i = F T i, i = 1,...,n sont des matices symétiques données. L inégalité (B.4) est définie positive c-à-d u T F(x)u > pou tout u non nul R n. L inégalité (B.4) est une LMI sticte. Une LMI non sticte est donnée pa : F(x) (B.5) La LMI (B.4) est une containte convexe en x, en d autes temes l ensemble {x F(x) > } est convexe. Un ensemble de LMIs peut s écie sous la fome d une seule LMI. En effet, il suffit de les écie dans une matice bloc diagonale comme suit : F 1 (x) >,F 2 (x) >,F p (x) > F 1 (x) F 2 (x) F p (x) > (B.6) B.3.1 Obtention des LMI Le plus souvent, dans les poblèmes d automatique des inégalités maticielles non linéaies (non convexes) sont obtenues. Afin de pouvoi utilise la puissance des outils LMIs pou la ésolution de ces poblèmes, il est nécessaie de les tansfome en LMIs. Pou ce faie, plusieus méthodes existent. Les méthodes utilisées dans ce mémoie sont le changement de vaiables et le complément de Schu. Lemme B.1. (Complément de Schu [Boyd et al., 1994]) Soient tois matices Q(x) = Q(x) T, R(x) = R(x) T et S(x) affines pa appot à la vaiable x. Les LMIs suivantes sont équivalentes : 1. ( ) Q(x) S(x) S(x) T > (B.7) R(x) 2. R(x) >, Q(x) S(x)R(x) 1 S(x) > En d autes temes l inégalité maticielle non linéaie (B.8) est tansfomée en LMI (B.7). 228 (B.8)

246 B.4 Quelques poblèmes classiques LMIs B.4. Quelques poblèmes classiques LMIs Dans cette section, quelques poblèmes classiques LMIs encontés dans ce mémoie sont appelés : La faisabilité : touve x solution de A(x) <. La minimisation d une fonction linéaie : touve x minimisant c T x sous la containte LMI : A(x) <. Le poblème de valeu pope généalisée : minimise λ sous les containtes LMIs : A(x) < λb(x), B(x) > et C(x) <. B.4.1 Poblème de faisabilité Étant donné la LMI : A(x) > (B.9) Le poblème LMI associé est de touve x tel que (B.9) est satisfaite. La ésolution de ce poblème consiste à cheche le vecteu x minimisant le scalaie t tel que : A(x) < ti n (B.1) Si la valeu minimale de t est négative alos le poblème (B.9) est dit faisable (ou éalisable). Exemple B.1 (Etude de la stabilité) Soit le système linéaie : ẋ(t) = Ax(t) (B.11) D apès la théoie de Lyapunov, le système (B.11) est stable s il existe une fonction de Lyapunov V(x(t)) telle que x, V(x(t)) > et V(x(t)) <. En choisissant V(x(t)) = x(t) T Px(t) où P est une matice symétique à détemine, on obtient : x(t), { V(x(t)) > V(x(t)) < { P > A T P+PA < ( P ( A T P+PA ) ) > (B.12) B.4.2 Poblème de valeu pope (EVP : Eigenvalue Poblem) Le poblème de valeu pope consiste à minimise la plus gande valeu pope de la matice A(x) sous containte LMI : min λ s.c. λi A(x) >, B(x) > où les matices A(x) et B(x) sont symétiques et linéaies pa appot à la vaiable x. D autes fomes équivalentes au poblème EVP existent, pa exemple la minimisation d une fonction linéaie en x sous containtes LMIs est expimée sous la fome : min c T x s.c. F(x) > 229

247 Annexe B. Inégalités Linéaies Maticielles (LMIs) ou encoe, on peut l expime de la façon suivante : min λ s.c. A(x,λ) > Exemple B.2 (Etude du gain L 2 des systèmes linéaies) Soit le système linéaie : ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) (B.13) (B.14) où u(t) epésente l entée du système. Si le système est stable et que l entée u(t) est bonée alos il existe γ > tel que : + + y(t) T y(t)dt γ 2 u(t) T u(t)dt (B.15) La valeu γ est appelé gain L 2 du système de manièe généale, et en paticulie pou les systèmes linéaies de la fome (B.13)-(B.14) γ coespond à la nome H de la fonction de tansfet associée au système (B.13)-(B.14). Lemme B.2. Lemme boné éel (Bounded Real Lemma (BRL) [Boyd et al., 1994]) La containte (B.15) est véifiée pou tout u(t) et bonée si et seulement s il existe une matice P telle que : ( A T P+PA+C T C PB+C T ) D B T P+D T C D T D γ 2 < (B.16) I Pou une valeu donnée de γ, l inégalité (B.16) définit une LMI en la vaiable P. Dans les poblèmes de contôle et d obsevation, on est toujous amené à minimise l influence d une entée extene u(t) (petubation, buit,...) et cela se taduit pa la minimisation du paamète γ. Afin de gade le caactèe linéaie de (B.16), on effectue le changement de vaiable γ = γ 2 et on pose le poblème sous la fome d un poblème EVP suivant : min P, γ γ ( A T P+PA+C T C PB+C T D B T P+D T C D T D γi P ) > (B.17) < (B.18) Dans ce mémoie de thèse, on utilise également la vesion du BRL pou les systèmes polytopiques [Boyd et al., 1994]. 23

