CHAPITRE 1 SUITES Les suites sont un objet fondamental à la fois en mathématiques et dans l application des mathématiques aux autes sciences. Nous veons dans ce cous et les tavaux diigés dives exemples : appoximation d un nombe iationnel pa des décimaux ; suite de Syacuse ; algoithme de Newton pou appoche les acines d un polynôme ; modélisation des pêts bancaies. Ce chapite commence pa des appels. Ce sea le pétexte pou commence à intoduie cetains concepts d algèbe linéaie que nous enconteons souvent ce semeste. 1.1. Suites éelles ou complexes ; opéations su les suites On fixe le cops K = R ou C. Définition 1.1.1. Une suite à valeus (1) dans K est une application u : N K. On note u = (u n ) n N ou u = (u 0, u 1,..., u n,...). L ensemble des suites est noté S K ou K N. Le nombe u n est appelé n-ième teme de la suite u. Il aive pafois que la suite ne soit pas définie pou tous les enties de N, mais seulement pou un sous-ensemble d indices I N. Une suite définie su I est une application u : I K. On la note u = (u n ) n I. On peut défini une suite pa : une fomule ; pa exemple la suite définie pa u n = n + cos(n). un pocessus de constuction (suite définie pa écuence) ; dans ce cas, on donne u 0, puis on explique comment constuie u n+1 à pati de u n. Autement dit, la suite véifie une elation de écuence u n+1 = f(u n ). 1. On dit plus simplement suite éelle si K = R et complexe si K = C.
10 CHAPITRE 1. SUITES Pa exemple, les suites de Syacuse : on choisit u 0 égal à un entie quelconque et on pose u n+1 = un si u n est pai et u n+1 = 3u n + 1 si u n est impai. Ces suites peuvent ête tès compliquées à étudie. Pa exemple, pou les suites de Syacuse, on conjectue () que pou tout choix de u 0, la suite passea pa 1 (c est-à-die qu il existe n avec u n = 1). Pa exemple, si u 0 = 4, alos la suite est (4,, 1, 4,, 1...). En evanche, si u 0 = 15, alos la suite est (15, 46, 3, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 0, 10, 5, 16, 8, 4,, 1, 4,, 1,...). Une écuence étendue : on se donne les p pemies temes, et on explique comment constuie u n+p à pati de u n, u n+1,..., u n+p 1. 1.1.1. Somme et poduit pa un scalaie. Définition 1.1.. Soit u et v deux éléments de S K et λ K. On définit : La suite u + v pa u + v = (u n + v n ) n N. La suite λ u pa λ u = (λu n ) n N Remaque 1.1.3. Ces opéations véifient un cetains nombes de popiétés. 1. Pou toutes suites u et v, on a u + v = v + u. On dit que la somme + est commutative.. Définissons la suite nulle 0 SK = (0, 0,..., 0,...). Pou toute suite u, on a u+0 SK = 0 SK +u = u. On dit que 0 SK est un élément neute pou l addition. De plus, la suite u = ( u n) n N véifie u + ( u) = ( u) + u = 0 SK. On dit qu elle est le symétique de u. 3. Enfin, pou toutes suites u, v, w, on a (u + v) + w = u + (v + w) : en effet, le n-ième teme de (u + v) + w est (u n + v n) + w n = u n + (v n + w n). Il est donc égal au n-ième teme de u + (v + w). Cette popiété s appelle l associativité. Les popiétés ci-dessus font de S K un goupe abélien. La multiplication pa un scalaie véifie aussi cetaines popiétés : 1. D abod, pou toute suite u, on a 1 u = (u n) n N = u.. Ensuite, pou tous scalaies λ 1 et λ et toute suite u, on a λ 1 (λ u) = λ 1 (λ u n) n N = (λ 1λ u n) n N = (λ 1λ ) u. 3. Enfin une popiété de double distibutivité : pou tous scalaies λ 1 et λ et toutes suites u et w, on a (λ 1 + λ ) (u + v) = λ 1 u + λ u + λ 1 v + λ v. En effet, le n-ième teme de (λ 1 + λ ) (u + v) est (λ 1 + λ )(u n + v n) = λ 1u n + λ u n + λ 1v n + λ v n. C est donc le même que le n-ième teme de la suite λ 1 u + λ u + λ 1 v + λ v. Ces popiétés font de l espace S K un espace vectoiel. Cette notion sea un fil ouge dans ce cous. C est-à-die on pense que c est vai, mais qu on ne sait pas le pouve. Pou ces suites, on l a véifié numéiquement pou tous les u 0 jusqu à au moins 10 18! Le lecteu poua alle voi la suite d aticles consacés à cette suite su le magnifique site Image des mathématiques : pemie aticle, deuxième aticle, toisième aticle.
