Eercice (Calculer les inégrales suivanes)..... 5. 6. 7. 8. e d = e d = e ] = = 5. = e e. ( + )d = d = ln ( )] = ln ( ) ln ( ) = ln(). ue u du = e u = e. e e + d = ln ( e + ) e (e + ) d = u (ln u) du = ( e = ln (e + ) ln () = ln + e + (ln u) ] e e = e + + = ( ) = 7. Eercice.. d = 9 ( )/ + ce pour ; + /. d = + ce pour R. e/ + ln. ln d = ln + d = ln(ln ) + ln() + ce pour ]; +. + = + = 6. Eercice. La foncion ln éan coninue sur R + alors la foncion f es définie e dérivable sur ce inervalle. On peu même rajouer que f es C sur R +. Pour ou >, f () = ln() ce qui perme de dire que f es sricemen croissane sur ]; + e décroissane sur ];. f () =, ce qui perme de dire que f es convee sur R +. Eercice. La vene es bénéficiaire lorsque p() C() > c es à dire lorsque, 5 + > ou encore lorsque ];. + Le au moyen T m es alors donné par T m =, 5 d = +, 5 d + + 98 Or pour ; 8], = = +, 5 T m = + 98 d = 98 ln( )] = 98 ln (96) + 98 ln () 76, 7. Eercice 5. Soi f définie par f() = +. f es définie si e seulemen si + ou donc, d après les héorèmes générau sur la coninuié, f es coninue sur les inervalles ] ;, ]; e ]; + donc après des primiives sur chacun de ces inervalles.. On rouve, par la méhode d idenificaion, après avoir mis la forme de droie au même dénominaeur e développer ce dénominaeur α = e β= donc D f, f() = + (. f()d = + ) d = ln ( ) ln ( )]. On obien, en simplifian, en géran les valeurs absolues en foncion de l inervalle e en regroupan les logarihmes : f()d = ln () ln (). page ).
Eercice 6.. Pour n, e par inégraion par paries, après avoir vérifier les hypohèses du héorème,. I = e ln d = I n = lnn () ] e d = ] e n lnn ()d = e n I n = e, I = e I = e e = e + I = e I = e I = e I = e 8 e + 8 = e 8 + 8 Eercice 7. Il fau commencer par éudier le signe de la quanié qui es dans la valeur absolue car on ne sai pas rouver de primiive de foncions valeur absolue. C es un polynôme de degré donc on peu regarder s il possède une racine évidene. es une racine évidene donc on le facorise par, ce qui donne, par la méhode de vore choi, + = ( ) ( + + ), qui es du signe de car, pour + +, on a < e a >. Donc I = + d + Donc I = + Eercice 8.. Pour ou, Par idenificaion, on obien Ce qui donne a =, b = e c =.. (a) d ( + ) = + d = + + d + ] ( = 5 ( + )d + ) a + b + c + = (a + b) + c + a ( + ) d + a + b = c = a = ( 8 + + 5 ) =. = ln + ln( + ) = ln ln( ) + ln(5 ) ln = ln(5 ) (b) Les foncions + e ln son C sur ; ]. A l aide d une inégraion par paries : Eercice 9. On pose I n = ln d / ( + ) = + ln ln n d, pour n N. ( + )d d ( + ) = 5 ln() + ln(5 ) = ln () + ln (5). u = ln ainsi = e u soi d = e u du. De plus si = alors u = e si = e alors u =. De plus la foncion ln es de classe C sur ; e] e u u n e u es coninue sur ; ]. Ainsi I n = u n e u du page
. Pour ou n N, e pour u ; ], Par conservaion de l ordre u n e u u n e I n u n edu I n e n + un+ I n e n + Or lim n + = ainsi par encadremen n + lim I n =. n + Eercice.. Les foncions ln e son C sur ; e], une inégraion par paries donne ] e ln d = ln ] e ] d = ln e e d = = e +. Les foncions ln e son C sur ; e], une inégraion par paries donne ] ln e d = ln ( e ln d = ln d = e e + ) = e. Les foncions ln e son C sur ; e], deu inégraions par paries donnen = e + e d = e e e d = e ( e = e + e d = e + e d e + e d = e + e ) = 5 e. Les foncions e e + son C sur ; ], une inégraion par paries donnen = e + e ( + ) d = + e + + e d = e + + (e + e )d e d = e + e = e Eercice.. f es dérivable sur ; + d après les héorèmes générau sur la dérivabilié e, pour ou, on a : f ln( + ) () = ( + ) qui es du signe de ln( + ). Or, pour, on a, par croissance de la foncion logarihme, ln( + ) ln() > donc f () <. Donc f es sricemen décroissane sur ; +. De plus, par croissance comparée e par composiion de limies (on pose X = + pour se ramener au résulas de cours), on a f() =. lim + enfin, f() = ln(), 7.. Pour ou n N, l inégrale es bien définie car f es coninue sur n; n + ] e, comme f es décroissane alors n n + f(n) f() f(n + ). Comme les bornes son dans le bon sens, il suffi alors d appliquer l inégalié de la moyenne pour conclure. Il suffi alors d appliquer le héorème des gendarmes pour conclure, car les deu ermes qui encadren u n enden vers d après la quesion précédene, donc la suie (u n aussi.. F n ] n () = + ln( + ) donc I n = f()d = F() = ( ln(n + )] ln()] ).. Par linéarié, on a S n = I n donc, d après la quesion précédene, la suie (S n ) diverge vers +. page
Eercice.. Afin d éudier la monoonie des suies de ermes générau suivans, on éudie le signe de la différence enre les ermes de rang n + e n (méhode usuelle, donc). Dans ce cadre de suie définie par des inégrales, le ravail consise donc à regrouper les deu inégrales, soi par linéarié (les deu derniers eemples, lorsque n es un paramère de la foncion à inégrer), soi par Chasles (les deu premiers eemples, lorsque n es dans les bornes de l inégrale), puis à uiliser des résulas sur la posiivié de l inégrale. Soi n N. a n+ a n = n+ e d n e d = n+ e d + n e d = (bornes dans l ordre croissan) e car e > sur n; n + ]. La suie (a n ) es donc croissane. (n+) n (n+) b n+ b n = e d e d = e d+ e d = n (bornes dans l ordre décroissan) e car e > sur (n + ); n]. La suie (b n ) es donc décroissane. c n+ c n = e (n+) d e n d = n+ n (n+) n e (n+) e n d = e d, car n < n + e d, car n > (n+) ( ) e n e d car, comme e sur ; ], la foncion à inégrer es posiive sur ; ] e donc, les bornes éan dans l ordre croissan, l inégrale es égalemen posiive. La suie (c n ) es donc croissane. n+ n d n+ d n = d d = n+ n d = car les bornes son dans l ordre croissan e car n sur ; ]. La suie (d n ) es donc croissane. n ( ) = n d. Si n pair l inégrale es posiive e si n impair l inégrale es négaive, la suie ainsi définie n es pas monoone. Par inégalié riangulaire, () n d () n d = n d or n d =. La suie ainsi n + définie end vers en +. Eercice.. I = e d = e. On calcule I à l aide d un inégraion par paries. Les foncions! e e son C sur ; ]. I = ( )e ] e d = + (e ) = e. Pour ou ; ], ; ] ou encore ( ) n ; ] e e e, alors ( ) n e e. Par conservaion de l ordre, ( ) n e d ed = e Donc I n e. On en dédui que n! lim I n =. n +. Les foncions ( ) n e e son C sur ; ], une inégraion par paries donne (n + )! ( ) n+ e d = (n + )! ( )n+ e = (n + )! + n (n + )!. On uilise un raisonnemen par récurrence : Iniialisaion : I = e e k! = e. k= Hérédié. Supposons que pour n fié I n = e I n+ = I n (n + )( ) n e d = I n n k= k!. n (n + )! = e k= page n+ k! (n + )! = e (n + ) ( ) n e d (n + )! k= k!
