Centres étrangers juin n + 2.

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1 Cetres étragers ji 3 EXERCICE poits Comm à tos les cadidats O défiit, por tot etier atrel >, la site ( ) de ombres réels strictemet positifs par = Por tot etier atrel >, o pose v = a Motrer qe v = b Motrer qe por tot etier atrel >, v > c Trover le pls petit etier N tel qe si N, v < 3 4 d E dédire qe si N, alors < 3 4 O pose por tot etier atrel, S = 6 O se propose démotrer qe la site (S ) est covergete a Motrer par récrrece qe por tot etier atrel, b 3 Motrer qe por tot etier atrel, S 4 c 3 E dédire qe por tot etier atrel, S 4 Motrer qe la site (S ) est croissate et e dédire q elle coverge EXERCICE 6 poits Réservé a cadidats ayat pas sivi l eseigemet de spécialité Ue etreprise d atocars dessert e régio motagese E chemi, les véhicles pevet être bloqés par des icidets etériers comme des chtes de pierres, la présece de tropea sr la rote, etc U atocar part de so etrepôt O ote D la variable aléatoire qi mesre la distace e ilomètres qe l atocar va parcorir jsq à ce q il srviee icidet O admet qe D sit e loi epoetielle de paramètre λ =, appelée assi loi de drée de vie sas vieillissemet O rappelle qe la loi de probabilité est alors défiie par : p(d ) = e d Das tot l eercice, les résltats mériqes serot arrodis a millième Calcler la probabilité qe la distace parcore sas icidet soit : a comprise etre et m ; b spériere 3 m Sachat qe l atocar a déjà parcor 3 ilomètres sas icidet, qelle est la probabilité q il e sbisse pas o pls a cors des prochais ilomètres? 3 Détermiatio de la distace moyee parcore sas icidet a moye d e itégratio par parties, calcler : I() = e d où est ombre réel positif b Calcler la ite de I() lorsqe ted vers (Cette ite représete la distace moyee cherchée) 4 L etreprise possède N atocars Les distaces parcores par chac des atocars etre l etrepôt et le lie où srviet icidet sot des variables aléatoires de à de idépedates et de même loi epoetielle de paramètre λ = d état réel positif, o ote X d la variable aléatoire égale a ombre d atocars ayat sbi ac icidet après avoir parcor d ilomètres a Motrer qe X d sit e loi biomiale de paramètres N et e λ d b Doer le ombre moye d atocars ayat sbi ac icidet après avoir parcor d ilomètres