1.. QUELQUES EXEMPLES 11 1.1.. Poduit de suites. On sait aussi multiplie les suites ente elles. On sot ici du cade des espaces vectoiels pou ente dans celui des K-algèbes. Définition 1.1.4. Soient u et v deux suites à valeus dans K. On définit leu poduit uv pa uv = (u n v n ) n N. 1.. Quelques exemples 1..1. Les suites aithmétiques. Définition 1..1. Une suite u = (u n ) n N est dite aithmétique de aison K si elle véifie la elation de écuence : On monte alos, pa écuence : u n+1 = u n +. Poposition 1... Soit (u n ) une suite aithmétique de aison. Son teme généal est u n = u 0 + n. La somme de temes consécutifs est donnée pa : n u k = (n p + 1) u p + u n. k=p Exemple 1..3. La suite définie pa u n = n est aithmétique de aison 1. La somme des n pemies enties est 1 +... + n = n(n+1). Une peuve géométique est aussi donnée en cous. 1... Les suites géométiques. Définition 1..4. Une suite u = (u n ) n N est dite géométique de aison q K si elle véifie la elation de écuence : u n+1 = qu n. Remaque 1..5. u est géométique de aison q si et seulement si T (u) = q u. On dit que les suites géométiques sont exactement les vecteus popes de l application linéaie T, et la aison q est la valeu pope associée. On monte alos, pa écuence : Poposition 1..6. Soit (u n ) une suite géométique de aison q. Son teme généal est u n = u 0 q n. Si q = 1, la somme de temes consécutifs est donnée pa : n 1 q n p+1 u k = u p. 1 q k=p
1 CHAPITRE 1. SUITES 1..3. Les suites aithmético-géométiques. Définition 1..7. Une suite u = (u n ) n N est dite aithmético-géométique de aisons, q K si elle véifie la elation de écuence : u n+1 = qu n +. Poposition 1..8. On suppose q = 1 (3). Le teme généal d une suite aithmético-géométique de aisons q et est : u n = q n u 0 + (qn 1) q 1. Démonstation. Modifions la suite u de manièe à touve une suite géométique : définissons la suite v pa v n = u n + q 1. Alos on a v n+1 = u n+1 + q 1 = qu n++ q 1 = qu n+ q q 1 = q u n + = qv n. q 1 Donc la suite (v n ) est géométique de aison q et v n = q n v 0 = q n (u 0 + On en déduit que u n = v n q 1 = qn u 0 + (qn 1) q 1. q 1 ). Exemple 1..9. Un bon exemple de suites aithmético-géométiques est donné pa les pêts bancaies. Imaginons qu on empunte 10 000 euos au taux annuel de 3% et qu on décide de embouse 100 euos pa mois. On veut savoi combien de mois on va mette à embouse le pêt. Notons u n la somme ("le capital") estant due à la banque apès n mois (u n = 0 si on a fini de embouse). On a u 0 = 10000. Pou calcule u n+1 en fonction de u n, la ègle est la suivante : les 100 euos de embousement sevent d abod à paye les intéêts du mois su la somme u n, puis à embouse le capital. Le taux mensuel d intéêt est 3/1 = 0, 5%. Pa exemple, pou le pemie embousement, on doit commence pa paye 0, 005 10000 = 5 euos d intéêts, et on embouse donc 75 euos de capital. Ainsi, u 1 = 10000 + 5 100 = 995. Plus généalement, on obtient la elation de écuence : u n+1 = u n + 0, 005u n 100 = 1, 005u n 100. La suite (u n) n N est donc aithmético-géométique, de aison q = 1, 005 et = 100, tant qu on n a pas fini de embouse. La poposition pécédente nous donne la fomule : u n = (1, 005) n u 0 100 1, 005n 1 1, 005 1 =(1, 005)n 10000 40000(1, 005 n 1) =40000 30000 1, 005 n. Le nombe de mois nécessaie au embousement est le plus petit entie n tel que 40000 30000 1, 005 n 0. Ce nombe est négatif pou n ln(4/3) 115, (execice!). Donc ln(1,005) le nombe de mois nécessaie au embousement est 116 (pesque 10 ans). 3. Sinon, la suite est aithmétique.