248 B.4.3 B.5. Résolution des LMI Poblème de valeu pope généalisée (GEVP : Genealized Eigeinvalue Poblem) Le poblème de valeu pope généalisée consiste à minimise la plus gande valeu pope d une paie de matices dépendant linéaiement de la vaiable x, sous containtes LMIs. Le GEVP est expimé pa : où A, B, C sont des matices symétiques. min λ s.c. λb(x) A(x) >, B(x) >, C(x) > Exemple B.3 (Étude du taux de décoissance) Pou le système stable (B.11), on peut calcule le taux de décoissance exponentiel défini pa le éel positif α assuant : lim t e αt x(t) = (B.19) Le paamète α a une elation diecte avec les valeus popes de la matice A. En effet, obteni un taux de décoissance α consiste à assue la stabilité de la matice (A+αI). Il est possible de démonte une condition nécessaie et suffisante : le taux de décoissance est supéieu à α s il existe une fonction V(x(t)) telle que pou x, V(x(t)) > et V(x(t)) < 2αV(x(t)). En choisissant V(x(t)) = x(t) T Px(t) où P est une matice symétique à détemine, on obtient le poblème sous la fome suivante : Touve P et α tels que : P > (B.2) A T P+PA+2αP < (B.21) (B.22) Pose λ = α, et sésoude le poblème pa minimisation de λ amène le poblème sous la fome d un poblème de minimisation de la plus gande valeu pope généalisée (GEVP). B.5 Résolution des LMI L intoduction de la méthode d optimisation convexe dite "méthode du point intéieu" [Nesteov et Nemiovsky, 1994] a pemis le développement de plusieus algoithmes de ésolution de poblèmes LMIs. Afin de facilite l utilisation des solves basés su ces algoithmes, quelques boîtes à outils ont été développées pou pemette d écie et de ésoude ces poblèmes de manièe simple. On peut cite la boîte à outils LMI toolbox de Mathwoks, la LMI-tools développée pa Lauent El-Ghaoui et l inteface SeDuMi développée au Laboatoie d Achitectue et d Analyse des Systèmes (LAAS) pa Dimiti Peaucelle. Toutes les LMIs des exemples pésentés dans cette thèse ont été ésolues avec la méthode SeDuMi ainsi que l inteface YALMIP. 231

249 Annexe B. Inégalités Linéaies Maticielles (LMIs) 232

250 C Régions LMIs La éponse tempoelle d un système linéaie est liée à la localisation des pôles de sa fonction de tansfet dans le plan complexe et, dans le cas des systèmes de Takagi-Sugeno, la éponse dépend de la localisation des pôles des sous-modèles (sommets du polytope). En effet, les paties éelles des pôles ont un effet su la vitesse de convegence des modes associés. Les paties imaginaies, quant à elles, influent su la pésence d oscillations et de dépassements ainsi que le temps de éponse à 5%. Pa conséquent, une des techniques pemettant d amélioe les pefomances d une loi commande ou d un obsevateu consiste à place les pôles du système bouclé ou de l obsevateu dans des égions du plan complexe ayant cetaines popiétés intéessantes. Ces égions sont appelées égions LMI. Définition C.3. Une égion D sous-ensemble du plan complexe est appelée égion LMI d ode n s il existe deux matices α R n n et β R n n telles que : D = { z C : f D (z) = α + βz+β T z < } (C.1) où f D (z) est la fonction caactéistique de la égion LMI D. Théoème C.1. (Chilali [1996], Chilali et Gahinet [1996]) Soit une matice A R n n et D une égion LMI définie pa (C.1). La matice A est dite D stable si, et seulement si, il existe une matice symétique et définie positive P R n n telles que : M D (A,P) = α P+β (AP)+β T (AP) T < (C.2) où epésente le poduit de Konecke. 233

