Pge sur Les Inégrles impropres Les Inégrles Impropres 4 / 5 ) Voculire : L noion d'inégrle générlisée On essye ici d'éendre l'inégrion sur un segmen ( on prle lors d'une "inégrle propre" ) à l'inégrion sur un inervlle qui n'es ps un segmen ( on prle lors d'une "inégrle impropre" ou "générlisée" ) Cel ser possile pour cerines foncions ( on prler lors d'une "inégrle impropre convergene" ), e impossile pour d'ures ( on prler lors d'une "inégrle impropre divergene" ) Voici une première définiion : Définiion Inégrle impropre d'une foncion coninue Soi une foncion f : J, définie e, définie e coninue sur un inervlle J [, [ + On veu donner un sens à l'inégrle générlisée : f ()d On di que cee inégrle impropre converge ( ou encore qu'elle eise ) lorsque l foncion F() f ()d ( définie sur J ) possède une limie finie L qund + Si c'es le cs, le réel L représene l vleur de l'inégrle impropre! E on écri lors : Si l foncion F n' ps de limie finie qund +,, on di lors que l'inégrle L f ()d f ()d diverge! Voici si premiers eemples : Eemple n Soi l foncion f () L'inégrle + f ()d converge--elle? On : IR * +, Ceci prouve que : f ()d Arc n, e donc : L'inégrle Inerpréion géomérique : Le domine illimié siué enre le grphe de f e l'e des scisses, pour décrivn [, + [, possède une ire finie, qui vu f ()d f ()d converge, e on :! f ()d Eemple n Soi l foncion f () + L'inégrle f ()d converge--elle? On : IR * +, f ()d ln(+ ) +, e donc : L'inégrle f ()d diverge! Eemple n 3 Soi l foncion f () L'inégrle (ln ) f ()d converge--elle? On : IR * +, f ()d Donc : ln ln ln ln f ()d converge e vu ln
Pge sur Les Inégrles impropres 4 / 5 Eemple n 4 Soi l foncion f () L'inégrle (ln ) f ()d converge--elle? On : IR * +, ( ) f ()d ln ln + Biln : f ()d diverge + 3 Eemple n 5 Soi l foncion f () Prouver l'eisence e clculer l vleur de l'inégrle f ()d Prouvons d'ord l'eisence de cee inégrle, sns en chercher l vleur! ( rédcion méliorle, voir plus loin ) L foncion F() f ()d es croissne sur IR + ( puisque l foncion f es posiive sur IR + ) Prouvons lors que F es mjorée sur IR +! On oserve d'ord que : On en dédui que :, F() F() + f () d F() + + d F() + Arc n 4 On donc :, F() F() + Cse Ceci prouve que l foncion F es mjorée! Or elle es croissne! Donc lim F() Clculons minenn s vleur,, fçon clculs rpides donc clculs à refire sylo en min! On décompose l frcion en élémens simples! On si que : 3 ( + X + X X + X Une décomposiion en élémens simples es donc du ype : Pr idenificion près regroupemen u même dénomineur, on rouver : ( λ,, ) 3 3 3 On insi : d ( + 3 d ) d + 3 3 On fi lors pprire l qunié +, + ce qui v donner : d 3 3 ( d ) + 6 d + d + + + + ( ) + 4 On oserve insi que : ( ) 4 3 eise, ce qui veu dire que : F() + ( + ), e on donc : λ + X + + X 3 + X X X + f ()d converge! ( + ) + 3 6 + 3 3 Avec d d, on ur : F() d ln + Arc n 3 6 f ()d eise, e vu + 3 +, f () ( ) ( )( ) 3 3 Eemple n 6 Prouvons que l'inégrle sur [ [, + de l foncion f () cos es divergene! En effe, on : IR * +, F() f ()d sin, qui es sns limie finie lorsque +! Ceci prouve que: L'inégrle de l foncion f sur IR + n'es ps convergene, ie n'eise ps! Inerpréion : Ici, les ires ( lgériques ) des rches son lernivemen posiives e négives Cee fois, le domine ssocié ( hchuré ci-dessous ) ne possède ps une "ire limie" :
Pge 3 sur Les Inégrles impropres 4 / 5 Qund on veu éudier l'eisence d'une inégrle impropre sur un inervlle [, [, on pose ce prolème en écrivn le symole f ()d don on ignore u dépr l'eisence! Cee inégrle n'eiser ( e ur lors une vleur ) que si il y convergence! Déerminer l nure d'une inégrle impropre, c'es déerminer si elle es convergene ou divergene! Ce voculire se générlise à d'ures siuions! Ainsi : Définiion Inégrle impropre d'une foncion coninue Si f : ], ] es une foncion définie e coninue sur ], ] on di que f ()d converge lorsque, f ()d possède une limie finie lorsque Si f : [, [ es une foncion définie e coninue sur un inervlle [, [ de IR, on di que f ()d converge lorsque f ()d possède une limie finie lorsque Si f : ], ] es une foncion définie e coninue sur un inervlle ], ] de IR, on di que f ()d converge lorsque f ()d possède une limie finie lorsque Voici deu nouveu eemples : Eemple n 7 Quelle es l nure de l'inégrle impropre d? L foncion On : [, [, f () es définie e coninue sur [ [ On peu insi conclure : L'inégrle f ()d Arcsin, e donc :, + f ()d f ()d converge, e on : f ()d Eemple n 8 Quelle es l nure de l'inégrle impropre / (n )d? L foncion f () n es définie e coninue sur Or on :,, Ceci prouve que : L'inégrle, f ()d ln cos ln cos, e donc : / (n )d diverge! + / f ()d