1.. QUELQUES EXEMPLES 13 On obseve que si on décide de embouse 00 euos pa mois ( = 00), la duée est 54 mois soit moins de la moitié. En evanche, si on ne embouse que 50 euos pa mois, alos la duée est 78 mois soit plus du double. Et on a un poblème si on ne veut embouse que 5 euos pa mois : chaque mois, ces 5 euos patent intégalement pou paye les intéêts et on ne embouse jamais le capital. 1..4. Récuences linéaies d ode. Définition 1..10. On dit qu une suite u = (u n ) n N véifie une écuence linéaie d ode s il existe a = 0, b et c = 0 dans K tels que pou tout n 0, on a : (RL) au n+ + bu n+1 + cu n = 0. Théoème 1..11. Soient a = 0, b et c = 0 dans K. Alos : 1. Pou tout couple (x, y) d éléments de K, il existe une unique suite u véifiant l équation (RL) et u 0 = x, u 1 = y.. Si u et v sont deux solutions et λ un scalaie, alos u + v et λ u sont des solutions. 3. Si u et v sont deux solutions avec u 0 v 1 u 1 v 0 = 0, alos toute solution w s écit de manièe unique comme combinaison linéaie de u et v : il existe deux uniques scalaies λ et µ tels que w = λ u + µ v. Un couple de solutions comme dans le toisième point est appelé une base de l espace des solutions. Remaque 1..1. On vea plus tad une vesion de cet énoncé dans le langage de l algèbe linéaie. Le deuxième point affime que l espace des solutions est un sous-espace vectoiel, le toisième qu il est de dimension. On econnaît dans la condition du toisième point le fait que les deux vecteus (u 0, u 1) et (v 0, v 1) de K sont libes. Démonstation. Le pemie point est intuitif : si on connaît les temes u 0 = x et u 1 = y, alos on peut défini de manièe unique u = bu 1+cu 0 a. On continue pa écuence : si les k pemies temes sont définis, alos le k + 1- ème teme est uniquement défini pa u k+1 = bu k+cu k 1 a. Pou le deuxième point, si u et v sont solutions et λ un scalaie, alos pou tout n 0, on a : a(u n+ + v n+ ) + b(u n+1 + v n+1 ) + c(u n + v n ) = au n+ + bu n+1 + cu n + av n+ + bv n+1 + cv n = 0 a(λu n+ ) + b(λu n+1 ) + c(λu n ) = λ(au n+ + bu n+1 + cu n ) Donc les suites u + v et λ u sont solutions. = 0
14 CHAPITRE 1. SUITES Pou le toisième point, commençons pa le cas u 0 = v 1 = 1 et u 1 = v 0 = 0. Ce couple véifie bien la condition donnée. Considéons maintenant une aute solution w. Pouvons nous écie w = λ u + µ v? Regadons l abod le teme 0 : comme u 0 = 1 et v 0 = 0, on doit avoi w 0 = λ. En egadant le teme d ode 1, on doit avoi w 1 = µ. Donc il y a une seule possibilité. Il este à voi qu elle convient. Considéons la suite w 0 u + w 1 v. D apès le deuxième point elle est solution de (RL). De plus ces deux pemies temes sont w 0 et w 1 pa constuction. Le pemie point donne donc l égalité w = λ u + µ v. Revenons maintenant au cas généal : soit (u, v) un couple de solutions véifiant u 0 v 1 u 1 v 0 = 0 et w une aute solution. Pou expime w comme combinaison linéaie de u et v, il faut touve λ et µ tels que : w0 = λu 0 + µv 0 w 1 = λu 1 + µv 1 Autement dit, λ et µ sont solutions d un système linéaie. La condition su u et v dit justement que ce système a une unique solution λ = v 1w 0 v 0 w 1 u 0 v 1 u 1 v 0 et µ = u 1w 0 u 0 w 1 u 1 v 0 u 0 v 1, comme vous l avez déjà vu au pemie semeste. On conclut comme dans le cas pécédent : pou ce choix, λ u + µ v est une solution de (RL), qui a les mêmes pemies temes que w. C est donc la suite w. En patique, la desciption de cet espace se discute suivant les acines d un polynôme : Poposition 1..13. On suppose ici a = 0, b et c = 0 éels. On note α et β les deux acines (dans C, éventuellement confondues) du polynôme ax + bx + c. Alos 1. Si les acines α et β sont éelles distinctes, une base de cet espace est composée des suites (α n ) n N et (β n ) n N.. Si les acines exp it = α = β sont non éelles distinctes, une base du R- espace vectoiel est composée des suites ( n cos(nt)) n N et ( n sin(nt)) n N. 3. Si les deux acines sont confondues, une base de cet espace est composée des suites (α n ) n N et (nα n ) n N. De plus, tout élément de cette espace est déteminé pa ses deux pemies temes u 0 et u 1. Exemple 1..14. Chechons la suite w véifiant la écuence w n+ 3w n+1 + w n et w 0 = 0, w 1 = 3. Le polynôme à considée est X 3X +. Ses deux acines sont 1 et, donc éelles et distinctes. On est dans le pemie cas de la poposition pécédente. Une base des solutions est donc composée de la suite u = (1, 1, 1,...) et de la suite v = ( n ) n N. Donc la suite w chechée s écit de manièe unique sous
1.. QUELQUES EXEMPLES 15 la fome w = λ u + µ v. Il nous este à détemine λ et µ. Regadons les conditions données pa les deux pemies temes. On doit avoi : w 0 = 0 = λ + µ et w 1 = 3 = λ + µ. On obtient donc µ = 3 et λ = 3. Autement dit, le teme généal de w est w n = 3u n + 3v n = 3 + 3 n. Démonstation. Il suffit de véifie que les deux suites poposées véifient bien l équation (RL), et que les deux couples des coodonnées (u 0, u 1 ) sont libes (c est-à-die qu ils véifient la condition donnée dans le toisième point ci-dessus). Pemie cas : On suppose que α = β sont éels. On note u = (α n ) et v = (β n ) les deux suites. Véifions d abod qu elles sont bien solutions. Pou n 0, on a : au n+ + bu n+1 + cu n = aα n+ + bα n+1 + cα n = α n (aα + bα + c = 0. égalité povient de ce que α est une acine. Donc u est bien solution. De même, v est solution. Il este à véifie la condition : u 0 v 1 u 1 v 0 = β α = 0. Le théoème pécédent nous dit bien que u et v foment une base de l espace des solutions. Deuxième cas : Notons à nouveau u = ( n cos(nt)) n N et v = ( n sin(nt)) n N. Remaquons que α n = n e int = n cos(nt) + i n sin(nt). Donc on a, pou tout n, u n = Re(α n ) et v n = Im(α n ). Comme dans le cas pécédent, on a, pou tout entie n, aα n+ + bα n+1 + cα n = 0. En penant la patie éelle et la patie imaginaie, on obtient que u et v sont solutions. De plus, on calcule u 0 v 1 u 1 v 0 = sin(t) = Im(α) = 0. Le théoème pécédent nous dit bien que u et v foment une base de l espace des solutions. Toisième cas : On suppose que α est acine double. Donc α est aussi acine du polynôme déivée et on obtient aα + b = 0. De plus, comme c = 0, 0 n est pas acine du polynôme et α = 0. Soient u = (α n ) n N et v = (nα n ) n N les deux suites. On a déjà vu, dans le pemie cas, que u est solution. De plus, v est aussi solution : av n+ + bv n+1 + cv n = α n (n(aα + bα + c) + aα + b) = 0. De plus, on calcule u 0 v 1 u 1 v 0 = α = 0. Le théoème pécédent nous dit bien que u et v foment une base de l espace des solutions.