251 Annexe C. Régions LMIs C.1 Exemples de égions LMI La définition C.3 pemet de paaméte un gand nombe de égions LMI. Apès calcul, l inégalité (C.2) devient : α 11 P+β 11 AP+β 11 (AP) T α 1n P+β 1n AP+β 1n (AP) T..... α n1 P+β n1 AP+β n1 (AP) T α nn P+β nn AP+β nn (AP) T Citons les égions les plus usuelles : < (C.3) 1. La stabilité classique consiste à place les pôles dans le demi-plan gauche complexe. Cette égion est obtenue en choisissant α = et β = 1. L équation caactéistique de cette égion est donnée pa : f D = z+ z (C.4) Avec les valeus de α et β, l inégalité (C.3) se éduit à : PA+(PA) T < (C.5) 2. Afin d augmente la vitesse de convegence de l état d un système, il est intéessant de localise les paties éelles des pôles à gauche d une doite d abscisse x = a, on assue ainsi la stabilité et une vitesse de convegence (appelé α stabilité). L équation caactéistique de cette égion est donnée pa : R(z) < a f D = 2a+z+ z (C.6) il suffit de pende α = 2a et β = 1, l inégalité (C.3) devient : 2aP+PA+(PA) T < (C.7) 3. Dans les poblèmes d estimation d état, l obsevateu doit ête plus apide que le système et limite la econstuction du buit de mesue. Cela se taduit pa la limitation des paties éelles des pôles de l obsevateu en imposant leu localisation dans une bande veticale dont la fonction caactéistique est donnée pa : [ ] 2σmax + z+ z f D = (C.8) 2σ mim z z avec : L inégalité (C.3) devient : ( 2σmax α = 2σ min ) ( 1, β = 1 ( 2σmax + AP+(AP) T ) 2σ min (AP+(AP) T) < (C.9) ) 234

252 C.1. Exemples de égions LMI 4. Un disque de ayon R et de cente (q,) défini pa : D = { z C (z+q) 2 < R 2} (C.1) est une égion LMI caactéisée pa : ( R q α = q R ) ( 1, β = ) (C.11) L inégalité (C.3) devient alos : ( RP qp+(ap) T qp+ap RP ) < (C.12) 5. Un secteu conique, centé à l oigine et d angle intene θ, défini pa : est une égion LMI caactéisée pa : ( α = D = {z C Ag(z) < θ} ), β = Avec α et β l inégalité (C.3) devient : ( sin(θ) AP+(AP) T) cos(θ) ( AP+(AP) T) sin(θ) ( sin(θ) cos(θ) cos(θ) sin(θ) ) cos(θ) (AP+(AP) T) (AP+(AP) T) < (C.13) (C.14) (C.15) Une des popiétés fondamentales des égions LMI est que la classe des égions LMI est invaiante pou l intesection, autement dit, toute intesection de égions LMI est une égion LMI. Poposition C.1. Soient D 1 et D 2, deux égions LMI de fonctions caactéistiques f D1 et f D2 espectivement. La égion du plan complexe définie pa l intesection des deux égions LMI D 3 = D 1 D 2 est une égion LMI dont la fonction caactéistique est donnée pa : f D3 = diag( f D1, f D2 ) (C.16) Cette popiété pemet de défini, ou d appoche, toute égion convexe et symétique pa appot à l axe éel du plan complexe, comme une égion LMI. 235

253 Annexe C. Régions LMIs 236

254 Index Atténuation L 2 Atténuation L 2, 69, 84, 85, 12 Lemme boné éel Lemme éel boné, 23 Lemme boné éel Lemme éel boné, 48, 18, 121, 181 Diagnostic Bancs d obsevateus, 162, 166, 167, 169 Définitions, 155 Détection de défauts, 169, 17, 187 Fomalisme H, 177 Résidus, 156, 167, 169, 178, 187 Commande toléante aux défauts Définitions, 191 Placement de la stuctue pope, 193 Pousuite de tajectoie, 193, 194 Pseudo-invese, 193 Incetitudes Bonées en nome, 82, 99, 121 Constantes, 9, 123, 182 Fonctions de Lyapunov Non quadatique, 21, 71, 76 Polyquadatique, 21 Quadatique, 32, 57 Multimodèle Modèle de Takagi-Sugeno, 6, 18 Multimodèle à états découplés, 6 Obsevateus, 22 Stabilité des modèles de Takagi-Sugeno, 2 Stabilité des modèles de Takagi-Sugeo, 56 Stabilité non quadatique, 71, 76 Teminologie, 6 Tansfomation pa secteus non linéaies, 2, 55 vaiables de décision mesuables, 23, 137, 143, 178 vaiables de décision non mesuables, 24, 138, 145, 181 Obsevateus À entées inconnues, 118, 168 Luenbege, 22, 29, 83 Popotionnel-Integal, 136, 17 Popotionnel-Multi-Integal, 14 Obsevateus L 2 Incetitudes bonées, 82, 99, 121 Incetitudes constantes, 9, 123, 182 Placement des pôles Inégalités Linéaies Maticielles, 227 Placement des pôles, 41, 95 Régions LMI, 95, 233 Complement de Schu Complément de Schu, 228 Stabilité Stabilité des modèles de Takagi-Sugeno, 2 Stabilité non quadatique, 71, 76 Stabilité Polyquadatique, 21 Stabilité quadatique, 32 Système non linéaies Obsevabilité, 11 Obsevateus à gands gains, 12 Théoème de la valeu moyenne Théoème de la valeu moyenne, 54, 135, 185 Entées inconnes Entées inconnues, 115,