2 EXERCICE 6 poits Réservé a cadidats ayat sivi l eseigemet de spécialité L espace (E) est mi d repère orthoormal (O ; i, j, ) O cosidère la srface T d éqatio : y = z avec et y La figre ci-cotre est e représetatio de la srface T, das le cbe de cetre O et de côté Élémets de symétrie de la srface T a Motrer qe si le poit M(, y, z) appartiet à T, alors le poit M (, y, z) appartiet assi à T E dédire pla de symétrie de T b Motrer qe l origie O d repère est cetre de symétrie de T Itersectios de la srface T avec des plas parallèles a aes a Détermier la atre des corbes d itersectio de T avec les plas parallèles a pla ( O z) b Détermier la atre des corbes d itersectio de T avec les plas parallèles a pla (y O z) 3 Itersectios de la srface T avec les plas parallèles a pla ( O y) d éqatios z =, avec [ ; ] a Détermier l itersectio de la srface T et d pla d éqatio z = b Por > o ote K le poit de coordoées (,, ) Détermier, das le repère (K ; i, j ), l éqatio de la corbe itersectio de T et d pla d éqatio z = c Tracer l allre de cette corbe das le repère (K ; i, j ) O précisera e particlier les coordoées des etrémités de l arc 4 O ote (D) le domaie formé des poits d cbe ité sités sos la srface T (D) = { M(, y, z) (E) avec ; y ; z y a Por <, le pla d éqatio z = cope le domaie (D) selo e srface q o pet visaliser sr le graphiqe de la qestio 3 c C est l esemble des poits M d cbe ité, de coordoées (, y, z) tels qe y et z = Calcler e foctio de l aire S() eprimée e ités d aire, de cette srface b O pose S() = ; calcler e ités de volme, le volme V d domaie (D) O rappelle qe V = S( ) d PROBLÈME 9 poits O appelle f la foctio défiie sr l itervalle I = ] ; [ par : f () = l( ) O ote C f la corbe représetative de f das le repère orthoormal ( O ; i, j ) (ité graphiqe 4 cm) I Étde de la foctio f Étde des variatios de la dérivée f a f désige la foctio dérivée première de f et f la foctio dérivée secode Calcler f () pis f () por apparteat à l itervalle ] ; [ b Étdier les variatios de f sr l itervalle ] ; [ c Détermier les ites de f e et e Étde d sige de f () a Motrer qe sr l itervalle = ] ; [ l éqatio f () = admet e soltio iqe α apparteat à l itervalle [,6 ;,] b E dédire le sige de f () selo les valers de 3 Étde des variatios de f a Étdier les variatios de la foctio f sr l itervalle ] ; [ b Détermier les ites de f e et e c Dresser le tablea de variatio de f II Positio de la corbe(c f ) par rapport à ses tagetes Soit réel apparteat l itervalle ] ; [, o appelle T la tagete à C f a poit d abscisse O ote, por apparteat à l itervalle ] ; [, d() = f () [f ( )( ) f ( )] Étde des variatios de d a Vérifier qe, por tot apparteat à l itervalle ] ; [, d () = f () f ( ) b E tilisat la croissace de la foctio f, doer le sige de d () selo les valers de E dédire les variatios de d sr l itervalle ] ; [ Détermier la positio relative de C f et de T III Tracés das le repère ( O ; i, j ) Détermier e éqatio de la droite T, tagete à C f a poit d abscisse ; tracer T Trover les réels por lesqels les tagetes T passet par l origie d repère pis tracer ces droites 3 Tracer la corbe C f por les valers de comprises etre et O predra por α la valer,4 et por f (α) la valer,8

3 EXERCICE poits Comm à tos les cadidats a = et = ( ) = doc v = doc v = ( ) CORRECTION = = b Por tot etier atrel >, > doc > doc v > c v < 3 4 < 3 4 or > doc < 3 < < < 3 3 < < 3 > 3 Le pls petit etier N tel qe si N, v < 3 4 est doc N = d si, alors v < 3 4 doc < 3 4 or > doc < 3 4 a Si =, = = doc La propriété est vraie por = Motros qe por tot, si alors si, alors v < 3 4 doc < 3 4 or > doc < 3 4 doc < 3 4 si, La propriété est héréditaire doc est vraie por tot etier atrel 3 3 b Si =, S = or = doc S 4 4 La propriété est vraie por = 3 3 Motros qe por tot, si S alors S 4 4 si, alors S = S 3 3 or S et doc S La propriété est héréditaire doc por tot etier atrel, S 4 c si q, q q q p p q = q = = doc 4 atrel, S 4, doc e appliqat ceci à q = 3 4 et p = : doc por tot etier 3 S S = or por tot etier o l, > doc S S >, la site (S ) est croissate, de pls elle est majorée par 4 doc elle coverge

4 EXERCICE 6 poits Réservé a cadidats ayat pas sivi l eseigemet de spécialité p(d ) = e d = e et p(d ) = e a p( D ) = p(d ) p(d ) = e e = e e soit p( D ),48 b p(d > 3) = 3 e doc p(d > 3),6 D sit e loi de drée de vie sas vieillissemet doc p (D > 3) (D > 37) = p(d > ) = 3 a Soit () = e alors () = e Soit v() = alors v () = I() = e d = e I() = e e I() = e e b e = doc e e = doc e e d = e ( e ) = = doc I() = e doc p,737 4 a O a e sccessio de N epérieces aléatoires idetiqes et idépedates Chace d elles possède de isses : réssite : l atocar a sbi ac icidet après avoir parcor d ilomètres (p = p(d > d) = e λ d ) échec : l atocar a sbi a mois icidet après avoir parcor d ilomètres (q = p(d d) = e λ d ) doc la variable aléatoire X d égale a ombre d atocars ayat sbi ac icidet après avoir parcor d ilomètres, sit e loi biomiale de paramètres N et e λ d b Le ombre moye d atocars ayat sbi ac icidet après avoir parcor d ilomètres est E(X d ) = N e λ d

