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1 AVERTISSEMENT Ce document est le fuit d un long tavail appouvé pa le juy de soutenance et mis à disposition de l ensemble de la communauté univesitaie élagie. Il est soumis à la popiété intellectuelle de l auteu au même tite que sa vesion papie. Ceci implique une obligation de citation et de éféencement los de l utilisation de ce document. D aute pat, toute contefaçon, plagiat, epoduction illicite entaîne une pousuite pénale. Contact SCD INPL: mailto:scdinpl@inpl-nancy.f LIENS Code de la popiété intellectuelle. Aticles L Code de la popiété intellectuelle. Aticles L L

2 École doctoale IAEM Loaine DFD Automatique et Poduction Automatisée Institut National Polytechnique de Loaine Estimation et diagnostic de systèmes non linéaies décits pa un modèle de Takagi-Sugeno THÈSE pésentée et soutenue publiquement le 24 novembe 29 pou l obtention du Doctoat de l Institut National Polytechnique de Loaine Spécialité Automatique, Taitement du Signal et des Images, Génie Infomatique pa Dalil Ichalal Composition du juy Pésident : Jean-Piee Babot Pofesseu à l ENSEA Rappoteus : Thiey-Maie Guea Pofesseu à l Univesité de Valenciennes et du Hainaut-Cambésis Didie Geoges Pofesseu à Genoble-INP Examinateus : Moustapha Ouladsine Pofesseu à l Univesité Aix Maseille III Didie Maquin Pofesseu à l INPL (Diecteu de thèse) José Ragot Pofesseu à l INPL (Co-diecteu de thèse) Benoît Max Maîte de conféences à l INPL (Co-encadant de thèse) Cente de Recheche en Automatique de Nancy UMR 739 Nancy-Univesité CNRS 2, avenue de la foêt de Haye Vandœuve-lès-Nancy Tél.+33 () Fax +33 ()

3 Mis en page avec la classe thloia.

4 À ma gand mèe À mes tès ches paents À mes soeus Et à la mémoie de mes gand paents i

5 ii

6 Measue what is measuable and make it measuable what is not so. Galileo Galilei. iii

7 iv

8 Remeciements Les tavaux pésentés dans ce mémoie de thèse ont été effectués au sein du goupe thématique sûeté de fonctionnement et diagnostic des systèmes (SURFDIAG) du Cente de Recheche en Automatique de Nancy (CRAN). Je voudais saisi cette occasion pou expime ma gatitude enves mes diecteus de thèse, Monsieu Didie Maquin, Monsieu José Ragot et Monsieu Benoît Max, qui m ont accueilli au sein de leu équipe de echeche et qui m ont offet la possibilité d évolue. Je les emecie pou la confiance, l appui et la libeté qu ils m ont témoigné, l intéêt gandissant qu ils ont poté su mes tavaux, leus encouagements et leus disponibilités duant ces années. Je dois die que c était un honneu pou moi de tavaille avec des pesonnes d excellentes compétences et éputations, au niveau national et intenational. Sans oublie leus valeus humaines et leus bonne humeu qui font de chaque enconte des moments tès agéables. Mon passage au CRAN a été une aventue passionnante en quête de savoi et compéhension du monde qui nous entoue. Cela constitue pou moi une fomidable expéience su le plan scientifique et le plan humain. Je emecie paticulièement Monsieu J-P. Babot, Pofesseu à l ENSEA à Cegy Pantoise, d avoi accepté de faie patie du juy de thèse et de m avoi fait l honneu de le pésidé. J adesse toute ma econnaissance à Monsieu Thiey-Maie Guea, Pofesseu à l Univesité de Valenciennes et du Hainaut Cambésis, pou son acceptation d ête appoteu su mes tavaux, je le emecie vivement de sa lectue appofondie et ses emaques enichissantes et constuctives. J expime ma pofonde gatitude à Monsieu Didie Geoges, Pofesseu à l Institut National Polytechnique de Genoble, pou sa lectue minutieuse, ses emaques petinentes et ses suggestions pou la pousuite des tavaux et leus applications à dives domaines dont nous avons eu l occasion de discute pa téléphone. J ai été tès touché pa la pésence de Monsieu Mustapha Ouladsine, Pofesseu à l Univesité Aix Maseille 3, qui était mon encadant de maste, d avoi fait patie de mon juy de thèse et d avoi examiné mes tavaux. J ai été tès honoé de pésente mes tavaux de thèse devant un juy de cette envegue. Je vous emecie infiniment. Je emecie également mes amis et collègues de laboatoie et de l équipe SURFDIAG, en paticulie les amis de la "mythique" salle info : Rodolfo, Sege, Yvon, Julien, Anca, Faah et tous les autes que je n ai pas cité, pou l ambiance conviviale qu ils ont su enteteni et les bons et joyeux moments passés autou d un café à discute de tous et de ien. Que tous les amis avec qui j ai patagé ces tois années à Nancy touvent ma pofonde gatitude, meci pou les soiées spécial danse kabyle et pou tout. v

9 Je ne pouais temine ces emeciements sans mentionne les secétaies, en paticulie Majoie Schwatz et Caole Couie pou vos disponibilités et vote efficacité enobée d une couche pemanente de jovialité. Enfin, je emecie toute ma famille (d Algéie et de Fance), en paticulie mes paents, ma gand mèe et mes soeus pou leus encouagements et leus soutient malgé la distance. vi

10 Table des matièes Liste des publications 3 Chapite 1 Intoduction généale Chapite 2 Généalités et position du poblème 2.1 Intoduction Obsevateus de systèmes dynamiques Obsevabilité des systèmes non linéaies Pincipes de conception des obsevateus d état des systèmes non linéaies Obsevateus à gains linéaies Obsevateus à stuctue vaiable Obsevateus obtenus apès tansfomation des équations d état Modèle de Takagi-Sugeno Appoche pa secteus non linéaies Stabilité des systèmes de Takagi-Sugeno Obsevateus pou les systèmes de Takagi-Sugeno Vaiables de décision mesuables (VDM) Vaiables de décision non mesuables (VDNM) Motivations et position du poblème Conclusion Chapite 3 Reconstuction d état des systèmes de Takagi-Sugeno à VDNM 3.1 Intoduction Fomulation du poblème vii

