Signatue Nom : Pénom : Note : Duée de l'épeuve : 2h éponde diectement su le sujet. Homis cette copie-sujet, aucun aute document ne sea endu Tous les ésultats seont justifiés Aucun document autoisé - SMATPHONES et GSM intedits - Calculatices intedites I- PEMIEE PATIE Le savoi-faie en mécanique, éponde aux questions suivantes En dynamique, dans le cas d une echeche patielle des inconnues, énumée les choix offets pa l application du pincipe fondamental de la dynamique pou obteni le système d équations limité aux inconnues echechées? a : { } { E E} D ge b : c : d : Enumée les difféents cas d une liaison ponctuelle pafaite pa contact diect. 1/11 M. Meye, D. Sauhet
II- DEUXIEME PATIE On se popose d étudie le mouvement du dispositif expéimental epésenté ci-dessous ainsi que la condition du maintien du contact ponctuel ente les solides (S 2 ) et (S 3 ). g y 1 S 3 z y z 0 3 2 S 2 Accouplement Elastique (AE 12 ) S 1 G 3 S 0 I A 012 y 2 x 0123 y 0 1. Modèle dynamique textuel et le schéma cinématique associé 1.1. Géométie et masse Le système est composé de : - un actionneu (Ac 01 ) qui impime à son abe de sotie (S 1 ) un mouvement oscillatoie pa appot à son stato solide (S 0 ) défini sous la fome θ θ M sin( ω t) - un accouplement élastique (AE 12 ), situé ente les solides (S 1 ) et (S 2 ), de masse négligeable et de loi de compotement linéaie de coefficient de aideu à la tosion k T dont les éléments de éduction du toseu des actions de contact du solide (S 1 ) su le solide (S 2 ) sont : 0 { S1 S2} k ( ) _ T α θ x0 sachant qu à l instant initial tous les paamètes sont nuls. - quate solides indéfomables : (S 0 ), (S 1 ), (S 2 ) et (S 3 ) : - (S 0 ) le bâti, stato de l actionneu (Ac 01 ), - (S 1 ) l abe de sotie de l actionneu (Ac 01 ), - (S 2 ) de cente d inetie G 2 confondu avec le point A 012 et de masse m 2, - (S 3 ) un solide de évolution, de ayon, de cente d inetie G 3 et de masse m 3, 2/11 M. Meye, D. Sauhet
- tois liaisons indéfomables : (S S 0 1 ) : pivot (non epésentée su le schéma cinématique) (S 0 S 2 ): pivot (S 2 S 3 ): ponctuelle 1.2. Effots Les liaisons pivot sont supposées pafaites, contaiement à la liaison ponctuelle pou laquelle on tient compte du fottement de glissement pa l intemédiaie du modèle de Coulomb. L étude est appotée à un poblème plan dans ( A012, y0, z0 ) Le système évolue dans le champ de la pesanteu défini pa la veticale ascendante du lieu z 0. 1.3. epèe galiléen Dans le domaine de l étude, le epèe lié au bâti (S 0 ) est supposé galiléen. 2. Constuie un modèle géométique vectoiel 2.1. Modélise les liaisons - tace le gaphe des liaisons S 0 S 1 S 3 S 2 2.2. Modélise les solides igides 0 0 [ ;( x, y, z )] 1 1 [ ;( x, y, z )] 2 2 [ ;( x, y, z )] 3 3 [ ;( x, y, z )] 3/11 M. Meye, D. Sauhet
2.3. Paaméte les epèes liés - exploite un gaphe minimum intebases (pou mémoie) θ α b 1 b 0 b 2 β b 3 z 0 (0; 1) z 0 (0; 2) z 0 (0; 3) z 1 z 2 z 3 y 1 y 2 y 3 θ α β x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0 - exploite un gaphe minimum intepoints A G 3 AG 3 2.4. echeche les équations de liaison - exploite les liaisons non encoe pises en compte pa leu modèle vectoiel Conséquence de la liaison ponctuelle (S 2 S 3 ) - exploite les conditions géométiques non encoe pises en compte de cetaines liaisons - exploite les lois de compotement impimées pa les actionneus 2.5. Défini les paamètes indépendants o Nombe de paamètes indépendants : Nombe o Défini les paamètes indépendants : 4/11 M. Meye, D. Sauhet
3. Fomalise les lois de compotement en fonction du modèle géométique - l accouplement élastique (AE 12 ) - la vitesse de glissement du solide (S 3 ) pa appot au solide (S 2 ) au point de contact I G 23 ( I ) - la coodonnée somme du toseu des actions du solide (S 2 ) su le solide (S 3 ) s { S 2 S } 3 - la condition d existence de la liaison ponctuelle - les lois de Coulomb - Cas du oulement sans glissement o Condition d existence : o Equation : - Cas du glissement o Condition d existence : o Equation : - les composantes nulles des inteeffots de liaison - le toseu délivé pa l actionneu(ac 01 ), non echeché dans l étude poposée { AC } 01 S 1 - le champ de la pesanteu 5/11 M. Meye, D. Sauhet
4. ecense les inconnues de l'étude - les paamètes indépendants : - les composantes d effots qui inteviennent dans les lois de compotement : - les composantes d effots inconnues de l étude : 5. Ecie les équations de dynamique 5.1. Y a-t-il une chaîne femée? 5.2. Défini le gaphe des paticulaités S 0 S 1 S 3 S 2 5.3. Ecie les conséquences scalaies des théoèmes généaux avec E avec E avec E avec E 6/11 M. Meye, D. Sauhet
5.4. Calcule les composantes des effots 5.5. Calcule les composantes de cinétique - Calcule la somme dynamique du solide (S 3 ) dans son mouvement pa appot à (S 0 ) s { D 0,3 } 7/11 M. Meye, D. Sauhet
- Calcule le moment dynamique au point A des solides (S 2 ) et (S 3 ) dans leu mouvement pa appot à (S 0 ) δ 0,2 3 ( A ) - Calcule le moment dynamique au point I du solide (S 3 ) dans son mouvement pa appot à (S 0 ) ( ) I δ 0,3 8/11 M. Meye, D. Sauhet
III- TOISIEME PATIE Etude, sous SIMULINK, du mouvement d un système masse-essot-amotisseu sollicité pa un déplacement d(t) du suppot. Déplacement d(t) Amotisseu (b) essot (k) Masse (m) Déplacement x Constuie, page suivante, le modèle qui pemet de ésoude l équation de mouvement de ce système : m & x + bx& + kx k d( t) + b d& ( t) où x epésente le déplacement de la masse m pa appot à sa position d équilibe. Données : - m 20 kg : masse du système, - k 17,5 kn/m : constante de aideu du essot, - b 240 N.s/m : constante de viscosité de l amotisseu, - d(t) 50 sin(10t) mm : déplacement imposé du suppot Conditions initiales à t 0 : - x(t 0) x 0 0, - x (t 0) x 0 0. Pésentation des ésultats : On souhaite connaîte le déplacement x sous fome : - d une coube x x(t), - d une matice x x(t). Modèle SIMULINK : 9/11 M. Meye, D. Sauhet
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