5 EXERCICE 6 poits Réservé a cadidats ayat sivi l eseigemet de spécialité a si le poit M(, y, z) appartiet à T, alors y = z Soit = ; y = y et z = z doc y = y = z doc y = z doc Le poit M (, y, z) appartiet assi à T M est le symétriqe de M par rapport a pla (y O z) doc le pla (y O z) est pla de symétrie de T b si le poit M(, y, z) appartiet à T, alors y = z Le symétriqe de M par rapport à O, est le poit M de coordoées ( ; y ; z ) avec = ; y = y et z = z y = y = z doc y = z Le poit M (, y, z) appartiet assi à T L origie O d repère est cetre de symétrie de T a U pla parallèle a pla ( O z) a e éqatio de la forme y = Si le poit M appartiet a pla ( O z), il a por coordoées ( ; ; z) y doc si [ ; ], la srface et le pla ot pas de poit comm si [ ; ], et si M appartiet égalemet à la srface T, alors = z doc z = L itersectio de T avec pla parallèle a pla ( O z) est arc de parabole o b U pla parallèle a pla (y O z) a e éqatio de la forme = Si le poit M appartiet a pla (y O z) il a por coordoées ( ; y ; z) doc si [ ; ], la srface et le pla ot pas de poit comm si [ ; ], et si M appartiet égalemet à la srface T, alors y = z doc z = y L itersectio de T avec pla parallèle a pla (y O z) est segmet de droite o 3 a Si le poit M appartiet a pla d éqatio z =, il a por coordoées ( ; y ; ) Si M appartiet égalemet à la srface T, alors y = doc soit = soit y = L itersectio de T avec le pla d éqatio z =, est la réio = y = de de droites d éqatios : et, il d agit des z = z = aes (O y) et (O ) b Si le poit M appartiet a pla d éqatio z =, il a por coordoées ( ; y ; ) Si M appartiet égalemet à la srface T, alors y = doc soit y = Das le repère (K ; i, j ), l éqatio de la corbe itersectio de T et d pla d éqatio z = est y = o ecore y = c y doc or [ ; ] doc soit ; ; Les etrémités des arcs sot les poits de coordoées ( ; ) B( ; ) C( ; ) et D( ; ) B C o D

6 4 a S() = d = b V = S( ) d = = = = = ités de volme PROBLÈME 9 poits I Étde de la foctio f a f () = l ( ) f () = ( ) ; = l( ) b f est la somme de de termes strictemet positifs doc est strictemet positive, f est strictemet croissate sr l itervalle I = ] ; [ ( ) l ( ) c f () = or = doc f () = l = doc ( ) l ( ) = et ( ) l ( ) = l = doc l ( ) = ; doc f () = = doc a f est e foctio défiie cotie strictemet croissate sr I ; f (I) = R doc sr l itervalle = ] ; [ l éqatio f () = admet e soltio iqe α f (,6),9 et f (,),7 doc α appartiet à l itervalle [,6 ;,] b f est strictemet croissate sr l itervalle I = ] ; [, s ale e α doc si < < α alors f () < ; f (α) = et si > α alors f () > 3 a si < < α alors f () < ; f (α) = et si > α alors f () > doc f est décroissate sr ] ; α ] et croissate sr [ α ; [ b l ( ) = doc f () = l ( ) = doc f () = = c α f () f f (α) II Positio de la corbe(c f ) par rapport à ses tagetes a est e costate doc f ( ) et f ( ) sot des costates doc por tot apparteat à l itervalle ] ; [, d () = f () f ( ) b f est e foctio défiie cotie strictemet croissate sr I, doc si < < alors f () < f ( ) doc d () < si > alors f () > f ( ) doc d () >, de pls d ( ) = d () d doc por tot de I, d() por tot de I, d(), doc la corbe est a-desss de la tagete à C f a poit d abscisse III Tracés das le repère ( O ; i, j ) f () = et f () = l doc T a por éqatio y = l

7 T a por éqatio y = f ( ) ( ) f ( ) T passe par l origie d repère si et selemet si f ( ) f ( ) = soit l ( ) l ( ) = soit = = avec ] ; [ = admet por soltios = et = T et T sot doc les seles tagetes à la corbe passat par l origie d repère 3