a f (t)dt. Alors F est continue sur [a,b]. De plus, si f est continue en un point x de [a,b], alors F est dérivable en x et F (x) = f (x).

Transcription

1 Eercices : Brbr Tumpch Relecure : Frnçois Lescure Eo7 Inégrles générlisées e héorie de l mesure Rppel Définiion. Soi f : (,b R une foncion Riemnn-inégrble sur ou segmen [α,β] (,b (on dme les cs où = e/ou b = +. Supposons que l foncion F(α,β = β α f (d possède une limie I lorsque α e β b. On di lors que l inégrle générlisée ou impropre f (d es convergene e que I es l vleur de cee inégrle. Proposiion.(Condiion de Cuchy Soi f : [, + [ R une foncion Riemnn-inégrble sur ou segmen [,], >. Pour que l inégrle impropre f (d soi convergene, il fu e il suffi que l inégrle f (d ende vers lorsque e enden vers +. Théorème. Soi f une foncion Riemnn-inégrble sur [,b]. Posons pour ou [,b], F( = f (d. Alors F es coninue sur [,b]. De plus, si f es coninue en un poin de [,b], lors F es dérivble en e F ( = f (. Définiion. Én donné une foncion réelle g sur [,b], on ppelle primiive de g sur [,b] une foncion G : [,b] R elle que G es dérivble en ou poin [,b] e G ( = g(. Une foncion Riemnn-inégrble f sur [, b] n dme ps nécessiremen de primiive, mis si f es coninue sur [, b], le héorème ci-dessus ssure que F( := f (d es une primiive de f. Théorème.(Théorème de coninuié d une inégrle dépendn d un prmère Soien Λ un espce mérique, e b deu nombres réels els que < b, e f : [,b] Λ R une pplicion coninue. Alors l foncion F : Λ R définie pr F( = f (,d es coninue. Théorème.(Théorème de dérivbilié d une inégrle dépendn d un prmère Soien Λ un ouver de R, e b deu nombres réels els que < b, e f : [,b] Λ R une pplicion coninue. On suppose que l foncion f possède une dérivée prielle f (, pr rppor à l deuième vrible qui soi une foncion coninue sur [,b] Λ. Alors l foncion F : Λ R définie pr F( = f (,d es de clsse C e s dérivée vu F ( = f (,d. Théorème. Soi F n es une suie de foncions de clsse C k, k, qui converge uniformémen vers F. Supposons que, pour ou j k, l suie des j ième dérivées F n ( j converge uniformémen vers une foncion g j. Alors F es de clsse C k e l dérivée j ième de F vu F ( j = g j. Inégrles générlisées Eercice. Le bu de cee quesion es de monrer que pose : sin u n = d n es ps bsolumen convergene. Pour n N, on sin d.

2 Monrer que pour n, (n+π u n. En déduire que sin d es divergene.. Deuième formule de l moyenne. Soien f e g deu foncions Riemnn-inégrbles sur [,b], dmen des primiives noées F e G respecivemen. Supposons que F es posiive e décroissne. Monrer qu il eise y [,b] el que : F(g(d = F( g( d. 3. En déduire que sin d es convergene. 4. Le bu de cee quesion es de clculer l vleur de cee inégrle. Pour ou nombre réel, on pose : { f (, = e sin pour > f (, =. ( Pour < y, démonrer que l on : f (,d e. (b En déduire que les inégrles générlisées f (, d son convergenes, uniformémen pour. On pose, pour, sin F( = e d. Démonrer que l foncion F es coninue pour. (c Démonrer que l foncion F es dérivble pour > e que s dérivée es égle à l inégrle générlisée convergene F ( = e sin d. (d Clculer cee dernière inégrle générlisée, pr eemple en inégrn pr pries sur [, ] e en clculn l limie qund +. (e En déduire l vleur de F( pour à une consne ddiive près. Démonrer que F( qund +. En déduire l vleur de l consne ddiive, puis l vleur de l inégrle d. sin Correcion [595] 3 Théorie de l mesure Eercice Monrer que A es une σ-lgèbre si e seulemen si A es une lgèbre e une clsse monoone. Correcion [596] Eercice 3 Soi (Ω,Σ un espce mesurble (i.e. un ensemble Ω muni d une ribu Σ P(Ω. Soi µ une mesure finie sur (Ω,Σ. Monrer les propriéés suivnes : (A,B,A i son des élemens de de Σ. Si A,A,...,A k son deu à deu disjoins, lors. Si B A lors µ(a \ B = µ(a µ(b. 3. Monoonie : Si B A lors µ(b µ(a. µ ( k i=a i = k i= µ(a i.