11 Table des matièes 3.3 Obsevateu lipschitzien Pemièe appoche Deuxième appoche Estimation d état pa injection multiple de la sotie Conclusion patielle Appoche pa le théoème de la valeu moyenne Discussion Obsevateu L Appoche pa incetitudes bonées Appoche pa "incetitudes constantes" Appoche pa atténuation des petubations Discussion Estimation d état des systèmes T-S à VDNM incetains Pemièe appoche Deuxième appoche Discussions Conclusions Chapite 4 Reconstuction d état et des entées inconnues des systèmes T-S à VDNM 4.1 Intoduction Repésentation T-S à VDNM en pésence d entées inconnues Conception d obsevateu à entées inconnues pa découplage Appoche pa condition de Lipschitz Constuction de l obsevateu pa l appoche L Estimation des entées inconnues Obsevateu à entées inconnues pa l appoche du théoème de la valeu moyenne Cas paticulie : mesues non affectées pa les entées inconnues Conception d obsevateus PI Vaiables de décision mesuables Vaiables de décision non mesuables Conception d obsevateus PMI Stuctue de l obsevateu Vaiables de décision mesuables viii

12 4.5.3 Vaiables de décision non mesuables Discussion et emaques Conclusion Chapite 5 Diagnostic de fautes des systèmes T-S et commande toléante aux défauts 5.1 Intoduction Définitions et généalités Défauts et modélisation État de l at Objectif Diagnostic de fautes pa obsevateus à entées inconnues Défauts d actionneus Défauts de capteus Discussions et conclusion Diagnostic pa obsevateus PI et PMI Discussions et conclusion Diagnostic pa fomalisme H Fomulation du poblème Conception du généateu de ésidus Diagnostic obuste de fautes Commande toléante aux défauts Intoduction Etat de l at Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie Statégie de commande toléante aux défauts Objectif Vaiables de décision mesuables Vaiables de décision non mesuables : utilisation de la méthode pa petubation Vaiables de décision non mesuables : utilisation de la méthode pa le théoème de la valeu moyenne Conclusion ix

13 Table des matièes Chapite 6 Pespectives 6.1 Stabilité des modèles de Takagi-Sugeno Diagnostic de fautes Commande toléante aux défauts pa pousuite de tajectoie Utilisation d un obsevateu Popotionnel-Multi-Integal Commande toléante aux défauts utilisant l appoche pa incetitudes bonées Aute stuctue de la commande toléante aux défauts Commande pa etou d état toléant aux défauts : défauts de capteus Commande toléante aux défauts pa fomalisme H Chapite 7 Conclusion généale Annexes Annexe A Calcul de la constante de Lipschitz Annexe B Inégalités Linéaies Maticielles (LMIs) B.1 Ensembles convexes B.2 Fonctions convexes B.3 Inégalités Linéaies Maticielles (LMIs) B.3.1 Obtention des LMI B.4 Quelques poblèmes classiques LMIs B.4.1 Poblème de faisabilité B.4.2 Poblème de valeu pope (EVP : Eigenvalue Poblem) B.4.3 Poblème de valeu pope généalisée (GEVP : Genealized Eigeinvalue Poblem) B.5 Résolution des LMI x

14 Annexe C Régions LMIs C.1 Exemples de égions LMI Index 237 Bibliogaphie 239 xi

15 Table des matièes xii

16 Table des figues 3.1 Evolution de l eeu d estimation d état Bas manipulateu aticulé pa un moteu DC (a) Etats du système et du modèle T-S. (b) Fonctions d activation Etats éels et leus estimés (a) États du système et leus estimés (b) Soties du système et leus estimées (a) Fonctions d activation et leus estimées (b) Vaiable de pémisse et son estimée Schémas mécanique et électique du moteu à couant continu séie Entées du moteu DC séie Etats du modèle non linéaie et du modèle T-S Etats du moteu et leus estimés Compaaison ente les obsevateus à VDM et à VDNM Avion VTOL JSF X Schéma du système commandé Signaux de commande délivés pa le contôleu Etats de l avion : position hoizontale, vitesse hoizontale et position veticale Etats de l avion : vitesse veticale, position angulaie et vitesse angulaie Pousuite de la tajectoie x e f Pousuite de la tajectoie y e f Etats éels et leus estimés Etats éels et leus estimés Évolution d une fonction candidate de Lyapunov le long d une tajectoie d un modèle Domaine de stabilité pouvé pou m = 1 et m = Compaaison des deux appoches A et B pou k = 3(* Appoche A o Apoche B) Entée de commande u(t) du système Evolution dans le temps de l eeu d estimation d état Soties éelles (taits continus) et estimées (pointillés) Eeus d estimation d état Σ A (t) et Σ B (t) Etats éels (tait continu bleu) et estimés (pointillés) Compaaison des eeus d estimation d état obtenues avec le théoème 3.17 (tait continu bleu) et avec le théoème 3.1 (tait en pointillés ouge) xiii

17 Table des figues 4.1 Pincipe de l obsevateu à entée inconnue Oigines des entées inconnues Synchonisation à base d obsevateus Plan de phase x 1 (t) et x 2 (t) Plan de phase x 1 (t) et x 3 (t) Plan de phase x 2 (t) et x 3 (t) Etats du système et leus estimés Eeus d estimation d état Message envoyé et son estimation Eeu d estimation d état en pésence de buit de mesue Message estimé en pésence de buit de mesue Pincipe de l obsevateu Popotionnel Multi-Intégal (PMI) Evolution tempoelle des fonctions d activation µ 1 et µ Entées inconnues et leus estimées pa l obsevateu PI Entées inconnues et leus estimées pa l obsevateu PMI Eeus d estimation d état obtenues avec pa l obsevateu PI Eeus d estimation d état obtenues avec pa l obsevateu PMI Pincipe du banc d obsevateus GOS pou la détection de défauts d actionneus Pincipe du banc d obsevateus DOS pou la détection de défauts d actionneus Pincipe du banc d obsevateus GOS pou la détection de défauts de capteus Pincipe du banc d obsevateus DOS pou la détection de défauts de capteus Pincipe du diagnostic Résidus en pésence des défauts capteus f 1 et f Schéma de détection de défauts d actionneus Résidus en pésence des défauts f 1 et f Entées estimées sans défaut Schéma de généation obuste de ésidus Défauts et ésidus coespondants Défauts (tait pointillé) et leus estimés (tait continu) Achitectue FTC Achitectue de la commande toléante pa pousuite de tajectoie Défaut et son estimé - commande sans défaut et commande toléante Eeus d estimation d état et de pousuite de tajectoie Compaaison ente les états du système de éféence (sans défaut), états du système avec défaut et sans FTC et états du système avec FTC Schéma de diagnostic obuste xiv