255 Index Obsevateus à entées inconnues Obsevateu PI, 136, 17 Obsevateu PMI, 14 Découplage, 117,

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270 Estimation et diagnostic de systèmes non linéaies décits pa un modèle de Takagi-Sugeno. Résumé : Cette thèse taite le poblème de l estimation d état, du diagnostic et de commande toléante aux défauts des systèmes non linéaies epésentés pa un modèle de Takagi-Sugeno (T-S) à vaiables de pémisse non mesuables. De nombeux algoithmes pou la synthèse d obsevateus obustes vis-à-vis des petubations, des impefections de modélisation et des entées inconnues sont pésentés en se basant su quate types d obsevateus : les obsevateus popotionnels, les obsevateus à entées inconnues, les obsevateus popotionnel intégal (PI) et multi-intégal (PMI). Pa la suite, ces denies sont utilisés pou le diagnostic de fautes des systèmes non linéaies. Ceci est éalisé au moyen de tois statégies. La pemièe utilise l obsevateu à entée inconnue pa découplage afin de ende l obsevateu insensible à cetains défauts et pemette de détecte et d isole les défauts en constuisant des bancs d obsevateus. En aison des conditions stuctuelles souvent insatisfaites, le découplage total des défauts de l eeu d estimation d état n est pas éalisable. Afin de s affanchi de ces containtes, la seconde statégie utilise les obsevateus PI et PMI pou estime simultanément l état et les défauts du système. La toisième statégie qui utilise le fomalisme H vise à concevoi un généateu de ésidus minimisant l influence des petubations et maximisant l influence des défauts. Un choix adéquat des paamètes du généateu de ésidus pemet la détection, la localisation et l estimation des défauts. Enfin, une loi de commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie d un modèle de éféence est poposée en exploitant les obsevateus PI et PMI. Mots-clés : Systèmes non linéaies, modèle de Takagi-Sugeno, estimation d état obuste, fomalisme H, obsevateus à entées inconnues, diagnostic, commande toléante aux défauts. Estimation and diagnosis of nonlinea systems descibed by Takagi-Sugeno models. Abstact: This thesis deals with state estimation, fault diagnosis and fault toleant contol of nonlinea systems epesented by a Takagi-Sugeno model with unmeasuable pemise vaiables. The poblem of state estimation of nonlinea systems with T-S model with unmeasuable pemise vaiable is exploed. Algoithms fo obust obseves synthesis with espect to petubations, modeling uncetainties and unknown inputs ae aftewad pesented. These algoithms ae based on fou kinds of obseves called popotional, unknown input obseves (UIOs), popotional-integal (PI) and multiple-integal (PMI). The application on model-based diagnosis is studied based on thee stategies. The fist one uses unknown input obseve to decouple some faults and makes the obseves insensitive to cetain faults. This allows to detect and isolate faults by constucting obseves banks. Due to stong stuctual conditions on designing UIOs decoupling the faults on the state estimation eo is not possible. To avoid this poblem, the second stategy uses PI and PMI obseves in ode to estimate simultaneously the state and the faults of the system. The thid stategy uses the H fomalism. This aims to minimize the influence of petubations and to maximize the effects of faults on the esidual signal. An adequate choice of the esidual geneato paametes allows to detect, to isolate and to estimate the faults affecting the system. Lastly, a fault toleant contol law is poposed by efeence tajectoy tacking based on the use of PI and PMI obseves. Keywods: Nonlinea systems, Takagi-Sugeno model, obust state estimation, state obseves, H fomalism, unknown input obseves, faults diagnosis, fault toleant contol.

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