16 CHAPITRE 1. SUITES 1.3. Suites bonées, convegentes 1.3.1. Suites bonés, majoées. On appelle que le module d un nombe complexe z = a+ib est z = a + b. Si z est éel (donc z = a), alos son module est sa valeu absolue. Le module véifie quelques popiétés utiles : on a a z et b z ; on a, si λ est éel, λz = λ z ; on a l inégalité tiangulaie : pou tous z = a + ib, z = a + ib complexes, z + z z + z. Définition 1.3.1. Une suite éelle ou complexe u n est dite bonée si M R, n N, u n M. Une suite éelle est majoée si M R, n N, u n M. Une suite éelle est minoée si m R, n N, u n m. Poposition 1.3.. Si u et v sont deux suites à valeus dans K bonées, et λ K, alos u + v est encoe bonées et λ u aussi. Remaque 1.3.3. Comme déjà mentionné, ces popiétés s expiment en disant que l espace des suites bonées est un sous-espace vectoiel de S K. Démonstation. Pouvons la pemièe assetion, les autes sont similaies : Soit u et v deux suites complexes bonées et λ C. Soit donc deux éels M et N tels que pou tout n, u n M et v n N. Considéons la suite u + v. Le module de son n-ième teme véifie, gâce à l inégalité tiangulaie : u n + v n u n + v n M + N. La suite u + v est donc bonée pa M + N. De même, la suite λ u est bonée pa λ M. De plus, une suite complexe est bonée si et seulement si sa patie imaginaie et sa patie éelle sont bonées : Poposition 1.3.4. Soit u = (u n ) n N une suite complexe, et notons a = (a n = Re(u n )) n N sa patie éelle et b = (b n = Im(u n )) n N sa patie imaginaie. Alos u est bonée si et seulement si a et b le sont. Démonstation. Supposons u bonée, et soit M R tel que pou tout n, u n M. Comme pou tout n on a a n u n M et b n u n M, les suites a et b sont bonées. Récipoquement, supposons a et b bonées. Alos il existe un éel M > 0 tel que pou tout n on a a n M et b n M. O, u n = a n + b n M + M M. Donc u est bonée.
1.3. SUITES BORNÉES, CONVERGENTES 17 1.3.. Suites monotones. Définition 1.3.5. Pou une suite éelle u, on dit que : u est coissante si pou tout n 0, u n+1 u n ; u est décoissante si pou tout n 0, u n+1 u n ; u est monotone si elle est coissante ou décoissante. On ajoute l adjectif stictement si les inégalités sont stictes. 1.3.3. Suites convegentes. Vous connaissez la définition : Définition 1.3.6. Une suite éelle ou complexe u est dite convegente si il existe un nombe éel ou complexe l tel que : ε > 0, N N, n N, u n l ε. Le nombe l = lim(u) est appelé la limite de la suite u. On dit aussi que u tend ves l, noté u n l. Quand une suite n est pas convegente ; on dit qu elle est divegente. En niant la définition pécédente, on voit qu une suite est divegente si pou tout l, il existe ε > 0 tel que pou tout N N, il existe n N tel que u n l > ε. Poposition 1.3.7. Soit u une suite complexe. Notons a = (a n = Re(u n )) n N et b = (b n = Im(u n )) n N. Alos u tend ves l = + is si et seulement si a tend ves et b tend ves s. Démonstation. Supposons que u n l et soit ε > 0. Utilisons la définition de u n l pou cet ε : il existe un entie N tel que pou tout n N, on a u n l ε. O on a déjà vu que a n u n l et b n s u n l. Donc, pou tout n N, a n ε et b n s ε. Ça monte que a et b convegent, ves et s espectivement. Récipoquement, supposons que a n et b n s. Soit ε > 0. ε Utilisons la définition de la convegence de a et b pou le éel : il existe N N tel que pou tout n N, on a a n ε et b n s ε. On en déduit, pou n N : u n ( + is) = (a n ) + (b n s) ε + ε ε Ça pouve bien que u tend ves l = + is.