18 Notations Matices et vecteus I n (I) Matice identité de dimension n (esp. de dimension appopiée) n () Matice nulle de dimension n (esp. de dimension appopiée) P > (P < ) Matice P symétique, définie positive (esp. symétique, négative) P T Tansposée d une matice P P 1 Invese de la matice P [ λ max (P)(λ min ] (P)) Valeu pope maximale (esp. minimale ) de P M11 M 12 ( ) M 22 Matice symétique, le symbole ( ) epésente M T 12 Ensembles N R R + Ensemble des enties natuels Ensemble des nombes éels Ensemble des nombes éels positifs Aconymes BMI LMI LTI MIMO SISO T-S T-S à VDM T-S à VDNM UIO PI PMI Inégalité maticielle bilinéaie (Bilinea Matix Inequality) Inégalité maticielle linéaie (Linea Matix Inequality) Linéaie à Temps Invaiant Entée multiple sotie multiple (Multiple Input Multiple Output) Mono-entée mono-sotie (Single Input Single Output) Takagi-Sugeno Takagi-Sugeno à Vaiables de Décision Mesuables Takagi-Sugeno à Vaiables de Décision Non Mesuables Obsevateu à entées inconnues (Unknown Input Obseve) Popotionnel-Intégal Popotionnel-Multi-Intégal 1

19 Notations 2

20 Liste des publications Revues intenationales et nationales avec comité de lectue Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "State estimation of Takagi-Sugeno systems with unmeasuable pemise vaiables", IET Contol Theoy & Applications. (papie accepté) Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Multi-obsevateus à entées inconnues pou un système de Takagi-Sugeno à vaiables de décision non mesuables". e-sta, Sciences et Technologies de l Automatique, evue électonique de la SEE, volume 6, numéo 2, 29. Communication sélectionnée de la 5ème Conféence Intenationale Fancophone d Automatique, Bucaest, Roumanie, 3 5 Septembe, 28. Conféences intenationales avec comité de lectue Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Design of obseves fo Takagi-Sugeno systems with immeasuable pemise vaiables : an L 2 appoach ". 17th IFAC Wold Congess, Seoul, Koea, July 6 11, 28. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Robust obseve design fo uncetain Takagi- Sugeno model with unmeasuable decision vaiables : an L 2 appoach". 16th Mediteanean Confeence on Contol and Automation, MED 8, Ajaccio, Cosica, Fance, June 25 27, 28. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Multi-obsevateus à entées inconnues pou un système de Takagi-Sugeno à vaiables de décision non mesuables". 5ème Conféence Intenationale Fancophone d Automatique, Bucaest, Roumanie, 3 5 Septembe, 28. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D. "State estimation of nonlinea systems using multiple model appoach". Ameican Contol Confeence, ACC 29, St. Louis, Missoui, USA, June 1-12, 29. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D. "Simultaneous state and unknown inputs estimation with PI and PMI obseves fo Takagi-Sugeno model with unmeasuable pemise vaiables". 17th Mediteanean Confeence on Contol and Automation, MED 9, Thessaloniki, Geece, June 24-26, 29. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D. "State and unknown input estimation fo nonlinea systems descibed by Takagi-Sugeno models with unmeasuable pemise vaiables". 17th Mediteanean Confeence on Contol and Automation, MED 9, Thessaloniki, Geece, June 24-26, 29. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D. "Fault diagnosis in Takagi-Sugeno nonlinea 3

21 Liste des publications systems". 7th IFAC Symposium on Fault Detection, Supevision and Safety of Technical Pocesses, SAFEPROCESS 29, Bacelona, Spain, June 3th - July 3d, 29. Aticle sélectionné pou le pix Paul Fank, dans la catégoie papie théoique. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "An appoach fo the state estimation of Takagi- Sugeno models and application to senso fault diagnosis". 48th IEEE Confeence on Decision and Contol, Shanghai, P.R. China, Decembe 16-18, 29. Conféences nationales avec comité de lectue Ichalal D., Maquin D., Ragot J., "Diagnostic des systèmes non linéaies pa appoche multimodèle". Wokshop Suveillance, Sûeté et Sécuité des Gands Systèmes, 3SGS 8, Toyes, Fance, 4 5 juin 28. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Design of obseves fo Takagi-Sugeno discetetime systems with immeasuable pemise vaiables". 5th Wokshop on Advanced Contol and Diagnosis, ACD 27, Genoble, Fance, Novembe 15 16, 27. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Conception d obsevateus pou un modèle de Takagi-Sugeno à vaiables de décision non mesuables". 9th Intenational confeence on Sciences and Techniques of Automatic contol and computing engineeing, STA 27, Sousse, Tunisia, Novembe 5 7, 27. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Conception de multi-obsevateus à vaiables de décision non mesuables". 2ème Jounées Doctoales / Jounées Nationales MACS, JD-JN-MACS 27, Reims, Fance, 9-11 juillet 27. Tavaux en cous d évaluation Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Fault Toleant Contol fo Takagi-Sugeno systems with unmeasuable pemise vaiables by tajectoy tacking". IEEE Intenational Symposium on Industial Electonics, Bai, Italy, July 4-7, 21. Ichalal D., Max B., Ragot J., Maquin D., "Obseve based actuato fault toleant contol fo nonlinea Takagi-Sugeno systems : an LMI appoach". 18th Mediteanean Confeence on Contol and Automation, MED 1, Maakech, Moocco, June 23-25, 21. 4