Comme I n ends vers lorsque n end vers + alors e = lim n n + k= Eercice.. Si u = e, = ln u e du = u du. La foncion e es C sur ; ln ] e es coninue sur ; ]. Si = alors u = e si ( + ) = ln alors u =. ln d + e = du u( + u) = u + u du = ln u ln( + u) = ln ln. Si u = + e du = d. La foncion + es C sur ; ] e = alors u =. u = + alors = u. k! es coninue sur ; ]. Si = alors u = e si d ( + ) = (u )du u = u u du = u + ] u = 6. Si u = e du = d ou encore d = udu. La foncion es C sur ; ] e e es coninue sur ; ]. Si = alors u = e si = alors u =. e d = ue u du = ue u ] e u du = e e e u ] = e e e + e = e. Soi ε, A deu nombres sricemen posiifs. Si u = e du = d ou encore d = udu. La foncion es C sur ε; A] e ue u es coninue sur ε; A]. Si = ε alors u = ε e si = A alors u = A. A ε e d = A ε ue u du = ] u eu A ε A En passan à la limie, ε e A + On rouve que + ε eu du = Ae A + εe ε e A + e ε e d = 5. Soi A >, u = e + alors e = u e e du = e + d soi u u du = d. La foncion e + es C sur ; A] e es coninue sur ; e A + ]. Si = alors u = e si = A alors u = e A +. = A +e d A e + = u du +e A u u + du = ln(u ) ln(u + )+e A = ( )] +e u A ln u + Si A + alors X = + e A + ainsi On rouve que + ( ) d + e + = ln page 5
A ln d Eercice 5.. = / ln ] A I = lim A + / ln () = +. Les foncions ln ( n) n son C sur ; +, A ln d n = ln ( n) n ] A = ln A ( n)a n ( n) n A d = ln ( n)n ( n) n ] A ] A A ( n) n d = ln A ( n)a n ( n) A n + ( n) En passan à la limie lorsque A +, par croissance comparée on obien I n =. La foncion ln Par conservaion de l ordre. Pour ou N N, A l aide de la relaion de Chasles, es décroissane sur ]; +, ainsi pour ou ]k ; k, k k k N k= k d k k k N k= N On a vu que lim N + d = I =. Ainsi la série à erme posiifs es majorée, elle es donc convergene. Eercice 6.. Pour n N, car pour ; ]. J n+ J n = pour les mêmes raisons. I n+ I n = ] k k k k k k k k k N k= + k= k N k d k d d d d n+ n + d = ( n+ n ) ln( + )d = n ( ) d + (n ). n ( ) ln( + )d. Soi n N, on a n + n sur ; ] e on inègre ces inégaliés enre e, ce qui conserve l ordre (bornes dans l ordre croissan) e donne le résula. Ceci implique que la suie (I n ) end vers. page 6
. On monre que n N, J n = ln n + n + I n+ par inégraion par paries. J n = n ln( + n+ )d = n + ln( + ) ln d = n + + n + I n+. On dédui des deu quesions précédenes que (J n ) end vers e que (nj n ) end vers ln(). Eercice 7. On défini la foncion F : + d = n+ f()d.. + es coninue sur ] ; + elle adme donc des primiives, F es celle s annulan en.. F es posiive sur ] ; ] (f négaive e bornes inversées) e posiive sur ; + (f posiive e bornes bien ordonnées). F es de classe C sur ] ; + e F = f donc F décroissane sur ] ; + e croissane sur ; +. Comme F() =, on rerouve les résulas sur le signe de F().. On a, + =. On a pour ou F() = + d + d + d + + d = + d + ( ) qui diverge vers + lorsque end vers +. Donc F() aussi, par comparaison de limies. + L inégrale d es donc divergene. + 5. F () = f () = d infleion). + ( + ) > sur ] ; + donc F es convee sur ce ensemble (pas de poin + 6. On adme que F es prolongeable par coninuié en e F() =. Calculer la limie de F en es celle de f en e es infinie. Donc le prolongemen ainsi obenu n es pas C e il y a graphiquemen une demie angene vericale en =..5..5..5.5..5. 7..5 8. (a) Méhode : A l aide d une inégraion par paries (u () = + = F() = + ( + ) + e v() = F () = + ] = + ( + ) +. (b) Le changemen de variable bien choisi es u = + e on se ser de u u = u u u = u u. (c) Méhode : On en dédui que F() = >. u ] + u = ( + ) + +. pour ou page 7
Pour consaer que les deu epressions son égales, rempalcer le devan la racine par ( + ) dans la première epression, développer e arranger. page 8