3 4. Principe inclusion-eclusion : µ(a B = µ(a + µ(b µ(a B. 5. µ ( + i= A i + i= µ(a i. (Rppelons que l on églié si l union es disjoine. Correcion [597] Rerouver cee fiche e d ures eercices de mhs sur eo7.emh.fr 3

4 Correcion de l eercice. Pour n N, on pose : u n = sin d. Pour n, on (n+π, donc (n + π sin d sin d. Or sin = ( n sin sur [,(n + π]. Ainsi Il en découle que (n+π u n e es divergene. sin d = ( n [ cos] (n+π =. sin + d = n n=u π + n= n +. Deuième formule de l moyenne. D près l énoncé, F es une primiive de f e es posiive e décroissne. Puisque l foncion g dme des primiives, l foncion G(y := g(d es l primiive de g s nnuln en. D près le héorème des vleurs inermédiires, pour monrer qu il eise y [, b] el que : F(g(d = F( g( d, il suffi de monrer que Pr inégrion pr pries, on obien : F( min G(y F(g(d F( m G(y. y [,b] y [,b] F(g(d = F(bG(b F(G( f (G( d. vec F(G( =. Comme f es négive sur [,b], on : min G(y f (d f (G(d m G(y f (d, y [,b] y [,b] min G(y(F( F(b f (G(d m G(y(F( F(b. y [,b] y [,b] On en dédui l encdremen suivn : ( F(b G(b min y [,b] G(y F(b + F( min G(y F(g( d y [,b] ( G(b m G(y + F( m G(y. y [,b] y [,b] Les inégliés G(b min y [,b] G(y e G(b m y [,b] G(y e l posiivié de F permeen de conclure. 4

5 3. D près le crière de Cuchy (voir l proposiion des rppels, pour monrer que sin d es convergene, il suffi de monrer que sin d end vers lorsque e enden vers +. D près l formule de l moyenne ppliquée à F( = e g( = sin, il vien : sin d = sin d pour un cerin y [, ]. On en dédui que sin d = cosy cos. Ainsi lim, + sin d = e sin d es convergene. 4. ( Posons pour >, U( = e. On u( = U ( = e ( + <. Ainsi U es posiive e décroissne sur ],+ [. D près l deuième formule de l moyenne, pour < y, il vien : f (,d = U(sin d = e sin d, pour un cerin y [,y]. On en dédui que f (,d e. (b On remrque que, pour ou >, l foncion f (, es coninue sur [,], donc Riemnninégrble sur ce inervlle. D près le crière de Cuchy e l quesion 4., les inégrles générlisées f (,d son convergenes. Soi F( = f (,d. Pour monrer que les inégrles générlisées f (,d convergen uniformémen en, il fu monrer que pour ou ε >, il eise > el que pour ou > e pour ou, F( f (,d ε. Or, d près l quesion 4., F( f (,d e e. Ainsi pour > ε, on l inéglié désirée, e ce indépendmmen de l vleur de. Posons F n( = n f (,d. D près ce qui précède, sup F( F n ( [,+ [ n, i.e. F n converge uniformémen vers F sur [,+ [. Comme les foncion F n son coninues, il en découle que F es coninue. On peu ussi revenir à l définiion de coninuié : pour monrer que l foncion F( es coninue en un poin [,+ [, il fu monrer que pour ou ε >, il eise un voisinge de el que F( F( < ε pour ou dns ce voisinge. Soi ε > fié, e posons ε = 6 ε. On : F( F( = ε ε ε ( f (, f (, d + ε ( f (, f (, d + ( f (, f (, d + 3 ε. 5 ε f (,d f (, d ε f (,d + f (, d ε

6 Pour conclure, il suffi de rouver un voisinge de el que ε ( f (, f (, d < ε 3 pour ou dns ce voisinge. L eisence d un el voisinge es grnie pr l coninuié de l foncion ε f (, d donnée pr le héorème de coninuié d une inégrle dépendn d un prmère (voir les rppels. On peu églemen déerminer l eisence de ce voisinge à l min de l fçon suivne : ε ε ( f (, f (, d ( f (, f (, d sup e e [, ε ] [, ε ] ε ε sup e e, où l on uiliser l inéglié sin. On : e e = e (+ (e ( e ( ( ( ε sinh sinh sin d, ( cr l foncion sinh es croissne. Ainsi le voisinge de déerminé pr < ε 3 rgsinh ε 36 convien. (c Pour [, + [ e ], + [, posons F(, = f (,d. D près le héorème de dérivbilié d une inégrle dépendn d un prmère (voir les rppels, l foncion F es dérivble pr rppor à l deuième vrible e s dérivée prielle vu : F (, = f (,d. Lorsque +, F(, end vers F(. D près l quesion 4.b cee convergence es uniforme pour. D ure pr, lorsque end vers +, F (, end vers F ( := e sin d. On peu monrer comme dns l quesion 4.b que cee convergence es uniforme pour > (enion il fu eclure = ici. Il en découle que lim h h F(+h F( = F ( (écrivez l rgumen! On pourr soi uiliser le dernier héorème des rppels, soi le monrer à l min... (d Soi >. On : Ainsi On en dédui que e sin d = [ e sin ] = e sin + = e [ e e cos cos d ] e sin + cos +, e + sin d e ( + e sin d = e e sin + cos. F ( = lim e sin d = + +. sin d. 6

7 (e De l quesion précédene, il découle que F( = rcn +C, où C es une consne réelle. Monrons que F( end vers lorsque end vers +. Soi ε > e > 4 ε. On : F( = sin + sin e d + e d sin e d + sin e d e d + ε, où on uiliser que sin e l quesion 4.b. Ainsi F( e e Comme lim + =, il eise > el que pour ou >, e < ε. On en dédui que pour >, F( < ε, c es-à-dire lim + F( =. Alors C = lim + rcn = π. Ainsi F( = rcn + π sin e d = F( = π. + ε. Correcion de l eercice cf Proposiion 5.. du polycopié de Mrc Troynov. Correcion de l eercice 3 Découle direcemen des définiions. 7