22 1 Intoduction généale L étude d un système éel (automobiles, avions, centales nucléaies, éacteus chimiques, systèmes économiques...) passe pa une phase de modélisation visant à obteni une epésentation mathématique pemettant de décie son fonctionnement. Les modèles linéaies ont été étudiés depuis de tès nombeuses années. En effet, l hypothèse de linéaité des elations entéessoties d un système pemet d élaboe simplement un modèle appoximant son compotement. Ce type de modèles a été lagement étudié dans difféents contextes : l identification, l estimation d état, la commande et le diagnostic. Cependant, de tels modèles ne pemettent la epésentation du compotement d un système qu autou d un point de fonctionnement donné, l hypothèse de linéaité n étant véifiée que dans une zone esteinte de l espace de fonctionnement. Sachant que les systèmes éels sont de natue non linéaie, les systèmes de commande et de diagnostic développés su la base de modèles linéaies founissent des pefomances dégadées dès qu on s éloigne du point de fonctionnement. Afin d amélioe les pefomances des systèmes, il est impéatif de pende en considéation les non-linéaités dans la phase de modélisation. Cela pemet de décie le compotement d un système éel su une lage plage de fonctionnement avec une meilleue pécision compaée à celle obtenue avec des modèles linéaies. Les systèmes de commande et de diagnostic élaboés sont alos plus pefomants que ceux développés à pati de modèles linéaies. L inconvénient pincipal des modèles non linéaies éside dans la complexité de leus stuctues du point de vue mathématique, ce qui les end difficilement exploitables. Pou cette aison, les tavaux su les systèmes non linéaies n ont pas un cade généal, comme c est le cas pou les modèles linéaies, mais taitent des classes spécifiques de modèles non linéaies, comme pa exemple les systèmes lipschitziens, les systèmes bilinéaies, les systèmes LPV. Dans de nombeux tavaux su la commande des systèmes dynamiques, le vecteu d état est supposé accessible à la mesue. O, su un plan patique, une telle hypothèse n est pas toujous véifiée. En effet, pou des aisons techniques et/ou économiques, il est difficile, voi impossible, de mesue la totalité des vaiables d état du système, d où la nécessité d estime ces denièes à pati d un jeu de données d entées-soties. Le besoin de connaîte entièement les vaiables 5

23 Chapite 1. Intoduction généale d état du système est souvent une nécessité dans les phases de modélisation ou d identification, de diagnostic et de commande des systèmes. Tous ces poblèmes nécessitent la connaissance des infomations intenes d un système, non accessibles à la mesue, ce qui met le poblème de la conception d obsevateus au cœu du poblème généal de contôle des systèmes. Les pemies tavaux elatifs au poblème de econstuction d état ont été dédiés aux systèmes linéaies dont la stuctue est peu complexe [Luenbege, 1971]. De nombeux ésultats théoiques ont été alos poposés et sont lagement utilisés en commande et en diagnostic. Les méthodes de diagnostic de fonctionnement de systèmes à base de modèles linéaies ont atteint actuellement une cetaine matuité [Getle, 1998], [Patton et al., 1989], [Isemann, 27], [Ding, 28]. Cependant, la linéaité des modèles de epésentation du pocessus à suveille constitue une hypothèse fote qui limite la potée des ésultats que l on peut obteni. De plus, l extension diecte des méthodes développées dans le contexte des modèles linéaies au cas des modèles non linéaies quelconques est délicate. De nombeuses techniques ont été alos dédiées à l estimation d état de classes paticulièes de systèmes non linéaies (filte de Kalman étendu, obsevateu à gands gains, obsevateus basés su des tansfomations sous une fome canonique d obsevabilité,...) [Kalman, 196], [Chen et Patton, 1999a]. Cependant, ces techniques sont pafois difficiles à applique à cause des containtes imposées. De plus, la ichesse des ésultats obtenus pou les systèmes linéaies n est que tès peu exploitable dans le contexte des systèmes non linéaies. La statégie de econstuction d état poposée dans ce mémoie de thèse utilise une technique de modélisation visant à obteni un modèle tenant compte des non-linéaités du système et offant une stuctue simple et facilement exploitable du point de vue mathématique. Cette appoche pote le nom généal d appoche multimodèle. Celle ci s appuie su l utilisation d un ensemble de sous-modèles de stuctues simples, chaque sous-modèle décivant le compotement du système dans une "zone de fonctionnement" paticulièe. Ces sous-modèles sevent alos à la desciption du compotement dynamique global du système en utilisant des fonctions non linéaies (fonctions poids) définissant la contibution de chaque sous-modèle. La capacité des multimodèles à epésente ou à appoche le compotement dynamique d un système éel a été lagement econnue. En effet, d une pat, ils offent la possibilité de décie des compotements non linéaies tès complexes avec une stuctue simple inspiée des modèles linéaies. D aute pat, leu stuctue paticulièe pemet l extension de cetains ésultats obtenus dans le cade des systèmes linéaies (voi chapite 4 de [Tanaka et Wang, 21]). Plusieus types de multimodèles ont été intoduits ces denièes années : multimodèles à états découplés et multimodèles à état unique connu sous le nom de modèle de Takagi-Sugeno (T-S). Les multimodèles à états découplés sont epésentés pa un ensemble de sous-modèles linéaies epésentant chacun le compotement du système autou d un point de fonctionnement. Ces sous-modèles évoluent indépendamment les uns des autes. La desciption du compotement global du système est caactéisée pa la pondéation, via des fonctions non linéaies, des difféentes soties des sous-modèles. Ce type de modèles intoduit une cetaine flexibilité dans les poblèmes d identification, ca les vecteus d état des sous-modèles peuvent ne pas avoi la même dimension contaiement aux modèles T-S [Ojuela et al., 28], [Filev, 1991]. Cependant, une concaténation des difféents sous-modèles pemet de amene le modèle global à un modèle T-S paticulie où les non-linéaités n appaaissent que su l équation de sotie. Les modèles T-S sont les plus étudiés dans la littéatue, ils sont décits pa un ensemble de sous-modèles patageant un vecteu d état unique [Takagi et Sugeno, 1985]. Deux catégo- 6