Pge 4 sur Les Inégrles impropres 4 / 5 ) Les inégrles doulemen générlisées Prfois, une inégrle es impropre u deu ornes! On lors les définiions suivnes : Définiion Inégrle doulemen générlisée sur IR Si f : IR es une foncion définie e coninue sur IR, on di que f ()d es convergene si e seulemen si, en fin un réel ririre c, chcune des deu inégrles L f ()d e Si el es le cs, l'inégrle générlisée Définiion Si IR c L c f ()d es convergene! f () d lors pour vleur : L + L On de même les définiions suivnes : Inégrle doulemen générlisée, e si f : ], + [ es une foncion définie e coninue sur ] [, +, on di que f ()d es convergene si, en se fin un réel c >, chcune des c deu inégrles L f ()d e L f ()d es convergene! c Si el es le cs, l vleur de l'inégrle impropre f ()d ser : L + L Définiion nlogue pour une inégrle impropre sur un inervlle du ype ], [ Si IR, e si f : ], [ es une foncion définie e coninue sur ], [, on di que es convergene si, en se fin c ], [ f ()d chcune des deu inégrles L c f ()d e Si el es le cs, l vleur de l'inégrle impropre L c, f ()d es convergene! f ()d ser : L + L L'éude d'une inégrle "doulemen" impropre doi donc oujours se fire en deu emps! Remrque : Le choi du "poin de coupure" c es ririre! Tou ure choi de ce réel ne modifie ni l nure de l'inégrle éudiée, ni s vleur ( L + L ) en cs de convergence! Eemple n 9 Si f es l foncion f () ( + ), l'inégrle I f ()d eise-elle? L foncion f es définie coninue sur ], + [, l'inégrle I es donc doulemen générlisée! u, f ()d uf (u )du du ( Arcn 4 ) On : IR * + On donc : u u ( + u ) f ()d, e donc : L'inégrle I + On de même : f ()d ( Arc n ), e donc : I 4 Avec ces deu convergences prouvées séprémen, on : e s vleur es donc : I + I, c'es-à-dire que I vu : f ()d converge ( e vu I f ()d converge, + f ()d converge ( e vu ) )
Pge 5 sur Les Inégrles impropres 4 / 5 Eemple n Si f es l foncion f () ( ), l'inégrle f ()d eise-elle? Ici f es définie coninue sur ], [, e non ornée en chcune des deu erémiés de ce inervlle Ainsi, l'inégrle On : IR * + f ()d es doulemen générlisée!, u f ()d uf (u )du du ( Arcsin ) 6 / 4 u / / u u Donc on : ( ), ce qui prouve que : 6 / 4 f ()d / 4 De même : f () d ( Arcsin ), e donc : 6 3 Avec ces deu convergences prouvées séprémen, on : / 4 / 4 f ()d f ()d f ()d converge, e vu : converge ( e vu converge ( e vu 3 3 + ) 3 3 ) Remrque : Dès que l'une des deu inégrles L ou L diverge peu impore l'ure f ()d diverge!! Eemple n De quelle nure es l'inégrle d? + Médiez ceci : Un risonnemen pourri, e une conclusion fusse : Voici le risonnemen e l rédcion correce : Puisque l foncion es impire, + On oserve que : on :, d ln( + ), RI, - + d ln( + ) + + + - e donc on ussi : Conclusion : - +, d + - + d converge e vu + Donc : L'inégrle d diverge! + ( elle n' ucune vleur puisqu'elle "n'eise ps!" ) 3) Propriéés générles ) On peu chnger d'inervlle d'inégrion, sous réserve de coninuié sur le segmen mnqun! Plus précisémen : Chngemen de poin de coupure Soi f : J une foncion définie e coninue sur un inervlle J [, [ ( ou J [, [ f ()d ) f ()d c son ecemen de même nure! Alors, pour ou c J, les inégrles e ( cel signifie qu'elles son simulnémen convergenes, ou lors simulnémen divergenes! ) c De plus, en cs de convergence, on : f ()d f ()d + f ()d ( relion de CHASLES ) c En effe : Le réel c K f ()d es prfiemen défini, c'es une consne, e on : [ c, [, F() K + G(), si on pose Ainsi : F() possède une limie finie qund F() f ()d e G() f ()d si e seulemen si G() en possède une ussi! c
Pge 6 sur Les Inégrles impropres 4 / 5 ) Inégrles "fussemen générlisées" Soi f : [, [ une foncion définie e coninue sur un inervlle [, [ de IR Supposons que f possède une limie finie l lorsque On peu lors prolonger f en une foncion coninue sur le segmen [ ] L'inégrle, en posn : f () l f ()d eise minenn en n "qu'inégrle propre" ( c'es-à-dire inégrle de RIEMANN ) Pr coninuié d'une inégrle propre foncion de s orne d'en hu, on ur : C'es-à-dire que l'inégrle "fussemen générlisée" f ()d f ()d f ()d es ien sûr convergene! Ainsi : Toue inégrle propre peu êre considérée comme une inégrle impropre convergene! c) Signe d'une inégrle convergene On : Soi f : J Srice posiivié d'une inégrle convergene IR une foncion définie e coninue sur un inervlle J, vec : J, f () On suppose que son inégrle générlisée I(f ) f ()d es convergene On lors : I(f ) Si de plus l foncion f es non oujours nulle sur J, lors on peu ffirmer que : I(f ) > J Bien oserver que pour conclure à une "srice posiivié", il fu que l foncion f sisfsse 3 hypohèses sur J : êre coninue, posiive, e non oujours nulle! d) Somme d'inégrles convergenes Linérié sous hypohèse de convergence Si f : J e g : J son des foncions définies e coninues sur un inervlle J Si leurs inégrles générlisées f ()d e J g()d son convergenes, e si λ es donné dns, J lors les inégrle générlisées ( f () + g() ) d e ( ) J λf () d son elles ussi convergenes J On lors : ( f () + g() ) d f () d + g() d, insi que : ( λ f ()) d λ f ()d J J J J J On donc : ( f () + g() ) d f ()d g()d + SI CES DEUX DERNIERES INTEGRALES CONVERGENT! Aenion à ne jmis "csser" rulemen une inégrle qui converge cr les "déris" pourrien diverger! À ce propos, médiez donc l'horreur mhémique que voici : L'inégrle d converge, e vu + Mis écrire ceci : d d + d + + +! Or on : + + + + es monsrueu! cr les inégrles écries u nd memre divergen, e donc n'on ps de sens! Si f ()d converge, e si Une conséquence du héorème de linérié : diverge, lors l'inégrle ( f () + ) g()d g() d diverge!