24 ies peuvent ête considéées selon la natue des vaiables intevenant dans les fonctions poids. En effet, ces vaiables, appelées vaiables de décision ou vaiables de pémisse, peuvent ête connues (entée ou sotie du système,...) ou inconnues (état du système,...). La catégoie des modèles T-S à vaiables de décision mesuables (VDM) a fait l objet de nombeux développements dans dives domaines et notamment en commande, stabilisation, estimation d état [Tanaka et Wang, 21], diagnostic. En evanche, la seconde catégoie est tès peu exploée, en paticulie dans le domaine de la conception d obsevateus et de leu exploitation pou le diagnostic. L obtention d un modèle T-S pa l application de la méthode des secteus non linéaies conduit souvent à inclue l état dans les vaiables de décision [Nagy et al., 29b]. Oute les avantages offets pa le modèle T-S, le modèle à vaiables de décision non mesuables pemet d avoi une epésentation exacte d un modèle non linéaie expimé sous une fome généale, la possibilité de epésente une classe plus lage de systèmes non linéaies, et d utilise un seul modèle pou la conception d un système de diagnostic (localisation des défauts de capteus et d actionneus) en s appuyant su des bancs d obsevateus. Ces difféents points seont taités en détail dans le chapite suivant. L objectif du tavail pésenté dans cette thèse est d exploite la stuctue T-S à vaiables de décision non mesuables (VDNM), afin de concevoi des obsevateus d état pou les systèmes non linéaies. Pa la suite, le poblème de l estimation d état en pésence d entées inconnues est taité. Les obsevateus ainsi développés sont utilisés pou la conception d une statégie de diagnostic pou systèmes non linéaies pemettant la détection, la localisation et l estimation des défauts. Ces infomations sont ensuite exploitées pou élaboe des commandes toléantes aux défauts. On popose ainsi d étende un cetain nombe de ésultats connus pou les systèmes T-S à VDM au cas des systèmes VDNM. Oganisation de la thèse Le mémoie est oganisé de la façon suivante. Le pemie chapite pésente quelques notions de base su l obsevabilité des systèmes non linéaies ainsi que les pincipales appoches de conception d obsevateus. Les modèles de Takagi-Sugeno sont ensuite intoduits en pécisant leu intéêt pou l étude des systèmes non linéaies. Un bef appel su des ésultats potant su la stabilité, la stabilisation et la conception d obsevateus pou systèmes T-S est pésenté, en mettant en exegue deux classes de modèles T-S : les modèles à vaiables de décision mesuables et les modèles à vaiables de décision non mesuables. Cette denièe classe fea l objet de la majeue patie des tavaux qui seont pésentés dans ce mémoie. Dans le chapite 3, un ensemble d appoches complémentaies pou la conception d obsevateus pou les systèmes T-S sont poposées. La complémentaité des appoches éside dans les conditions d application de chaque méthode. En effet, un ensemble de méthodes est basé su la satisfaction d hypothèses issues de la condition de Lipschitz des fonctions d activation du système T-S, d autes méthodes s appuient su les techniques d optimisation L 2 afin de s affanchi de l hypothèse de Lipschitz. Les méthodes développées dans le chapite 3 sont étendues au chapite 4 à des systèmes pésentant des entées inconnues. Cela est éalisé pa l utilisation, dans un pemie temps, de containtes stuctuelles afin de découple totalement ou patiellement l influence des entées 7

25 Chapite 1. Intoduction généale inconnues de l eeu d estimation d état. Dans le cas de découplage patiel, les techniques de minimisation L 2 sont utilisées dans le but de éduie l influence de la patie non découplée des entées inconnues su l eeu d estimation d état. Dans un second temps, dans l objectif de s affanchi des containtes stuctuelles, des obsevateus Popotionnel-Intégal (PI) et Popotionnel-Multi-Intégal (PMI) sont utilisés. L avantage de ces obsevateus est la possibilité d estime simultanément l état du système ainsi que les entées inconnues. Le poblème du diagnostic des systèmes non linéaies pa l appoche multimodèle en utilisant la stuctue T-S est abodé dans le chapite 5. Tois méthodes à base d obsevateus sont alos poposées. Une pemièe appoche epose su l utilisation d un obsevateu à entées inconnues pa découplage assuant un découplage patiel de l estimation vis-à-vis des défauts affectant le système. Une seconde appoche exploitant les obsevateus PI et PMI est ensuite exposée. Elle pemet de founi diectement l estimation des défauts, pa conséquent, les tâches de détection et de localisation sont éalisées. Oute l objectif du diagnostic, cette technique touve également un intéêt impotant dans les poblèmes de conception de commandes toléantes aux défauts. Enfin, une appoche inspiée du poblème standad de commande H est pésentée. Elle est basée su la minimisation de l influence des petubations et la maximisation de l influence des défauts su les ésidus, ce qui evient à un poblème min/max. Afin de ésoude ce poblème, nous avons intoduit un filte stable linéaie et défini un vecteu de ésidus vituels, ce qui a pemis de tansfome le poblème min/max en un simple poblème de minimisation. Une extension au poblème de commande toléante aux défauts est poposée à la fin du chapite 5. L appoche est basée su la pousuite de tajectoie d un modèle de éféence décivant le bon fonctionnement du système. Dans ce cas, la commande compend un teme coespondant à la commande nominale du système à laquelle sont ajoutés des temes tenant compte l estimation de l état et des défauts. 8

26 2 Généalités et position du poblème Sommaie 2.1 Intoduction Obsevateus de systèmes dynamiques Obsevabilité des systèmes non linéaies Pincipes de conception des obsevateus d état des systèmes non linéaies Obsevateus à gains linéaies Obsevateus à stuctue vaiable Obsevateus obtenus apès tansfomation des équations d état Modèle de Takagi-Sugeno Appoche pa secteus non linéaies Stabilité des systèmes de Takagi-Sugeno Obsevateus pou les systèmes de Takagi-Sugeno Vaiables de décision mesuables (VDM) Vaiables de décision non mesuables (VDNM) Motivations et position du poblème Conclusion

27 Chapite 2. Généalités et position du poblème 2.1 Intoduction Comme nous l avons appelé pécédemment, les modèles linéaies sont valables que tès localement. S il est nécessaie d obteni un modèle pécis su une lage plage de fonctionnement, on se toune natuellement ves le fomalisme non linéaie. Le passage du linéaie au non linéaie nécessite l utilisation d outils théoiques tès difféents (on peut gossièement die que l on passe de l algèbe à l analyse). On étudiea pa exemple la notion d obsevabilité et quelques méthodes de synthèse d obsevateus dans ce chapite. Une méthode pou pouvoi conseve cetains outils connus dans le cade linéaie est d utilise le fomalisme de Takagi- Sugeno qui sea pésenté dans ce chapite intoductif. Enfin, on pésente le cade, les enjeux et les objectifs de cette thèse. 2.2 Obsevateus de systèmes dynamiques Il est féquemment nécessaie d estime cetaines vaiables décivant l état d un système qui ne sont pas diectement mesuables pou des aisons techniques ou économiques. Ce poblème touve une solution pa l utilisation de "capteus logiciels" appelés généalement obsevateus. La constuction d un obsevateu, afin d estime ces vaiables, s appuie su un modèle mathématique epésentant le compotement du système. Les obsevateus d état touvent leu intéêt dans plusieus domaines et notamment en commande des systèmes, en supevision et en diagnostic de fautes. Plusieus statégies de commande utilisent l état du système afin de calcule la loi de commande pemettant au système d accompli sa mission. Comme le vecteu d état n est pas toujous mesuable diectement, un obsevateu est alos nécessaie pou l estime. Dans le domaine de la supevision, l opéateu humain a besoin de connaîte l évolution dans le temps de cetaines vaiables d un système physique pou pende une décision. Pa exemple, un pilote d avion a besoin de connaîte, ente autes, l altitude et la vitesse de l avion. Pou un éacteu chimique, la suveillance de l évolution des concentations pemet de détemine le moment où cetains poduits doivent ête ajoutés. Un obsevateu d état peut ête utilisé afin d estime ces concentations à chaque instant. Les obsevateus d état ont également une place impotante dans les poblèmes de diagnostic des systèmes dynamiques. En effet, de nombeuses méthodes de détection, localisation et estimation de défauts à base de modèle utilisent le concept d obsevateu afin de génée des ésidus sensibles aux défauts. Un système dynamique peut ête epésenté pa les équations suivantes : ẋ(t) = f(x(t),u(t)) (2.1) y(t) = h(x(t), u(t)) (2.2) où x(t) R n epésente le vecteu d état, u(t) R n u est l entée du système et y(t) R n y epésente la sotie du système. Les fonctions f et h sont généalement non linéaies. Un obsevateu d état est un système ayant pou entées l entée du système u(t) et sa sotie y(t), et ayant pou sotie le vecteu d état estimé ˆx(t) : 1 ż(t) = κ(z(t), u(t), y(t)) (2.3) ˆx(t) = ρ(z(t), u(t), y(t)) (2.4)

28 2.3. Obsevabilité des systèmes non linéaies tel que l eeu d estimation d état e(t) = x(t) ˆx(t) tende asymptotiquement ves zéo : e(t) = x(t) ˆx(t) quand t (2.5) L objectif dans la conception d un obsevateu est de détemine les fonctions κ(z(t), u(t), y(t)) et ρ(z(t),u(t),y(t)) afin d assue la convegence de l eeu d estimation d état ves zéo. Un point cucial, qui doit ête étudié au péalable, est de se demande s il est possible de econstuie l état x(t) du système à pati des entées et des soties. En d autes temes, touve les conditions sous lesquelles l état x(t) est accessible i.e. établi les conditions d existence de l obsevateu. Ce poblème pote le nom de poblème d obsevabilité et sea étudié dans la section suivante. 2.3 Obsevabilité des systèmes non linéaies Étudie l obsevabilité consiste à établi les conditions sous lesquelles l état du système peut ête déteminé à pati des entées et des soties mesuées. Le poblème d obsevabilité pésenté, pa exemple, dans [Fossad et Nomand-Cyot, 1993; Besançon, 27], utilise la notion d indiscenabilité. Soient y u(t) et y 1 u(t), (t ), des signaux de sotie généés pa l application d une entée u(t) au système (2.1)-(2.2) avec deux conditions initiales difféents x() = x et x() = x 1 espectivement. Alos x et x 1 sont dits indiscenables si : y u(t) = y 1 u(t), t (2.6) Le système (2.1)-(2.2) est dit obsevable s il ne possède pas de couple d états initiaux distincts {x,x 1 } indiscenables. Pou les systèmes mono-entée mono-sotie, le concept d obsevabilité peut ête énoncé de la manièe suivante : supposons que u et y sont mesués. On définit deux vecteus contenant les déivées successives pa appot au temps de y et u : ȳ(t) = ( y ẏ ÿ y (n 1) ) T ū(t) = ( u u ü u (n 1) ) T (2.7) (2.8) Chaque déivée de la sotie peut ête expimée en fonction de l état x et de ū, ce qui pemet d écie : y (i) = ψ i (x,ū) (2.9) La déivée pa appot au temps de y (i) est donnée pa : [ ] [ ] y (i+1) ψi (x,ū) ψi (x,ū) dū = f(x,u)+ x ū dt = ψ i+1(x,ū) (2.1) On définit l opéateu linéaie M f comme suit : ( M f ψ ) [ ] [ ] ψi (x,ū) ψi (x,ū) dū (x,ū) = f(x,u)+ x ū dt (2.11) 11

29 Chapite 2. Généalités et position du poblème les déivées pa appot au temps de la sotie y définies pa ȳ peuvent alos s écie sous la fome : ȳ = υ(x,ū) (2.12) où : υ(x,ū) = ( h(x, u) ( M f ψ ) (x,u) M n 1 f Si υ(x,ū) est invesible i.e. υ 1 (x,ū) existe, alos :. ) ψ (x,u) (2.13) x = υ 1 (ȳ,ū) (2.14) alos le système (2.1)-(2.2) est dit obsevable. De plus, si le jacobien : Ω(x,ū) = υ(x,ū) x (2.15) de υ(x,ū) est invesible pou x = x, alos il existe un voisinage autou de x où υ(x,ū) est invesible, ce qui coespond à l obsevabilité locale i.e. x est discenable de tous les points dans le voisinage de x. L étude de l obsevabilité des systèmes multi-entées multi-soties s effectue de manièe similaie. De nombeux poblèmes concenant l obsevabilité des systèmes non linéaies, notamment les cas où l entée de commande intevient dans l étude de l obsevabilité (pesistance de l entée) et les poblèmes d obsevabilité des entées sont étudiés. Ces points ne sont pas détaillés et le lecteu intéessé poua se éfée à [Fossad et Nomand-Cyot, 1993; Besançon, 27]. Dans le cade des systèmes linéaies invaiants dans le temps, un système est dit obsevable si la détemination de l état x(t) du système est obtenue de façon unique à pati d un ensemble de k obsevations des soties. L existence d un obsevateu pou les systèmes linéaies se déduit du calcul du ang du citèe de Kalman : O = C CA. CA k 1 (2.16) Le système est obsevable si et seulement si ang(o) = n. Le citèe de Kalman se déduit diectement de υ(x,ū). 2.4 Pincipes de conception des obsevateus d état des systèmes non linéaies Le but de cette section est de pésente quelques appoches tès étudiées dans la littéatue, ces denièes années, elatives à la conception d obsevateus pou les systèmes non linéaies. 12