Pge 7 sur Les Inégrles impropres 4 / 5 4) Les inégrles de référence L'inégrle (ln )d converge Soi IR donné L'inégrle Soi α IR donné L'inégrle Soi α IR donné L'inégrle Inégrles de référence e d converge si e seulemen si > d α converge si e seulemen si α > α d converge si e seulemen si α < On : IR * + Donc :, [ ] Prouvons ou cel poin pr poin : H() (ln )d ln ln + H(), cr lim( ln ) Conclusion : (ln )d converge, e s vleur es Si, on : Si, on : e d d, donc e d, e il y divergence! si > e d e e, d'où l conclusion! + si < Conclusion : L'inégrle Si on pose : F() IR * +, α Conclusion : L'inégrle Cee fois, on : IR * +, e d converge si e seulemen si > S vleur es lors d, lors on : d'où l conclusion : L'inégrle ln si α F(), e donc : ( ) si α α α d α F() α + converge si e seulemen si α > S vleur es lors d α + α si F() ɶ α <, + si α α d converge si e seulemen si α < si α > si α Remrque : Dns les inégrles (ln )d, d, α d, l orne éé choisie pour fier les idées! α Ces résuls resen vries vec oue ure orne sricemen posiive! À reenir : α (ln )d converge e d converge ( > ) α > α < d converge ( α ) d converge ( α )
Pge 8 sur Les Inégrles impropres 4 / 5 5) Le héorème de chngemen de vrile Chngemen de vrile dns une inégrle impropre Soi f : J définie e coninue sur un inervlle J Soi ϕ : I J une pplicion ijecive d'un inervlle I sur J, de clsse C e sricemen monoone sur I Alors les inégrles f ()d e ( ) J f ϕ () ϕ () d son de même nure, I e de même vleur en cs de convergence! Rppelons que dns l noion f ()d, on sous-enend une inégrle écrie vec des ornes "dns le on ordre"! J L présence d'une vleur solue dns ce héorème s'eplique lors! Il suffi de regrder de plus près ce qui se psse selon que ϕ es croissne ou décroissne : Si ϕ es sricemen croissne sur I ] α, β [, lors on : ] ( ), ( ) [ D'où l relion : : ( ) ( ) β J ϕ α ϕ β, insi que ϕ () ϕ () ϕ( β) f ϕ() ϕ () d f ϕ() ϕ ()d f ()d) f ()d I α ϕ( α) J Si ϕ es sricemen décroissne sur I ] α, β [, lors on : ] ( ), ( ) [ E cee fois : ( ) ( )[ ] β ϕ ( β ) ϕ ( α ) J ϕ β ϕ α, e : ϕ () ϕ () f ϕ() ϕ () d f ϕ() ϕ () d f ()d) f ()d) f ()d I α ϕ( α) ϕ( β) J Eemple n Soien e deu réels vec < Eminons lors l'inégrle générlisée : Pour ], ], on Le chngemen de vrile + sricemen monoone e de clsse Ainsi : d ( ) λ d ( ) λ >, e donc l foncion à inégrer es ien définie coninue sur ], ] es ijecif de ], ] sur ], ], C sur ], ] es de même nure que Avec u u, on prouver de même que : d λ, e donc converge si e seulemen si λ <! d ( ) µ α < ( ) converge du µ u converge ( µ < ) d d On reiendr que : converge ( α ) e converge ( α ) α < ( ) Eemple n 3 Éudions l'inégrle d Arccos! L foncion es définie coninue sur [, [ ( vec Arccos Le chngemen de vrile u cosu es une ijecion de e de clsse C sur,, qui rnsforme l'inégrle d Arccos Ces deu inégrles son donc de même nure! Or ici sin u u Arc cos, sur [ [ + ),, sricemen décroissne / en l'inégrle u ( sin u du) du es une inégrle propre, donc convergene! On conclu insi : d Arccos converge
Pge 9 sur Les Inégrles impropres 4 / 5 Oservez ien ce qui vien de se psser dns ce eercice : Prfois, un chngemen de vrile rnsforme une inégrle impropre en une inégrle propre! Dns ce cs, l'inégrle impropre es de même nure que l'inégrle propre, c'es-à-dire convergene!! Voici deu ures eemples de phénomène, à vérifier vous-même, sylo en min : d d L'inégrle impropre devien l'inégrle propre K près le chngemen + 3 + 3 de vrile ( pplicion ijecive sricemen décroissne de clsse d On en dédui que l'inégrle es convergene, e qu'elle vu K + 3 d L'inégrle impropre devien l'inégrle propre (+ ) C de ], ] sur [, [ ) / (cos ) d près le chngemen de vrile n ( pplicion ijecive sricemen décroissne de clsse C de / 4 d Elle es donc convergene, e s vleur es : (cos ) d (+ ) Inversemen, l'inégrle propre si on pose : d + cos d devien l'inégrle impropre + 3 + n Tiens u fi Profiez-en pour clculer cee inégrle 6) Foncions posiives : Les 3 Crières de Convergence, sur [ [ d + cos! ) Principe fondmenl de risonnemen qund on inègre une foncion réelle posiive : lors l foncion Si l foncion f es réelle posiive ( respecivemen négive ) sur [, [, F: f ()d es monoone croissne (respecivemen décroissne ) sur [ [ Donc, d'près le héorème des limies monoones, on peu ffirmer l'équivlence suivne : L'inégrle f ()d converge si e seulemen si ( F une limie finie qund ),! ) si e seulemen si ( l foncion F es mjorée (respecivemen minorée ) sur [ [ À prir de ces oservions, il vien : Principe fondmenl de l'inégrion des foncions posiives Soi f : J IR définie e coninue sur un inervlle J [, [, e elle que : J, f () Alors : l'inégrle ( De même, si J ], ] f ()d converge si e seulemen si l foncion, ),! F() f () d es mjorée sur J, l'inégrle f () d converge si e seulemen si f () d es mjorée sur J ) Remrque : C'es ecemen insi qu'on risonné dns l rédcion de l'eemple n 5 précéden! Mis ç uri pu êre ien plus rpide à rédiger ( voir l rédcion pge ) Remrque imporne : Puisque l foncion on peu ffirmer à coup sûr que si l'inégrle F() f ()d es croissne sur J qund f es posiive sur J, f ()d diverge, c'es qu'on : F() + qund
Pge sur Les Inégrles impropres 4 / 5 ) Le Crière de comprison pr mjorion : Soien f : J IR e g : J IR des foncions définies e coninues sur un inervlle On suppose que : J, f () g() Si l'inégrle De plus, on lors : Si l'inégrle g()d converge, lors il en es de même pour l'inégrle de comprison pr mjorion des foncions définies e coninues sur un inervlle J [, [ f ()d g()d f ()d diverge, lors il en es de même pour g()d f ()d Si J, f () g(), lors : Auremen di : CV CV e g f DV DV f g Preuve : On pose F() Si l'inégrle f ()d e G() g()d converge, lors l foncion G es mjorée d'près le héorème précéden! Donc l foncion F l'es ussi foriori! Pr ce même héorème, l'inégrle f ()d converge donc! L deuième ffirmion du héorème es une répéiion "en conrposée" de l première ffirmion! Remrque : Il es fcile d'inerpréer géomériquemen ce héorème de comprison : Toue "sous prie" d'un domine d'ire finie, es elle même d'ire finie Bien reenir que c'es un héorème à "3 pes" : ) Posiivié, ) Mjorion, 3) Convergence de l mjorne! Pour ces hypohèses, on ne compre que les foncions, e les inégrles n'pprissen qu'à l conclusion! d Nouvelle ( e meilleure ) rédcion de l'eemple n 5, à svoir l convergence de l'inégrle : 3 d On oserve que :, f () h() Or 3 converge ( 3 ) ( inégrle de référence ) () + + ( ) g() d pour J On donc : J, F() G() Avec ( ) e ( ) e ( 3 ) e le héorème de comprison pr mjorion, on dédui que : 3 Puisque f es coninue sur [ ] Remrque imporne : On peu ffilir les hypohèses du héorème ci-dessus, en supposn que l relion f () g() n'es vérifiée que pour u voisinge de d +,, on conclu que l'inégrle 3 En effe, si f () g() n' lieu que pour [ c, [, on éudier l nure des inégrles sur [ [ Puisque les foncions f e g son coninues sur le segmen mnqun [, c ], les inégrles de f e de g sur [, [ son de même nure que celles sur [ c, [! d + + converge ussi! converge c,
Pge sur Les Inégrles impropres 4 / 5 L foncion Eemple n 4 L'inégrle ep( es définie coninue sur [ [ ) On en effe :, +,, + e d converge! ep( ) ep( ) g(), e on si que : Du héorème de comprison pr mjorion, on dédui que : e pr coninuié sur le segmen [, ], on finlemen : L foncion On oserve que : Eemple n 5 Prouvons que l'inégrle 3 e es définie e coninue sur [ [ 3 3 / /, + 3 / ep( )d, e ( e )e vec ( e ) 3 / e d converge 3 e d converge! g()d convergene ( héorème des croissnces comprées ) Donc, on : A IR, A, e Ainsi on l mjorion : A, On si que l'inégrle g()d converge ( 3 ) ( inégrle de référence ) A Le héorème de comprison s'pplique, e insi : ( ) & ( ) & ( 3 ) Enfin, l foncion 3 e es coninue sur [ ], A, donc l'inégrle c) Le Crière de comprison pr dominion locle Soien f : J IR e g : J IR 3 / e e g() () ( ) 3 converge! A e d Comprison pr dominion locle 3 e d converge ussi! des foncions définies e coninues sur un inervlle J [, [ On suppose que : ) f () e g() son posiives u voisinge à guche de, Alors : Si l'inégrle Si l'inégrle ) f () ( g() ) Démonsrion du héorème ci-dessus : O g()d converge, l'inégrle f ()d diverge, l'inégrle On si d'ord qu'il eise un voisinge V [ c, [ Puisque : f () ( g() ) f ()d converge ussi! g()d diverge ussi! el que : V, f () e g() O, on si ( pr définiion de cee dominion locle ), qu'il eise ussi un voisinge V [ c, [ C'es un inervlle qui s'écri V [ c, [ Posons V V V Si pr hypohèse l'inégrle, insi qu'un réel posiif K, els que : V, f () K g() sur lequel on : V, f () Kg() g()d es convergene, il en es de même de l'inégrle Donc, d'près le crière de comprison pr mjorion, l'inégrle Enfin, pr coninuié sur le segmen mnqun [, c ], on conclu que f ()d c es convergene! f ()d converge! Kg()d c!