30 2.4. Pincipes de conception des obsevateus d état des systèmes non linéaies Obsevateus à gains linéaies Les pemies tavaux se appotant au poblème de conception d obsevateu d état pou des systèmes non linéaies emontent aux années 197, où l auteu de [Thau, 1973] popose une méthode basée su l utilisation des techniques de Lyapunov. Les systèmes considéés sont de la fome : { ẋ(t) = Ax(t)+ f(x(t),u(t)) (2.17) y(t) = Cx(t) où x(t) R n est le vecteu d état, u(t) R n u epésente le vecteu d entée et y(t) R n y est le vecteu de sotie. A R n n est une matice d état connue et f(x(t),u(t)) R n est une fonction non linéaie vectoielle dépendant de x(t) et de u(t) et satisfaisant la condition de Lipschitz : f(x(t),u(t)) f( ˆx(t),u(t)) < γ x(t) ˆx(t) (2.18) L obsevateu poposé dans Thau [1973] est une extension de l obsevateu de Luenbege, poposé dans [Luenbege, 1971], et ayant la fome : { ˆx(t) = A ˆx(t)+ f( ˆx(t),u(t))+L(y(t) ŷ(t)) (2.19) ŷ(t) = C ˆx(t) La dynamique de l eeu d estimation d état e(t) = x(t) ˆx(t) s écit : ė(t) = (A LC)e(t)+ f(x(t),u(t)) f( ˆx(t),u(t)) (2.2) L objectif est de détemine L de manièe à assue la convegence ves zéo de l eeu d estimation d état. Le ésultat suivant, donné dans [Thau, 1973], founit des conditions de convegence de l eeu d estimation d état. Théoème 2.1. ([Thau, 1973]) Etant donné le système (2.17) et son obsevateu (2.19). Si : γ < λ max(q) λ min (P) (2.21) où P R n n et Q R n n sont des matices symétiques et définies positives qui véifient l équation de Lyapunov : (A LC) T P+P(A LC) = Q (2.22) alos lim t e(t) =. Le théoème 2.1 founit une pocédue pou véifie la stabilité de la dynamique de l eeu d estimation apès choix de L. Cependant, cette méthode ne pemet pas la synthèse de l obsevateu. Si γ est la constante de Lipschitz de la fonction f(x(t),u(t)), il n existe pas de elation ente le choix de L et la condition (2.21), ce qui pose un poblème pou le placement des pôles de (A LC). Pou plus de détails, un exemple expliquant ce poblème est donné dans [Raghavan et Hedick, 1994]. Dans [Raghavan et Hedick, 1994], les auteus founissent un algoithme de echeche du gain L qui pemet d assue la stabilité de la dynamique de l eeu d estimation. 13

31 Chapite 2. Généalités et position du poblème Théoème 2.2. ([Raghavan et Hedick, 1994]) Étant donné le système (2.17) et son obsevateu (2.19), s il existe ε >, P R n n et Q R n n des matices symétiques et définies positives qui véifient l équation de Riccati : ( A T P+PA+P γ 2 I 1 ) ε CT C P+I + Q = (2.23) alos le gain de l obsevateu L = 1 ε PCT stabilise la dynamique de l eeu d estimation d état pou toute fonction f avec une constante de Lipschitz γ. La méthode est basée su une echeche itéative de ε. Pou des valeus impotantes de la constante de Lipschitz, l équation de Riccati (2.23) peut ne pas admette de solution. Les auteus ont alos poposé une méthode pa tansfomation linéaie z(t) = T x(t) elaxant cette difficulté. Dans [Petew et al., 26], il est monté que, dans cetains cas, l équation de Riccati (2.23) n admet pas de solution, même si la paie (A,C) est obsevable. Un ésultat intéessant a été poposé pa la suite dans [Rajamani, 1998] pou la détemination du gain L de l obsevateu (2.19) : Théoème 2.3. ([Rajamani, 1998]) Le système (2.19) est un obsevateu pou (2.17) si : 1. (A LC) est obsevable. 2. le gain L est déteminé de manièe à assue la stabilité de la matice (A LC). 3. min σ min (A LC jωi) > γ (2.24) ω R + Ce ésultat peut ête pésenté en utilisant le fomalisme H de la manièe suivante ([Rajamani, 1998]) : si (A LC) 1 < 1 (2.25) γ Définissons les vaiables suivantes : ω(t) = f(x(t),u(t)) f( ˆx(t),u(t)) (2.26) ζ(t) = e(t) = x(t) ˆx(t) (2.27) ν(t) = L(y(t) ŷ(t)) (2.28) ϕ(t) = y(t) ŷ(t) (2.29) Le membe de gauche de l inégalité (2.25) epésente la nome H du tansfet de ω(t) et ν(t) ves ζ(t) donné sous la fome standad : ż(t) = Az(t)+ [ ] [ ] ω(t) I n I n (2.3) ν(t) [ ζ(t) ϕ(t) ] = [ In C ] [ n z(t)+ n ny n ny n ][ ω(t) ν(t) ] (2.31) Cette appoche a été utilisée écemment dans [Petew et al., 26] pou la conception d obsevateus pou les systèmes lipschitziens (2.17), puis elle a été étendue aux systèmes pésentant 14

32 2.4. Pincipes de conception des obsevateus d état des systèmes non linéaies des entées inconnues dans [Petew et al., 25a] et pou le diagnostic de défauts de capteus pou systèmes non linéaies. Les inconvénients pincipaux de ce type d appoches ésident dans la majoation de l eeu d estimation d état en utilisant la condition de Lipschitz, ce qui peut pésente un cetain caactèe consevatif. De plus, si la constante de Lipschitz est impotante, les gains obtenus pa ces méthodes peuvent ende l obsevateu tès sensible aux buits de mesue. Le poblème des gands gains liés à la majoation de Lipschitz a été étudié dans [Acak et Kokotovic, 21] où les auteus utilisent le citèe du cecle et supposent que la non-linéaité satisfait la condition de monotonie suivante : ( ) ( ) f f T + > (2.32) x x Des conditions de convegence de l eeu d estimation d état ves zéo sont alos établies sous la fome d inégalités maticielles linéaies non stictes. Une extension de ce ésultat a été poposée pou les systèmes à plusieus non-linéaités monotones. Cependant, la condition (2.32) limite la classe de systèmes pouvant ête étudiés. Une aute appoche poposée dans [Ibi, 27] utilise également le citèe du cecle avec des injections multiples de la sotie dans les non-linéaités. La condition de monotonie des nonlinéaités n est plus nécessaie. En evanche, la connaissance de la distibution du vecteu d état dans les non-linéaités est equise. Les méthodes pésentées pécédemment chechent à détemine un gain constant L de l obsevateu (2.19). Une généalisation à un gain vaiable en fonction de l entée du système est poposée dans [Tsinias, 199]. L équation définissant le gain s écit alos : L(u(t)) = c(u(t))m 1 C (2.33) où c est un scalaie positif constant et (u(t)) ainsi que M sont à détemine de manièe à satisfaie les conditions suivantes : µt M f(x,u) µ x c 1 µ 2 (2.34) νt M f(x,u) ν x (u) µ 2 (2.35) c 2 (u) (2.36) pou des scalaies positifs c 1 et c 2 et x R n, u R n u, µ R n, ν R n. Ces denies sont choisis de manièe à assue la convegence de l eeu d estimation d état ves zéo. Dans [Tsinias, 199], une aute fome du gain est poposée en intoduisant l état estimé : L( ˆx,u) = ( ˆx,u)M 1 C (2.37) Le pincipe de la détemination de L( ˆx,u) epose su l hypothèse {Ke(C) {}}. Ce ésultat a été utilisé dans [Adjallah et al., 1994] pou la détection de défauts. 15