Pge sur Les Inégrles impropres 4 / 5 Remrque : On rppelle que : f () o ( g() ) f () ( g() ) O Donc dns le héorème ci-dessus : On peu remplcer l'hypohèse en "grnd O", pr celle en "pei o" L foncion Eemple n 5 is On oserve que : 3 e es définie e coninue sur I R + 3 3 / / On donc : 3 e ( e / ) Aure rédcion pour prouver que l'inégrle 3 / 3 e d converge! e ( e )e vec ( e ) ( héorème des croissnces comprées ) o Or on si que / e d converge ( série de référence ), donc le héorème de comprison pr dominion locle perme de conclure : L foncion On si que : Eemple n 6 Prouvons que l'inégrle 3 e d converge ussi! ln d converge! ln es ien définie (!), e coninue, sur l'inervlle ], ] (ln ) ( héorème des croissnces comprées ), e donc ussi : On donc : ln ( ) o Or on si que d converge ( série de référence ), donc le héorème de comprison pr dominion locle perme de conclure : ln ln d converge ussi! pour comprer une inégrle Ce crière es principlemen uilisé Il s'gi donc de svoir si on : f () ( α ) f ()d vec une inégrle ype d α O ou si on : ( f () ) α O Si on : Si on : α α E pour le svoir, il convien donc d'eminer le produi f (), on ur : f () ( ) α f () Cee siuion permer de conclure si on α >! Cr lors α f () o, e donc ussi : ( f () ) α!! O f ()d ser convergene! +, on pourr écrire que : o ( f ()), e donc ussi que ( f ()) α Cee siuion permer de conclure si on α! Cr lors α f ()d ser divergene! A ce suje, les deu eemples qui suiven doiven êre rvillés de près! O
Pge 3 sur Les Inégrles impropres 4 / 5 Eemple n 7 On commence pr oserver que :, Prouvons que l'inégrle (ln ) ( ln ) (ln ) 3/ / 4 5/ 4 (ln ) Rédcion n : Uilision du crière de comprison pr dominion locle : Puisque (ln ) / 4 d converge! ( héorème des croissnces comprées ), on : ( ln ) ( ) 5/ 4 C'es une dominion locle enre foncions posiives u voisinge de + Du crière de comprison pr dominion locle, e schn que (ln ) d 5/ 4 on en dédui direcemen que l'inégrle d converge ussi! Rédcion n : Uilision du crière de comprison pr mjorion : Puisque (ln ) / 4 o converge ( inégrle de référence ), ( héorème des croissnces comprées ), on : A > el que A, (ln ) () ( ) 5/ 4 On lors : A,, e on si que d A 5/ 4 Le héorème de comprison s'pplique, e insi : ( ) & ( ) & ( 3 ) Enfin, pr coninuié de l foncion inégrée enre e A, on ussi : converge ( 3 ) ( série de référence ) A (ln ) d converge! (ln ) d converge ( ln ) / 4 Eemple n 8 Prouvons que l'inégrle d diverge! 4 (ln ) (ln ) On commence pr oserver que :, 4 4 Rédcion n : Uilision du crière de comprison pr dominion locle : Puisque + ( héorème des croissnces comprées ), on : o 4 (ln ) 4 (ln ) C'es une dominion locle enre foncions posiives u voisinge de + Du crière de comprison pr dominion locle, e schn que (ln ) d on en dédui direcemen que l'inégrle d diverge ussi! 4 (ln ) Rédcion n : Uilision du crière de comprison pr minorion : (ln ) diverge ( inégrle de référence ), (ln ) Puisque + ( croissnces comprées ), on : A > el que A, 4 4 (ln ) On lors : A, 4 ( ) (), e on si que d A diverge ( 3 ) ( série de référence ) Le héorème de comprison s'pplique, e insi : ( )& ( )&( 3 ) d diverge! 4 A (ln ) Enfin, pr coninuié de l foncion inégrée enre e A, on ussi : d diverge 4 (ln )
Pge 4 sur Les Inégrles impropres 4 / 5 d) Le Crière de comprison pr équivlence : de comprison pr équivlence Soien f : J IR e g : J IR On suppose que : ) g() rese de signe consn u voisinge à guche de, ) f () ~ g() Alors : Les inégrles des foncions définies e coninues sur un inervlle J [, [ f ()d e Démonsrion du héorème ci-dessus : g()d son de même nure! Supposons d'ord que g() rese de signe consn posiif u voisinge à guche de Puisque f () ~ g(), on en conclu que f () rese posiif ussi u voisinge à guche de De plus, l'hypohèse f () ~ g() enrine qu'on à l fois : f () ( g() ) Du héorème de comprison pr dominion locle, O e g() ( f () ) on en conclu que g()d converge si e seulemen si f ()d converge ussi! Auremen di, que ces deu inégrles son ien de même nure! E si g() rese de signe consn négif u voisinge à guche de? On lors : O -f () ~ - g(), e on conclu que les inégrles de f e de g son de même nure, e donc celles de f e de g ussi! L foncion cr On ; r() Eemple n 9 Arc n L'inégrle Arc n d diverge! es définie coninue sur ], + [, e même [ [ Arc n,, +, >, e qu'elle se prolonge pr coninuié en vec r(), puisque r() On si que () K ~ vec d K C'es un équivlen de signe consn ( posiif ) ( ) diverge ( 3 ) Le crière de comprison pr équivlence s'pplique, e donc de ( ) e ( ) e ( 3 ), on conclu que : r() d diverge, e donc que Arc n ~ r() d diverge ussi! Eemple n Prouvons que l'inégrle ln ( + ) I d converge On oserve d'ord que l foncion ln ( + ) On voi que : ~ g() ( ) / ln ( + ) es définie coninue sur ] ] C'es une équivlence enre foncions posiives u voisinge à droie de ( ), E on si que l'inégrle g()d converge ( 3 )( inégrle de référence ), Le héorème de comprison pr équivlence s'pplique, e insi : ( )& ( )& ( 3 ) ( I converge!)
Pge 5 sur Les Inégrles impropres 4 / 5 Eemple n Prouvons que l'inégrle / n d converge! On oserve d'ord que l foncion Méhode n : Le chngemen de vrile sricemen décroissne e de clsse en l'inégrle E on si que : On si que / n es définie coninue sur C sur u u, es une ijecion de,, qui rnsforme l'inégrle / con u du Ces inégrles son donc de même nure!, sur,, n d cos u con u ~ sin u u u ( ), équivlen de signe consn ( posiif )( ) / u du converge ( inégrle de référence ) ( 3 ) Le héorème de comprison pr équivlence s'pplique, e insi : ( ) & ( ) & ( 3 ) / con u du converge E donc ussi / n d Méhode n : Le chngemen de vrile u Arc n u es une ijecion de [, + [ sur Elle es sricemen croissne e de clsse / C sur [, + [, u du e elle rnsforme n d en Ces deu inégrles son donc de même nure! + u, u u Or on : ~ 3/ ( ), équivlen de signe consn ( posiif )( ) u voisinge à droie de u u u + u + + On si que du 3/ u es convergene ( inégrle de référence ) ( 3 ) Le héorème de comprison pr équivlence s'pplique, e insi : ( )&( )& ( 3 ) u du converge + u Pr coninuié sur [ ] u du,, converge ussi, e donc n d converge ussi! + u / Eemple n Prouvons que l'inégrle sin d es divergene! Puisque : IR, sin (sin ), il suffi donc de prouver que l'inégrle Le chngemen de vrile l'ingérle u u + es une ijecion ffine de (sin ) S d en l'inégrle On cliremen cee équivlence : (cos u ) / u +, (sin ) S d diverge! + sur [, [ +, qui rnsforme K du Donc S e K son de même nure! (cos u ) (cos u ) u + u u ~ ( équivlen de signe consn ) (cosu ) (cosu ) Donc K es de même nure que D du, elle même de même nure que C du 3 / u u Finlemen S e C son de même nure! Si elles éien oues les deu convergenes, leur somme le seri ussi Mis S C du u On en conclu qu'elle son forcémen oues les deu divergenes! E grâce à l minorion iniile : ( IR, sin (sin ) ), on conclu que : + diverge! sin d diverge
Pge 6 sur Les Inégrles impropres 4 / 5 e) Un crière de divergence ( à connire, mis son énoncé es hors progrmme ) Soi à prouver qu'une inégrle impropre Risonnons pr l'surde, e supposons que l'inégrle On si donc que f ()d ( vec prolème de convergence en ) es divergene! f ()d soi convergene! Posons L lim F() eise On en dédui que oue epression du ype seri de limie L L lorsque qu'on fi à l fois u e v Conclusion : Si on déece des "rnches d'inégrle" v f ()d qui ne enden ps vers u qund u e v, on lors déecé une divergence! Eemple n 3 Prouvons que l'inégrle sin d es divergene! v u F() f ()d f ()d F(v) F(u) On oserve d'ord que l foncion sin es ien définie e coninue sur [, + [ Ici, ucune primiive clculle, ucune comprison joule, cr ps de signe consn u voisinge de +! On v risonner pr l'surde! Si L sin d es convergene, e si deu suie n (n) e n (n) enden vers +, on lors : Or, en posn ( n ) ( n ) ( n ) sin d ( n ) sin d sin d L - L (%) n 4 (n) + n e 3 n (n), (n), 4 ( n ) ( n ) ( n ) sin d d d ( n ) ( n ) ( n ) (n) +, on conse que : [ ] sin Cel perme d'écrire : n IN *, Cee qunié ne end donc ps vers qund n! C'es en conrdicion vec (%)! Grâce à ce risonnemen pr l'surde, on insi prouvé que : L'inégrle sin d diverge! Eemple n 4 Prouvons à nouveu que l'inégrle sin d es divergene! Supposons qu'elle converge ( risonnemen pr l'surde ) e soi lors : Si on pose T n n n L lim F() vec f ()d, on devri voir : Tn F(n ) F(n ) L - L (#) n Or on oserve que : n IN * ( puisque n n F() f ()d n n n n n n n, sin d sin d n sin d ( n ) sin d es l'inégrle de l foncion sin sur n périodes successives, e que sur une période on : On donc : n IN *, T n sin d sin d ), relion incompile vec l propriéé ( # ) Conrdicion! sin Biln : L'inégrle d diverge!,
Pge 7 sur Les Inégrles impropres 4 / 5 7) Foncions inégrles sur un inervlle Cerines foncions ne possèden ps un signe consn u voisinge d'une orne! C'es souven le cs vec des foncions rigonomériques u voisinge de + C'es ussi le cs des foncions à vleurs complees non réelles, puisqu'il n'y ps de signe dns Le héorème qui sui cee définiion es lors priculièremen uile : Définiion Foncion inégrle sur un inervlle Soi f : J une foncion définie e coninue pr morceu sur un inervlle J On di que "f es inégrle sur J" lorsque l'inégrle de l foncion f () sur J es convergene! Remrque n : Lorsque J es un segmen [, ], oue foncion coninue sur J es inégrle sur J En effe, si f es coninue sur J, f l'es ussi, e donc possède une inégrle sur J Remrque n : Si f es une foncion coninue de signe consn sur J, il y équivlence enre "f es inégrle sur J" e "l'inégrle de f converge"! Mis nous verrons plus loin, qu'il eise des foncions ( forcémen de signe non consn ) qui son non-inégrles sur un inervlle