33 Chapite 2. Généalités et position du poblème Obsevateus à stuctue vaiable Une aute catégoie d obsevateus utilisant l idée de stuctue vaiable a été lagement étudiée dans la littéatue [Slotine et al., 1987; Walcott et Zak, 1987; Bejaano et al., 28]. L idée est d ajoute un teme dépendant de l eeu de sotie pemettant de compense des incetitudes de modélisation. Ce teme peut ête considéé comme un gain vaiable qui commute ente la valeu zéo si l eeu de sotie est nulle et une valeu dépendante de cette eeu de sotie dans le cas où cette denièe est non nulle. Pa appot aux méthodes pésentées pécédemment, la connaissance d un modèle exact n est plus nécessaie. En evanche, une hypothèse stuctuelle su la fonction non linéaie f(x(t), u(t)) est imposée ; cependant, cette hypothèse s avèe difficile à satisfaie en pésence d incetitudes paamétiques. Les commutations du teme additionnel constituent un inconvénient majeu de ces appoches ca elles engendent un phénomène de boutement (Chatteing) qui est un égime oscillatoie haute féquence. Ce poblème a été taité dans [Dawson et al., 1992] pa un aute choix du teme additionnel Obsevateus obtenus apès tansfomation des équations d état Les méthodes de conception d obsevateus pou les systèmes non linéaies basées su une tansfomation ont fait l objet de nombeux tavaux. Les tansfomations non linéaies effectuées su l état d un système visent à é-écie le système en effectuant un changement de coodonnées de façon à ce que l eeu d estimation d état s écive sous une fome linéaie. L étude de la convegence de cette eeu est alos simplifiée. L estimation du vecteu d état initial s obtient alos pa la tansfomation invese. Linéaisation exacte L appoche pa linéaisation vise à tansfome un système initialement défini pa : { ẋ(t) = f(x(t)) y(t) = h(x(t)) (2.38) où x(t) R n et y(t) R, sous la fome canonique d obsevabilité donnée pa les équations suivantes : { ż(t) = Az(t)+φ(y(t)) (2.39) y(t) = Cz(t) où ϕ 1 (y(t)) 1. A =....., ϕ(y(t)) =.., C = ( 1 ) (2.4) 1 ϕ n (y(t)) et φ(y(t)) est une fonction de la vaiable y(t). Un obsevateu de la fome : { ẑ(t) = Aẑ(t)+φ(y(t))+L(y(t) ŷ(t)) y(t) = Cẑ(t) (2.41) 16

34 2.4. Pincipes de conception des obsevateus d état des systèmes non linéaies peut alos ête synthétisé. Ainsi, la dynamique de l eeu d estimation d état e(t) = z(t) ẑ(t) s écit : ė(t) = (A LC)e(t) (2.42) On emaque que l équation difféentielle (2.42) est linéaie. Si la paie (A,C) est obsevable, il est possible de place les pôles de la matice (A LC) afin d assue une stabilité asymptotique ou exponentielle. Ce ésultat a d abod été établi pou les systèmes mono-soties. Puis une généalisation aux systèmes multi-soties a été poposée dans [Kene et Isidoi, 1983] en généalisant les tansfomations comme suit : z(t) = T(x(t)) (2.43) v(t) = W(y(t)) (2.44) La tansfomation du système (2.38) sous la fome du système (2.39) est basée su l algèbe de Lie. Le poblème est alos énoncé de la façon suivante : s il existe des tansfomations de l état et de la sotie (2.43)-(2.44) (pou le cas multi-soties) tansfomant le système (2.38) en (2.39), alos un obsevateu de la fome (2.41) peut ête synthétisé. L état ˆx(t) du système oiginal est obtenu pa la tansfomation invese ˆx(t) = T 1 (ẑ(t)). Dans [Kelle, 1987], une extension de cette technique a été effectuée en considéant le poblème des systèmes non autonomes. En effet, l appoche visant à tansfome un système sous une fome canonique d obsevabilité a été initialement développé pou les systèmes autonomes. Pou les systèmes non autonomes, la fonction φ dépend non seulement de la sotie mais également du vecteu ū(t) contenant les déivées pa appot au temps de l entée u(t) du système. On a alos φ(y(t),ū(t)) où : ū(t) = ( u u ü u (n) ) (2.45) Les tansfomations T et W dépendent alos également de l entée et de ses déivées. Une pemièe limite qu on constate facilement est que la conception de l obsevateu nécessite de connaîte les n pemièes déivées pa appot au temps de l entée u(t). De nombeux tavaux ont été éalisés afin de donne une méthode de éalisation ou des conditions d existence des tansfomations T et W. On peut cite, pa exemple, [Glumineau et al., 1996] où les auteus poposent des conditions nécessaies et suffisantes d existence de la tansfomation T pou les systèmes mono-soties ; ce ésultat a également été généalisé aux systèmes multi-soties. Dans [Phelps, 1991], une méthode a été poposée pou la echeche de telles tansfomations pou les systèmes autonomes. Dans la majoité des tavaux menés dans le contexte de la tansfomation d un système non linéaie sous la fome canonique d obsevabilité, les auteus supposent que la sotie est linéaie pa appot à l état. [Kazantzis et Kavais, 1998] ont cependant taité le cas des systèmes mono-soties non linéaies. Les inconvénients de ces appoches basées su les tansfomations de l équation d état en une fome canonique d obsevabilité, ésident dans le fait que, d une pat, la classe de systèmes non linéaies pouvant ête tansfomée ou pou qui une tansfomation existe est tès limitée et, d aute pat, les tansfomations sont difficiles à mette en œuve. Technique d immesion Afin de éduie les inconvénients de l appoche pécédente, la technique d immesion a été utilisée dans [Levine et Maino, 1986; Ticlea, 26; Besançon, 27]. Elle est basée su l idée 17