J, mis don pourn l'inégrle sur J converge! di "de convergence solue" Soi f : J une foncion définie e coninue sur un inervlle J Si f es inégrle sur J, lors son inégrle sur J es convergene! f inégrle sur J f () d converge f ()d converge Auremen di : ( ) dèf J J Démonsrion du héorème ci-dessus : Supposons d'ord que f soi à vleurs dns IR! Posons lors : g() f () + f () On oserve que : J, g() f () Or on si que l'inégrle f () d converge Du crière de comprison pr mjorion, il vien donc que l'inégrle g()d converge ussi! E puisque : I, f () g() f (), on conclu que Enfin, on : J, f ()d f () d f ()d converge ( somme de deu convergences ), d'où l conclusion en pssn à l limie qund Supposons minenn le cs générl ( ie le cs où f es à vleurs complees, ps forcémen réelles ) On lors : J, f () α () + i β (), si on pose α () Re (f ()) IR e β () Im (f ()) IR On : J, f () α () + β() α () α(), e de même : J, f () β() Puisque f () d converge pr hypohèse, on en dédui que les inégrles α() d e β() d son elles ussi convergenes! E pr l première prie du héorème de convergence solue qu'on vien de démonrer, on peu conclure que les inégrles α() d e Pour conclure, f es cominison linéire des foncions α e β, e donc : β()d convergen ussi! f ()d converge
Pge 8 sur Les Inégrles impropres 4 / 5 Eemple n 5 Prouvons que l foncion sin, +! es inégrle sur [ [ L foncion Or l'inégrle sin es définie e coninue sur [ [ d converge ( inégrle de référence ) Il résule du héorème de comprison pr mjorion que Du héorème de convergence solue on dédui que l'inégrle Remrque : L foncion sin, + E on :, sin d sin converge sin d converge! n'es ps inégrle sur IR * +! E pourquoi donc? Proposiion J J J Linérié Soien f : J e g : J des foncions définies e coninues sur un inervlle J Soi λ IR Si f e g son inégrles sur J, lors l foncion f () + g() ( c'es-à-dire l foncion f + g ) e l foncion λf () ( c'es-à-dire l foncion λ f ) son inégrles elles ussi sur J De plus on : ) ( f () + g() ) d f () d + g() d e ) ( λ f ()) d λ f ()d Auremen di : L'ensemle ( J IK ) e l'pplicion In des foncions coninues inégrles sur J es un KI -espce vecoriel, f f () d es une forme linéire sur ce espce! J J J Proposiion Inégrilié pr dominion locle Soien f : J e g : J des foncions définies e coninues sur un inervlle J [, [ Si g es inégrle sur J, e si f () O ( g() ), lors f es inégrle sur J L démonsrion es immédie, puisqu'on : f () O ( g() ) f () O ( g() ) O Donc dns le héorème ci-dessus, on peu remplcer l'hypohèse en "grnd O", pr celle en "pei o" Remrque : On rppelle que : f () o ( g() ) f () ( g() ) Inéglié ringulire Soi f : J une foncion coninue e inégrle sur un inervlle J On lors : f ()d J J f () d Remrque : Bien oserver que l'inéglié ringulire n' de sens qu'en siuion d'inégrilié! Crcérision des foncions nulles Soi f : J une foncion coninue e inégrle sur un inervlle J Si on : f () d, lors f es ideniquemen nulle ( c'es-à-dire J, f () ) J
Pge 9 sur Les Inégrles impropres 4 / 5 8) Le héorème d'inégrion pr pries Inégrion pr pries sur un inervlle quelconque Soien u e v deu foncions de clsse Si l foncion C sur un inervlle J, pr eemple J ], [ u()v() possède des limies finies à chcune des erémiés de l'inervlle J, lors les inégrles u ()v()d e J u()v ()d son de même nure! J E en cs de convergence, l formule d'inégrion pr pries s'pplique! u ()v() d u()v() u()v () d, Pr eemple, si J ], [, lors on : [ ] en non [ u()v() ] l qunié l l vec l lim ( u()v() ) e lim ( u()v() ) Remrque : Conformémen à ce qu'indique le progrmme de PT, on pourr écrire [ u()v() u lieu de [ u()v() ] ] l Eemple n 6 Prouvons que l'inégrle de DIRICHLET, à svoir sin d, es convergene! sin On conse que l foncion es coninue sur [, [ Il es donc nurel de regrder d'ord si cee foncion es inégrle sur [, [ c'es-à-dire si +, mis sns signe consn u voisinge de +! +, + sin d es convergene Or on vu ( eemples & ) que ce n'es ps le cs! Dmned! Tou ç prce que ce dénomineur n'es ps ssez "pei" pour fournir une "convergence en vleur solue"! Afin de "ooser le degré du dénomineur " ( e donc insi ssurer une convergence en vleur solue ) on v procéder à une inégrion pr pries! Posons u() e v() cos, cr on : Ce son des foncions de clsse + sin d C sur [, + [, u()v ()d e les limies qund e qund + du produi u()v() eisen! On en effe : u()v() e u()v() ( puisque u()v() ) Puisque l qunié [ u()v() ] e on en dédui insi que : sin + eise, le héorème d'inégrion pr pries peu s'ppliquer, cos d es de même nure que u ()v()d, c'es-à-dire que d cos Rese à eminer cee nouvelle inégrle d ( ce ser plus fcile, l puissnce "en s" én plus lourde! ) On : [, [ cos +,, e on si que d converge ( inégrle de référence ) cos Du crière de comprison pr mjorion, il vien que : d converge! cos Finlemen, pr "inégrilié", l'inégrle d es convergene! E donc, + sin d l'es ussi! Voici une inerpréion géomérique de cee convergence d'inégrle, e de cee non-inégrilié :
Pge sur Les Inégrles impropres 4 / 5 Pour l foncion f () sin, le domine illimié enre l grphe e l'e des scisses es d'ire lgérique finie! Pour l foncion f () sin es d'ire infinie, l somme des ires des rches yn une limie infinie ) En dpn les clculs ci-dessus, prouver que l'inégrle ) En uilisn des résuls des eercices précédens, prouver que 3) Vérifier ussi qu'on : ~ f () g() e commenez ous ces résuls!, ce domine illimié Eercice : f ()d converge si : 9) Complémen hors-progrmme, mis rchi-clssique clssique : Les inégrles de Berrnd + + g() d diverge si : sin f ()! sin (sin ) g() + Il s'gi des inégrles K(, ) d α (ln ) β α β vec α > e * β IR d On conni l nure des inégrles : convergenes lorsque α >, divergenes sinon! α L présence du logrihme dns K( α, β ) vien perurer cee nure! Il pour effe de diminuer l foncion lorsque β >, e de l'ugmener lorsque β < Donc : d α d α α Si converge, il y ur dégrdion de l convergence si β >,, e méliorion sinon! Si diverge, il y ur mplificion de l divergence si β <, e énuion sinon! Les quesions qui se posen son donc : En cs de dégrdion de convergence, l'inégrle K( α, β ) ser--elle elle encore convergene, ou ser--elle elle devenue divergene? En cs d'énuion de divergence, K( α, β ) rese--elle elle divergene, ou devien-elle convergene? L'éude de ces inégrles K(α,β ) es sée sur cee oservion! Trois cs son donc à éudier : Cs n : α > ( c'es le cs où l'inégrle d α converge! ) Si β >, on lors : e, Cee mjorion prouve direcemen que l'inégrle Puisque l foncion inégrée es coninue sur [ ] < α (ln ) β α ( cr ln ) ( CONVERGENCE AMELIOREE! ) d converge e α (ln ) β, e, l'inégrle K( α, β ) converge ussi!
Pge sur Les Inégrles impropres 4 / 5 Si β <, on écrir : α + h vec h >, ce qui donner : En oservn que : (ln ) β h on donc : α ( h ) β + (ln ) (ln ) β α (ln ) β h + h ( héorème des croissnces comprées ), o Or ici, d + h converge ( cr + h > ), e cee dominion locle enre foncions posiives perme de conclure : K( α, β ) converge Cs n : α < ( c'es le cs où l'inégrle d α diverge! ) Si β <, on lors : e, Ceci prouve immédiemen que l'inégrle (ln ) β α (ln ) β α α Si β >, on écrir : α h vec h >, ce qui donner : Puisque h (ln ) β > ( cr ln ) ( DIVERGENCE AMPLIFIEE! ) + ( croissnces comprées ), on : On ur lors : A, De cee minorion on conclur donc que Dns ce cs, l foncion Si β, on lors : Donc dns ce cs, l'inégrle d diverge e K( α, β ) diverge ussi! e α (ln ) β α (ln ) β E on si que < h α (ln ) β (ln ) β h A > el que A, (ln ) β d A diverge! d diverge, e donc K( α, β ) ussi! A α (ln ) β Cs n 3 : α ( c'es le cs "limie" ) es du ype u i u β, e donc se "primiivise" fcilemen! Ainsi : (ln ) β T T T (ln ) d ln ln ln(ln T) ln(ln ) + K(,) (ln ) d es divergene! T U ln T Si β, le chngemen de vrile u ln donne : d du (ln ) β ln u β Puisque U ln T end vers + lorsque T +, on en conclu que K(, ) β d (ln ) β es de même nure que l'inégrle du ln u β On voi insi que K(, β) es convergene si e seulemen si β > Récpiulons : α > d converge α (ln ) β ou ( α e β > ) ( à reenir pr même si ce résul es hors progrmme, e donc à svoir prouver u cs pr cs dns les eercices! )
Pge sur Les Inégrles impropres 4 / 5 Remrque : Dns les cs de "convergence méliorée" ou de "divergence mplifiée", il es pluô mlvenu de prler d'inégrles de BERTRAND puisque ce son lors des inégrles ssez immédies ( nles ) à décoriquer! Dns ces cs là, éviez l frime d'un voculire rop sophisiqué, voire préenieu, cusez simples! Éude des inégrles : L( α, β ) / d α ln β Grâce u chngemen de vrile u, on se rmèner u inégrles précédenes Le chngemen de vrile u u sricemen monoone e de clsse Elle rnsforme l'inégrle es une ijecion de C sur,, sur [ [, +, α β / α ln β en l'inégrle u α ( du ) (ln u ) β u L(, ) d c'es-à-dire en l'inégrle du, du u α (ln u ) β qui n'es ure que l'inégrle K( α, β ) éudiée ci-dessus! On donc : L( α, β ) de même nure que K( α, β ), e donc : L( α, β ) converge si e seulemen si α < ou ( α e β > ) Aenion : Ne mélngez ps ou! Une inégrle elle que d n' rien à voir vec une inégrle de Berrnd! α (ln ) β Ici, le prolème se pose à l orne, e u voisinge de ce poin, on le résou fcilemen grâce à une équivlence!! Il suffi en effe d'oserver que : ~ α (ln ) β ( ) β ( équivlen de signe consn ) pour conclure direcemen que l'inégrle proposée converge si e seulemen si β <